新冀教版八年級上冊初中數(shù)學 17.3　勾股定理 教學課件

1、教學課件 數(shù)學 八年級上冊 冀教版第十七章 特殊三角形17.3勾股定理（第1課時）下圖是三國時期數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的圖形和希臘政府為紀念希臘歷史上著名的數(shù)學家畢達哥拉斯而發(fā)行的一張郵票,觀察這兩個圖形,你有什么感想?觀察思考1.畫一個直角三角形,使直角邊分別為3 cm和4 cm, 測量一下斜邊是多少?2.畫一個直角邊分別是6 cm和8 cm的直角三角形, 測量一下斜邊是多少?3.畫一個直角邊分別是5 cm和12 cm的直角三角形, 測量一下斜邊是多少?問題:你能總結出直角三角形三邊之間的關系嗎?學 習 新 知13 cm10 cm5 cm 如圖所示,每個小正方形都是邊長為1的小正方形,在

2、所圍成的ABC中,ACB=90.圖中以AC,BC,AB為邊的正方形的面積分別是多少?這三個正方形的面積之間具有怎樣的關系?問題:(1)以AC為邊的正方形的面積是;(2)以BC為邊的正方形的面積是;(3)以AB為邊的正方形的面積是;(4)三個正方形的面積之間關系 是+=.剛才我們接觸到的是一般的直角三角形,那么對于等腰直角三角形是否也存在這個關系呢? 如圖所示的是用大小相同的兩種顏色的正方形地磚鋪成的地面示意圖,ACB=90.分別以AC,BC,AB為邊的三個正方形(粗線標出)的面積之間有怎樣的關系? 以AC,BC為邊的正方形的面積都是1 如圖所示,在ABC中,ACB=90,請你猜想:分別以AC,

3、BC,AB為邊的三個正方形的面積之間是否也具有上述我們探究的面積之間的關系?若具有這種關系,請用圖中的Rt ABC的邊把這種關系表示出來. 在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊,那么a2+b2=c2.我們通過舉例得出勾股定理,那么能不能設計一種方案驗證勾股定理呢?組1:準備四塊直角邊分別為a,b,斜邊為c的直角三角形的紙板,拼出如下圖形:組2:我們也準備了四個直角三角形,兩條直角 邊分別為a,b,斜邊為c.組3:我們準備了兩個直角三角形,兩條直角邊為a,b,斜邊為c.思考:(1)運用此定理的前提條件是什么?(2)公式a2+b2=c

4、2有哪些變形公式?(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道條邊,就可以利用求出.(1)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些 變形關系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b); b2=c2-a2=(c+a)(c-a).知識拓展(2)在鈍角三角形中,三角形三邊長分別為a,b,c, 若c為最大邊長,則有a2+b2c2.課堂小結1.勾股定理: 如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么 a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的 平方.2.勾股定理的變形公式 要求直角三角形中某一邊的長度,就要知道其他兩邊 的長度. 檢測反饋1.直角三角形ABC的兩直角邊BC=12

5、,AC=16,則 ABC的斜邊AB的長是() A.20 B.10 C.9.6 D.8A解析:BC2=122=144,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,AB=20.故選A.2.下圖中,不能用來證明勾股定理的是()D解析:A,B,C都可以利用圖形面積得出a,b,c的關系,即可證明勾股定理,故A,B,C選項不符合題意;D.不能利用圖形面積證明勾股定理,故此選項符合題意.故選D.3.直角三角形兩直角邊的長是6和8,則周長與最短 邊長的比是() A.71 B.41 C.257 D.317B解析:利用勾股定理求出斜邊的長為10,6+8+10=24,246=41.故選B.4.

6、如圖所示,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分線,若BC=10,AD=12,則AC=.13解析:根據(jù)等腰三角形“三線合一”,判斷出ADC為直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的長為13.故填13.5.如圖所示,已知在RtABC中,ACB=90,AB=10,分別以AC,BC為直徑作半圓,面積分別記為S1,S2,則S1+S2的值等于 .解析:根據(jù)半圓面積公式結合勾股定理,知S1+S2等于以斜邊為直徑的半圓面積.所以S1+S2= AB2=12.5.故填12.5.12.56.如圖所示,大正方形的面積是,另一種方法計算大正方形的面積是,兩種結果相等,推得.解析:大正方形的面積是(a+b)2.另一

7、種計算方法是:4 ab+c2=c2+2ab.即(a+b)2=4 ab+c2,化簡得a2+b2=c2.(a+b)22ab+c2a2+b2=c27.剪若干個大小、形狀完全相同的直角三角形,三邊長分別記為a,b,c(如圖(1)所示),分別用4張這樣的直角三角形紙片拼成如圖(2)(3)所示的形狀,圖(2)中的兩個小正方形的面積S2,S3與圖(3)中小正方形的面積S1有什么關系?你能得到a,b,c之間有什么關系?解:S2=b2, S3=a2,S1=(a+b)2-4 ab=a2+b2,S2+S3=S1,S1=c2,a2+b2=c2.AD= =40(m)8.如圖(1)所示,小明家有一塊鈍角三角形菜地,量得其

8、中的兩邊長分別為AC=50 m,BC=40 m,第三邊AB上的高為30 m,請你幫助小明計算這塊菜地的面積.(結果保留根號) 解:如圖(2)所示,過點C作CDAB的延長線于D點,則CD=30 m,在RtACD中,AC=50 m,CD=30 m,在RtBCD中,BC=40 m,CD=30 m,BD= = 10 (m)，AB=AD-BD=40-10 (m),SABC= 30(40-10 )=600-150 (m2).答:這塊菜地的面積為(600-150 )m2.17.3勾股定理（第2課時）1.在Rt ABC中,兩直角邊長分別為3,4,求斜邊的長.復習鞏固2.在Rt ABC中,一直角邊長為5,斜邊長

9、為13,另一直角邊的長是多少?小結:在上面兩個問題中,我們應用了勾股定理: 在Rt ABC中,若C=90,則a2+b2=c2.512例：如圖所示,為了測得湖邊上點A和點C間的距離,一觀測者在點B處設立了一根標桿,使ACB=90.測得AB=200 m,BC=160 m.根據(jù)測量結果,求點A和點C間的距離. (1)閱讀例題,分析題目中的已知條件和未知條件. (2)怎樣求出AC的長度?要用我們學過的哪方面的知識?解:在 ABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2(勾股定理).AB=200 m,BC=160 m,答:點A和點C間的距離是120 m.例：(教材第153頁做一做)如圖所示的是某廠房屋頂

10、的三腳架的示意圖.已知AB=AC=17 m,ADBC,垂足為D,AD=8 m,求BC的長. 解:在Rt ABD中,AB=17 m,AD=8 m,BD2=AB2-AD2=172-82=225,BD=15 m,AB=AC,ADBC,BC=2BD=30 m.例：如圖所示,在長為50 mm,寬為40 mm的長方形零件上有兩個圓孔,與孔中心A,B相關的數(shù)據(jù)如圖所示.求孔中心A和B間的距離. 解: ABC是直角三角形,AB2=AC2+BC2.AC=50-15-26=9(mm),BC=40-18-10=12(mm),答:孔中心A和B間的距離是15 mm.(1)解決兩點距離問題:正確畫出圖形,已知直角三角形兩

11、邊長,利用勾股定理求第三邊長.知識拓展(2)解決折疊問題:正確畫出折疊前、后的圖形, 運用勾股定理及方程思想解題. (3)解決梯子問題:梯子斜靠在墻上,梯子、墻、地面可構成直角三角形,利用勾般定理等知識解題.(4)解決側面展開問題:將立體圖形的側面展開成平面圖形,利用勾股定理解決表面距離最短的問題.課堂小結1.當已知條件告訴了有直角三角形時,直接用勾股定理解決問題.2.當遇到立體圖形表面兩點間的距離問題時,應想到化立體為平面. 檢測反饋1.如圖所示,有兩棵樹,一棵高10米,另一棵高4米,兩樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,小鳥至少飛行()A.8米 B.10米C.12米 D.1

12、4米B解析:設大樹高AB=10米,小樹高CD=4米,過C點作CEAB于E,則四邊形EBDC是長方形,連接AC,則EB=4米,EC=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米),在Rt AEC,AC2=AE2+CE2=62+82=102,AC=10米.故選B.2.如圖所示,將一根長24 cm的筷子放入底面直徑為5 cm,高為12 cm的圓柱形水杯中,設筷子露在杯子外面的長度為h,則h的最小值是 () A.12 cm B.13 cmC.11 cm D.9 cmC解析:設水杯底面直徑為a,高為b,筷子在水杯中的長度為c,根據(jù)勾股定理,得c2=a2+b2,c2=a2+b2=52+122=132,c=13

13、 cm,h=24-13=11(cm).故選C.3.某樓梯的側面圖如圖所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,C=90,樓梯的寬度為6米,因某種活動要求鋪設紅色地毯,則在AB段樓梯所鋪地毯的面積應為 .51平方米解析:AB=6.5米,BC=2.5米,C=90,AC2=AB2-BC2=62,AC=6米,地毯的長度為AC+BC=6+2.5=8.5(米),地毯的面積為8.56=51(平方米).故填51平方米.4.如圖所示,公路AB的一邊有C,D兩村莊,DAAB于A,CBAB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,現(xiàn)要在公路上建一個農產品收購站E,并使DE=CE.則農產品收購站

14、E應建在距點A多少千米處? 解:設AE=x km,則BE=(25-x)km,C,D兩村到收購站E的距離相等,DE=CE,即DE2=CE2,在Rt DAE中,DA2+AE2=DE2,在Rt EBC中,BE2+BC2=CE2,DA2+AE2=BE2+BC2, 152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.答:收購站E點應建在距點A10 km處.5.如圖所示,有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門,如果把竹竿豎放就比門高出1尺,斜放就恰好等于門的對角線,已知門寬4尺,求竹竿高與門高. 解析:根據(jù)題中所給的條件可知竹竿斜放時,可與門的寬和高構成直角三角形,運用勾股定理可求出門高.解:設門高

15、為x尺,則竹竿高為(x+1)尺,根據(jù)勾股定理可得x2+42=(x+1)2,即x2+16=x2+2x+1, 解得x=7.5,7.5+1=8.5(尺).答:門高為7.5尺,竹竿高為8.5尺.解:設水深為x尺,則蘆葦長度為(x+1)尺,根據(jù)勾股定理得x2+ =(x+1)2,解得x=12,x+1=12+1=13.答:水深為12尺,蘆葦?shù)拈L度為13尺.6.如圖所示,水池中有水,水面是一個邊長為10尺的正方形,水池正中央有一根蘆葦,它高出水面1尺,如果把這根蘆葦拉向水池一邊,那么它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度和這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少? 解析:找到題中的直角三角形,根據(jù)勾股定理解答.7.中國機器人創(chuàng)

16、意大賽于2014年7月15日在哈爾濱開幕.如圖所示的是一參賽隊員設計的機器人比賽時行走的路徑,機器人從A點先往東走4 m,又往北走1.5 m,遇到障礙后又往西走2 m,再轉向北走4.5 m處,往東一拐,僅走0.5 m就到達了B點.A,B兩點間的距離是多少? 解:如圖所示,過點B作BCAD于C,由題知AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m),在直角三角形ABC中,AB為斜邊,則AB= m.答:A,B兩點間的距離是 m.17.3勾股定理（第3課時） 小明找來了長度分別為12 cm,40 cm的兩條線,利用這兩條線采用固定三邊的方法,畫出了如圖所示兩個圖形,他畫的是直角三角

17、形嗎?復習鞏固由32+42=52,82+152=172,你想到了什么?與勾股定理有什么不同? 據(jù)說古埃及人用如圖所示的方法畫直角:把一根長繩打上等距離的13個結,然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長,用木樁釘成一個三角形,其中一個角便是直角.大家畫一畫、量一量,看看這樣畫出的三角形是直角三角形嗎? 畫一畫 再畫畫看,如果三角形的三邊長分別為2.5 cm,6 cm,6.5 cm,滿足下面的關系“2.52+62=6.52,那么畫出的三角形是直角三角形嗎?換成三邊長分別為4 cm,7.5 cm,8.5 cm的三角形,再試一試.下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c.5,12,13;7,2

18、4,25;8,15,17.(1)這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎?(2)分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形,用量角器量一量,它們都是直角三角形嗎?如果三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形. 人類已跨入 ,建筑工地上的工人師傅們仍然離不開“三四五放線法”.“三四五放線法”是一種古老的歸方操作.所謂“歸方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房角般總是成90,怎樣確定房角的縱橫兩線呢? 如圖所示,如何過基線MN上的一點C作它的垂線,建筑工人用3,4,5作出了一個直角,能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢?可由三名工人操作:一人手拿布尺或測繩的0和12尺處,固定在C點;另一人拿4尺

19、處,把尺拉直,在MN上定出A點,再由一人拿9尺處.把尺拉直,定出B點,連接BC,則ACB=90 想一想：勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.它們的題設和結論有何關系?如圖所示的是一個機器零件示意圖,ACD=90是這種零件合格的一項指標.現(xiàn)測得AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm,AD=13 cm,ABC=90.根據(jù)這些條件,能否知道ACD=90? 解:在ABC中,ABC=90,AC2=AB2+BC2(勾股定理),AB=4,BC=3,AC2=32+

20、42=52,AC=5.在ACD中,AC=5,CD=12,AD=13,AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.AC2+CD2=AD2,ACD=90(勾股定理的逆定理).所以根據(jù)這些條件,能知道ACD=90.(1)勾股定理與其逆定理的關系:勾股定理是已知直角三角形,得 到三邊長的關系,它是直角三角形的重要性質之一;而勾股定理 的逆定理是由三角形三邊長的關系判斷一個三角形是不是直 角三角形,這是直角三角形的判定,也是判斷兩直線是否垂直的 方法之一.二者的條件和結論剛好相反.知識拓展(2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三邊長a,b,c(c為最長 邊的長)滿足a2+b2c2,

21、那么這個三角形是銳角三角形.(3)勾股定理的逆定理的應用:應用勾股定理的逆定理可以判斷一 個三角形是不是直角三角形,在實際應用時,可用較短兩邊長的 平方和與較長邊長的平方作比較,若它們正好相等,則三角形為 直角三角形,較長邊所對的角為直角.課堂小結1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.它是判斷一個三角形是不是直角三角形的重要方法.2.勾股定理與其逆定理的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系: 兩者都與三角形三邊關系a2+b2=c2有關; 兩者都與直角三角形有關.區(qū)別:勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件,進而得到這個直角三角形的三邊數(shù)量關系,即a2+

22、b2=c2;勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為條件,進而得到這三角形是直角三角形,是判別一個三角形是不是直角三角形的有效方法. 檢測反饋1.以下列各組數(shù)為邊長的三角形中,是直角三角形的是() A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25B解析:A.32+4262,故不是直角三角形,故不正確;B.92+122=152,故是直角三角形,故正確;C.52+122142,故不是直角三角形,故不正確;D.102+162252,故不是直角三角形,故不正確.2. ABC的三邊為a,b,c,在下列條件中, ABC不是直角三角形的是()A.a2=b2-

23、c2 B.a2b2c2=123C.A=B-C D.ABC=345D解析:A.a2=b2-c2,a2+c2=b2,故本選項正確;B.a2b2c2=123,令a2=x,則b2=2x,c2=3x.x+2x=3x,a2+b2=c2,故本選項正確;C.A=B- C, B=A+C. A+B+C=180, 2(A+C)=180,即A+C=90,故本選項正確;D.ABC=345,設A=3x,則B=4x,C=5x.A+B+C=180,3x+4x+5x=180,解得x=15,5x=515=75 90,故本選項錯誤.3.如圖所示,四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5, CD=12,AD=13,則四邊形ABCD的面積為() A.72 B.36 C.66 D.42B解析:AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,ABC是直角三角形.AC2+CD2=52+122=132=AD2,ACD是直角三角形,S四邊形ABCD= ABBC+ ACCD = 34+ 512=36. 4.有一個三角形的兩邊長是4和5,要使這個三角形成為直角三角形,則第三邊長為 .解析:當?shù)谌厼樾边厱r,第三邊長當邊長為5的邊為斜邊時,第三邊長5.已知ABC的A,B和C的對邊分別是a,b和c,下面給出了五組條件:ABC=123;abc=