三角形的證明講義

1、小巨人學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)生：謝仲鉞教師：趙常巨日期：2015/3/14家長簽名:課題三角形的證明教學(xué)目標(biāo).能夠證明與二角形，線段的垂直平分線，角平分線等有關(guān)的性質(zhì)及判定定理。.理解逆命題的概念，會識別互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不.尺規(guī)作圖等腰三角形，角平分線，線段的垂直平分線。重點、難點.重點是探索證明的思路和方法；.難點是準(zhǔn)確地表達推理證明的過程或相關(guān)計算?？键c及考試要求本章內(nèi)容在歷年中考中主要考查等腰二角形的性質(zhì)，直角二角形的性質(zhì)， 線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)。這些內(nèi)容還常常與三角形全等，相 似等內(nèi)容結(jié)合在T綜合考查，主要以證明題的形式出現(xiàn)。教學(xué)內(nèi)容1口二對1 立相等的兩個三

2、角形全等（SAS ;立相等的兩個三角形全等（ASA ；E個三角形全等（SS9 ;勺對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AA9;,對應(yīng)角。法叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做 ,兩腰的夾角叫做 ,腰,的三角形叫做等邊三角形。氏 AB=AC1示：利用三角形全等證明。你能想到哪些方法？）定理： （簡稱“等邊對等角”）；C （等邊對等角） ,: V AB=AC, BD=DC, : AB=AC,_平分,，三 _L ，_f -，,_7、曳怕寺刑投4、及其中一角白5、全等三角形的對應(yīng)邊6、有的三角力與底邊的夾角叫做回顧課本已知： ABC是等腰三角，求證：/ B=/ C住歸納：1、等腰三角形性質(zhì)推理格式：丁 ABq2、

3、推論（三線合一） 推理格式： : AB=AC,ADL BC ，BD=DC,A評分1、等腰三角形的兩邊分別是7 cm和3 cm、則周長為。2、如圖在 ABC中，AB = AC, ADAC, / BAC = 100。求：/ 1、/ 3、如圖，已知/ D = /C, / A = /B,且 AE = BF0 求證：AD = BC。4、如圖，在 ABC中，D為AC上一點，并且 AB = AD,DB = DC,若/C = 29 ，求/ A。5.如圖，在 ABC中,AB = AC, D是BC邊上的中點，且DE! AB,DFLAB的度數(shù)CDAABDAG求證：/ 1 = /2?？偨Y(jié)一下:三 角 形 性 質(zhì)AD

4、C（簡稱“等邊對等角” 2、推論（三線合一）： 第二篇章1、如圖，E是 ABC內(nèi)的一點，AB = AC,連接 AE BE CE，且BE = CE,延長 AE,交BC邊于點Do求證：ADL BG2、已知：如圖，點 D,E在三角形 ABC的邊BC上,AD=AE,AB=AC求證:3、已知：如圖，在 ABC中，/ B=/ C,求證：AB=AC （提示：構(gòu)造兩個專歸納：1、有兩個角相等的三角形是=CE.三角形。（簡稱“等用對等曠F推理格式：丁/ B=/ C,（等角對等邊）2、反證法證明問題的一般步驟:AB從結(jié)論的出發(fā)，先假設(shè)命題的結(jié)論,然后推出與定義、公理、已證定理或已知條件相的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論

5、一定成立。這種證明方法稱為60。1、用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于E.如圖，在 ABC中，AB = AC, DE/ BC,求證： AD虛等腰三角形。.如圖，在 ABC中，/ ABC的平分線交AC于點D, DE/ BC求證： EB混等腰三角形。4、如圖，一艘船從 A處出發(fā)，以18節(jié)的速度向正北航行，經(jīng)過 10時到ANCE,DECB達B處。分另I從 A B望燈塔C,測彳NA NAC=42 , / NBC=84。求B處 R 到燈塔C的距離。交BC于M.求證:MD=ME.6、用反證法證明:一個三角形中不能有兩個直角o回顧課本1、三條邊都的三角形是等邊三角形Ac2、三個都相等的三

6、角形是等邊三角形3、有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形5、已知：如圖，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一點，E是AC延長線上的一點且4、在直角三角形中，如果一個銳角等于30 ,那么它所對的直角邊等于斜邊的 。5、直角三角形：有一個角是 的三角形叫做直角三角形。6、勾股定理的逆定理： aB+aC=bC,./ =90 （ ABC是直角三角形）7、互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的 和 分別是另一個命題的 和,那么這兩個命題稱為 ,其中一個命題稱為另一個命題的 。8、互逆定理：一個命題是真命題，它的逆命題卻 是真命題。如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定

7、理稱為 ,其中一個定理稱為另一個定理的。9.斜邊和一條 對應(yīng)相等的兩個 三角形全等。（“斜邊、直角邊”或“ _）.已知：如圖， ABC43, CDL AB于 D, AC=4, BC=3, DB=9。5（1）求DC的長；（2）求AD的長；（3）求AB的長；（4）求證： ABB直角三角形.、某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖 5所示，/ AC&900 , AO80 B米，BO 60米，若線段CD是一條小渠，且 D點在邊AB上，已知水渠的造價為 10元/米，問D點在距A點多遠處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？3、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假。(1)如果ab=0,那么

8、a=0,b=0; (2)初三(6)班有62位同學(xué)；(3)等邊對等角；4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它寫出來。(1)如果x y,則x2 y2 (2)全等三角形對應(yīng)角相等(3)對頂角相等1、直角三角形的兩直角邊為 9、12,則斜邊為;直角三角形的兩邊分別為 13和5 ,則 另一條邊為 。如果三角形的三邊長是 6、10、8,則這個三角形是 三角形。2、如圖，AB BC DCL BC E是 BC上一點,/ BAE=/DE60 , AB=3, CE=4,求：AD3.如圖，AD是 / BAC的角平分線，DE! AB, DF! AC, BD = CD。求證：EB = FC。線段的垂直平分線線段的垂

9、直平分線：垂直且 一條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的 到這條線段兩個端點的距離 。定理：到一條線段兩個端點距離 的點，在這條線段的 線上。推理格式：; AB = AC,點在線段BC的 。定理：線段垂直平分線上的 到這條線段兩個端點的距離 。推理格式：.PC!AB, AC=(點P在線段AB的垂直平分線 MNLh),=PB教材精讀5、已知：如圖，在 ABC中，設(shè)AB BC的垂直平分線相交于點 P,求證：AB, BC, AC的垂直平分線相交于點 P,且AP=BP=CP證明：連接AP、BP、CP,點P在線段AB的垂直平分線上，. PA=（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離

10、相等.）點P在線段BC的垂直平分線上，歸納：三角形三條邊的 線相交于，并且這一點到三個 的距離相等。推理格式：丁點P是 ABC的三條邊的垂直平分線的交點，PA=.教材精讀1、已知：如圖，OC是/AOB的角平分線，點 P在OC上，PCLOB PE，OA,垂足分別為 D, E, 求證：PD=PE證明：- PD1 OB PE OA,垂足分別為D, E,丁. / PDO=90.OC是/ AOB勺角平分線，歸納：角平分線上的 到這個角的兩邊的距離 o （證明兩條線段相等）推理格式：丁點 P在/AOB的角平分線上，PE OA PDORPD=且 PD = PE,這個角的平分2、已知：如圖，點 P為/AOB內(nèi)

11、一點，PEOA PDOR求證：OP平分/ AOB歸納：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的，在線上（證明角相等） 推理格式：PE1 OA PD OR 且 PD = PE,.二點P平分。.如圖，在 ABC中，AC = BC, /C = 90 , AD是 ABC的角平分線，DEIAB,垂足為 E。（1）已知 CD = 4cm,求 AC的長；（2）求證：AB = AC + CD。.如右圖，已知 B已 AC于E, CF,AB于F, BE、CF相交于點 D,若BD=CD求證：AD平分/ BAG5、如圖，在 ABC中,BE!AC, ADBC, AD BE相交于點 P, AE= Bd求證：P在/ ACB的

12、角平分線上。告訴你個秘密AEB1、角平分線上的 到這個角的兩邊的距離 0 （證明兩條線段相等）2、在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的 ,在這個角白平分線上.（證明角相等） 教材精讀.、已知：點P是 ABC的兩條角平分線 BM CN的交點，求證：/ A的平分線經(jīng)過點 P,且PD=PE=PF證明：過點 P作PEL BC于E, PF AC于F, PD! AB于D, TOC o 1-5 h z CN是4ABC的角分線，點P為CN上一點，久PE=（）D/ BM ABC的角分線，點P為BM上一點，丹aPE=（）BeC歸納：三角形三條角平分線相交于，并且這一點到三角形三條 的距離。推理格式：丁點 P是

13、ABC的三條角平分線的交點，且 PEBC, PF AC, PD!AB, PD=.實踐練習(xí)：（1）如圖4,點P為 ABC三條角平分線交點，PD AB, P已BG PF, AG則PD PE PF.（2）如圖5, P是/AOB平分線上任意一點，且 PD=2cm若使PE=2cm則PE與OB的關(guān)系是 .圖4圖57、已知：如圖在 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC交BC于D,若BC=3Z BD： CD=9： 7,求：D到AB邊的距離.1、三角形三條角平分線相交于一,并且這一點到三角形三條 的距離?；仡櫵伎肌緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1、在回顧與思考中建立本章的知識框架圖，復(fù)習(xí)有關(guān)定理的探索與證明，證明的思路和

14、方法，尺規(guī)作 圖等。2、發(fā)展初步的演繹推理能力，進一步掌握綜合法的證明方法，提高用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達論證過程的 能力。復(fù)習(xí)反饋1、等腰三角形的性質(zhì)：（邊） （角）三線合一：2、等邊三角形的性質(zhì):一（邊）：（角）3、判定等腰三角形的方法有：（邊）;（角） 。4、判定等邊三角形的方法有：（邊）;（角） 。5、線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 。逆定理：。三角形的垂直平分線性質(zhì)： 。6、角的性質(zhì)定理：。逆定理：。三角形的角平分線性質(zhì)：。7、三角形全等的判定方法有： 。8、30銳角的直角三角形的性質(zhì)： 。9、方法總結(jié)：（1）證明線段相等的方法：1）可證明它們所在的兩個三角形全等;2）角平分線的性質(zhì)定理：角平

15、分 線上的點到角兩邊的距離相等；3）等角對等邊；4）等腰三角形三線合一的性質(zhì)；5）中垂線的性質(zhì)定 理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。（2）證明兩角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行線性質(zhì)；3）對頂角相等；4）全等三角形對 應(yīng)角相等；5）等邊對等角；6）角平分線的性質(zhì)定理和逆定理。（3）證明垂直的方法：1）證鄰補角相等；2）證和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三線 合一性質(zhì)；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的證明：主要用等腰三角形的兩腰相等，兩底角相等和三線合一性質(zhì)解題。1、填空：（1） ABE, / A： / B： / C=1 ： 2 ： 3,最小邊 BC=4

16、 cm,最長邊 AB=。（2）直角三角形兩直角邊分別是 5 cm、12 cm,其斜邊上的高是 。（3）若一個三角形的三條高線交點恰好是此三角形的一個頂點，則此三角形是 三角形。（4）三角形三邊分別為 a、b、c,且a2bc=a（bc）,則這個三角形（按邊分類）一定是2、已知：如圖，D是4ABC的BC邊上的中點，DHAC, DF，AB,垂足分別是 E、F,且DE=DF 求證： ABC是等腰三角形。.A3、如圖，在4ABC中，AB=AC AB的垂直平分線交 AC于點E,已以 BCE的周長為8, AC-BC=2.求AB與BC的長.4、已知，在 ABC中，AD垂直平分BC,且CA = CE,點點D、七、E先同一條直線上1、等腰三角形的底角為15接上的高為16,那么腰長為求證：AB + DB = DE2、如圖1,在 ABC中，已知AC=27, AB的