同濟(jì)五版5對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

1、4 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化1定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則p1, p2, , pm 線性無關(guān) （P.120定理2）2可逆矩陣 P ，滿足 P 1AP = L （對(duì)角陣）AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, , n)A 的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量其中?(Ali E) pi = 0 矩陣 P 的列向量組線性無關(guān)3定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同

2、，則p1, p2, , pm 線性無關(guān)（P.120定理2）定理： n 階矩陣 A 和對(duì)角陣相似（即 A 能對(duì)角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量（P.123定理4）推論：如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對(duì)角陣相似說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化（P.118例6）4定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則p1, p2, , pm 線性無關(guān)（P.120定理2）定理：設(shè) l1 和 l2 是對(duì)稱陣

3、A 的特征值， p1, p2 是對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 l1 l2 ，則 p1, p2 正交（P.124定理6）證明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是對(duì)稱陣）l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0因?yàn)閘1 l2 ，則 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交5定理：設(shè) A 為 n 階對(duì)稱陣，則必有正交陣 P，使得P 1AP = PTAP = L，其中 L 是以 A

4、的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一）.（P.124定理7）定理： n 階矩陣 A 和對(duì)角陣相似（即 A 能對(duì)角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 （P.123定理4）推論：如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對(duì)角陣相似說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化6定理： n 階矩陣 A 和對(duì)角陣相似（即 A 能對(duì)角化）的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 （P.123定理4）推論：如果 A 有 n 個(gè)不同的特征值，則 A 和對(duì)角陣相似說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時(shí)，就不一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向

5、量，從而不一定能對(duì)角化推論：設(shè) A 為 n 階對(duì)稱陣，l 是 A 的特征方程的 k 重根，則矩陣 A lE 的秩等于 n k，恰有 k 個(gè)線性無關(guān)的特征向量與特征值 l 對(duì)應(yīng)7例：設(shè) ，求正交陣 P，使P1AP = L對(duì)角陣.解：因?yàn)?A 是對(duì)稱陣，所以 A 可以對(duì)角化求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 8當(dāng) l1 = 2 時(shí)， 解方程組 (A + 2E) x = 0 ，得基礎(chǔ)解系 當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)， 解方程組 (AE) x = 0 ，得 令 ，則 . 問題：這樣的解法對(duì)嗎？9當(dāng) l1 = 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特

6、征向量為 .顯然，必有x1x2 ， x1x3 ，但x2x3 未必成立于是把 x2, x3 正交化：此時(shí)x1h2 ， x1h3 ，h2h3 10單位化：當(dāng) l1 = 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 .11當(dāng) l1 = 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng) l2 = l3 = 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為于是 p1, p2, p3 構(gòu)成正交陣從而 12把對(duì)稱陣 A 對(duì)角化的步驟為：求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ，它們的重?cái)?shù)依次為k1, k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n）對(duì)每個(gè) ki 重特征值 li ，求方程組 |

7、 Ali E | = 0 的基礎(chǔ)解系，得 ki 個(gè)線性無關(guān)的特征向量把這 ki 個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個(gè)兩兩正交的單位特征向量因?yàn)閗1 + k2 + + ks = n ，總共可得 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量這 n 個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P，便有P 1AP = L L 中對(duì)角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng).13例：設(shè) ，求 An .分析：數(shù)學(xué)歸納法14定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同,從而 A 和 B 的特征值也相同推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的多項(xiàng)式 j (B) 相似若 n 階矩陣 A 和 n 階對(duì)角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，則從而通過計(jì)算j (L) 可方便地計(jì)算j (A).若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩陣）.15例：設(shè) ，求 An .分析：數(shù)學(xué)歸納法因?yàn)?A 是對(duì)稱陣，所以 A 可以對(duì)角化求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣 P 16下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣 P