旋轉體的體積

1、授課課題定積分的應用（_）教學目標和要求掌握利用定積分來求解平面圖形的面積和旋轉體的體積教學重點和難點平面圖形的面積旋轉體的體積教學方法情景教學法教學手段板書PPT授課時間第18周課時累計53-54教學過程教學步驟及教學內容時間分配5,復習引入（1）前面學習了定積分的求解方法也與原函數(shù)有關（2）并且掌握了定積分的直接積分法（3）學會了定積分的換元積分法與分布積分法（4）那么我們定積分在實際應用中主要起到什么樣的作用呢？新課：15二體積1、旋轉體的體積旋轉體是由一個平面圖形繞該平面內一條定直線旋轉一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉軸.計算由曲線y=f（x）直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形

2、，繞x軸旋轉一周而生成的立體的體積.y-取x為積分變量，則xea,b，對于區(qū)間a,b上的任一區(qū)間x,x+dx，教學步驟及教學內容時間分配它所對應的窄曲邊梯形繞x軸旋轉而生成的薄片似的立體的體積近似等于以f(x)為底半徑，dx為高的圓柱體體積即：體積元素為dV=兀f(x)bdxf(x)ldx所求的旋轉體的體積為15v=_La例1求由曲線y=Lx及直線x=0,x=h(h0)和x軸所圍成的三角形h繞x軸旋轉而生成的立體的體積.解：取x為積分變量，則xe0,hh(丫V=J兀一xdx=h丿0 x2dx=r2h2、平行截面面積為已知的立體的體積(截面法)由旋轉體體積的計算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直

3、于一定軸的各個截面的面積，那么這個立體的體積也可以用定積分來計算.10取定軸為X軸，且設該立體在過點x-a,x-b且垂直于x軸的兩教學步驟及教學內容時間分配15個平面之內，以A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積.取X為積分變量，它的變化區(qū)間為a,b.立體中相應于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx的一薄片的體積近似于底面積為A(x)，高為dx的扁圓柱體的體積.即：體積微元為dV=A(x)dx于是，該立體的體積為V=fA(x)dx例2計算橢圓乂+22=1所圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體體積.a2b215解：這個旋轉體可看作是由上半個橢圓y=f&02二2及x軸所圍成的a圖形繞x軸旋轉所生成的立體.在

4、x處(-axa)，用垂直于x軸的平面去截立體所得截面積為A(x)=n-(a2x2)2aV=fA(x)dx=f(a2-x2)dx=Kab2a23a三、定積分在經濟學中的應用定積分在經濟學中的應用主要是已知邊際函數(shù)，要求總函數(shù)的問題已知邊際成本函數(shù)MC,邊際收入函數(shù)MR,則總成本函數(shù)C(q)總收入函數(shù)R(q)可以表示為教學步驟及教學內容時間分配C(q)=fq(MC)dq+C一亠00其中c0為固疋成本，一般有C(0)=C,R(0)=0.R(q)=Jq(MR)dq00由總利潤函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)得L(q)=R(q)-C(q)=Jq(MRMC)dqC00例4某產品邊際成本為MC=3+q(萬兀/百臺)，邊際收入MR=12-q(萬兀/百臺)，固定成本為5萬兀，試求利潤函數(shù)L(q).解：由利潤函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)=Jq(MR-MC)dq-C得00L(q)=R(q)C(q)=Jq(12q)-(3+q)dq50=q2+9q5五，課堂小結旋轉體的體積與定積分在經濟上的應用15作業(yè)布置P105T4、6、9課后反思：旋轉體的體積也是定