新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 4.3 三角恒等變換 學(xué)案

1、PAGE PAGE 104. 3三角恒等變換1. 經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義. 2. 能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 3. 能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶). 【教材梳理】1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)sin()sincoscossin. S()sin()sincoscossin. S()cos()coscossinsin. C()cos()coscossins

2、in. C()tan()eq f(tantan,1tantan). T()tan()eq f(tantan,1tantan). T()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)sin22sincos. S2cos2cos2sin212sin22cos21. C2tan2eq f(2tan,1tan2). T22. 簡單的三角恒等變換(1)降冪公式sin2eq f(1cos2,2). cos2eq f(1cos2,2). sincoseq f(1,2)sin2. (2)升冪公式1cos2cos2eq f(,2). 1cos2sin2eq f(,2). 1sineq blc(rc)(avs4a

3、lco1(sinf(,2)cosf(,2)eq sup12(2). 1sin(sineq f(,2)coseq f(,2)2. (3)輔助角公式asinbcoseq r(a2b2)sin()，其中coseq f(a,r(a2b2)，sineq f(b,r(a2b2)，或taneq f(b,a). 【常用結(jié)論】3. 常用的拆角、拼角技巧(1)1545306045eq f(30,2). (2)()()，2()()，eq f(,2)eq f(,2)(2)(). (3)eq f(,3)eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，eq f(,6)eq f(,2)eq blc(r

4、c)(avs4alco1(f(,3)，eq f(,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，eq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4). 4. 半角的正弦、余弦、正切公式(1)sineq f(,2)eq r(f(1cos,2). (2)coseq f(,2)eq r(f(1cos,2). (3)taneq f(,2)eq r(f(1cos,1cos)eq f(sin,1cos)eq f(1cos,sin). 5. tantaneq f(tantan,tan（）)11eq f(tantan,tan（）). 判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“”，

5、錯誤的畫“”. (1)存在實數(shù)，使等式sin()sinsin成立. ()(2)在銳角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定. ()(3)R，2cos2cos210. ()(4)y3sinx4cosx的最大值是7. ()(5)0，且sincoseq f(1,2)，則sin2eq f(3,4)，cos2eq f(r(7),4). ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材習(xí)題)cos75 ()A. eq f(1r(2),2) B. eq f(r(6)r(2),4)C. eq f(r(6)r(2),4) D. eq f(r(3)r(2),4)解：cos75coseq b

6、lc(rc)(avs4alco1(4530)cos45cos30sin45sin30eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)eq f(1,2)eq f(r(6)r(2),4). 故選C. (教材改編)cos25cos35cos65cos55 ()A. eq f(1,2) B. eq f(r(3),2) C. eq f(1,2) D. eq f(r(3),2)解：cos25cos35cos65cos55cos25cos35sin25sin35cos(2535)cos60eq f(1,2). 故選A. (教材改編)若角滿足sin20，cossin0，則的終邊在 ()

7、A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解：因為sin22sincos0，所以在第二或第四象限，又cossin0，所以cos0，所以在第二象限. 故選B. 考點一和、差、倍角公式的簡單應(yīng)用【多選題】(2020年山東威海高一下期末)下列選項中，與sineq blc(rc)(avs4alco1(f(11,6)的值相等的是 ()A. 2cos2151 B. cos18cos42sin18sin42C. 2sin15sin75 D. eq f(tan30tan15,1tan30tan15)解：sineq blc(rc)(avs4alco1(f(11,6)sineq f(,6)eq

8、f(1,2). 對于A，2cos2151cos30eq f(r(3),2)，不相等；對于B，cos18cos42sin18sin42cos(1842)cos60eq f(1,2)，相等；對于C，2sin15sin752sin15cos15sin30eq f(1,2)，相等；對于D，eq f(tan30tan15,1tan30tan15)tan451，不相等. 故選BC. 【點撥】和、差、倍角公式對使公式有意義的任意角都成立，使用中要注意觀察角之間的和、差、倍、互補、互余等關(guān)系. (1)(2021陜西寶雞市高三月考)已知角的終邊過點P(1，2)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(

9、f(,4)的值為 ()A. 3 B. 3 C. eq f(1,3) D. eq f(1,3)解：由題設(shè)，tan2，所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(tantanf(,4),1tantanf(,4)eq f(21,1（2）1)3. 故選A. (2)【多選題】下列各式的值為eq f(1,2)的是 ()A. eq f(tan22.5,1tan222.5) B. tan15cos215C. eq f(r(3),3)cos2eq f(,12)eq f(r(3),3)sin2eq f(,12) D. eq r(f(1cos60,2)解：對于A，原式eq f(1,2)e

10、q f(2tan22.5,1tan222.5)eq f(1,2)tan45eq f(1,2)；對于B，原式sin15cos15eq f(1,2)sin30eq f(1,4)；對于C，原式eq f(r(3),3)coseq f(,6)eq f(1,2)；對于D，原式sin30eq f(1,2). 故選ACD. 考點二簡單的三角恒等變換命題角度1三角函數(shù)式的化簡求值(1)(2019全國卷)已知eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，2sin2cos21，則sin ()A. eq f(1,5) B. eq f(r(5),5) C. eq f(r(3),3) D. eq f(2r(5

11、),5)解：因為2sin2cos21，所以4sincos2cos2. 因為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以cos0，sin0，所以2sincos，又sin2cos21，所以5sin21，sin2eq f(1,5)，sineq f(r(5),5). 故選B. (2)eq f(sin（30）sin（30）,cos) ()A. 1 B. eq r(3) C. 2 D. 2eq r(3)解：原式eq f(2cossin30,cos)2sin30 2eq f(1,2)1. 故選A. 【點撥】三角函數(shù)式化簡、求值的一般思路：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為

12、同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等. (1)(2022江西南昌市高三開學(xué)考試)已知eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，且3cos210sin1，則cos的值為 ()A. eq f(1,3) B. eq f(1,3) C. eq f(2r(2),3) D. eq f(r(2),3)解：由3cos210sin1，可得3(12sin2)10sin1，解得sineq f(1,3)或sin2(舍去). 因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，sineq f(1,3)，所以coseq r(1sin2)eq r(1blc(rc)(avs4

13、alco1(f(1,3)2)eq f(2r(2),3). 故選C. (2)已知cos2sin，則cos2 ()A. eq f(r(5)1,2) B. eq f(3r(5),2) C. eq f(1,2) D. eq r(5)2解：由cos2sin1sin2，可得sineq f(r(5)1,2)或eq f(1r(5),2)(舍去)，可得cos212eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5)1,2)2eq r(5)2. 故選D. (3)(2022廣東高三開學(xué)考試)已知銳角滿足2cos2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，則sin2 ()A. eq f(1,8)

14、B. eq f(r(3),2) C. eq f(1,2) D. eq f(7,8)解：因為2cos2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，所以2(cos2sin2)eq f(r(2),2)(sincos)，因為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以sincos0，所以2(cossin)eq f(r(2),2)，所以cossineq f(r(2),4)，兩邊平方可得cos22sincossin2eq f(1,8)，所以1sin2eq f(1,8)，sin2eq f(7,8). 故選D. 命題角度2給角求值(1)(2021湖北武漢高三期中)eq f(2

15、cos5sin25,sin65)_. 解：eq f(2cos5sin25,sin65)eq f(2cos（3025）sin25,cos25)eq f(r(3)cos25sin25sin25,cos25)eq r(3). 故填eq r(3). (2)(教材習(xí)題)sin50(1eq r(3)tan10)_. 解：sin50(1eq r(3)tan10)sin50eq blc(rc)(avs4alco1(1r(3)f(sin10,cos10)sin50eq f(cos10r(3)sin10,cos10)sin50eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos10f(r(3),2)

16、sin10),cos10)eq f(2sin50cos50,cos10)eq f(sin100,cos10)eq f(cos10,cos10)1. 故填1. 【點撥】 解決非特殊角求值問題的基本思路有：化非特殊角為特殊角；化為正負相消的項，消去后求值；化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進行約分求值；當(dāng)有，2，3，4同時出現(xiàn)在一個式子中時，一般將向2，3(或4)向2轉(zhuǎn)化，再求關(guān)于2式子的值. (1)tan255 ()A. 2eq r(3) B. 2eq r(3) C. 2eq r(3) D. 2eq r(3)解：tan255tan(18075)tan75tan(3045)eq f(f(r(3),3)1

17、,1f(r(3),3)2eq r(3). 故選D. (2)eq f(r(3)tan123,sin12（4cos2122）)_. 解：eq f(r(3)tan123,sin12（4cos2122）)eq f(r(3)（sin12r(3)cos12）,2cos24sin12cos12)eq f(2r(3)sin（1260）,f(1,2)sin48)4eq r(3). 故填4eq r(3). 命題角度3給值求值(1)已知tan2，tan()eq f(1,7)，則tan的值為_. 解：tantan()eq f(tan（）tan,1tan（）tan)eq f(f(1,7)2,1f(2,7)3. 故填3.

18、 (2)(2021安徽池州高一期中)若tan3taneq f(,7)，則eq f(cosblc(rc)(avs4alco1(f(9,14),sinblc(rc)(avs4alco1(f(,7) ()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解：eq f(cosblc(rc)(avs4alco1(f(9,14),sinblc(rc)(avs4alco1(f(,7)eq f(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,7)f(,2),sinblc(rc)(avs4alco1(f(,7)eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,7),sinblc(rc)(avs4alco1(f(,7

19、)eq f(sincosf(,7)cossinf(,7),sincosf(,7)cossinf(,7)eq f(tantanf(,7),tantanf(,7)，又因為tan3taneq f(,7)，所以eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(9,14),cosblc(rc)(avs4alco1(f(,7)eq f(4tanf(,7),2tanf(,7)2. 故選C. (3)(2020河南期末)已知eq f(,12)eq f(5,12)，cos(eq f(,12)eq f(3,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_. 解：由eq f(,12)eq f

20、(5,12)，得0eq f(,12)eq f(,2)，由于coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(3,5)，故sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(4,5). 則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,12)f(,3)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)coseq f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)sineq f(,3)eq f(3,5)eq f(1,2)eq f(4,5

21、)eq f(r(3),2)eq f(34r(3),10). 故填eq f(34r(3),10). (4)(2021安徽模擬)已知sin2sin1，cos2coseq r(3)，則cos2() ()A. eq f(1,2) B. eq f(1,2) C. eq f(7,8) D. eq f(7,8)解：由sin2sin1，cos2coseq r(3)，兩式平方后相加可得，sin2cos24cos24sin24sinsin4coscos4，即sinsincoscoseq f(1,4)，所以cos()eq f(1,4)，故cos2()2cos2()12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1

22、,4)21eq f(7,8). 故選C. 【點撥】 給值求值型恒等變換問題，重在對所給條件進行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所給值的符號判斷角所在的象限等. 必要時還要進行估算，如銳角的余弦值為eq f(3,5)，由eq f(1,2)eq f(3,5)eq f(r(2),2)，及余弦函數(shù)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上單調(diào)遞減可知4560，從而2(90，120)，或3(135，180)等. 另外，注意三種主要變換：變角，通常是“配湊”，常用的角的拆拼有2()()，()()等；變名，通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手段通常有“切化弦”“升冪與降冪

23、”等；變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手段通常有：“常值代換”如1taneq f(,4)，1sin2cos2“逆用變換公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等. 其中角的變換居核心地位. (1)(2021安徽高三模擬)已知為銳角，且cos(eq f(,4)eq f(3,5)，則cos2 ()A. eq f(24,25) B. eq f(7,25) C. eq f(24,25) D. eq f(24,25)解：coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2cos2eq bl

24、c(rc)(avs4alco1(f(,4)1eq f(7,25)，又coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin2，所以sin2eq f(7,25). 因為coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)0，所以0eq f(,4)，020，tan30，且，(0，)，于是得，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，則(0，)，tan()eq f(tantan,1tantan)eq f(23,123)1，所以eq f(3,4). 故選A. (2)已知，均為銳角，且3sin2sin，3cos2cos3，則2的值為 ()A. eq f

25、(,3) B. eq f(,2) C. eq f(2,3) D. 解：由題意得eq blc(avs4alco1(sinf(2,3)sin，,cos1f(2,3)cos，)又，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，22得coseq f(1,3)，coseq f(7,9)，由，均為銳角知，sineq f(2r(2),3)，sineq f(4r(2),9)，所以tan2eq r(2)，taneq f(4r(2),7)，所以tan2eq f(4r(2),7)，所以tan(2)eq f(tantan2,1tantan2)0. 因為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以2eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)，所以2. 故選D. 【點撥】 一般給值求角問題，其本質(zhì)仍是給值求值問題，即通過求所求角的某一三角函數(shù)值確定角的大小，因此其關(guān)鍵除了求值外，還在于確定角的范圍：在給值求角時，一般地選擇一個適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角. 確定角的范圍是關(guān)鍵，一定要使所選的函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的，必要時，還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍. 已知三角函數(shù)值求角，選三角函數(shù)時可按下列規(guī)則：(i)已知正切