三垂線定理應(yīng)用

1、三垂線定理應(yīng)用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面的垂直關(guān)系，學(xué)新課之前，讓我們作個(gè)簡單的回憶：1直線和平面垂直的定義？2直線和平面垂直的判定定理APo斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做斜線段。 如果一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,那么這條直線叫做平面的斜線自一點(diǎn)P向平面 引垂線，垂足A叫做點(diǎn)P在平面 內(nèi)的正射影（簡稱射影） 如果a , aAO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？aAPo PO是平面的斜線, O為斜足; PA是平面的垂線, A為垂足; AO是PO在平面內(nèi)的射影.PO 平面PAOaPO 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這

2、條斜線垂直。PAa PAaAOaa平面PAO 如果a , aAO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？PaAo上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直改變定理的題設(shè)和結(jié)論，得到逆命題：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直可以用同樣的方法證明，這就是三垂線定理的逆定理AO 平面PAOaAO 三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的垂直，那么它也和這條斜線射影垂直。PAa PAaPOaa平面PAO P

3、aAoPAOa三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系線射垂直PAOa線面垂直 線斜垂直PAOa直 線 和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直二、定理內(nèi)容闡述：1、三垂線定理包括5個(gè)要素：一面(垂面)；四線斜線、垂線、射影和平面內(nèi)的直線。 順口溜：一定平面，二定垂線，三找斜線，射影可見，直線隨便。2、“三垂線的含義：1垂線與平面垂直2射影與平面內(nèi)的直線垂直3斜線與平面內(nèi)的直線垂直PCBA例1 P 是平面ABC 外一點(diǎn)， PA平面ABC ，AC BC， 求證： PC BC證明： P 是平面ABC 外一點(diǎn) PA平面ABC PC是平面ABC的斜線 AC是PC在平面ABC上的

4、射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂線定理得 PC BCM1.直接利用三垂線定理證明以下各題：(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：POBD，PCBD(3) 在正方體AC1中，求證：A1CB1D1，A1CBC1(2) ：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：POBD，PCBDPOABCD證明:ABCD為正方形 O為BD的中點(diǎn) AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) ：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中點(diǎn)， 求證：BCAMBCAM證明: PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方體AC1中，求證：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方體AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1