王法輝基于GIS的數(shù)量方法與運用Chapter06

1、97第六章 回歸擬合方程及其在城市與區(qū)域密度模型分析中的應(yīng)用城市與區(qū)域研究首要的就是分析城市與區(qū)域的空間結(jié)構(gòu)，尤其是人口密度分布特征。如果把城市或區(qū)域作為一個經(jīng)濟系統(tǒng)來看，其供給方（勞動力）和需求方（消費者）都和人口掛鉤，人口分布反映了經(jīng)濟活動的態(tài)勢?？疾煲欢〞r段內(nèi)城市或區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展的空間模式，往往也是從分析人口分布模式的變化入手。城市和區(qū)域的人口密度態(tài)勢互為對應(yīng)：中央商務(wù)區(qū)（CBD）是城市的中心，而城市本身又是區(qū)域的中心；城市人口密度從中央商務(wù)區(qū)向外遞減，而區(qū)域中的人口密度則從中心城市向外遞減。城市和區(qū)域人口密度衰減模式的理論基礎(chǔ)不同（參見第6.1節(jié)），但實證研究的方法卻很類似，也互為借鑒。

2、本章試圖尋找一種能夠很好地描述密度分布模式的方程，并探討如何通過這種方法來解釋城市或區(qū)域增長模式。方法上主要集中在方程回歸分析以及相關(guān)的統(tǒng)計問題。第6.1節(jié)介紹密度方程在城市和區(qū)域結(jié)構(gòu)研究中的應(yīng)用。第6.2節(jié)介紹各種單中心結(jié)構(gòu)方程。第6.3節(jié)討論單中心方程擬合中的一些統(tǒng)計問題，并介紹了非線性回歸和加權(quán)回歸法。第6.4節(jié)探討了多中心結(jié)構(gòu)的各種假設(shè)及對應(yīng)的方程形式。第6.5節(jié)是以芝加哥地區(qū)為例的應(yīng)用（單中心與多中心，線性回歸、非線性回歸和加權(quán)回歸）。刻畫城市與區(qū)域結(jié)構(gòu)的密度方程城市密度方程研究98自克拉克（Clark, 1951）開創(chuàng)性的經(jīng)典研究工作以來，人們對城市人口密度方程的研究興趣經(jīng)久不衰，

3、原因不單是獲取數(shù)據(jù)比較方便。城市人口密度方程揭示了城市的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而且又有堅實的經(jīng)濟理論作基礎(chǔ)。麥克唐納（McDonald, 1989: 361）認為人口密度模型是城市一個至為重要的社會經(jīng)濟特征。在1990年代早期，我還在俄亥俄州立大學(xué)上研究生時，選修了經(jīng)濟系唐納德哈倫（Donald Haurin）的城市經(jīng)濟學(xué)，當時就被城市人口密度分布的規(guī)律性所吸引，更為解釋這種經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷慕?jīng)濟理論模型所折服。指數(shù)方程或克拉克模型是所有密度方程中使用最廣的：(6.1)這里，Dr是到城市中心（通常為中央商務(wù)區(qū)，即CBD）距離為r處的人口密度，a為常數(shù)（或稱CBD 截距），b為密度斜率常數(shù)。因為b常常為負值，方程也

4、被稱為負指數(shù)方程。經(jīng)驗研究表明，對發(fā)達國家和發(fā)展中國家的大多數(shù)城市而言，上述指數(shù)方程的擬合效果都很好（Mills and Tan, 1980）。米爾斯（Mills, 1972）和穆斯（Muth, 1969）提出的經(jīng)濟模型即米爾斯-穆斯模型（Mills-Muth model），解釋了城市密度分布模式的負指數(shù)方程。模型假設(shè)城市為單中心結(jié)構(gòu)：城市只有一個中心CBD，就業(yè)都集中在那里。直觀地看，如果大家都到這個中心上班，遠離CBD的住戶在通勤上的花費更多，其補償就是可以住較大的房子，相應(yīng)房子的單位面積房價也便宜些。結(jié)果是，從市中心向外，人口密度逐漸降低。附錄6A給出了如何從經(jīng)濟模型推導(dǎo)出城市密度的負指

5、數(shù)模型。從推導(dǎo)過程可知，式（6.1）中的參數(shù)b為單位運費。因此，隨著交通技術(shù)和公路網(wǎng)絡(luò)的改善，運輸成本不斷下降，城市人口密度曲線的斜率也變得更平緩。這表明，城市蔓延及郊區(qū)化主要是交通改進的結(jié)果。99但是，經(jīng)濟模型“是對復(fù)雜現(xiàn)實的簡化和抽象，往往不能很好地解釋和模擬現(xiàn)實世界”（Casetti, 1993: 527）。對經(jīng)濟模型的主要批評是，城市單中心和住房市場價格彈性系數(shù)為一的兩大假設(shè)在經(jīng)驗研究中并不成立。作者和古德曼（Wang and Guldmann, 1996）提出了一種引力模型，可以解釋城市密度分布（參見附錄6A）。引力模型的基本假設(shè)為，城市某一地點的人口數(shù)與該處到其他地方的可達性成比例

6、，這里的可達性用引力勢能來度量。對于一定范圍內(nèi)的距離摩擦系數(shù)（例如0.2 1.0 ），用引力模型模擬的密度模型滿足負指數(shù)方程。引力模型不需要象經(jīng)濟模型作那些假設(shè)，因而應(yīng)用面更廣。引力模型還可以解釋城市密度分布的兩個重要特征：（1）隨著時間的推移，摩擦系數(shù)越來越小，相應(yīng)的密度方程的斜率趨于平緩；（2）大城市密度方程的斜率較小。經(jīng)濟模型只能較好地解釋第一條特征，對第二條特征卻沒有滿意的解釋（McDonald, 1989: 380）。經(jīng)濟模型和引力模型都認為，隨著時間的推移，交通不斷改善，密度方程的斜率遞減。值得注意的是，引力模型中的距離摩擦系數(shù)和經(jīng)濟模型中的單位運費都隨時間而降低。早期關(guān)于城市密度

7、模型的實證研究基于單中心模型，即探討人口密度從城市中心向外的演變特點，強調(diào)唯一的城市中心（CBD）對整個城市人口分布的影響。自1970年代以來，越來越多的學(xué)者認為城市形態(tài)正從單中心向多中心轉(zhuǎn)變（Ladd and Wheaton, 1991; Berry and Kim, 1993）。除了CBD這個主要中心之外，許多大城市還有次中心，因而可稱為多中心城市。對于多中心城市居民與各級城市中心之間的關(guān)系，有各種假設(shè)，從而對應(yīng)不同的方程形式。區(qū)域密度方程研究如果把研究范圍從城市延伸到包括鄉(xiāng)村地區(qū)的區(qū)域，城市密度分布的研究也就自然推廣到區(qū)域密度分布的研究。城市人口密度的研究，特別是負指數(shù)模型，先是經(jīng)驗觀察

8、得到模型，然后是理論推演（經(jīng)濟模型或引力模型）來解釋經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀＜词故窍扔诿谞査鼓滤钩鞘薪?jīng)濟模型的阿朗索城市土地利用模型（Alonso, 1964），理論解釋也是滯后于對城市密度模型的經(jīng)驗觀察。與此不同的是，受馮杜能（von Thnen, 1966）農(nóng)業(yè)區(qū)位論的啟發(fā)，貝克曼（Beckmann, 1971）和威布爾（Webber, 1973）提出了區(qū)域密度分布的經(jīng)濟模型，早于后來帕爾等人（Parr, 1985; Parr et al., 1988; Parr and ONeill, 1989）提出的區(qū)域人口密度分布的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。城市密度模型中的城市中心依然是區(qū)域密度模型的中心，但區(qū)域密度從這一中心向

9、外衰減的解釋有所不同。從邏輯上來講，離城市較遠的鄉(xiāng)村居民到城市銷售農(nóng)產(chǎn)品、購買城市工業(yè)品和享受城市服務(wù)都需要支付較高的交通成本較高，作為補償，他們占有的土地比較便宜，因而擁有較多的土地，但這時土地是作為生產(chǎn)的要素之一，而不是住宅用地。類似地，區(qū)域密度模型的應(yīng)用研究也有單中心和多中心之別。顯然，由于區(qū)域的幅員比單個城市要大得多，不大可能像單個城市那樣具有均質(zhì)的自然環(huán)境（例如地形、氣候和土地適宜性）。因此，區(qū)域人口密度模型不像城市那樣規(guī)則。理想的區(qū)域密度模型研究區(qū)是像馮杜能模型中的“孤立國”那樣，具有均質(zhì)自然環(huán)境的地區(qū)（Wang, 2001a: 233）。100分析密度方程隨時間的變化對揭示城市和

10、區(qū)域結(jié)構(gòu)的變遷具有重要的啟示。在城市地區(qū)，我們可以考察的城市極化或郊區(qū)化趨勢。城市極化是指城市中心區(qū)相對于郊區(qū)的人口增長更快，郊區(qū)化是指一個相反的趨勢，即郊區(qū)相對于城市中心區(qū)的人口增長。對于區(qū)域來說，則表現(xiàn)為向心集聚和離心分散兩種過程。類似地，前者是指人口從外圍的農(nóng)村地區(qū)向中心的城市地區(qū)遷移，后者則剛好相反。以上都可以整合到核心邊緣的理論框架內(nèi)。加利（Gaile, 1980）研究表明，核心（城市）的經(jīng)濟發(fā)展通過一系列復(fù)雜的空間動態(tài)過程（即資本、商品和服務(wù)、信息和技術(shù)、人口等要素的區(qū)際流動）影響周邊（郊區(qū)和鄉(xiāng)村）區(qū)域。如果影響的結(jié)果表現(xiàn)為邊緣地區(qū)經(jīng)濟活動（例如人口）的增長，則稱為擴散作用。反之，

11、如果邊緣地區(qū)的經(jīng)濟活動下降而中心地區(qū)的經(jīng)濟活動擴張，則稱為回流效應(yīng)。這些概念有助于我們理解核心腹地之間相互依賴的交錯關(guān)系（Barkley et al., 1996）。如果區(qū)域密度模型較好地滿足指數(shù)方程，上述變化過程就可以用圖6.1來演示，其中，t+1在t時間之后。對于一個單中心模型，我們可以考察中心城市的相對重要性；對于多中心模型，我們可以考察不同中心的相對強弱。101在本章的余下部分，討論主要集中在城市密度模型。當然，類似的分析技術(shù)可以應(yīng)用于區(qū)域密度模型的研究。四個簡單二元方程除了上面式（6.1）介紹的指數(shù)模型之外，描述單中心結(jié)構(gòu)的還有下面三個簡單的模型：Dr = a+br (6.2)Dr

12、= a+blnr (6.3)Dr = arb (6.4)式（6.2）為線性模型，（6.3）為對數(shù)模型，（6.4）為密函數(shù)模型。這四個模型中的系數(shù)b值一般都應(yīng)為負值，表示密度從城市中心向外遞減。式（6.2）和（6.3）很容易用最小二乘法（OLS）進行線性回歸得到。式（6.1）和式（6.4）可以在兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為線性方程lnDr = A+br(6.5)lnDr = A+blnr(6.6)式（6.5）為指數(shù)方程（6.1）的對數(shù)變形，式（6.6）為冪函數(shù)方程（6.4）的對數(shù)變形。兩式中的截距A為常數(shù)a的對數(shù)（即A = lna）。通過反對數(shù)變換，很容易得到a值，即a = eA。式（6.5）和（6.6）

13、也可以用最小二乘法回歸得到。式（6.3）和（6.6）包含對數(shù)項lnr，因此進行回歸分析時不能包括r = 0（城市中心）的樣本點，以避免對0求對數(shù)。類似地，式（6.5）和（6.6）中包含對數(shù)項lnDr，回歸樣本中不能包含Dr = 0（人口數(shù)為0）的樣本點。102以式（6.5）的對數(shù)變換為例，截距A和斜率b表征了城市的密度分布態(tài)式。A值越小，城市中心附近密度越低，b的絕對值越小，意味著城市密度越平緩。許多城市發(fā)展中都經(jīng)歷過截距值A(chǔ)變低和斜率b變平的過程，代表了城市蔓延和郊區(qū)化趨勢。演變的模式與圖6.1(a)相似。如果研究地域是區(qū)域范圍，就是區(qū)域增長模式中的分散現(xiàn)象。其他單中心模型除了上面的四種簡單

14、模型之外，常用的還有三種模型。一是譚那爾（Tanner，1961）和契若特（Sherratt，1960）各自獨立提出的一個模型，通常叫譚那爾-契若特（Tanner-Sherratt）模型。模型表作(6.7)式中，密度Dr隨距離的平方（r2）呈指數(shù)衰減。紐靈(Newling，1969）將克拉克模型和譚那爾-契若特模型整合在一起，成為下面的模型：(6.8)其中，常數(shù)b1一般為正值，b2一般為負值，其他量的意義跟上面的模型一樣。在紐靈模型中，正的b1代表了CBD附近的一個密度塌陷，由于主要是商業(yè)和非居住用地，那里的人口密度相對較低。根據(jù)紐靈模型，人口密度最高的地方并不是在城市中心，而是在城市中心之外

15、一定距離處。第三個模型為三次樣條方程（cubic spline function）（例如，Anderson, 1985; Zheng, 1991），因為它刻畫了城市密度模型的復(fù)雜性。模型可以展開如下(6.9)其中，Dx 為距中心x處的人口密度，x0為中心向外第一個人口密度峰值處距中心的距離，xi為中心向外第i個結(jié)點（既可以叫作第2、第3個人口密度峰值，也可以叫作整個區(qū)域內(nèi)的間隔點），Zi*為虛擬變量（當x在節(jié)點內(nèi)時，其值為0，否則，其值為1）。三次樣條方程更詳細地刻畫了城市密度模型的波動現(xiàn)象（例如郊區(qū)的那些人口密度峰值），因而嚴格地說，它不是一種單中心模型。但是，它描述的仍然是從城市中心向外任

16、意方向人口密度的變化過程，即人口密度的同心圓模式。的回歸擬合密度模型只包括兩個變量：到城市中心的歐式距離r及對應(yīng)的人口密度Dr介紹的技術(shù)來得到。確定城市中心需要對研究區(qū)有充分的了解，城市中心常常是公眾廣為接受的一個標志性地點。如果沒有公眾廣為接受的城市中心，可以用市政府所在地或就業(yè)人數(shù)最聚集的地點作為城市中心。美國人口普查局的TIGER線文件中，CFCC編碼為“D65”的即為市政府中心。也可以用阿波洛維齊（Alperovich，1982）的辦法，即以該點為中心時，模型模擬得到的測定系數(shù)R2最高。密度為人口與面積之比，ArcGIS多邊形圖層都有面積這個屬性值，如果是shape文件，也可添加測算的

17、面積值（參見第1.2節(jié)第3步）。只要具有距離r和人口密度Dr這兩個變量的GIS數(shù)據(jù)，就可以將它輸出成外部文件進行回歸分析。很多軟件包中都有線性最小二乘法回歸功能。例如，我們可以用微軟的Excel來實現(xiàn)，只要加載“分析工具”宏即可。打開包含距離和密度數(shù)據(jù)的Excel工作表，新增兩列l(wèi)nr和lnDr，并分別計算距離和密度的對數(shù)值。從主菜單中選擇工具 數(shù)據(jù)分析 回歸，彈出圖6.2的回歸分析對話框。選擇需要進行回歸的X和Y值即可，式（6.2）、（6.3）、（6.5）和（6.6）都可以按此辦法用Excel進行最小二乘線性回歸，這里的式（6.5）和（6.6）分別為式（6.1）和（6.4）的對數(shù)變換。計算結(jié)

18、果很容易還原到式（6.1）和（6.4），只要計算a = eA即可。104另外一種方法是用Excel里的圖表向?qū)碇苯拥玫剿膫€模型的回歸結(jié)果。首先，用圖表向?qū)ЮL制密度隨距離變化的散點圖。然后，選中散點圖，選擇主菜單：圖表 “添加趨勢線”，彈出圖6.3所示對話框，上面四種模型（線性、對數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)）都在“類型”菜單中。切換到“選項”菜單，選擇“顯示公式”和“顯示R平方值”即可將回歸結(jié)果顯示在圖上。用這種“添加趨勢線”的方法得到的結(jié)果是四種模型未經(jīng)對數(shù)變換的原始形式。這里得到的回歸結(jié)果其實用的是式（6.5）和（6.6），也就是式（6.1）和（6.4）的對數(shù)變形（計算過程是在內(nèi)部完成的），進行線性

19、最小二乘法得到的結(jié)果。這與下面將要討論的非線性回歸不同。105譚那爾-契若特模型（6.7）和紐靈模型（6.8）都可以在對數(shù)變換之后用線性最小二乘法進行回歸得到，如表6.1所示。在譚那爾-契若特模型中，變量X為距離的平方（r2）；而在紐靈模型中，包含兩項X（r和r2）。紐靈模型比克拉克模型（指數(shù)模型）多一項（即r2），因而無論r2的顯著性如何，測定系數(shù)R2都比克拉克模型高。從這個意義上講，這兩個模型在擬合效果上不具有可比性。三次樣條方程（6.9）的擬合跟其他單中心模型的擬合相似，只不過需要更多的數(shù)據(jù)。首先，將數(shù)據(jù)按“距離”的升序排列。其次，確定常數(shù)x0，計算數(shù)值(x-x0)、(x-x0)2、(x

20、-x0)3。第三，確定xi（即x1, x2），并計算對應(yīng)的。按下述方法賦值：（i）當x x1時，其值為0；（ii）當x x1時，其值為。最后，進行多元回歸分析，變量Y為密度Dx，變量X為(x-x0)、(x-x0)2、(x-x0)3、等等。樣條方程具有更多的X項，因而回歸測定系數(shù)R2一般要比其他模型高?；貧w和加權(quán)回歸這里討論單中心結(jié)構(gòu)模型擬合中的兩個問題。第一個問題是，究竟是直接對指數(shù)和冪函數(shù)模型進行非線性回歸，還是先將指數(shù)和冪函數(shù)模型節(jié)所示）。一般而言，因為二者因變量不同（非線性回歸時為Dr，線性回歸時為lnDr），從而回歸結(jié)果也不同，誤差項的假設(shè)也不同（Greene and Barnbroc

21、k, 1978）。這里用指數(shù)模型（6.1）及其對數(shù)變換（6.5）來解釋這種差別。式（6.5）的線性回歸中，假設(shè)誤差為因變量的一個乘法因子，只考慮相對誤差的大小，即有Dr=aebr+ (6.10)式（6.1）的非線性回歸中，假設(shè)誤差為構(gòu)成因變量多項式的一項，只考慮絕對誤差的大小，即有Dr=aebr + (6.11)最小二乘（OLS）線性回歸是尋找最佳的a和b，使得回歸殘差平方和（RSS）最小。二元線性最小二乘回歸中的參數(shù)估計辦法可參見附錄6B。非線性最小二乘回歸的目標也是使RSS值最小。對于式（6.11）中的模型，要使下式結(jié)果最小106其中，i代表數(shù)據(jù)觀察順序。盡管非線性回歸的參數(shù)估計方法有好幾

22、種（Griffith and Amrhein, 1997: 265），但都是用迭代法來不斷改進估計值。例如，修正高斯牛頓法使用線性近似值來估算RSS隨參數(shù)估計值微調(diào)而發(fā)生的變化。選定好的初始估計值（即接近真實值的估計值）是非線性回歸成功的關(guān)鍵。參數(shù)的初始估計值常常來自經(jīng)驗或借用已有文獻中同類研究的成果。對于密度函數(shù)的估計，線性和非線性回歸法究竟哪一種更好呢？這要看研究的重點和目的而定。線性回歸以對數(shù)變換為基礎(chǔ)，只考慮相對誤差的大小，從而高密度觀測值產(chǎn)生的誤差被低估了（因為考慮的是相對值）。事實上，高密度地區(qū)的估計值和觀察值之間的差值可能會比低密度地區(qū)大得多（從絕對值意義上而言）。結(jié)果，城市總的

23、人口估計可能會存在較大偏差。與此相反，非線性回歸直接基于密度值而不是密度值的對數(shù)，其回歸殘差平方和較小。因為考慮的是絕對誤差，高密度地區(qū)的誤差（絕對誤差）值限制在一個數(shù)值范圍內(nèi)。結(jié)果，城市總的人口估計值常常比線性回歸的結(jié)果更接近于實際值，但低密度地區(qū)的密度估計值會存在較大的相對偏差。城市密度模型估計中的第二個問題是隨機抽樣問題（Frankena, 1978）。普查數(shù)據(jù)的一個普遍問題（并不限于美國）是高密度觀測值樣本數(shù)較多且集中在城市中心附近很小的一個區(qū)域，而低密度觀測值樣本數(shù)據(jù)較少且散布在偏遠地區(qū)。也就是說，高密度地區(qū)樣本數(shù)過多，因為他們集中在離城市中心較近的一個范圍；而低密度地區(qū)樣本代表性不

24、足，且散布在遠離城市中心的地方。在密度距離散點圖上將顯示近距離地區(qū)的觀測值眾多而遠距離地區(qū)的觀測值稀少。這是一種非隨機抽樣，從而導(dǎo)致偏奇的估計值（通常為左偏）。用加權(quán)回歸法可以減輕這個問題。有研究者（Frankena，1978）提出將觀測值用樣本的面積加權(quán)。這種回歸法用于尋找最小化加權(quán)殘差平方和（RSS）。需要注意的是，在加權(quán)回歸法中，R2不再是擬合效果的評價指標，被稱為偽R2。關(guān)于這個的例子可以參見王法輝和周一星的一項研究（Wang and Zhou, 1999）。一些學(xué)者選用的樣本就是等面積的，就不存在這個問題了。我們在案例6中分析芝加哥人口密度模型時，選用的township單元，基本上是

25、等面積的區(qū)域。Township是美國國會1796年實施的公共土地測量系統(tǒng)(PLS)的基本單元，每個township為邊長約六英里的正方形。進行非線性回歸或加權(quán)回歸擬合需要用高級統(tǒng)計軟件。例如，用DEN代表“密度”，DIST代表“距離”，AREA代表“面積”，下面的SAS語句可以實現(xiàn)式（6.1）的非線性回歸：proc MODEL; /* procedure for nonlinear regression */PARMS a 1000 b -0.1; /*initialize parameters */DEN = a * exp(b * DIST); /* code the fitting fu

26、nction */107fit DEN; /* define the dependent variable */其中，PARMS語句是對a和b賦予迭代初始值。如果迭代不能收斂，可改變初始值再重新運行程序，直到得到收斂值為止。加權(quán)回歸是將下面的語句添加到上面的程序中：weight AREA; /* define the weight variable */SAS中有一個REG程序來進行最小二乘回歸。更詳細的情況可見光盤所附的SAS程序monocent.sas。單中心密度模型假設(shè)離城市中心相等距離處的密度相同，而不管它是在城市的哪個方向上。許多城市的密度分布更趨向于多中心結(jié)構(gòu)。在多中心城市中，住宅

27、和工商業(yè)是圍繞多個中心展開的，從而人口密度是到各中心距離的函數(shù)（Small and Song, 1994, pp. 294）。主中心（即CBD）之外的中心稱為副中心。多中心假設(shè)及相關(guān)模型根據(jù)假設(shè)的不同，可以建立如下幾種不同的多中心模型：假設(shè)不同中心的影響力或功能可以完全互相代替，居民只受最近的中心影響，則城市相當于由多個單中心的亞區(qū)組成。每個亞區(qū)為一個中心的鄰近區(qū)域（參見第4.1節(jié)），單個亞區(qū)可以用各種單中心密度模型進行模擬。以指數(shù)模型為例，第i個亞區(qū)（CBD或次中心）的模型可以表作(6.12) 其中，D為某個樣本區(qū)的密度，ri為該區(qū)域與最近中心i的距離，ai和bi（i = 1, 2 ）為參數(shù)

28、估計值。假設(shè)不同中心的作用是互補關(guān)系，則某一點將受到所有中心的影響，從而多中心密度為各單中心共同作用的乘積（McDonald and Prather, 1994）。例如，多中心的指數(shù)模型可表作：。其對數(shù)形式就是:(6.13)108其中，D為某個區(qū)域的密度，n為中心數(shù)，ri為該區(qū)域跟第i個中心的距離，a和bi（i = 1, 2 ）為參數(shù)估計值。很多學(xué)者（Griffith, 1981; Small and Song, 1994）認為，各中心作用力介于上述假設(shè)1和假設(shè)2之間，多中心密度為相關(guān)中心作用力之和。例如，一個基于指數(shù)模型的多中心模型可以表作：(6.14)上述三種假設(shè)引自相關(guān)文獻Heikkil

29、a et al., 1989）。作者根據(jù)中心地理論，強調(diào)CBD主中心和其他副中心具有不同的功能。所有的居民都需要到高級中心去獲得高等級服務(wù)，而低等級服務(wù)在最近的副中心即可滿足（Wang, 2000）。也就是說，對居民而言，重要的是主中心及跟他最近的中心。以指數(shù)模型為例，模型可以表作(6.15)其中，r1是到主中心的距離，r2是到最近中心（CBD或某個副中心）的距離，a, b1和b2為參數(shù)估計值。在CBD附近的樣本，CBD就是其最近中心，這些樣本的。110圖6.4為多中心城市不同假設(shè)下的圖示。在假設(shè)2或3的情況下，所有中心都對居民發(fā)生作用，但是在假設(shè)2中，作用力之間為乘積關(guān)系，而在假設(shè)3中為加和

30、關(guān)系。表6.2是上述討論的小結(jié)?；貧w分析的GIS應(yīng)用多中心模型分析需要先確定城市的多中心。理想狀態(tài)下，應(yīng)該根據(jù)就業(yè)分布確定這些中心（參見Gordon et al., 1986; Giuliano and Small, 1991; Forstall and Greene, 1998）。在分析傳統(tǒng)的人口密度分布圖之外，作者（Wang, 2000）用GIS表面建模技術(shù)來生成就業(yè)密度等值線，并根據(jù)等值線的值（用于確定就業(yè)密度閾值）和等值線所圍面積（用于確定總就業(yè)數(shù)）來確定就業(yè)中心。由于就業(yè)高密度區(qū)與低密度區(qū)的密度值差別是數(shù)量級，等值線因為直接用密度值繪圖時，高密度區(qū)的等值線會特別稠密，所以常常根據(jù)密度

31、的對數(shù)值繪制。如果沒有就業(yè)分布數(shù)據(jù)，可以用人口密度數(shù)據(jù)進行表面建模分析來幫助確定中心，但不太可靠(尤其是西方城市)。從紐靈單中心模型可知，人口密度峰值可能并不是中心。商業(yè)活動常常占據(jù)就業(yè)中心的土地，從而產(chǎn)生一個人口密度塌陷地區(qū)。第三章介紹了各種常見的表面建模分析技術(shù)。表面建模本身是描述性的。要判定表面建模法確定的中心是否為真正的中心，以及他們之間的相互作用，需要借助嚴格的密度模型統(tǒng)計分析。確定中心之后，可以用GIS提取距離和密度數(shù)據(jù)以進行多中心模型分析。對于上述第1種假設(shè)，只需用ArcGIS中的近鄰工具（Near Tool）計算與最近中心（包括主中心）之間的距離。對于第2、3種假設(shè)，需要用Ar

32、cGIS中的點距離公式（Point Distance）計算每個區(qū)域和所有中心之間的距離。對于第4種假設(shè)，需要計算兩種距離，即每個區(qū)域與主中心及最近中心之間的距離，這都可以用ArcGIS中的近鄰工具來實現(xiàn)。詳細情況可見第6.5節(jié)。在上述第1種假設(shè)情況下，多中心模型轉(zhuǎn)化為每個中心鄰域范圍內(nèi)的單中心模型（6.12），從而可以用第第）需要用下面的非線性回歸法。假設(shè)有兩個中心，DIST1和DIST2分別是到兩個中心的距離，與估算式（）類似，我們可以用下面的SAS程序來估算式（6.14）：proc model;parms a1 1000 b1 -0.1 a2 1000 b2 -0.1;DEN = a1*e

33、xp(b1*DIST1)+ a2*exp(b2*DIST2);fit DEN;6.5案例6：芝加哥地區(qū)城市密度模式分析111芝加哥一直是西方城市研究的重要對象。布捷斯（Burgess, 1925）的經(jīng)典同心圓模型就是基于芝加哥提出的，隨后出現(xiàn)了一系列關(guān)于城市結(jié)構(gòu)的研究，形成了所謂“芝加哥學(xué)派”。本例用2000年人口普查數(shù)據(jù)來研究芝加哥地區(qū)的城市密度模型。研究區(qū)限制在芝加哥結(jié)合大都市統(tǒng)計區(qū)（CMSA）的六個中心縣（括號內(nèi)為縣編碼）：Cook (031), DuPage (043), Kane (089), Lake (097), McHenry (111) 和 Will (197)，見插圖6.2

34、。研究范圍比案例4A和案例5用的十個縣要小些，因為這里是考察大部分已城市化的地區(qū)。為了考察“可變地域單元問題”（MAUP），我們從普查小區(qū)和township兩個尺度進行研究。MAUP是指在研究中用的地理單元變化時，研究結(jié)果的不穩(wěn)定性，這是進行地理學(xué)和空間分析研究的學(xué)者廣為熟知的概念（Openshaw, 1984; Fotheringham and Wong, 1991）。本例基于芝加哥10個縣的普查小區(qū)多邊形圖層文件chitrt，其中包含2000年人口數(shù)據(jù)（即其中的popu項）。此外，還包括下述數(shù)據(jù)：shape文件polycent15：含有根據(jù)早期的一個研究成果（Wang, 2000）確定的1

35、5個就業(yè)中心；shape文件county6：為六個縣的研究區(qū)域；shape文件twnshp：包括115個township數(shù)據(jù)，為另一種地理單元，它們的面積大小差別不大。本例將用到ArcGIS的距離計算及面域插值等空間分析工具，以及微軟的Excel進行簡單的線性回歸和繪圖，也會用SAS進行高級非線性和加權(quán)回歸分析。第一部分：基于普查小區(qū)的單中心模型擬合用ArcGIS提取研究區(qū)及CBD位置：用工具“Selection by Location”從圖層chitrt 中提取普查小區(qū)（其中心）在county6中的部分，并將結(jié)果輸出為shape文件cnty6trt，里面包含六個縣的普查小區(qū)。在cnty6tr

36、t屬性表中新增一列popden并按下式計算popden = 1000000*popu/area。從研究區(qū)shape文件cnty6trt中創(chuàng)建普查小區(qū)的重心文件cnty6trtpt。根據(jù)條件cent15_ = 15（或FID = 14）從shape文件polycent15中提取點數(shù)據(jù)，并輸出為shape文件monocent，此即為CBD的位置（即單中心假設(shè)的惟一中心）。112繪制人口密度圖：用案例3B（見第3.4節(jié)）中介紹的表面建模技術(shù)來繪制研究區(qū)的人口密度圖，如圖6.5所示。圖中也顯示了研究區(qū)內(nèi)15個就業(yè)中心的位置。需要注意的是，這些就業(yè)中心不一定就是人口密度的峰值點，盡管郊區(qū)的就業(yè)中心常常在

37、當?shù)厝丝诿芏确逯蹈浇ｊP(guān)于城市密度的經(jīng)典城市經(jīng)濟模型假設(shè)城市具有惟一的中心即CBD，所有工作都集中在這里。多中心模型將假設(shè)推廣到城市的多個就業(yè)中心。這是我們用就業(yè)分布數(shù)據(jù)而不用人口數(shù)據(jù)來確定城市中心的一個重要原因。對于美國的城市，可以從CTPP（“交通規(guī)劃人口普查數(shù)據(jù)庫”）中提取就業(yè)位置數(shù)據(jù)。參見第5.5節(jié)。用ArcGIS計算普查小區(qū)重心和CBD之間的距離：可以用ArcGIS里面的“Near”工具計算普查小區(qū)中心（）和CBD（）之間的距離。在上面得到的屬性表 cnty6trtpt里，列NEAR_FID確定了最近的中心（在這里即惟一的中心monocent），列NEAR_DIST為中心到各普查小區(qū)

38、重心的距離（m）。新增一列DIST_CBD，根據(jù)公式計算DIST_CBD=NEAR_DIST/1000，把各普查小區(qū)重心與CBD之間的距離換算成km。新增一列DIST_CBD也是為了保留到CBD的距離數(shù)據(jù)，因為在下面第節(jié)的第1步中，將再次調(diào)用“Near”工具，那時NEAR_FID和NEAR_DIST兩列數(shù)據(jù)將會刷新，代表最近的多中心以及到它們的距離。113用Excel的回歸工具進行簡單線性回歸：本操作需要事先加載宏“數(shù)據(jù)分析”（Analysis Toolpak）。用Excel打開cnty6trtpt.dbf，并保存為Excel。選擇菜單：工具 數(shù)據(jù)分析 回歸，彈出圖6.2的對話框。輸入數(shù)據(jù)Y（

39、popden）和X（DIST_CBD）的范圍。選擇“輸出選項”下面的“新工作表”，回歸結(jié)果將保存在新工作表中。除了得到回歸系數(shù)和擬合優(yōu)度R2之外，輸出結(jié)果還包括與截距和自變量對應(yīng)的標準誤差、t值、和p值。用Excel的回歸工具進行其他方程擬合：在文件新增dist_sq、lndist和lnpopden三列并計算結(jié)果，三列分別為距離的平方、距離對數(shù)、人口密度對數(shù)。Excel中計算自然對數(shù)的公式是LN( )。對于有對數(shù)項（lnr或lnDr）的人口密度方程，距離（r）或密度（Dr）不能為0。在本例的數(shù)據(jù)中，有五個普查小區(qū)的Dr = 0。通常，在計算人口密度對數(shù)lnDr時，可以在原始的人口密度數(shù)據(jù)pop

40、den上加1，即按ln(popden+1)來計算lnpopden項，這樣可以避免對0取對數(shù)。顯然，是加1還是加其它常數(shù)（比如0.2或0.5）帶有主觀性，回歸系數(shù)的估計結(jié)果會小有不同。但是，加不同的常數(shù)對回歸顯著性檢驗的影響很小，因為標準差隨回歸系數(shù)成比例地變化，從而t值保持不變（Osgood, 2000: 36）。重復(fù)第4步擬合對數(shù)、乘冪、指數(shù)、譚那爾-契若特和紐靈模型。參照表6.1確定變量X和Y的取值。除紐靈模型之外的其他模型都是簡單的二元模型?；貧w結(jié)果見表6.3。我們也可以用Excel進行三次樣條回歸。例如，當給參數(shù)xi賦值為：x0 = 1, x1 = 5, x2 = 10, x3 = 1

41、5，回歸得到的三次樣條模型的擬合優(yōu)度R2 = 0.43，大部分項的回歸系數(shù)統(tǒng)計上不顯著。 在Excel里面繪制擬合圖形、添加趨勢線并生成回歸模型：先用Excel的圖表向?qū)ЮL制密度隨距離變化的圖形（例如XY散點圖）。選中散點圖，選擇菜單：圖表 添加趨勢線，彈出圖6.3的對話框。在“類型”標簽下列出了本例的四種模型（線性、對數(shù)、指數(shù)、乘冪）。在“選項”標簽下，選擇“顯示公式”和“顯示R平方值”即可在趨勢線圖上得到回歸模型結(jié)果。圖6.6為密度距離指數(shù)方程的趨勢線圖及其回歸模型。114需要注意的是，指數(shù)和乘冪模型的回歸是在對原始方程進行對數(shù)變換后進行的。從第5步Excel的回歸工具得到的方程，需要通過

42、計算系數(shù)以恢復(fù)到指數(shù)或乘冪模型（例如，對于圖6.6中的指數(shù)模型，）。從第6步Excel的添加趨勢線工具得到的方程，直接顯示指數(shù)或乘冪模型。兩者得到的結(jié)果是一樣的，都是借用的OLS線性回歸法。115用SAS進行非線性回歸和加權(quán)回歸：非線性回歸和加權(quán)回歸需要用SAS來實現(xiàn)。附錄6C提供了一個SAS程序示例（也可見光盤）。首先從Excel中提取三列數(shù)據(jù)DIST_CBD, popden和area，將結(jié)果保存為不帶變量名的逗號分隔文件monodist.csv。該SAS程序可以進行所有單中心模型的回歸。乘冪、指數(shù)、譚那爾-契若特和紐靈模型。表中，我們標出了回歸擬合優(yōu)度R2最高的模型。表中也給出了一個對指數(shù)

43、模型進行加權(quán)回歸的示例。第二部分：基于普查小區(qū)多中心模型擬合用ArcGIS計算各普查小區(qū)與其最近中心之間的距離：用ArcGIS里面的“Near”工具計算普查小區(qū)重心（cnty6trtpt）與最近中心（polycent15）之間的距離。在這里的新表cnty6trtpt中，數(shù)據(jù)列NEAR_FID和NEAR_DIST分別為最近的中心及其到普查小區(qū)重心的距離。需要注意的是，第6.5.1節(jié)的第3步也用過“Near”工具，這里將更新當時得到的NEAR_FID和NEAR_DIST數(shù)據(jù)。新增一列D_NEARC并根據(jù)公式D_NEARC=NEAR_DIST/1000計算結(jié)果。用Excel打開并從中提取四列POPD

44、EN、DIST_CBD、NEAR_FID和D_NEARC，將結(jié)果保存為不含變量名的逗號分隔文件dist2near.csv，用來檢驗多中心假設(shè)1和4。用ArcGIS計算普查小區(qū)重心與各中心的距離：調(diào)用分析工具“Point distance”來計算普查小區(qū)重心（cnty6trtpt）和15個中心（polycent15）之間的距離，將結(jié)果輸出為polydist.dbf文件。將屬性表cnty6trtpt即普查小區(qū)密度信息添加到文件。用Excel打開tmp.dbf，提取屬性popden、INPUT_FID、，用來檢驗多種心假設(shè)2和3。用SAS進行多中心模型擬合：線性回歸都可以按第一部分所示用Excel來

45、實現(xiàn)，光盤所附的SAS程序可以實現(xiàn)表6.2全部模型的擬合。我們選用線性回歸來擬合對應(yīng)于假設(shè)1、2、4的模型，用非線性回歸擬合假設(shè)3的模型。假設(shè)1認為存在多個單中心模型，每個模型各自基于某個中心的鄰域。在假設(shè)2的條件下需要對整個研究區(qū)進行多元線性回歸。表6.4列出了回歸結(jié)果?；诩僭O(shè)3的模型是一個包含30個變量（每個中心2個）的非線性方程，很復(fù)雜。經(jīng)過無數(shù)次嘗試后，模型不收斂，無法得到回歸結(jié)果。作為示例，我們擬合了一個包含兩個中心（在CBD的中心14和在OHare機場的中心4）的模型，即，R2 = 0.3946.116 (38.64) (-21.14) (-1.55) (-2.37)括號內(nèi)為相應(yīng)

46、參數(shù)的t值，表明到CBD的距離比到中心4的距離要重要得多?；诩僭O(shè)4的模型是用線性回歸來擬合的，結(jié)果是lnDCBDcent with R2 (199.36) (-28.54) (-3.28)括號內(nèi)相應(yīng)參數(shù)的t值表明，到CBD的距離和到最近中心的距離滿足統(tǒng)計上的顯著性，但到CBD的距離要重要得多。117第三部分：基于township的單中心模型擬合用ArcGIS通過面積權(quán)重插值來估算township人口：讀者可參照第節(jié)詳細的步驟進行面積權(quán)重插值。這里簡述如下。調(diào)用ArcToolbox的分析工具“Intersect”將圖層cnty6trt和twnshp進行疊加，輸出新的圖層twntrt。在twnt

47、rt的屬性表中，列area是從cnty6trt繼承過來的普查小區(qū)面積，列area_1是從twnshp繼承過來的township面積。在twntrt的屬性表中新增一列area_2，計算新生成的twntrt中各地域單元的面積，存在列area_2（參照第節(jié)第3步）。再新增一列pop_est并按公式pop_est = popu * area_2/area計算結(jié)果。調(diào)用工具“Summarize”，按rngtwn （township編碼）匯總pop_est值，并將結(jié)果輸出為twn_pop.dbf。用ArcGIS計算township人口密度及到CBD的距離：將表twn_pop.dbf添加到twnshp的屬性

48、表，新增一列popden并根據(jù)公式popden = 1000000*sum_pop_est/area計算結(jié)果。調(diào)用“Near”工具計算township（）和CBD（）之間的距離。這樣，twnshp的屬性表中包含了進行密度模型擬合所需變量（popden和NEAR_DIST）。單中心模型擬合：線性回歸可以參照第節(jié)第46步的辦法用Excel來實現(xiàn)，非線性回歸需要用SAS進行。為簡便起見，我們從twnshp的屬性表中提取所需變量數(shù)據(jù)，輸入到稍作修改的SAS程序中（只需簡單地修改一下輸入語句），可以實現(xiàn)線性和非線性回歸?；貧w結(jié)果見表6.5。由于樣本量較小，這里不進行多中心回歸。township人口數(shù)據(jù)進

49、行指數(shù)回歸的指數(shù)曲線圖。township范圍比普查小區(qū)大得多，觀測樣本也少得多，所以基于township數(shù)據(jù)的回歸效果（圖6.7）比基于）看起來好一些，相對應(yīng)的R2也高一些。表6.3和6.5所示六種二元單中心模型（線性、對數(shù)、乘冪、指數(shù)、譚那爾-契若特和紐靈模型）中，指數(shù)模型的總體擬合效果最好。無論是用普查小區(qū)數(shù)據(jù)，還是township數(shù)據(jù)，用線性方法進行回歸時，指數(shù)模型的擬合優(yōu)度R2都是最高的。只有當用非線性回歸時，譚那爾-契若特模型的擬合優(yōu)度R2比指數(shù)模型略好。紐靈模型有兩項自變量（距離和距離的平方），因而它的擬合優(yōu)度R2與其他幾個二元模型不可比。事實上，用紐靈模型對芝加哥人口密度回歸的結(jié)

50、果并不太好，因為無論是對于普查小區(qū)數(shù)據(jù)還是township數(shù)據(jù)，線性回歸法得到的“距離平方”的統(tǒng)計檢驗都不太顯著，只是在用township數(shù)據(jù)作非線性回歸時在0.05下有顯著性。118119這里我們以指數(shù)模型為例比較了線性回歸與非線性回歸結(jié)果的差異?；谄詹樾^(qū)數(shù)據(jù)和township數(shù)據(jù)的非線性回歸擬合優(yōu)度R2都比線性回歸稍高一些。非線性回歸的截距也比線性回歸的截距要高（基于普查小區(qū)的截距10013e=6603.1，基于township數(shù)據(jù)的截距862.74 e=771.4）。我們在第6.3節(jié)曾提到，非線性回歸在優(yōu)化最小殘差平方和（RSS）時,高密度地區(qū)的樣本比低密度地區(qū)的樣本影響大。反過來，

51、線性回歸時的對數(shù)變換降低了這些高密度地區(qū)的誤差貢獻，因而回歸的截距偏低。在加權(quán)回歸中，觀測值按面積進行加權(quán)，回歸截距介于線性和非線性回歸之間（基于普查小區(qū)的截距66039157.510013，基于township數(shù)據(jù)的截距771.4807.18862.74）。斜率的變化趨勢不確定：對于普查小區(qū)數(shù)據(jù)，非線性回歸的斜率比線性回歸大；但是對于township數(shù)據(jù)，非線性回歸的斜率比線性回歸小。在加權(quán)回歸的情況下，觀察值用面積進行加權(quán)。由于township數(shù)據(jù)，樣本面積基本相等，因而并不需要進行加權(quán)回歸。事實上，基于township數(shù)據(jù)的加權(quán)回歸與非加權(quán)回歸（即正常的非線性回歸）的結(jié)果非常接近（以指數(shù)

52、模型為例）；但是基于普查小區(qū)的回歸，兩種方法的結(jié)果存在明顯差別。上面討論的大部分結(jié)果，對普查小區(qū)和township兩種分析單元都是一致的。這表明MAUP問題對于本次研究區(qū)內(nèi)的人口密度模型擬合并不重要。從普查小區(qū)到township，樣本的地域變大，自變量和因變量（密度和距離）值的變化平滑掉了不少，樣本差別變小了。正如預(yù)計的那樣，與基于普查小區(qū)數(shù)據(jù)的結(jié)果相比，各個模型基于township數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度要高些，截距要小寫。但是，斜率的變化不穩(wěn)定（以指數(shù)模型為例，與基于普查小區(qū)的結(jié)果相比，基于township的線性回歸斜率較高，而非線性回歸的斜率則較低）。從表6.4可知，基于假設(shè)1的回歸結(jié)果表明，在大

53、多數(shù)鄰域范圍內(nèi)，人口密度從最近的中心向外遞減。對郊區(qū)的中心尤其如此。但是，有些地區(qū)具有相反的趨式，即密度從中心向外遞增，特別是對于城市中心（例如，中心14、0和4，參看圖6.5）。這顯示，由于這些城市中心或附近的就業(yè)核心區(qū)有大量非居住用地（商業(yè)、工業(yè)或公共設(shè)施），在其周圍存在密度塌陷。例如，對于CBD（中心14）的鄰域（489個普查小區(qū)），紐靈模型的線性回歸結(jié)果如下：lnD = 7.7076 + 0.1970 -0.0094 ( R2). (32.45) (3.18) (-2.48)盡管R2值很低，和的t值（括號內(nèi)的數(shù)據(jù)）都通過統(tǒng)計上的顯著性檢驗。的系數(shù)為正，的系數(shù)為負，表明在CBD附近存在密

54、度塌陷。用非線性回歸的結(jié)果類似。基于假設(shè)1的密度模型擬合可以用于分析中心對其鄰近地區(qū)的作用?；诩僭O(shè)2的回歸結(jié)果顯示大部分中心都有距離衰減效應(yīng)：有7個中心的回歸系數(shù)bi為負值并且通過顯著性檢驗，還有4個的系數(shù)符號為負，也與預(yù)計相合?；诩僭O(shè)3的回歸最難實現(xiàn)，尤其是當中心數(shù)量較多時。根據(jù)作者的經(jīng)驗，中心在6個以上時模型很難收斂，因此應(yīng)該通過去掉那些顯著性較低的中心來減少中心數(shù)?；诩僭O(shè)4的回歸結(jié)果表明CBD對密度模型有主導(dǎo)作用，最近的副中心對密度的影響也很大。120模型擬合是許多數(shù)量分析的通用工具。我們常常需要描述或刻畫某個現(xiàn)象或活動從一個源頭向外的變化特點。城市與區(qū)域研究表明，除了人口密度之外

55、，土地利用強度（以價格為表征）、土地生產(chǎn)力、商品價格、工資水平都可能具有“距離衰減效應(yīng)”（Wang and Guldmann, 1997），空間模式研究可以借用上述模型擬合方法分析空間分布趨勢。此外，我們還可以考察不同模式（極化或蔓延、集中或分散）隨時間的變化特點或隨方向變化的趨勢（例如，向北或向南、沿某些交通線，等等）。附錄6A 城市密度模型的推導(dǎo)下面討論城市密度模型的理論基礎(chǔ)：一個基于經(jīng)濟模型（Mills，1972；Muth，1969），一個基于地理學(xué)的引力模型（Wang and Guldmann，1996）。（1）經(jīng)濟模型假設(shè)城市居民的收入和偏好都一樣，每個人都追求效用最大化，個人效用U

56、(h,x)由占有的土地（或等同的住房面積）h及其他消費品x決定。優(yōu)化問題定義為:求U(h,x)最大值并給定預(yù)算約束y為這里，ph和px分別是土地和其他商品的價格，t是到市中心的單位交通費用，r是到市中心的距離。經(jīng)濟模型假設(shè)城市為單中心結(jié)構(gòu)，所有就業(yè)都集中在城市的CBD。效用最大化的一階優(yōu)化條件為 (A6.1)假設(shè)土地需求的價格彈性為-1（通常稱為住房需求的“負單位彈性”），即 (A6.2)將式（A6.1）代入式（A6.2），得到負指數(shù)的地租斜率：(A6.3)由于人口密度D(r)假設(shè)為占地面積h的倒數(shù)（即D(r) = 1/h），則。對）求解偏微分方程，代入即得到人口密度的負指數(shù)模型121(A6.

57、4)將常數(shù)項D0改為CBD截距a，將單位交通費用t（負值）改為密度斜率b，式（A6.4）變?yōu)?，即式?.1）。更詳細的內(nèi)容參見有關(guān)文獻（Fisch，1991)。（2）引力模型考察一個由n個等面積小區(qū)組成的城市，這樣人口密度就等價于各小區(qū)人口數(shù)。小區(qū)j的人口密度xj可以表作勢能的線性方程，即,(A6.5)其中，dij是小區(qū)i和j之間的距離，為距離摩擦系數(shù)，n為城市中的小區(qū)總數(shù)。這里假設(shè)某個地方的人口密度由該地到城市其他地方的區(qū)位優(yōu)勢即可達性決定，即與該地區(qū)的引力勢能成正比。式（A6.5）也可以表為矩陣形式，即kX = AX ,(A6.6)其中，X是n個元素組成的列向量（x1, x2, ., xn

58、），A是含常數(shù)項dij和的nn階矩陣，k是未知的標量。將某項人口數(shù)歸一化，例如假設(shè)x1=1，式（A6.6）變?yōu)橐粋€包含n個變量的n個方程組，它可以用數(shù)值分析法（numerical analysis）求解。假設(shè)道路網(wǎng)絡(luò)為環(huán)形放射狀（參見第十一章），由此定義距離dij，然后選取一個摩擦系數(shù)，就可以模擬城市人口分布模式。模擬顯示，當在一定范圍之內(nèi)時，即0.2 0時，實際值y比估計值大（即偏小預(yù)測）。當e x1 then z1=1; if dist x2 then z2=1; if dist x3 then z3=1; v1=dist-x0; v2=(dist-x0)*2; v3=(dist-x0)*3; v4=z1*(dist-x1)*3; v5=z2*(dist-x2)*3; v6=z3*(dist-x3)*3;/* proc means;*/proc reg; /* simple OLS linear regressions */ model popden = dist; /*linear model */ model popden = lndist; /*logarithmic model */ model lnpopden = lndist; /*power model*/ m