《小學(xué)奧數(shù)解題方法大全》

1、第一講 觀(guān)察法在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀(guān)察。觀(guān)察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的首要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀(guān)察力，把培養(yǎng)觀(guān)察力作為開(kāi)發(fā)與培養(yǎng)學(xué)生智力的第一步。觀(guān)察法，是通過(guò)觀(guān)察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來(lái)的一種解題方法。觀(guān)察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀(guān)察中要?jiǎng)幽X，要想出道理、找出規(guī)律。*例 1 （適于一年級(jí)程度）此題是九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)第二冊(cè)，第11 頁(yè)中的一道思考題。書(shū)中除圖 1-1 的圖形外沒(méi)有文字說(shuō)明。這道題旨在引導(dǎo)兒童觀(guān)察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀(guān)察能力。這時(shí)兒童已

2、經(jīng)學(xué)過(guò)20以?xún)?nèi)的加減法，基于他們已有的知識(shí)，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對(duì)角線(xiàn)上三個(gè)數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實(shí)質(zhì)上，這是一種幻方，或者說(shuō)是一種方陣。解：現(xiàn)在通過(guò)觀(guān)察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+0=18會(huì)想到， 18-10-6=2 ，在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2 （圖 1-2 ）。從豎右列7+2+0=18 （圖1-2）會(huì)想到，18-7-2=9 ,在豎右列下面的小方格中應(yīng)填入 9 （圖 1-3 ）。從正方形對(duì)角線(xiàn)上的9+6+D = 18 （圖1-3）會(huì)想到，18-9-6=3 ,在大

3、正方形左上角的小方格中應(yīng)填入3 （圖1-4 ）。從正方形對(duì)角線(xiàn)上的7+6+D = 18 （圖1-3）會(huì)想到，18-7-6=5 ,在大正方形左下角的小方格中應(yīng)填入5 （圖1-4 ）。從橫上行3+口 +7=18（圖1-4）會(huì)想到，18-3-7=8 ,在橫上行中間的小方格中 應(yīng)填入 8 （圖 1-5 ）。又從橫下行5+口 +9=18（圖1-4）會(huì)想到，18-5-9=4 ,在橫下行中間的小方格 中應(yīng)填入 4 （圖 1-5 ）。圖 1-5 是填完數(shù)字后的幻方。例 2 看每一行的前三個(gè)數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)。 （適于二年級(jí)程度） TOC o 1-5 h z 、16、26、 、 、 、 。18、27、

4、 、 、 、 。73、 66、 、 、 、 。解：觀(guān)察 6、 16、 26 這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)， 6、 16、 26 的排列規(guī)律是： 16 比 6大1010 ， 26 比 16 大 10，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大觀(guān)察9、18、27這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9, 27 比18大9,即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大9。觀(guān)察80、73、66這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7, 66比73小7,即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)小7。這樣可得到本題的答案是：16、 26、 36、 46、 56、 66018、 27、 36、 45、 5

5、4、 63073、 66、 59、 52 45、 380例3將19這九個(gè)數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號(hào)均成立。（適于三年級(jí)程度）解：仔細(xì)觀(guān)察圖中不等號(hào)及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個(gè)方框中的數(shù)小于周?chē)乃膫€(gè)數(shù)，看來(lái)在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周?chē)姆娇蚝筒坏忍?hào)，只有左下角的那個(gè)方框中的數(shù)大于相鄰的兩個(gè)方框中的數(shù)，其它方 框中的數(shù)都是一個(gè)比一個(gè)大，而且方框中的數(shù)是按順時(shí)針?lè)较蚺帕性絹?lái)越小。所以，在左下角的那個(gè)方框中應(yīng)填9,在它右鄰的方框中應(yīng)填 2,在2右面的方框中填3,在3上面的方框中填4,以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。例4從一個(gè)長(zhǎng)方形上剪去一

6、個(gè)角后，它還剩下幾個(gè)角（適于三年級(jí)程度）解：此題不少學(xué)生不加思考就回答：“一個(gè)長(zhǎng)方形有四個(gè)角，剪去一個(gè)角剩下三個(gè)角?！蔽覀冋J(rèn)真觀(guān)察一下，從一個(gè)長(zhǎng)方形的紙上剪去一個(gè)角，都怎么剪都是什么情況（ 1）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)堑捻旤c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下三個(gè)角（圖 1-8 ）。（ 2）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下四個(gè)角（圖 1-9 ）。（ 3）從一個(gè)邊上任意一點(diǎn)向鄰邊上任意一點(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下五個(gè)角（圖 1-10 ）。例 5 甲、乙兩個(gè)人面對(duì)面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字都相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)大一半，這個(gè)數(shù)是多少（適于三年級(jí)程度）解

7、：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒(méi)法考慮了。甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說(shuō)，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0 、 1、 6 、 8、 9 這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000，也不能是 111 和 888，只可能是666 或 999。如果這個(gè)數(shù)是666，當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666 時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是999， 999-666=333 ， 333 正好是 666 的一半。所以這個(gè)數(shù)是666，也可以是999*例 6 1966 、 1976、 1986、 1996、 2006這五個(gè)數(shù)的總

8、和是多少(適于三年級(jí)程度)解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。如果仔細(xì)觀(guān)察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966，第二個(gè)數(shù)比它大10，第三個(gè)數(shù)比它大20，第四個(gè)數(shù)比它大30，第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計(jì)算：1966+1976+1986+1996+2006=1966X 5+10X ( 1+2+3+4)=9830+100=9930這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)： 中間的數(shù)是1986， 第一個(gè)數(shù) 1966 比中間的數(shù)1986小 20，最后一個(gè)數(shù)2006 比中間的數(shù)1986 大 20， 1966 和 2006 這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 1

9、986。 1976 和 1996 的平均數(shù)也是1986。 這樣， 中間的數(shù) 1986 是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計(jì)算：1966+1976+1986+1996+2006=1986X5=9930例 7 你能從 400+ 25= (400X4) + (25X4) =400X4+100=16 中得到啟發(fā)， 很快算出(1) 600+ 25 ( 2) 900+ 25 ( 3) 1400+25 (4) 1800+ 25 ( 5) 7250+ 25 的得數(shù)嗎(適于四年級(jí)程度)解：我們仔細(xì)觀(guān)察一下算式：400+ 25= (400X 4) + (25X4) =400X 4+100=16不難

10、看出，原來(lái)的被除數(shù)和除數(shù)都乘以 4,目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的 整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)(零除外)，商不 變”。進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。(1) 600+ 25 ( 2) 900+ 25=(600X 4) + (25X4) = (900X 4) + (25X4)=600X 4+100 =900X4+100=24 =36(3) 1400+ 25 ( 4) 1800+ 25=(1400X 4) + (25X4) = (1800X 4) + (25X4)= 1400X 4+10

11、0 =1800X4+100=56 =727250+ 25=(7250X 4) + (25X4)=29000+ 100=290*例8把11000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框框出六個(gè)數(shù)，這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法(橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù))框出的六個(gè)數(shù)的和是837 ，這六個(gè)數(shù)都是多少(適于五年級(jí)程度)解：( 1 )觀(guān)察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1 ，第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大2 ，第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7 ，第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8，第六個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大9 。假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀(guān)察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87，要求出這幾個(gè)數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的

12、第一個(gè)數(shù)：(87-1-2-7-8-9 ) +6=60+ 6=10求出第一個(gè)數(shù)是10 ，往下的各數(shù)也就不難求了。837 ， 這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也一定分別比第一個(gè)數(shù)大1 、 2、 7、 8、 9 ，所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：(837-1-2-7-8-9 ) +6=810+ 6=135第二個(gè)數(shù)是：135+1=136第三個(gè)數(shù)是：135+2=137第四個(gè)數(shù)是：135+7=142第五個(gè)數(shù)是：135+8=143第六個(gè)數(shù)是：135+9=144答略。(2)觀(guān)察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：上、下兩數(shù)之差都是7;方框中間堅(jiān)行的11 和 18，分別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。11= (10+11+12) +318

13、= (17+18+19) +3所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：837 的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是：因?yàn)樯?、下兩個(gè)數(shù)之差是x+（ x+7） =2792x+7=2792x=279-7=272x=272+2=136x+7=136+7=143因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是第三個(gè)數(shù)是： 135+2=137因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是87+3= 29837+ 3= 2797 ，所以假定上面的數(shù)是x ，則下面的數(shù)是x+7 。136 ，所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135143 ，所以，第四個(gè)數(shù)是： 143-1=142第六個(gè)數(shù)是： 142+2=144答略。*例 9 有一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后

14、還有幾個(gè)頂點(diǎn)（適于五年級(jí)程度）解：（ 1 ）鋸去一個(gè)頂點(diǎn)（圖 1-12 ），因?yàn)檎襟w原來(lái)有8 個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后，增加了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，8-1+3=10即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10 個(gè)頂點(diǎn)。（ 2）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+2=9（個(gè)）（圖 1-13 ）。（ 3）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8（個(gè)）（圖 1-14 ）。（ 4）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1=7 （個(gè)）（圖 1-15 ）。例 10 將高都是 1 米，底面半徑分別是米、 1 米和米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體（圖1-16）,求這個(gè)物體的表面積S

15、o （適于六年級(jí)程度）解：我們知道，底面半徑為 丫，身為h的圓柱體的表面積是 2冗丫 2+2 nt 丫 h本題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再把三個(gè)圓 柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個(gè)物體的表面積，這種計(jì)算方法很麻煩。這是以一般的觀(guān)察方法去解題。如果我們改變觀(guān)察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會(huì)看到這個(gè)物體上面的面積就像圖 1-17 那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是米的那個(gè)圓柱的底面積。所以，這個(gè)物體的表面積，就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。(2TtX+2TtX X 1) + (2tiX1X1) +(2tiXX1)=

16、(Tt +3 Tt ) +2 Tt + Tt二兀+3兀=Tt二x=(平方米)答略。*例 11 如圖 1-18 所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72，鑄件長(zhǎng)20 厘米。求它的表面積和體積。(適于六年級(jí)程度)解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀(guān)察的全面性，不可漏掉某一側(cè)面。圖1-18表面積中的一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因而 在解題時(shí)要仔細(xì)。求表面積的方法1：= X45X2+600+120X= X90+X 120+600=X （ 90+120） +600=+600=（平方厘米）求表面積的方法2:=X 210+600=+600=（平方厘米）鑄件的體積：= X

17、225X4= X900=2826（立方厘米）答略。第二講 嘗試法解應(yīng)用題時(shí)，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過(guò)嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。一般來(lái)說(shuō)，在嘗試時(shí)可以提出假設(shè)、猜想，無(wú)論是假設(shè)或猜想，都要目的明確，盡可能恰當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜想和嘗試過(guò)程中得到的結(jié)果是什么，從而減少?lài)L試的次數(shù)，提高解題的效率。例 1 把數(shù)字 3、 4、 6 、 7 填在圖 2-1 的空格里，使圖中橫行、堅(jiān)列三個(gè)數(shù)相加都等于14。（適于一年級(jí)程度）解：七八歲的兒童，觀(guān)察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認(rèn)識(shí)解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格

18、。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個(gè)數(shù)之和等于14 來(lái)確定，剩下的兩個(gè)數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢先看一個(gè)日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第 23 頁(yè)，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開(kāi)。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁(yè)的地方翻，這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁(yè)。這就是在用“嘗試法”解決問(wèn)題。本題的試數(shù)范圍是3、 4、 6 、 7 四個(gè)數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個(gè)數(shù)相加都得14”的要求來(lái)逐個(gè)嘗試。如果中間的格中填3，則豎

19、列下面的一格應(yīng)填多少呢因?yàn)?4-5-3=6 ，所以豎列下面的一格中應(yīng)填 6 （圖 2-2 ）。下面就要把剩下的4、 7，分別填入橫行左右的兩個(gè)格中（圖2-3 ）。把橫行格中的 4 、 3、 7 三個(gè)數(shù)加起來(lái)，得14，合乎題目要求。如果中間一格填4 、或填6、 7 都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖 2-3 或圖 2-4 。例2把1、2、311各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書(shū)第四冊(cè)第57 頁(yè)的思考題，適于二年級(jí)程度）解：圖 2-5 中有 11 個(gè)格，正好每一格填寫(xiě)一個(gè)數(shù)。圖 2-6 中寫(xiě)有 A、 B、 C 的三個(gè)格中的三個(gè)數(shù)，既要參加橫向的運(yùn)算，又要

20、參加縱向的運(yùn)算，就是說(shuō)這三個(gè)數(shù)都要被用兩次。因此，確定 A B、C這三個(gè)數(shù)是解此題的關(guān)鍵。因?yàn)?11之中中間的三個(gè)數(shù)是5、6、7,所以，我們以 A B、C分別為5、6 、 7 開(kāi)始嘗試（圖 2-7 ）。6 為中心嘗試，看6 上、下兩個(gè)格中應(yīng)填什么數(shù)。因?yàn)?18-6=12 ，所以 6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12?？紤]6已是111之中中間的數(shù)，那么 6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是111之中兩頭的數(shù)。 再考慮 6 上面的數(shù)還要與5 相加， 6 下面的數(shù)還要與7 相加， 5 比 7 小，題中要求是三個(gè)數(shù)相加都等于18，所以在6 上面的格中填11，在 6 下面的格中填1（圖 2-8 ）。6+11+1=18看圖

21、2-8 。 6 上面的數(shù)是11， 11 左鄰的數(shù)是5， 18-11-5=2 ，所以 5 左鄰的數(shù)是 2 （圖2-9 ）。再看圖 2-8 。 6 下面的數(shù)是1， 1 右鄰的數(shù)是7， 18-1-7=10 ，所以 7 右鄰的數(shù)是 10（圖2-9 ）?，F(xiàn)在111之中只剩下3、4、8、9這四個(gè)數(shù)，圖2-9中也只剩下四個(gè)空格。在 5 的上、下，在7 的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢因?yàn)?18-5=13 ，所以 5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13， 3、 4、 8、 9這四個(gè)數(shù)中，只有4+9=13，所以在5 的上、下兩格中應(yīng)填9 與 4（圖2-10）?？磮D 2-10 。因?yàn)?6 左鄰的數(shù)是4 ， 18-4-6=8 ，所以

22、 6 右鄰的數(shù)是8因?yàn)?18-7-8=3 ，并且 1-11 的數(shù)中，只剩下3 沒(méi)有填上，所以在7 下面的格中應(yīng)填上 3 。圖 2-10 是填完數(shù)字的圖形。*例 3 在 9 只規(guī)格相同的手鐲中混有1 只較重的假手鐲。 在一架沒(méi)有砝碼的天平上，最多只能稱(chēng)兩次，你能把假手鐲找出來(lái)嗎（適于三年級(jí)程度）解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。把A B兩組放在天平左右兩邊的秤盤(pán)上，如果平衡，則假的1只在C組里;若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤(pán)上。如果平衡，余下的 1 只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4在下面的15個(gè)8之間的任何位置上，添

23、上 +、-、X、+符號(hào)，使得下面的算式成立。（適于三年級(jí)程度） 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986解：先找一個(gè)接近 1986的數(shù)，如：8888+ 8+888=19991999 比 1986 大 13。往下要用剩下的7 個(gè) 8 經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算得出一個(gè)等于13的算式呢88+8=11, 11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算等于2。8 + 8+8+ 8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888+ 8+888- 88+ 8 -8 + 8-8 + 8=19868888+ 8+888- 88+ 8 -8 + 8-8 + 8=1986例

24、5 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個(gè)數(shù)。(適于四年級(jí)程度)解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)是2、 3、 4 ，則：2X3X4=2424V120,這三個(gè)數(shù)不是 2、3、4;假設(shè)這三個(gè)數(shù)是3 、 4、 5，則：3X4X5= 6060V120,這三個(gè)數(shù)不是 3、4、5;假設(shè)這三個(gè)數(shù)是4 、 5、 6，則：4X5X6=1204、 5、 6 的積正好是120，這三個(gè)數(shù)是4、 5、 6。 例 6 在下面式子里的適當(dāng)位置上加上括號(hào)，使它們的得數(shù)分別是47、 75、 23、 35。(適于四年級(jí)程度)7X9+12+ 3 -2 =47 7X9+12+ 3 -2=757X9+12+ 3 -2=237X9+12+ 3 -2=35

25、解：本題按原式的計(jì)算順序是先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算，即先做乘除法而后做加減法，結(jié)果是：7X9+12+ 3 -2=63+4-2=65“加上括號(hào)”的目的在于改變?cè)瓉?lái)的計(jì)算順序。由于此題加中括號(hào)還是加小括號(hào)均未限制，因此解本題的關(guān)鍵在于加寫(xiě)括號(hào)的位置?？梢詮募訉?xiě)一個(gè)小括號(hào)想起，然后再考慮加寫(xiě)中括號(hào)。如：7X7=49,再減2就是47。這里的第一個(gè)數(shù)7是原算式中的7,要減去的2是原算式等號(hào)前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把 9+12+3通過(guò)加括號(hào)后改成得7的算式。經(jīng)過(guò)加括號(hào)，(9+12) +3=7,因此：7X (9+12) +3-2=47因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以?xún)蓚€(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本

26、題也可以寫(xiě)成：7X (9+12) +3-2=477X11=77,再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，要減去的2是等號(hào)前面的數(shù)。下面要看9+12+3能不能改寫(xiě)成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12+3不能改寫(xiě)成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7X9+12得75,這里的7、9、12就是原式中的前三個(gè)數(shù)，所以只要把 3-2用小括號(hào)括起來(lái)，使7X9+12之和除以 1 ，問(wèn)題就可解決。由此得到：(7X9+12) + (3-2) =75因?yàn)? 3-2 )的差是 1，所以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以先把兩個(gè)加數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，然后把兩個(gè)商相加”這一運(yùn)算規(guī)則，上面的算式又可以寫(xiě)成：7X9+12

27、+ (3-2) =75在上面的這個(gè)算式中，本應(yīng)在 7X9的后面寫(xiě)上“+ ( 3-2) ”，因?yàn)槿魏螖?shù) 除以1等于這個(gè)數(shù)本身，為了適應(yīng)題目的要求，不在7X9的后寫(xiě)出“+ (3-2) ” ,25-2=23,這個(gè)算式中，只有2是原算式等號(hào)前的數(shù)，只要把7X9+12+3 改寫(xiě)成得25的算式，問(wèn)題就可解決。又因?yàn)?7X9+12=75, 75+3=25,所以只要把 7X9+12用小括號(hào)括起來(lái)，就得到題中所求了。(7X9+12) + 3 -2=237X5=35, 7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，原算式中的9+12+ 3-2能否改寫(xiě)成得5的算式呢因?yàn)?-2=5 ,要是9+12+3能改寫(xiě)成得7的算式就好了。經(jīng)改寫(xiě)為(9

28、+12) +3=7,因此問(wèn)題得到解決。題中要求的算式是：7X (9+12) +3-2=3520 只羊*例 7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪 的羊毛，李平每天剪 12 只羊的羊毛。他倆共剪了 112 只羊的羊毛，兩人平均每天剪 14 只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛（適于四年級(jí)程度）解：王明、李平合在一起，按平均每天剪 14 只羊的羊毛計(jì)算，一共剪的天數(shù)是：112+ 14=8 （天）因?yàn)橥趺髅刻旒?20 只，李平每天剪 12 只，一共剪了 112 只，兩人合起來(lái)共剪了 8 天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了 5 天。則：12X5+20X （ 8-5） =120 （只）

29、120112,李平不是剪了 5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：12X6+20X （ 8-6） =112 （只）所以按李平剪6天計(jì)算，正滿(mǎn)足題中條件。答：李平剪了6天。*例 8 一名學(xué)生讀一本書(shū)，用一天讀80頁(yè)的速度，需要5 天讀完，用一天讀90 頁(yè)的速度， 需要 4 天讀完。 現(xiàn)在要使每天讀的頁(yè)數(shù)跟能讀完這本書(shū)的天數(shù)相等，每天應(yīng)該讀多少頁(yè)（適于五年級(jí)程度）4 千克油。4 千克油。99、98、97、9611、 10解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)。因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)乘以讀的 天數(shù)等于一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)，又因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)與讀完此書(shū)的天數(shù)相等，所以知道了總頁(yè)數(shù)就可以解題了。根據(jù)“

30、用一天讀80 頁(yè)的速度，需要5 天讀完”，是否能夠認(rèn)為總頁(yè)數(shù)就是80X5=400 （頁(yè)）呢不能。因?yàn)?5 天不一定每天都讀80 頁(yè)，所以只能理解為：每天讀80 頁(yè)，讀了 4 天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說(shuō)，這本書(shū)超過(guò)了80X4=320 （頁(yè)），最多不會(huì)超過(guò)：90X4=360 （頁(yè)）根據(jù)以上分析，可知這本書(shū)的頁(yè)數(shù)在321360頁(yè)之間。知道總頁(yè)數(shù)在這個(gè)范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在 321360之間。因?yàn)?17X17=289, 18X18=324, 19X19=361,324 在 321 360 之間，所以只有每天讀 18 頁(yè)才符合題意， 18 天看完，全書(shū) 324 頁(yè)。

31、答：每天應(yīng)該讀18 頁(yè)。*例 9 一個(gè)數(shù)是 5個(gè) 2， 3 個(gè) 3， 2 個(gè) 5， 1 個(gè) 7 的連乘積。這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾（適于六年級(jí)程度）解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2 、 3、 5、 7，并且在它的質(zhì)因數(shù)分解 TOC o 1-5 h z 中 2 的個(gè)數(shù)不超過(guò)5 ， 3 的個(gè)數(shù)不超過(guò)3 ， 5 的個(gè)數(shù)不超過(guò)2， 7 的個(gè)數(shù)不超過(guò)1 。經(jīng)嘗試， 99 不符合要求，因?yàn)樗匈|(zhì)因數(shù)11； 98 的分解式中有兩個(gè)7，也不符合要求；質(zhì)數(shù)97 當(dāng)然更不會(huì)符合要求。而，96=2X 2X2X2X2X3所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最

32、大的是96 。答略。*例 10 從一個(gè)油罐里要稱(chēng)出 6千克油來(lái)，但現(xiàn)在只有兩個(gè)桶，一個(gè)能容4千克，另一個(gè)能容 9 千克。求怎樣才能稱(chēng)出這6 千克油（適于六年級(jí)程度）解：這道題單靠計(jì)算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問(wèn)題解決。已知大桶可裝 9 千克油，要稱(chēng)出 6 千克油，先把能容9 千克油的桶倒?jié)M，再設(shè)法倒出 9 千克油中的 3 千克，為達(dá)到這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1 千克油。怎樣才能使小桶里裝 1 千克油呢1）把能容 9 千克油的大桶倒?jié)M油。2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩 5 千克油，小桶里有3）把小桶中的4 千克油倒回油罐。4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶

33、，則大桶里剩下1 千克油。5）把小桶中現(xiàn)存的 4 千克油倒回油罐。此時(shí)油罐外，只有大桶里有1 千克油。6）把大桶中的 1 千克油倒入小桶。7）往大桶倒?jié)M油。8）從大桶里往有1 千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。9）大桶里剩下6 千克油。第三講 列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析、解決問(wèn)題的方法叫做列舉 法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫(huà)圖。例 1 一本書(shū)共 100 頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6 的鉛字（適于三年級(jí)程度）解：把個(gè)位是6 和

34、十位是 6 的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6 的數(shù)字有：6、 16、 26、 36、 46、 56、 66、 76、 86、 96，共10 個(gè)。十位是6 的數(shù)字有：60、 61、 62、 63、 64、 65、 66、 67、 68、 69，共 10個(gè)。10+10=20（個(gè)）答：在排頁(yè)碼時(shí)要用 20 個(gè)數(shù)字是 6 的鉛字。*例2從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過(guò)B市到C市有幾 種走法（適于三年級(jí)程度）解：作圖 3-1 ，然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。 TOC o 1-5 h z 第一種走法：ABC第二種走法：ABC第三種走法：ABC第四種走法：ABC第五種走法：AB

35、C第六種走法：ABC答：從A市經(jīng)過(guò)B市到C市共有6種走法。*例3 901307=100140205=0把+、-、X、+四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次）， 并在長(zhǎng)方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長(zhǎng)方形中的數(shù)是幾（適于四年級(jí)程度）解：把+、-、X、+四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一 討論怎樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡(jiǎn)單的推理，排除不可能的填法，就能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答。先看第一個(gè)式子：901307=100如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“ 一 ”號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“+”、“- ”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于1

36、00， 所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填一號(hào)，也不能同時(shí)填“ +”、“-”號(hào)。要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“X”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等 式右端得出100。9X13-7=117-7=110,未湊出100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“ +”和 “X”號(hào)，就會(huì)湊出100 了。9+13X 7=100再看第二個(gè)式子：140205=0上面已經(jīng)用過(guò)四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“ 一 ”號(hào)和“-”號(hào)了。如果在第一個(gè) 圓圈內(nèi)填上“ + ”號(hào)，14+2得到整數(shù)，所以：14+ 2-5=2即長(zhǎng)方形中的數(shù)是2。* 例 4 印刷工人在排印一本書(shū)的頁(yè)碼時(shí)共用 1890 個(gè)數(shù)碼，這本書(shū)有多少頁(yè)（適于四年級(jí)程度）解：（1

37、）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、28、9。0不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是 一位數(shù)的頁(yè)有9 頁(yè)，用數(shù)碼9 個(gè)。（ 2）頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第 10 頁(yè)到第 99 頁(yè)。因?yàn)?9-9=90 ，所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有 90 頁(yè)，用數(shù)碼：2X90=180 （個(gè)）（ 3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701 （個(gè)）（ 4）因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用 3 個(gè)數(shù)碼， 100 頁(yè)到 999 頁(yè)， 999-99=900，而 剩下的 1701 個(gè)數(shù)碼除以 3 時(shí)，商不足600，即商小于900。所以頁(yè)碼最高是3 位數(shù)，不必考慮是 4 位數(shù)了。往下要看1701 個(gè)數(shù)碼可以排多少頁(yè)。1701 + 3=567 （頁(yè)）（

38、 5）這本書(shū)的頁(yè)數(shù)：9+90+567=666（頁(yè)）答略。例 5 用一根 80 厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都要是5 的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長(zhǎng)方形面積最大（適于四年級(jí)程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來(lái)，然后加以比較。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是80 厘米，所以長(zhǎng)與寬的和是40 厘米。列表3-1 ：表 3-1表 3-1 中，長(zhǎng)、寬的數(shù)字都是5 的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長(zhǎng)方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。前三種圍法的長(zhǎng)方形面積分別是：35 X 5=175 （平方厘米）30X10=300 （平方厘米）25X15=375 （平方

39、厘米）答：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是25 厘米，寬是15 厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大。例 6 如圖 3-2 ， 有三張卡片， 每一張上寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字1、 2、 3， 從中抽出一張、 兩張、三張，按任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)： 1、 2、 3，其中2 和 3 是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列， 一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)： 12、 13、 21、 23、 31、 32， 其中 13 、 23 和 31 是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)， 但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6， 即它們都是 3 的倍數(shù)，所以都不

40、是質(zhì)數(shù)。綜上所說(shuō)，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、 3、 13、 23、 31，共五個(gè)。例 7 在一條筆直的公路上，每隔 10 千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10 噸糧食，2 號(hào)糧站存有20 噸糧食， 3 號(hào)糧站存有30 噸糧食， 4 號(hào)糧站是空的， 5 號(hào)糧站存有40 噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸 1 千米的運(yùn)費(fèi)是元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖 3-3 ）（適于五年級(jí)程度）解：看圖 3-3 ，可以斷定糧食不能集中在 1 號(hào)和 2 號(hào)糧站。下面將運(yùn)到 3 號(hào)、 4 號(hào)、 5 號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。1）如果運(yùn)到 3 號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：X10X （ 10

41、+10） +X 20X10+X 40X （ 10+10）=100+100+400=600（元）2）如果運(yùn)到4 號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：X10X （10+10+1。+X 20X （ 10+10） +X 30X 10+X 40X10=150+200+150+200=700（元）3）如果運(yùn)到5 號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：X10X （10+10+10+1。+X 20X （ 10+10+10） +X 30X （ 10+10）=200+300+300=800 （元）800 700 600答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。*例8小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢(qián)買(mǎi)1支鉛 筆，問(wèn)可以有幾種拿

42、法用算式表達(dá)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）解：（1）只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 1（角）全拿2分的：2+2+2+2+2=1 （角）全拿5分的：5+5=1 （角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1 （角）拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1 （角）只拿出兩種硬幣，有5 種方

43、法。3）拿三種硬幣的方法：拿 3 枚 1 分， 1 枚 2 分，1 枚 5 分的：1+1+1+2+5=1（角）拿 1 枚 1 分， 2 枚 2 分，1 枚 5 分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2 種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有 10 種拿法。例 9 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)。到現(xiàn)在為止，甲賽了 4 盤(pán)，乙賽了 3 盤(pán)，丙賽了 2 盤(pán)，丁賽了 1 盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)賽了幾盤(pán)（適于五年級(jí)程度）解：作表 3-2 。表 3-2甲已經(jīng)賽了 4 盤(pán)，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤(pán)，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上，；乙賽的盤(pán)數(shù)，就是除了

44、與甲賽的那一盤(pán)，又與丙和小強(qiáng)各 賽一盤(pán)，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上，；內(nèi)賽了兩盤(pán)，就是丙與甲、乙各 賽一盤(pán)，打上，；丁與甲賽的那一盤(pán)也打上，。丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過(guò)，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫(huà)上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤(pán)，未與丙、丁賽，共賽2 盤(pán)。答：小強(qiáng)賽了 2 盤(pán)。例 10 商店出售餅干，現(xiàn)存10 箱 5千克重的， 4箱 2千克重的， 8 箱 1 千克重的，一位顧客要買(mǎi)9 千克餅干，為了便于攜帶要求不開(kāi)箱。營(yíng)業(yè)員有多少種發(fā)貨方式（適于五年級(jí)程度）解：作表 3-3 列舉發(fā)貨方式。表 3-3答：不開(kāi)箱有7 種發(fā)貨方式。例11運(yùn)輸隊(duì)有30輛

45、汽車(chē)，按130的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開(kāi)走的全部是單號(hào)車(chē)，以后幾次都由余下的第一輛車(chē)開(kāi)始隔一輛開(kāi)走一輛。到第幾次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走最后開(kāi)走的是第幾號(hào)車(chē)（適于五年級(jí)程度）解：按題意畫(huà)出表3-4 列舉各次哪些車(chē)開(kāi)走。表 3-4從表 3-4 中看得出，第三次開(kāi)走后剩下的是第 8 號(hào)、 16 號(hào)、 24 號(hào)車(chē)。按題意，第四次 8 號(hào)、 24 號(hào)車(chē)開(kāi)走。到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16 號(hào)車(chē)。答：到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第 16 號(hào)車(chē)。例 12 在甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放大米，甲倉(cāng)存90袋，乙倉(cāng)存50袋，甲倉(cāng)每次運(yùn)出 12袋，乙倉(cāng)每次運(yùn)出 4 袋。運(yùn)出幾次后，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)

46、相等（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)題意列表3-5 。表 3-5從表 3-5 可以看出，原來(lái)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)所存大米相差 40 袋；第一次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差 54-38=16 （袋）；第四次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差 42-34=8 （袋）；第五次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8 袋。由此可以看出，兩倉(cāng)庫(kù)原存大米袋數(shù)的差，除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。（

47、90-50） + （ 12-4） =5 （次）答：運(yùn)出 5 次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。例 13 有三組小朋友共72人， 第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問(wèn)原來(lái)各組有多少個(gè)小朋友（適于五年級(jí)程度）解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是 72+3=24 （人）。在 這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)， 第一組應(yīng)是24+ 2=12（人）， 第三組應(yīng)是（24+12） =36（人），第二組人數(shù)仍為24 人；在第二次第二組未

48、把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36+2=18 （人），第二組應(yīng)為（24+18） =42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42+2=21 （人），第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33（人），第三組應(yīng) 為 18人。這 33人、 21 人、 18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6表 3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是 33 人、 21 人、 18 人第四講綜合法從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，并

49、通過(guò)這兩個(gè)已知數(shù)量解出一個(gè)問(wèn)題，然后將這個(gè)解出的問(wèn)題作為一個(gè)新的已知條件，與其它已知條件配合，再解出一個(gè)問(wèn)題一直到解出應(yīng)用題所求解的未知數(shù)量。運(yùn)用綜合法解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)明確通過(guò)兩個(gè)已知條件可以解決什么問(wèn)題，然后才能從已知逐步推到未知，使問(wèn)題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。例 1 甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長(zhǎng)300 米的水渠， 4 天完成任務(wù)。甲隊(duì)每天挖 40 米，乙隊(duì)每天挖多少米（適于三年級(jí)程度）解：根據(jù)“甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長(zhǎng)300米的水渠”和“4 天完成任務(wù)”這兩個(gè)已知條件，可以求出甲乙兩隊(duì)每天共挖水渠多少米（圖 4-1 ）。300+ 4=

50、75 （米）根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)每天共挖水渠75 米”和“甲隊(duì)每天挖40 米”這兩個(gè)條件，可以求出乙隊(duì)每天挖多少米（圖 4-1 ）。75-40=35（米）綜合算式：300- 4 -40路程是多少千米（圖 4-3 ）。o路程是多少千米（圖 4-3 ）。o=75-40=35（米）答：乙隊(duì)每天挖35 米。例 2 兩個(gè)工人排一本39500字的書(shū)稿。甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，兩人合排 5 小時(shí)后，還有多少字沒(méi)有排（適于四年級(jí)程度）解： 根據(jù)甲每小時(shí)排3500 字， 乙每小時(shí)排3000 字， 可求出兩人每小時(shí)排多少字 （圖4-2 ）。3500+3000=6500（字）根據(jù)兩個(gè)人每小時(shí)排650

51、0字，兩人合排5小時(shí)，可求出兩人5小時(shí)已排多少字（圖4-2 ）。6500X 5=32500 （字）根據(jù)書(shū)稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒(méi)有排（圖4-2 ）。39500-32500=7000（字）綜合算式：39500- （3500+3000） X5=39500-6500X 5=39500-32500=7000（字）答略。例 3 客車(chē)、貨車(chē)同時(shí)由甲、乙兩地出發(fā)，相向而行。客車(chē)每小時(shí)行60千米，貨車(chē)每小時(shí)行 40千米， 5小時(shí)后客車(chē)和貨車(chē)相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“客車(chē)每小時(shí)行60千米”和“貨車(chē)每小時(shí)行40千米”這兩個(gè)條件，可求出兩車(chē)一小時(shí)共行

52、多少千米（圖 4-3 ）。60+40=100（千米）根據(jù)“兩車(chē)一小時(shí)共行100 千米”和兩車(chē)5 小時(shí)后相遇，便可求出甲、乙兩地間的10OX 5=500 （千米）綜合算式：（60+40） X5=100X5=500（千米）答：甲、乙兩地間的路程是500千米。例 4 一個(gè)服裝廠(chǎng)計(jì)劃做660套衣服，已經(jīng)做了 5天，平均每天做75套。剩下的要 3天做完，問(wèn)平均每天要做多少套（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“已經(jīng)做了 5 天，平均每天做75 套”這兩個(gè)條件可求出已做了多少套（圖4-4 ）。75X 5=375 （套）根據(jù)“計(jì)劃做660套”和“已經(jīng)做了 375套”這兩個(gè)條件，可以求出還剩下多少套（圖 4-4 ）。6

53、60-375=285（套）再根據(jù) “剩下 285 套”和 “剩下的要3 天做完” ，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4 ）。285+ 3=95 （套）綜合算式：（660- 75 X 5） +3=285+ 3=95（套）答略。例 5 某裝配車(chē)間， 甲班有 20人， 平均每人每天可做72個(gè)零件；乙班有24人， 平均每人每天可做68 個(gè)零件。如果裝一臺(tái)機(jī)器需要12 個(gè)零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“甲班有20 人，平均每人每天可做72 個(gè)零件”這兩個(gè)條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖 4-5 ）。72X20=1440 （個(gè)）根據(jù)“乙班有24 人，平均

54、每天每人可做68 個(gè)零件”這兩個(gè)條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖 4-5 ）。68X24=1632 （個(gè)）根據(jù)甲、 乙兩個(gè)班每天分別生產(chǎn)1440個(gè)、 1632個(gè)零件， 可以求出甲、乙兩個(gè)班一天共生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖 4-5 ）。1440+1632=3072（個(gè)）再根據(jù)兩個(gè)班一天共做零件3072個(gè)和裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件這兩條件，可求出兩個(gè)班一天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器。3072+ 12=256 （臺(tái)）綜合算式：（72X20+68X 24） +12=（1440+1632） +12=3072+ 12=256（臺(tái)）答略。例 6 一個(gè)服裝廠(chǎng)計(jì)劃加工2480套服裝，每天加工 100套，工作 20天

55、后，每天多加工 20 套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務(wù)（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)每天加工 100套，加工 20天，可求出已經(jīng)加工多少套（圖 4-6 ）。100X 20=2000 （套）根據(jù)計(jì)劃加工 2480套和加工了 2000套，可求出還要加工多少套（圖 4-6 ）。2480-2000=480（套）根據(jù)原來(lái)每天加工 100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套（圖4-6 ）。100+20=120（套）根據(jù)還要加工 480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖 4-6 ）。480 120=4 （天）綜合算式：（2480-100X 20） + （ 100+20

56、）=480+ 120=4（天）答略。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，一定要畫(huà)思路圖，當(dāng)對(duì)綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時(shí)，就可以不再畫(huà)思路圖，而直接解答應(yīng)用題了。解：此題先后出現(xiàn)了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。=（千克）答略。解： 此題先后出現(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量： “甲塊地產(chǎn)高粱的重量” 和“乙塊地產(chǎn)高粱的重量”將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產(chǎn)高粱 450千克，丙塊地比乙條件，可求出乙塊地產(chǎn)高粱是：（這里乙塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1）（這里甲塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1）綜合算式：=546（千克）答略。第五講分析法從求解的問(wèn)題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個(gè)條件，依次推導(dǎo)，一直到問(wèn)題得到解決的解題方法叫

57、分析法。用分析法解應(yīng)用題時(shí)，如果解題所需要的兩個(gè)條件，（或其中的一個(gè)條件）是未知的，就要分別求解找出這兩個(gè)（或一個(gè)）條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。分析法適于解答數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題。例 1 玩具廠(chǎng)計(jì)劃每天生產(chǎn)200 件玩具， 已經(jīng)生產(chǎn)了 6 天， 共生產(chǎn) 1260 件。 問(wèn)平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件（適于三年級(jí)程度）解：這道題是求平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件。要求平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-1）:實(shí)際每天生產(chǎn)多少件；計(jì)劃每天生產(chǎn)多少件。計(jì)劃每天生產(chǎn) 200件是已知條件。實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，題中沒(méi)有直接告訴，需要求出來(lái)。要求實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，必須具備兩個(gè)條件（圖 5-1

58、）:一共生產(chǎn)了多少件； 已經(jīng)生產(chǎn)了多少天。 這兩個(gè)條件都是已知的： 一共生產(chǎn)了 1260 件； 已經(jīng)生產(chǎn)了 6 天。分析到這里，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：（ 1）實(shí)際每天生產(chǎn)多少件1260+ 6=210 （件）（ 2）平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件210-200=10（件）綜合算式：1260- 6-200=210-200=10（件）例 2 四月上旬， 甲車(chē)間制造了 257個(gè)機(jī)器零件，乙車(chē)間制造的機(jī)器零件是甲車(chē)間的 2 倍。四月上旬兩個(gè)車(chē)間共制造多少個(gè)機(jī)器零件（適于三年級(jí)程度）解：要求兩個(gè)車(chē)間共制造多少個(gè)機(jī)器零件，必須具備兩個(gè)條件（圖 5-2）:甲車(chē)間 制造多少個(gè)零件；乙車(chē)間制造多少個(gè)零件

59、。已知甲車(chē)間制造257個(gè)零件，乙車(chē)間制造多少個(gè)零件未知。下面需要把“乙車(chē)間制造多少個(gè)零件”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。這兩個(gè)條件（圖5-2）是：甲車(chē)間制造多少個(gè)零件；乙車(chē)間制造的零件是甲車(chē)問(wèn) 的幾倍。這兩個(gè)條件都是已知的：甲車(chē)間制造 257個(gè)，乙車(chē)間制造的零件數(shù)是甲車(chē)問(wèn) 的 2 倍。分析到此，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：1）乙車(chē)間制造零件多少個(gè)257X 2=514 （個(gè)）（ 2）兩個(gè)車(chē)間共制造零件多少個(gè)257+514=771（個(gè)）綜合算式：257+257X 2=257+514=771（個(gè)）答略。例 3 某車(chē)間要生產(chǎn)180個(gè)機(jī)器零件， 已經(jīng)工作了 3天， 平均每

60、天生產(chǎn) 20個(gè)。 剩下的如果每天生產(chǎn) 30 個(gè)，還需要幾天才能完成（適于四年級(jí)程度）解： 要求還需要幾天才能完成， 必須具備兩個(gè)條件 （圖 5-3 ） ： 還剩下多少個(gè)零件；每天生產(chǎn)多少個(gè)零件。在這兩個(gè)條件中，每天生產(chǎn)30個(gè)零件是已知條件，還剩多少個(gè)零件未知。先把“還剩多少個(gè)零件”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出還剩下多少個(gè)零件， 必須具備的兩個(gè)條件 （圖 5-3 ） 是： 要生產(chǎn)多少個(gè)零件；已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件。要生產(chǎn) 180個(gè)零件是已知條件，已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件未知。然后把“已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出已生產(chǎn)多少個(gè)零件，