華泰周期起源系列研究之三：周期是不確定性條件下的穩(wěn)態(tài)

1、正文目錄 HYPERLINK l _TOC_250034 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基本要素 4 HYPERLINK l _TOC_250033 微分方程 4 HYPERLINK l _TOC_250032 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性 5 HYPERLINK l _TOC_250031 相圖 6 HYPERLINK l _TOC_250030 分岔圖 7 HYPERLINK l _TOC_250029 勢(shì)函數(shù) 7 HYPERLINK l _TOC_250028 一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與定點(diǎn) 9 HYPERLINK l _TOC_250027 邏輯斯諦方程 9 HYPERLINK l _TOC_250026 一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和正負(fù)

2、反饋 12 HYPERLINK l _TOC_250025 二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與周期 14 HYPERLINK l _TOC_250024 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 14 HYPERLINK l _TOC_250023 判別式為正 15 HYPERLINK l _TOC_250022 判別式為 0 16 HYPERLINK l _TOC_250021 判別式為負(fù) 17 HYPERLINK l _TOC_250020 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相圖分類 18 HYPERLINK l _TOC_250019 彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)和阻尼振動(dòng) 19 HYPERLINK l _TOC_250018 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 20 HYPE

3、RLINK l _TOC_250017 阻尼振動(dòng) 20 HYPERLINK l _TOC_250016 二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 22 HYPERLINK l _TOC_250015 一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)回顧 22 HYPERLINK l _TOC_250014 二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)推廣 23 HYPERLINK l _TOC_250013 實(shí)例：同宿軌道 24 HYPERLINK l _TOC_250012 龐加萊本迪克松定理 25 HYPERLINK l _TOC_250011 二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生周期的條件 25 HYPERLINK l _TOC_250010 微分方程解的解釋 25 HYPERLINK

4、l _TOC_250009 系數(shù)矩陣的解釋 26 HYPERLINK l _TOC_250008 正負(fù)反饋與周期 27 HYPERLINK l _TOC_250007 高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與混沌 28 HYPERLINK l _TOC_250006 洛倫茲系統(tǒng)、混沌和蝴蝶效應(yīng) 28 HYPERLINK l _TOC_250005 洛倫茲系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài) 30 HYPERLINK l _TOC_250004 高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如何判斷穩(wěn)定性 31 HYPERLINK l _TOC_250003 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是混沌嗎 33 HYPERLINK l _TOC_250002 總結(jié) 34 HYPERLINK l _TOC_

5、250001 參考文獻(xiàn) 34 HYPERLINK l _TOC_250000 風(fēng)險(xiǎn)提示 34圖表目錄圖表 1： 本文框架 4圖表 2： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不同 取值對(duì) x 的影響 5圖表 3： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖（0） 6圖表 4： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖（0） 6圖表 5： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分岔圖 7圖表 6： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)圖（0） 8圖表 7： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)圖（0） 8圖表 8： 邏輯斯諦增長(zhǎng) 9圖表 9： 邏輯斯諦方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性 10圖表 10： 邏輯斯諦方程的相圖（0） 10圖表 11： 邏輯斯諦方程的相圖（0） 10圖表 12： 邏輯斯諦方

6、程的分岔圖 11圖表 13： 邏輯斯諦方程的勢(shì)函數(shù)圖（0） 11圖表 14： 邏輯斯諦方程的勢(shì)函數(shù)圖（0） 11圖表 15： 一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和正負(fù)反饋 12圖表 16： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之匯點(diǎn) 15圖表 17： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之源點(diǎn) 15圖表 18： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之鞍點(diǎn) 15圖表 19： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之穩(wěn)定平衡點(diǎn)組成的直線 16圖表 20： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之不穩(wěn)定平衡點(diǎn)組成的直線 16圖表 21： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之退化匯點(diǎn) 17圖表 22： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之退化源點(diǎn) 17圖表 23： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之中心 17圖

7、表 24： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之螺旋匯點(diǎn) 18圖表 25： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖之螺旋源點(diǎn) 18圖表 26： 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖分類 18圖表 27： 彈簧振子示意圖 19圖表 28： 彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 20圖表 29： 彈簧振子的指數(shù)衰減 21圖表 30： 彈簧振子的阻尼衰減 22圖表 31： 二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)同宿軌道的相圖 24圖表 32： 洛倫茲系統(tǒng)在給定參數(shù)和初始條件下?tīng)顟B(tài)變量隨時(shí)間變化 28圖表 33： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=28，三維視角） 29圖表 34： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=28，xz 平面視角） 29圖表 35： 初始值對(duì)洛倫茲系統(tǒng)

8、的影響（r=28，t=010） 29圖表 36： 初始值對(duì)洛倫茲系統(tǒng)的影響（r=28，t=9901000） 29圖表 37： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=80，三維視角） 30圖表 38： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=80，xz 平面視角） 30圖表 39： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=20，三維視角） 30圖表 40： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=20，xz 平面視角） 30圖表 41： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=160，三維視角） 31圖表 42： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=160，xz 平面視角） 31圖表 43： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=240，三維

9、視角） 31圖表 44： 洛倫茲系統(tǒng)狀態(tài)變量變化軌跡（r=240，xz 平面視角） 31圖表 45： 不同參數(shù)取值下洛倫茲系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)和穩(wěn)定性狀態(tài) 32圖表 46： 三維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)符號(hào)和穩(wěn)定性狀態(tài) 32圖表 47： 周期和準(zhǔn)周期示意圖 33動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基本要素在華泰金工從微觀同步到宏觀周期（20191225）和周期趨同現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型（20200102）兩項(xiàng)研究中，我們以自然界中的周期趨同現(xiàn)象為例，借助動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型，論證微觀個(gè)體形成系統(tǒng)級(jí)別周期同步的四個(gè)必要條件：1）微觀個(gè)體有類周期行為；2）微觀個(gè)體之間會(huì)相互影響；3）系統(tǒng)存在隨機(jī)性；4）有能量注入來(lái)維持系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)

10、。我們認(rèn)為，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是理解經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和金融市場(chǎng)中眾多周期現(xiàn)象來(lái)源的起點(diǎn)。本文嘗試從理論角度，系統(tǒng)性地梳理動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ)概念，后續(xù)的研究都將圍繞這些概念進(jìn)行展開(kāi)。首先我們將回顧動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基本要素：微分方程、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性、相圖、分岔圖、勢(shì)函數(shù)。隨后我們將分別針對(duì)一維、二維和高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行研究，重點(diǎn)關(guān)注穩(wěn)定性及分析方法。本文的核心結(jié)論是：周期是不確定性條件下的穩(wěn)態(tài)。圖表1： 本文框架資料來(lái)源：華泰證券研究所微分方程動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的意義是刻畫(huà)事物狀態(tài)在時(shí)空下的變化規(guī)律。事物的狀態(tài)可以是具象的，如粒子位置，也可以是抽象的，如資產(chǎn)價(jià)格?？坍?huà)規(guī)律最常用的方式是微分方程。下式為最簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)： =

11、其中 x 稱為狀態(tài)變量（state variable）；等式左側(cè)代表 x 的一階導(dǎo)數(shù)，即 x 在當(dāng)前時(shí)刻的改變量，相當(dāng)于 x 的變化速度；等式右側(cè) 稱為控制參數(shù)（control parameter）。整個(gè)式子的解讀是：狀態(tài) x 的改變量與其當(dāng)前狀態(tài)成正比。由于上式僅包含一個(gè)狀態(tài)變量 x，且僅包含 x 的一階導(dǎo)數(shù)，上式屬于一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（one-dimensional dynamical system）。由于等號(hào)右側(cè)僅包含x 的一次項(xiàng)，上式也稱為一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（one-dimensional linear dynamical system）。自然界中，理想條件下的種群數(shù)量增長(zhǎng)模型就可以用上述

12、一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)刻畫(huà)。當(dāng)外部資源無(wú)限，不存在內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)，出生率不變且遠(yuǎn)高于死亡率時(shí)，種群新增數(shù)量等于種群現(xiàn)有數(shù)量的常數(shù) 倍。例如，假設(shè)某種細(xì)菌初始數(shù)量 x01，每個(gè)單位時(shí)刻進(jìn)行一次二分裂，相應(yīng)控制參數(shù) 1，那么 t 時(shí)刻細(xì)菌新增數(shù)量 x01，細(xì)菌數(shù)量為 xt112；2t時(shí)刻細(xì)菌新增數(shù)量 xt2，細(xì)菌數(shù)量為 x2t224。上述細(xì)菌分裂的例子中，根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，我們可以得到下一時(shí)刻狀態(tài)的改變量，進(jìn)而得到下一時(shí)刻的狀態(tài)。通過(guò)遞推的方式，可以推算任意 t 時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)量。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程正是以這種“走一步看一步”的“螞蟻視角”刻畫(huà)事物的變化規(guī)律。除了遞推之外，上例中還可以如何計(jì)算任意 t 時(shí)刻

13、的細(xì)菌數(shù)量呢？我們對(duì)原始一階微分方程進(jìn)行求解。求解思路依次為：移項(xiàng)，兩邊積分，兩邊以 e 為底求冪。具體推導(dǎo)如下： = = = = ln = + () = 0其中 c0 和 c 為常數(shù)，由 x 的初始狀態(tài)決定。上述細(xì)菌分裂的例子中，c1。在 t1 時(shí)刻，細(xì)菌數(shù)量為 xe；在任意 t 時(shí)刻，細(xì)菌數(shù)量為 xet。當(dāng) 1 時(shí)，一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)表現(xiàn)為典型的指數(shù)增長(zhǎng)。微分方程的解是刻畫(huà)事物變化規(guī)律的“上帝視角”。當(dāng)控制參數(shù) 為其它取值時(shí)，一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)將呈現(xiàn)何種特性？在上述細(xì)菌分裂的例子中，當(dāng) 為正數(shù)時(shí)， 越大，單位時(shí)間內(nèi)細(xì)菌新增數(shù)量越多，即指數(shù)增長(zhǎng)速度越快。而當(dāng) 為負(fù)數(shù)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)細(xì)菌減少數(shù)量

14、與當(dāng)前細(xì)菌數(shù)量成正比，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)衰減。當(dāng) 為 0 時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的改變量為 0，細(xì)菌數(shù)量保持恒定。下圖展示了不同 取值下，狀態(tài)變量 x 隨時(shí)間 t 呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)、指數(shù)衰減和恒定不變的三種情形。圖表2： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不同 取值對(duì) x 的影響=0.15, c=1 =-0.5, c=1 =0, c=1543x2100123456t789資料來(lái)源：華泰證券研究所并非所有微分方程都可以輕松求解?！吧系垡暯恰钡慕獠怀Ｓ?，“螞蟻視角”微分方程是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)更常用的描述形式。平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性當(dāng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量 x 不隨時(shí)間發(fā)生變化，即 x 的一階導(dǎo)數(shù)為 0 時(shí)，我們稱系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)（e

15、quilibrium points），也稱為系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)（fixed points）或穩(wěn)態(tài)解（stationary solutions），記作： . . = 0理解一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)最重要的途徑，是研究每個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性（stability）。我們以上述一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為例，討論其平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。為了求出 = 的平衡點(diǎn)，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，我們令等式左邊 = 0。當(dāng) 0時(shí)，解得 = 0，即系統(tǒng)的平衡點(diǎn) = 0。當(dāng) = 0時(shí)，解得 x 為任意實(shí)數(shù)，即系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 。當(dāng) 0 時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)衰減。隨著時(shí)間演進(jìn)，當(dāng)時(shí)間 t 趨向于無(wú)窮大時(shí)，x 逐漸趨近于平衡點(diǎn) 0，我們稱這樣的平衡點(diǎn)為吸引子（attr

16、actor）。當(dāng) x 取任意初始條件（initial condition），x 最終都趨近于吸引子，此時(shí)稱該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性為穩(wěn)定（stable）。當(dāng) 0 時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)增長(zhǎng)。隨著時(shí)間演進(jìn)，當(dāng)時(shí)間 t 趨向于無(wú)窮大時(shí)，x 逐漸遠(yuǎn)離平衡點(diǎn) 0，我們稱這樣的平衡點(diǎn)為排斥子（repeller）。當(dāng) x 取任意初始條件，x 最終都遠(yuǎn)離排斥子，此時(shí)稱該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性為不穩(wěn)定（unstable）。當(dāng) 0 時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為恒定不變，平衡點(diǎn)為任意實(shí)數(shù)。每一種初始條件對(duì)應(yīng)唯一的平衡點(diǎn)，這樣的平衡點(diǎn)既不是吸引子，也不是排斥子，此時(shí)稱該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性為中性穩(wěn)定（neutrally stable）。特別地，對(duì)于某些動(dòng)

17、力學(xué)系統(tǒng)，存在某種平衡點(diǎn)兼具吸引子和排斥子的屬性，我們稱這樣的平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)（saddle），此時(shí)稱該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性為半穩(wěn)定（half-stable）。后續(xù)的章節(jié)我們會(huì)接觸到鞍點(diǎn)。相圖相圖（phase portrait 或 phase space plot）是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)最重要的圖像表征。我們定義狀態(tài)變量與其導(dǎo)數(shù)張成的空間為相空間（phase space），狀態(tài)變量在相空間中的軌跡稱為相圖。對(duì)于一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，相圖的橫軸是狀態(tài)變量，縱軸是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。我們以一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為例，展示相圖的畫(huà)法。圖表3： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖（0）圖表4： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖（0）資料來(lái)源：華泰證

18、券研究所資料來(lái)源：華泰證券研究所左上圖展示 0 的情形。相圖中包含三個(gè)重要元素：斜方向的直線表示微分方程 = 0.5。原點(diǎn)處的圓圈表示平衡點(diǎn) 0，實(shí)心表示該平衡點(diǎn)是吸引子。橫軸帶箭頭的直線稱為軌跡（trajectory），表示 x 的變化方向和速度；無(wú)論 x 位于橫軸何處，其變化方向均指向吸引子；離吸引子越遠(yuǎn)，箭頭的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，代表其變化速度越快，即以更快的速度趨近于吸引子。右上圖展示 0 的情形：斜方向的直線表示微分方程 = 0.15。原點(diǎn)處的圓圈表示平衡點(diǎn) 0，空心表示該平衡點(diǎn)是排斥子。橫軸帶箭頭的直線表示 x 的變化方向和速度；無(wú)論 x 位于橫軸何處，其變化方向均遠(yuǎn)離排斥子；離排斥子越遠(yuǎn)，

19、箭頭的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，代表其變化速度越快，即以更快的速度遠(yuǎn)離排斥子。這里補(bǔ)充一個(gè)判斷平衡點(diǎn)是吸引子還是排斥子的技巧。觀察相圖中微分方程對(duì)應(yīng)的直線：如果從左上方向右下方穿過(guò)平衡點(diǎn)，那么微分方程在平衡點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)為負(fù)數(shù)，平衡點(diǎn)周圍的點(diǎn)將更靠近平衡點(diǎn)，因此平衡點(diǎn)為吸引子；反之，如果從左下方向右上方穿過(guò)平衡點(diǎn)，那么微分方程在平衡點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)為正數(shù)，平衡點(diǎn)周圍的點(diǎn)將更遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，因此平衡點(diǎn)為排斥子。上述判斷吸引子或排斥子的法則對(duì)于一維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)同樣適用，此時(shí)微分方程在相圖中表示為曲線。若微分方程對(duì)應(yīng)的曲線在平衡點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則平衡點(diǎn)為吸引子；若微分方程對(duì)應(yīng)的曲線在平衡點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)為正，則平衡點(diǎn)為排斥

20、子；若微分方程對(duì)應(yīng)的曲線和 x 軸在平衡點(diǎn)處相切，即導(dǎo)數(shù)為 0，則平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)。可以看出，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性均體現(xiàn)在相圖上。一般而言，分析任何動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都離不開(kāi)繪制相圖這一步。分岔圖由上述一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可知，對(duì)于不同的參數(shù) 取值，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性會(huì)隨之改變。例如隨著參數(shù) 由負(fù)轉(zhuǎn)正，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)從吸引子變成排斥子，穩(wěn)定性從穩(wěn)定變成不穩(wěn)定。這種現(xiàn)象稱為分岔（bifurcation）。對(duì)于一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，我們以參數(shù) 為橫軸，以平衡點(diǎn)為縱軸，繪制平衡點(diǎn)隨參數(shù)的變化情況，其圖像稱為分岔圖（bifurcation diagram）。分岔圖也是重要的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)圖像表

21、征。一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔圖如下圖所示。實(shí)心點(diǎn)和實(shí)線代表吸引子，穩(wěn)定性為穩(wěn)定；空心點(diǎn)和虛線代表排斥子，穩(wěn)定性為不穩(wěn)定。全部點(diǎn)和線都位于橫軸，表明無(wú)論參數(shù) 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)始終為 0。需要說(shuō)明的是，當(dāng)參數(shù) 0 時(shí)，事實(shí)上平衡點(diǎn)為任意實(shí)數(shù)，簡(jiǎn)單起見(jiàn)沒(méi)有繪制在分岔圖上。圖表5： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分岔圖資料來(lái)源：華泰證券研究所上圖一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔圖較為簡(jiǎn)單。對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，會(huì)出現(xiàn)形形色色的分岔現(xiàn)象，這也是非線性動(dòng)力學(xué)的重要研究方向。勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)（potential function）類似物理中勢(shì)能的概念。水往低處流，是因?yàn)樗诟咛幍闹亓?shì)能大，在低處的重力勢(shì)能小，水從勢(shì)能高

22、的地方流向勢(shì)能低的地方。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時(shí)間變化，是因?yàn)闋顟B(tài)變量從勢(shì)能高的地方移動(dòng)到勢(shì)能低的地方。如何定義動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)？對(duì)于一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，狀態(tài)變量 x 總是朝著勢(shì)函數(shù)更低的方向變化，那么其改變量應(yīng)等于勢(shì)函數(shù) V 的負(fù)梯度： = 特別地，當(dāng)系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)時(shí)，狀態(tài)變量 x 不再改變，x 的一階導(dǎo)數(shù)為 0，等式左側(cè)等于 0；此時(shí)勢(shì)函數(shù)取極小值或極大值，V 關(guān)于 x 的一階導(dǎo)數(shù)為 0，等式右側(cè)也等于 0。下面我們推導(dǎo)一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)： = = 12 = = 2 分別繪制 0 和 0 時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)，如下圖所示。+=0圖表6： 一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)圖（0）圖表7： 一維線性

23、動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)圖（0）資料來(lái)源：華泰證券研究所資料來(lái)源：華泰證券研究所左上圖展示 0 的情形。勢(shì)函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線，當(dāng) x0 時(shí)勢(shì)函數(shù)取極小值。無(wú)論x 取何種初始值，最終都會(huì)落到勢(shì)函數(shù)最小的位置，x0 是系統(tǒng)的吸引子。右上圖展示 0 的情形。勢(shì)函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線，當(dāng) x0 時(shí)勢(shì)函數(shù)取極大值。只要x 取任意非 0 初始值，最終都會(huì)朝正無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大方向墜落，x0 是系統(tǒng)的排斥子。從勢(shì)函數(shù)中，我們也能觀察到系統(tǒng)的穩(wěn)定解和穩(wěn)定性。需要說(shuō)明的是，所有一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都有對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)，然而大部分二維或高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都不具有勢(shì)函數(shù)。因此，勢(shì)函數(shù)的討論一般只在一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)展開(kāi)。一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與

24、定點(diǎn)上一章我們以最簡(jiǎn)單的一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為例，理解了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基本要素：微分方程、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性、相圖、分岔圖、勢(shì)函數(shù)。接下來(lái)，我們將從其它一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)入手，重溫上述基本要素，重點(diǎn)探討一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。本章的核心結(jié)論是：一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)只可能是定點(diǎn)；當(dāng)系統(tǒng)由負(fù)反饋主導(dǎo)時(shí)，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。邏輯斯諦方程一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一般形式為： = ()當(dāng)?shù)仁接覀?cè)的 f(x)僅包含 x 的一次項(xiàng)時(shí)，該系統(tǒng)即為上一章介紹的一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。當(dāng) f(x)包含 x 的更高次項(xiàng)時(shí)，該系統(tǒng)稱為一維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)我們已經(jīng)較為熟悉，下面我們討論一維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)?？紤]最簡(jiǎn)

25、單的一維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，僅包含 x 的一次和二次項(xiàng)，微分方程為： = 2上述方程也稱為邏輯斯諦方程（logistic equation），廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、社會(huì)科學(xué)研究中。例如生物學(xué)中種群在有限環(huán)境資源條件下的增長(zhǎng)模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的利潤(rùn)與廣告支出關(guān)系模型等，都可以用邏輯斯諦方程刻畫(huà)。邏輯斯諦方程的解為：() = 1 + 其中 C 為常數(shù)，由參數(shù) 和初始條件 x0 決定。不妨設(shè) 為 0.5，取不同初始條件 x0，繪制狀態(tài)變量 x 隨時(shí)間 t 的變化情況，如下圖所示。如果 x 代表有限環(huán)境資源下的種群數(shù)量，開(kāi)始階段 x 以較快速度增長(zhǎng)，隨著 x 接近環(huán)境資源條件所能允許的最大種群量 ，x 的增長(zhǎng)速

26、度逐漸放緩，最終穩(wěn)定在 。圖表8： 邏輯斯諦增長(zhǎng)=0.5, x0=0.05 =0.5, x0=0.1 =0.5, x0=0.20.60.50.4x 0.30.20.10.00123456789t資料來(lái)源：華泰證券研究所下面我們分析該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的各項(xiàng)基本要素。首先計(jì)算其平衡點(diǎn)，令等式左側(cè) x 的一階導(dǎo)數(shù)為 0： = 0 2 = 0 ( ) = 0 1 = 0, 2 = 當(dāng) 不為 0 時(shí)，系統(tǒng)包含兩個(gè)平衡點(diǎn) 0 和 ；當(dāng) 為 0 時(shí)，系統(tǒng)包含一個(gè)平衡點(diǎn) 0。如何判斷每個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，平衡點(diǎn)屬于吸引子、排斥子還是鞍點(diǎn)？我們可以通過(guò)微分方程在平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)判斷：() = ( 2) = 21. 當(dāng) 0

27、 時(shí)，(1) = (0) = 0，導(dǎo)數(shù)大于 0，平衡點(diǎn)2為排斥子，穩(wěn)定性為不穩(wěn)定。2. 當(dāng) 0 時(shí)，(1) = (0) = 0，導(dǎo)數(shù)大于 0，平衡點(diǎn)1為排斥子，穩(wěn)定性為不穩(wěn)定；(2) = () = 0，導(dǎo)數(shù)小于 0，平衡點(diǎn)2為吸引子，穩(wěn)定性為穩(wěn)定。3. 當(dāng) 0 時(shí)，(1) = (2) = (0) = = 0，導(dǎo)數(shù)等于 0，平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，穩(wěn)定性為半穩(wěn)定。圖表9： 邏輯斯諦方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性參數(shù)取值平衡點(diǎn) = 平衡點(diǎn) = 0(1) 0，排斥子，不穩(wěn)定0(1) 0，排斥子，不穩(wěn)定(2) 0，吸引子，穩(wěn)定0(1) = (2) = 0，鞍點(diǎn)，半穩(wěn)定資料來(lái)源：華泰證券研究所邏輯斯諦方程的相圖如下。左下圖

28、展示 0 的情形：開(kāi)口向下的拋物線表示微分方程 = 4 2。左側(cè)的空心圓圈表示排斥子2 = 4，原點(diǎn)處的實(shí)心圓圈表示吸引子1 = 0。橫軸帶箭頭的直線表示 x 的變化方向和速度；排斥子鄰域的點(diǎn)遠(yuǎn)離排斥子，吸引子鄰域的點(diǎn)向吸引子靠近。右下圖展示 0 的情形：開(kāi)口向下的拋物線表示微分方程 = 4 2。左側(cè)的空心圓圈表示排斥子1 = 0，原點(diǎn)處的實(shí)心圓圈表示吸引子2 = 4。橫軸帶箭頭的直線表示 x 的變化方向和速度；排斥子鄰域的點(diǎn)遠(yuǎn)離排斥子，吸引子鄰域的點(diǎn)向吸引子靠近。圖表10： 邏輯斯諦方程的相圖（0）圖表11： 邏輯斯諦方程的相圖（0）資料來(lái)源：華泰證券研究所資料來(lái)源：華泰證券研究所邏輯斯諦方

29、程的分岔圖如下?？梢钥闯?，當(dāng)參數(shù) 取非零值時(shí)，系統(tǒng)始終有兩個(gè)平衡點(diǎn)，其中相對(duì)較大的平衡點(diǎn)為吸引子，相對(duì)較小的平衡點(diǎn)為排斥子。當(dāng)參數(shù) 取 0 時(shí)，系統(tǒng)僅有一個(gè)平衡點(diǎn)，該平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)。當(dāng) 從負(fù)值變?yōu)檎禃r(shí)，原先的吸引子變成排斥子，原先的排斥子變成吸引子。這種分岔形式稱為跨臨界分岔（transcritical bifurcation）。一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)還存在另外三種分岔形式，分別為鞍結(jié)分岔（saddle-node bifurcation）、超臨界叉式分岔（ supercritical pitchfork bifurcation）和亞臨界分岔（ subcritical pitchfork bifurca

30、tion），本文暫不作介紹。圖表12： 邏輯斯諦方程的分岔圖資料來(lái)源：華泰證券研究所邏輯斯諦方程的勢(shì)函數(shù)為： = 2 = (2)121 3 = = 2 + 3 +=0左下圖為 0 時(shí)的勢(shì)函數(shù)圖。勢(shì)函數(shù)為三次曲線：當(dāng) x 為負(fù)無(wú)窮大時(shí)，勢(shì)函數(shù)取全局最小值；當(dāng) x 為正無(wú)窮大時(shí)，勢(shì)函數(shù)取全局最大值；當(dāng) x0 時(shí)，勢(shì)函數(shù)取局部極小值，此時(shí)該平衡點(diǎn)為吸引子；當(dāng) x 時(shí)，勢(shì)函數(shù)取局部極大值，此時(shí)該平衡點(diǎn)為排斥子。當(dāng) x的初始值位于排斥子右側(cè)（x）時(shí)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間，系統(tǒng)最終將落到吸引子的位置。右下圖為 0 時(shí)的勢(shì)函數(shù)圖。勢(shì)函數(shù)為三次曲線：當(dāng) x0 時(shí)，勢(shì)函數(shù)取局部極大值，此時(shí)該平衡點(diǎn)為排斥子；當(dāng) x 時(shí)

31、，勢(shì)函數(shù)取局部極小值，此時(shí)該平衡點(diǎn)為吸引子。當(dāng) x的初始值位于排斥子右側(cè)（x0）時(shí)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間，系統(tǒng)最終將落到吸引子的位置。圖表13： 邏輯斯諦方程的勢(shì)函數(shù)圖（0）圖表14： 邏輯斯諦方程的勢(shì)函數(shù)圖（0）資料來(lái)源：華泰證券研究所資料來(lái)源：華泰證券研究所至此，我們完成了對(duì)邏輯斯諦方程的微分方程、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性、相圖、分岔圖、勢(shì)函數(shù)這幾項(xiàng)基本要素的研究。分析任何動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)通常遵照以上步驟。對(duì)于二維或高維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，一般不分析勢(shì)函數(shù)，并且相圖和分岔圖的形式相較于一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)略有差異。一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和正負(fù)反饋暫且拋開(kāi)相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和論證，下面我們?cè)囍酝ㄋ椎囊暯撬伎既缦聠?wèn)題：為什么一維動(dòng)力學(xué)

32、系統(tǒng)可能表現(xiàn)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定？為什么一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)可能表現(xiàn)為吸引子或排斥子？首先回到第一章討論的一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)： = 通過(guò)分析我們知道該系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn)為 0，穩(wěn)定性與參數(shù) 有關(guān)。當(dāng) 小于 0 時(shí)，平衡點(diǎn)為吸引子，穩(wěn)定性表現(xiàn)為穩(wěn)定，微分方程的解表現(xiàn)為指數(shù)衰減。當(dāng) 大于 0 時(shí)，平衡點(diǎn)為排斥子，穩(wěn)定性表現(xiàn)為不穩(wěn)定，微分方程的解表現(xiàn)為指數(shù)增長(zhǎng)。讓我們換一種方式表述：當(dāng) 小于 0 時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)只存在負(fù)反饋，即“逆勢(shì)而為”。此時(shí)若 x 為正數(shù)，則 x 的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，下一刻 x 將減??；若 x 為負(fù)數(shù)，則 x 的導(dǎo)數(shù)為正，下一刻 x 將增大。無(wú)論 x 取何值，負(fù)反饋使得系統(tǒng)總是將 x 朝 0 的

33、方向吸引。經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，x 將歸于 0，系統(tǒng)趨于靜止和穩(wěn)定。當(dāng) 大于 0 時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)只存在正反饋，即“順勢(shì)而為”。此時(shí)若 x 為正數(shù)，則 x 的導(dǎo)數(shù)為正，下一刻 x 將增大；若 x 為負(fù)數(shù)，則 x 的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，下一刻 x 將減小。無(wú)論 x 取何值，正反饋使得系統(tǒng)總是將 x 向 0 的反方向排斥。經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，x 將歸于正負(fù)無(wú)窮，系統(tǒng)趨于發(fā)散和不穩(wěn)定?？偨Y(jié)：一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最終狀態(tài)與初始條件無(wú)關(guān)，僅與參數(shù) 有關(guān)。當(dāng) 小于 0時(shí)，系統(tǒng)只存在負(fù)反饋，系統(tǒng)最終趨于靜止和穩(wěn)定。當(dāng) 大于 0 時(shí)，系統(tǒng)只存在正反饋，系統(tǒng)最終趨于發(fā)散和不穩(wěn)定。接下來(lái)我們考察一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一般形式： = ()為

34、了求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令 = 0，求解方程() = 0，得到一系列實(shí)根。系統(tǒng)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)就等于不重合的實(shí)根個(gè)數(shù)，也等于相圖中 = ()圖像和橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)于每個(gè)平衡點(diǎn)，計(jì)算 = ()在平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)()，() 0 代表該平衡點(diǎn)為排斥子。圖表15： 一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和正負(fù)反饋資料來(lái)源：華泰證券研究所對(duì)照上圖，讓我們換一種方式表述：對(duì)于某個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)()為負(fù)時(shí)，該點(diǎn)為吸引子，在該點(diǎn)局部只存在負(fù)反饋，即“逆勢(shì)而為”。此時(shí)若 x 在該點(diǎn)右側(cè)，則導(dǎo)數(shù)為負(fù)，下一刻 x 將減小，向左側(cè)移動(dòng)；若 x 在該點(diǎn)左側(cè)，則導(dǎo)數(shù)為正，下一刻 x 將增大，向右側(cè)移動(dòng)。在該點(diǎn)附近的區(qū)域，無(wú)論 x 取何值，負(fù)反饋使

35、得系統(tǒng)總是將 x 朝該點(diǎn)的方向吸引。經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，x 將歸于該平衡點(diǎn)，系統(tǒng)趨于靜止和穩(wěn)定。對(duì)于某個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)()為正時(shí)，該點(diǎn)為排斥子，在該點(diǎn)局部只存在正反饋，即“順勢(shì)而為”。此時(shí)若 x 在該點(diǎn)右側(cè)，則導(dǎo)數(shù)為正，下一刻 x 將增大，向右側(cè)移動(dòng)；若 x 在該點(diǎn)左側(cè)，則導(dǎo)數(shù)為負(fù)，下一刻 x 將減小，向左側(cè)移動(dòng)。在該點(diǎn)附近的區(qū)域，無(wú)論 x 取何值，正反饋使得系統(tǒng)總是將 x 向該點(diǎn)的反方向排斥。經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，x 可能歸于正負(fù)無(wú)窮，系統(tǒng)趨于發(fā)散和不穩(wěn)定，也可能歸于另一個(gè)吸引子?？偨Y(jié)：一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最終狀態(tài)取決于初始條件，也取決于系統(tǒng)微分方程的具體形式。對(duì)于任意給定的初始條件，一維動(dòng)力

36、學(xué)系統(tǒng)的最終狀態(tài)取決于微分方程在鄰近平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于 0 時(shí)，系統(tǒng)局部只存在負(fù)反饋，系統(tǒng)最終歸于該平衡點(diǎn)，系統(tǒng)趨于靜止和穩(wěn)定。當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于 0 時(shí)，系統(tǒng)局部只存在正反饋，系統(tǒng)最終趨于發(fā)散和不穩(wěn)定，或者歸于另一個(gè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)的平衡點(diǎn)。通過(guò)對(duì)一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和更一般的一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析，我們可以得到如下結(jié)論：一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的核心是正負(fù)反饋。系統(tǒng)局部由負(fù)反饋主導(dǎo)時(shí)，系統(tǒng)最終趨于靜止和穩(wěn)定；系統(tǒng)局部由正反饋主導(dǎo)時(shí)，系統(tǒng)總體趨于發(fā)散和不穩(wěn)定。負(fù)反饋在生活中無(wú)處不在?？照{(diào)、冰箱的溫度控制系統(tǒng)就是基于負(fù)反饋原理設(shè)計(jì)，人體的體溫調(diào)節(jié)也遵循負(fù)反饋控制，它們的控制目標(biāo)都是使溫度趨于穩(wěn)定。如果體溫調(diào)節(jié)為正反

37、饋系統(tǒng)，體溫趨于發(fā)散，生命系統(tǒng)將無(wú)法維持。金融市場(chǎng)中，套利者、做市商的存在也是市場(chǎng)的負(fù)反饋機(jī)制，使得資產(chǎn)定價(jià)維持在相對(duì)合理范圍。正反饋在生活中同樣存在。血液凝固、排尿反射都是人體正常的正反饋調(diào)節(jié)。金融市場(chǎng)中，牛市里投資者的追漲、加杠桿等行為也屬于正反饋，使得最初的趨勢(shì)不可避免地走向發(fā)散和泡沫破裂。本章最后，我們回顧一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最終狀態(tài)，僅存在 1）穩(wěn)定于吸引子和 2）發(fā)散于無(wú)窮兩種狀態(tài)。換言之，一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)只可能是定點(diǎn)（吸引子）。二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與周期相比于一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)盡管只增加了一個(gè)維度，但是其蘊(yùn)含的變化和展現(xiàn)出的復(fù)雜性卻遠(yuǎn)超一維系統(tǒng)，能夠刻畫(huà)更紛繁的自然和社會(huì)現(xiàn)

38、象，被很多人稱為理解世間萬(wàn)象的“眾妙之門”。本章首先從最簡(jiǎn)單的二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)開(kāi)始，理解二維系統(tǒng)的多種穩(wěn)定點(diǎn)及其穩(wěn)定性，其次介紹特殊的二維系統(tǒng)彈簧振子，隨后拓展到二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。本章的核心結(jié)論是：二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)如果不是定點(diǎn)，那么便是周期（龐加萊本迪克松定理）；當(dāng)狀態(tài)變量相互之間的正負(fù)反饋占據(jù)主導(dǎo)時(shí)，系統(tǒng)趨于周期運(yùn)動(dòng)。二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)回憶一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程： = 二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)增加一個(gè)新的狀態(tài)變量 y，x 和 y 的改變量同時(shí)受彼此影響，其微分方程的一般形式為：寫(xiě)成矩陣乘法的形式： = + = + () = () () = ()相比于一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

39、僅包含 1 個(gè)參數(shù) ，二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)包含 4 個(gè)參數(shù)，而這4 個(gè)參數(shù)可以統(tǒng)一表示成矩陣 L，稱為系數(shù)矩陣（coefficient matrix）。再次回憶一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性：平衡點(diǎn)為 = 0，穩(wěn)定性取決于參數(shù)的正負(fù)。當(dāng) 為負(fù)數(shù)時(shí)，平衡點(diǎn)為吸引子，系統(tǒng)穩(wěn)定，表現(xiàn)為指數(shù)衰減；當(dāng) 為正數(shù)時(shí)，平衡點(diǎn)為排斥子，系統(tǒng)不穩(wěn)定，表現(xiàn)為指數(shù)增長(zhǎng)。類似地，我們考察二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。易知，當(dāng)和均等于 0 時(shí)，x和 y 均等于 0，即系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為(, ) = (0,0)。類比一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，我們猜測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)與系數(shù)矩陣 L 的特征有關(guān)。事實(shí)上，二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

40、取決于系數(shù)矩陣 L 的兩個(gè)重要特征：跡 tr（trace）和行列式 det（determinant）。更確切地說(shuō)，取決于系數(shù)矩陣 L 的特征值 1）是否包含虛部，以及 2）實(shí)部的正負(fù)。L 的跡為主對(duì)角線元素之和（即 ad），二階方陣 L 的行列式為主對(duì)角線元素之積減去副對(duì)角線元素之積（即 adbc）。下面我們求解 L 的特征值 ：| | = 2 ( + ) + = 01 ()2()1 21,2 = 2 + 一元二次方程的判別式：一元二次方程的韋達(dá)定理： + 4 = 2 ( = 2 4 4) 1 + 2 = + = 12 = = 當(dāng)判別式2 4 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，1和2均為實(shí)數(shù)，不包

41、含虛部。當(dāng)判別式2 4 = 0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，1和2均為實(shí)數(shù)，不包含虛部。當(dāng)判別式2 4 0, = 2 4 = 42 0對(duì)應(yīng)第 8 種相圖形態(tài)中心。振子的位置 x 和速度 y 做循環(huán)往復(fù)的周期運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，直接求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，可得“上帝視角”的解：() = 1 + 2求解過(guò)程從略。其中 1 和 2 為 L 的兩個(gè)特征值，1,2i。將特征值代入，得到：() = + = 2 cos 其中第二個(gè)等號(hào)根據(jù)歐拉公式推得。上式中 c 為由初始條件決定的常數(shù)。振子位置 x 的運(yùn)動(dòng)方程為周期振動(dòng)的余弦波，位置隨時(shí)間變化的圖像如下。圖表28： 彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)06420 x(2)(4)(6)t

42、資料來(lái)源：華泰證券研究所阻尼振動(dòng)當(dāng)阻尼因子 0 時(shí)，系數(shù)矩陣 L 為： = ( 0 2矩陣的跡 tr、行列式 det 和判別式 分別為：12) = 2 0, = 2 4 = 42 42判別式的正負(fù)號(hào)取決于阻尼因子 和固有頻率 的大小關(guān)系，下面進(jìn)行討論。當(dāng) 時(shí)，判別式為正，特征值為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)。結(jié)合 tr0、det0，可知兩個(gè)特征值均為負(fù)，對(duì)應(yīng)第 1 種相圖形態(tài)匯點(diǎn)。振子的位置 x 和速度 y 沿特征向量方向匯聚到平衡點(diǎn)。此時(shí)，直接求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，可得“上帝視角”的解：() = 11 + 22求解過(guò)程從略。其中 c1 和 c2 是由初始條件決定的常數(shù)，1 和 2 為 L 的兩個(gè)特征值：

43、1,2 = 2 2將特征值代入，得到：() = (122 + 222)振子位置 x 的運(yùn)動(dòng)方程為指數(shù)衰減，位置隨時(shí)間變化的圖像如下。圖表29： 彈簧振子的指數(shù)衰減0642x0(2)(4)(6)t資料來(lái)源：華泰證券研究所當(dāng) 時(shí)，判別式為 0，特征值為兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)。結(jié)合 tr0、det0，可知兩個(gè)特征值均為負(fù)，對(duì)應(yīng)第 4 種相圖形態(tài)退化匯點(diǎn)。振子的位置 x 和速度 y 沿非零特征向量方向匯聚到平衡點(diǎn)。這種情況是第 1 種情況在 12 時(shí)的特例，易得：() = 其中 c 是由初始條件決定的常數(shù)。振子位置 x 的運(yùn)動(dòng)方程同樣為指數(shù)衰減。當(dāng) 時(shí)，判別式為負(fù)，特征值為兩個(gè)共軛的虛數(shù)。結(jié)合 tr0，可知兩

44、個(gè)特征值的實(shí)部為負(fù)，對(duì)應(yīng)第 9 種相圖形態(tài)螺旋匯點(diǎn)。振子的位置 x 和速度 y 以螺旋方式匯聚到平衡點(diǎn)。微分方程的解和第 1 種情況相同，我們?nèi)詮脑摗吧系垡暯恰钡慕獬霭l(fā)：() = 11 + 22此時(shí) L 的兩個(gè)特征值 1 和 2 為：1,2 = 2 2 = 2 2將特征值代入，根據(jù)歐拉公式，得到：() = (122 + 222) = cos(2 2 + )其中 c1、c2、c 是由初始條件決定的常數(shù)，c1 和 c2 為共軛的虛數(shù)， 為初始相位： = arctan( )上述運(yùn)動(dòng)方程包含兩部分，e-t 代表振幅隨指數(shù)衰減，余弦函數(shù) cos 代表周期運(yùn)動(dòng)，稱這種運(yùn)動(dòng)形式為阻尼振動(dòng)，振子位置 x 位置

45、隨時(shí)間變化的圖像如下。圖表30： 彈簧振子的阻尼衰減0642x0(2)(4)(6)t資料來(lái)源：華泰證券研究所綜合以上對(duì)彈簧振子的分析，我們發(fā)現(xiàn)阻尼因子 決定了該二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最終狀態(tài)， 時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)衰減，0 時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為阻尼振動(dòng)，0 時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng) 時(shí)，振子展現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng)的特性。系統(tǒng)穩(wěn)定性隨參數(shù)變化而發(fā)生改變的現(xiàn)象稱為分岔，系統(tǒng)在參數(shù)臨界位置下穩(wěn)定性的改變稱為相變（phase transition）。至此我們對(duì)二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的探索將告一段落。接下來(lái)我們考察更為復(fù)雜的二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一般形式為： = (, ) = (, )如何研

46、究二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)？我們首先回憶從一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)擴(kuò)展到一維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究思路，隨后嘗試類比到二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)回顧任意一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)均可以表示成如下形式： = ()對(duì)于一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，f(x)僅包含 x 的一次項(xiàng)： = () = 令 = 0，解得平衡點(diǎn)為 = 0，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于參數(shù) 的正負(fù)號(hào)。注意到 實(shí)際上等價(jià)于 f(x)在平衡點(diǎn) 0 處的導(dǎo)數(shù)： = ( = 0) = ()|=我們不妨換一種表述方式，一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于(0)的正負(fù)號(hào)：當(dāng)(0)為負(fù)時(shí)，平衡點(diǎn)為吸引子，穩(wěn)定性為穩(wěn)定，系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)衰減；當(dāng)(0)為正時(shí)，平衡點(diǎn)為排斥子，穩(wěn)定性

47、為不穩(wěn)定，系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)增長(zhǎng)；當(dāng)(0)為 0 時(shí)，穩(wěn)定性為中性穩(wěn)定，系統(tǒng)表現(xiàn)為恒定不變。對(duì)于一維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，f(x)可以為任意形式： = ()令 = 0，解得若干平衡點(diǎn)。對(duì)于每個(gè)平衡點(diǎn)，穩(wěn)定性取決于 f(x)在平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即：() = ()|=當(dāng)()為負(fù)時(shí)，該平衡點(diǎn)為吸引子，穩(wěn)定性為穩(wěn)定，系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)衰減，最終狀態(tài)為歸于該平衡點(diǎn)；當(dāng)()為正時(shí)，該平衡點(diǎn)為排斥子，穩(wěn)定性為不穩(wěn)定，系統(tǒng)表現(xiàn)為指數(shù)增長(zhǎng)，最終狀態(tài)為發(fā)散或歸于另一個(gè)平衡點(diǎn)；當(dāng)()為 0 時(shí)，該平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，穩(wěn)定性為半穩(wěn)定，最終狀態(tài)取決于初始條件。由此可見(jiàn)，一維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的研究方法是相似的，首先求平衡點(diǎn)，其次判

48、斷 f(x)在平衡點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)確定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)推廣實(shí)際上，二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的研究方法也是相似的。任意二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)均可以表示成如下形式： = (, ) = (, )對(duì)于二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，f(x)和 g(x)僅包含 x 和 y 的一次項(xiàng)： = (, ) = + = (, ) = + 或表示成系數(shù)矩陣 L 的形式：() = () () = ()令(, ) = (0,0)，解得平衡點(diǎn)(, ) = (0,0)。平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于系數(shù)矩陣 L 的判別式 tr24det、跡 tr 和行列式 det。根據(jù)判別式的正負(fù)（即 L 特征值是否包含虛部）判斷相圖軌

49、跡是否存在周期性，根據(jù)跡和行列式的正負(fù)（即 L 特征值實(shí)部的正負(fù)）判斷平衡點(diǎn)是匯聚（穩(wěn)定）、發(fā)散（不穩(wěn)定）還是鞍點(diǎn)（半穩(wěn)定）。接下來(lái)介紹本節(jié)最重要的推導(dǎo)。參數(shù)矩陣 L 實(shí)際上等價(jià)于在平衡點(diǎn)處微分方程組的雅可比矩陣（Jacobi matrix）： = ( = 0, = 0) = ( |) =,=雅可比矩陣是多變量函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)以固定方式排列成的矩陣，其中第 i 行第 j 列元素為第 i 個(gè)函數(shù)關(guān)于第 j 個(gè)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)，雅可比矩陣通常以字母 J 表示。引入雅可比矩陣的概念后，我們可以這樣表述：二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于平衡點(diǎn)處微分方程組雅可比矩陣 J(0,0)的判別式 tr24det

50、、跡 tr 和行列式 det。對(duì)于二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，f(x)和 g(x)可以為任意形式： = (, ) = (, )令(, ) = (0,0)，解得若干平衡點(diǎn)(, )。每個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于該平衡點(diǎn)處雅可比矩陣(, )的判別式 tr24det、跡 tr 和行列式 det。根據(jù)判別式的正負(fù)判斷該平衡點(diǎn)附近的軌跡是否存在周期性，根據(jù)跡和行列式的正負(fù)判斷該平衡點(diǎn)的匯聚（穩(wěn)定）、發(fā)散（不穩(wěn)定）還是鞍點(diǎn)（半穩(wěn)定）。總的來(lái)看，二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的研究方法也是相似的，首先求平衡點(diǎn)，其次判斷平衡點(diǎn)處雅可比矩陣的判別式、跡和行列式。根據(jù)判別式的正負(fù)判斷平衡點(diǎn)附近軌跡是否存在周期性，根據(jù)跡和行列

51、式的正負(fù)判斷平衡點(diǎn)是匯聚（穩(wěn)定）、發(fā)散（不穩(wěn)定）還是鞍點(diǎn)（半穩(wěn)定）。實(shí)例：同宿軌道接下來(lái)我們?cè)嚺e一例，考察下面的二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)： = (, ) = 2 = (, ) = 首先求解平衡點(diǎn)，令(, ) = (0,0)，解下列二元方程組： 2 = 0 = 0解得兩個(gè)平衡點(diǎn)(1, 1) = (0,0)和(2, 2) = (0,1)。其次求解雅可比矩陣： = = (01 2) (計(jì)算兩個(gè)平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣： 10)(1, 1) = (01) , (2, 2) = (0 1)1010對(duì)于第 1 個(gè)平衡點(diǎn)(0,0)，跡 tr0，行列式 det10，判別式 tr24det40。判別式為正，兩個(gè)特征值之

52、積小于 0，表明兩個(gè)特征值為一正一負(fù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)，該平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，穩(wěn)定性為半穩(wěn)定。對(duì)于第 2 個(gè)平衡點(diǎn)(0,1)，跡 tr0，行列式 det10，判別式 tr24det40。判別式為負(fù)，兩個(gè)特征值之和等于 0，表明兩個(gè)特征值為實(shí)部為 0 的共軛虛數(shù)，該平衡點(diǎn)為中心，穩(wěn)定性為中性穩(wěn)定，該平衡點(diǎn)附近的軌跡為閉合圓環(huán)。圖表31： 二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)同宿軌道的相圖資料來(lái)源：華泰證券研究所我們繪制該二維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的相圖，相圖表明上述分析是正確的。相圖中包含兩個(gè)平衡點(diǎn)?？肯碌钠胶恻c(diǎn)為鞍點(diǎn)，其周圍的軌跡沿左上右下方向匯聚到鞍點(diǎn)附近，隨后從鞍點(diǎn)附近沿右上左下方向發(fā)散?？可系钠胶恻c(diǎn)為中心，其周圍的軌跡以逆

53、時(shí)針?lè)较蚶@中心做周期運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)最終狀態(tài)取決于初始狀態(tài)，即點(diǎn)在相圖的初始位置，可能發(fā)散，可能落在鞍點(diǎn)，也可能繞中心做周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，該相圖是同宿軌道（homoclinic orbit）的一種，關(guān)于同宿軌道本文暫不展開(kāi)。龐加萊本迪克松定理在考察多種二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)之后，我們觀察到系統(tǒng)的最終狀態(tài)只存在有限種可能：發(fā)散，匯聚到定點(diǎn)，繞中心做周期運(yùn)動(dòng)。其中前者為不穩(wěn)定狀態(tài)，后兩者為穩(wěn)定狀態(tài)。二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是否存在其它可能的穩(wěn)態(tài)？事實(shí)上，答案是否定的，這一問(wèn)題可以由著名的龐加萊本迪克松定理（Poincre-Bendixon theorem）回答。龐加萊-本迪克松定理的一種通俗表述為：在無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，二維

54、動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相圖在有限區(qū)域內(nèi)的軌跡若非歸于定點(diǎn)，那么軌跡便是閉合圓環(huán)或者收斂至閉合圓環(huán)。更通俗的表述是：二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)如果不是定點(diǎn)，那么便是周期。二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生周期的條件本章的最后，我們?cè)囍酝ㄋ椎囊暯撬伎既缦聠?wèn)題：何種條件下，二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)展現(xiàn)出周期性？我們從微分方程解和系數(shù)矩陣兩個(gè)視角嘗試解釋。第二種系數(shù)矩陣的解釋以及引申出的探討是全文最重要的論述。微分方程解的解釋第一種解釋從二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)微分方程“上帝視角”的解出發(fā)。對(duì)于如下系統(tǒng)： = + = + 寫(xiě)成矩陣乘法的形式：() = () () = ()求解上述二元一階齊次常微分方程組，可得通解：() ()(1) = 111 +

55、222 = 11 ( 11(2)(1) + 22 ( 2 )2(2)其中 c1 和 c2 是由初始條件決定的常數(shù)，1 和 2 是系數(shù)矩陣 L 的特征值，v1 和 v2 是其對(duì)應(yīng)的特征向量，v1 和 v2 均為長(zhǎng)度為 2 的列向量。如何才能使上面的通解產(chǎn)生周期？我們采用排除法來(lái)推測(cè)：對(duì)于常數(shù) c 和特征向量 v，不可能產(chǎn)生周期。因此周期產(chǎn)生的關(guān)鍵應(yīng)該在 et 這一項(xiàng)。如果特征值 是實(shí)數(shù)，那么 et 隨 的正負(fù)表現(xiàn)為指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減，也不可能產(chǎn)生周期。因此周期產(chǎn)生的關(guān)鍵在于 必須包含虛部，即表示成 abi 的形式，且 b0。此時(shí)，et 可以寫(xiě)成 eateibt 的形式。當(dāng) a0 時(shí)，系統(tǒng)仍包含指

56、數(shù)增長(zhǎng)項(xiàng) eat，最終仍會(huì)趨向于發(fā)散；當(dāng) a0 時(shí)，系統(tǒng)仍包含指數(shù)衰減項(xiàng) eat，最終仍會(huì)趨向于定點(diǎn)。因此周期產(chǎn)生的關(guān)鍵在于 的實(shí)部 a 必須等于 0。當(dāng) a0 時(shí)，et 可以寫(xiě)成 eibt。根據(jù)歐拉公式： = cos + sin 此時(shí)，微分方程的解必然包含余弦函數(shù)和正弦函數(shù)項(xiàng)，存在穩(wěn)定的周期。由此可知，穩(wěn)定周期產(chǎn)生的條件是 L 的特征值必須為純虛數(shù)，其充要條件為判別式 tr2-4det0 并且跡 tr0。系數(shù)矩陣的解釋第二種解釋從二維線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣出發(fā)。對(duì)于如下系統(tǒng)： = + = + 寫(xiě)成矩陣乘法的形式：() = () () = ()當(dāng)平衡點(diǎn)為中心，即軌跡為閉合圓環(huán)的條件是系數(shù)矩陣

57、 L 滿足下列條件：判別式 tr2-4det0；矩陣的跡 trad0?？梢酝浦篴 和 d 互為相反數(shù)，ad0；矩陣的行列式 detadbc0，即 adbc。進(jìn)而推知：bc0，b 和 c 異號(hào)；由于 ad 和 bc 均為非正數(shù)，|ad|bc|。關(guān)于四個(gè)參數(shù)，可以作如下解讀：a 代表 x 對(duì) x 的影響，b 代表 y 對(duì) x 的影響，c 代表 x對(duì) y 的影響，d 代表 y 對(duì) y 的影響。參數(shù)的符號(hào)代表影響方向，正數(shù)代表正反饋，負(fù)數(shù)代表負(fù)反饋。參數(shù)的絕對(duì)值代表影響程度，絕對(duì)值越大代表影響越強(qiáng)。那么，上面的兩個(gè)結(jié)論可以“翻譯”為：b 和 c 異號(hào)，意味著“y 對(duì) x 的影響”和“x 對(duì) y 的影

58、響”方向相反。兩個(gè)狀態(tài)變量中， y 對(duì) x 為正反饋（或負(fù)反饋），反過(guò)來(lái) x 對(duì) y 為負(fù)反饋（或正反饋）。換言之，狀態(tài)變量相互之間同時(shí)存在正反饋和負(fù)反饋。|ad|bc|，意味著“自己對(duì)自己的影響”小于“別人對(duì)自己的影響”。換言之，以 bc為代表的“狀態(tài)變量相互之間的正負(fù)反饋”應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)作用。對(duì)以上兩點(diǎn)還可以做進(jìn)一步思考：變量相互之間的正負(fù)反饋是合理的。如果只存在負(fù)反饋，系統(tǒng)將歸于定點(diǎn)，最終寂滅；如果只存在正反饋，系統(tǒng)將走向發(fā)散，最終湮滅。正負(fù)反饋的綜合才能造就周期?！白约簩?duì)自己的影響”小于“別人對(duì)自己的影響”也是合理的。如果每個(gè)變量受自身影響占據(jù)主導(dǎo)，那么其本質(zhì)仍是一維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，而一維動(dòng)力

59、學(xué)系統(tǒng)不存在周期性。一句話概括：當(dāng)狀態(tài)變量相互之間的正負(fù)反饋占據(jù)主導(dǎo)時(shí)，二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)趨于周期運(yùn)動(dòng)。正負(fù)反饋與周期很多人認(rèn)為二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是理解世間萬(wàn)象的“眾妙之門”，一個(gè)重要的原因是，上面這句話很有可能道出了世界周而復(fù)始運(yùn)轉(zhuǎn)的本質(zhì)。世界唯一不變的是變化本身。定點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)不常見(jiàn)，因?yàn)槎c(diǎn)往往意味著寂滅。發(fā)散的不穩(wěn)定狀態(tài)也不常見(jiàn)，因?yàn)榘l(fā)散終歸會(huì)走向湮滅。日升月落，寒來(lái)暑往，潮汐有信，聚散有時(shí)。我們能觀察到的長(zhǎng)期維持的穩(wěn)態(tài)，往往都以周期或者類周期的形式存在。天體的周期運(yùn)行可以用簡(jiǎn)單的物理學(xué)定律刻畫(huà)，然而自然界和人類社會(huì)更多的周期現(xiàn)象，是由無(wú)數(shù)微觀個(gè)體相互作用而形成的系統(tǒng)系別的周期，我們認(rèn)為理解系統(tǒng)的

60、周期需要借助動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。實(shí)際上，即使是簡(jiǎn)單的二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，也能夠模糊地刻畫(huà)一部分周期現(xiàn)象，核心都是從系統(tǒng)內(nèi)拆分出兩個(gè)對(duì)立的變量，捕捉兩個(gè)變量相互之間的正負(fù)反饋：自然界中捕食者和獵物數(shù)量的動(dòng)態(tài)平衡可以由經(jīng)典的 Lotka-Volterra 模型刻畫(huà)。在這個(gè)二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型中，捕食者數(shù)量和獵物數(shù)量是兩個(gè)對(duì)立的變量。獵物越多，捕食者就越多，這是正反饋部分。捕食者越多，獵物的生存空間受限，獵物反而會(huì)越少，這是負(fù)反饋部分。變量相互間的正負(fù)反饋使得兩者數(shù)量都呈現(xiàn)周期性的波動(dòng)。中國(guó)古代每隔兩三百年的治亂周期可以由二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)刻畫(huà)。將封建社會(huì)看成官民兩個(gè)對(duì)立變量構(gòu)成的系統(tǒng)。納稅的民眾數(shù)量越多，能夠供養(yǎng)的