中考數(shù)學(xué)幾何題總匯

1、中考數(shù)學(xué)幾何題總匯1.三角形的有關(guān)概念知識考點：理解三角形三邊的關(guān)系及三角形的主要線段（中線、高線、角平分線）和三角形的內(nèi)角和定理。關(guān)鍵是正確理解有 關(guān)概念，學(xué)會概念和定理的運用。應(yīng)用方程知識求解幾何題 是這部分知識常用的方法。精典例題：例1已知一個三角形中兩條邊的長分別是八人且a b，那么這個三角形的周長L的取值范圍是（A、3a L 3bB、2(。+ h) L 2(iC 2a6+b L2b + aD、3a-b L a + 2l分析：涉及構(gòu)成三角形三邊關(guān)系問題時，一定要同時考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和O答案:B變式與思考：在aABC中，AC=5,中線AD=7,則AB邊的 取值范圍是（A

2、、1AB29 B、4AB24 C、5AB19D、9ABZA；(2)試判斷在ABC外，又和點A在直線/的同側(cè)，是 否存在一點Q,使NBQONA,并證明你的結(jié)論。(1)連結(jié)AP,易證明NPNA；(2)存在，怎樣的角與NA相等呢？利用同弧上的圓周角相等，可考慮構(gòu)造aABC的外接。0,易知弦BC所對且頂點 在弧A,B,和弧AC上的圓周角都與NA相等，因此點Q應(yīng) 在弓形A,B和A,(內(nèi)，利用圓的有關(guān)性質(zhì)易證明(證明略)?！締栴}二】如圖，已知P是等邊aABC的BC邊上任意一點, 過P點分別作AB、AC的垂線PE、PD,垂足為E、Do問： AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關(guān)系？分析與結(jié)論：(1) D

3、E是4AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD +AE=BE+BC+CD(2)既有等邊三角形的條件，就有60的角可以利用；又 有垂線，可造成含30角的直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來證明。略解：在等邊aABC中，ZB=ZC=60 又TPELAB 于 E, PDACD :.ZBPE=ZCPD=30不妨設(shè)等邊aABC的邊長為1,=A- 9 CD = y 9 那么：BP = 2x 9 PC=2y, x + y = -9 而 AE= -x ,2AD = 1 一 yAE + AD = 2 - (x + y) = 1又；BE+CD+BC=v)+i=mAAD+AE=BE+BC+CD從而 A

4、D+AE+DE=BE+BC+CD+DE即4AED的周長等于四邊形EBCD的周長。評注：本題若不認(rèn)真分析三角形的邊角關(guān)系，而想走“全 等三角形”的道路是很難奏效的。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題:1、三角形的三邊為1,1一。99,貝！1”的取值范圍是2、已知三角形兩邊的長分別為1和2,如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為3、在aABC 中，若NC=2 (ZA+ZB),則NC=度。4、如果AABC的一個外角等于150,且NB=NC,則NA 5、如果aABC中，ZACB=90, CD是AB邊上的高，則與NA 相等的角是 O6、如圖，在aABC中，ZA=80, NABC和NACB的外角平 分線相交于點D,那

5、么NBDC=o7、如圖，CE 平分NACB,且 CEDB, ZDAB=ZDBA, AC= 18cm, ZkCBD 的周長為 28 cm,則 DB=。8、紙片aABC中，ZA=65, ZB=75,將紙片的一角折疊, 使點C落在aABC內(nèi)(如圖)，若Nl=20,則N2的度數(shù) 為 o9、在aABC 中，ZA=50,高 BE、CF 交于點 0,則NB0C10、若aABC的三邊分別為八b、c，要使整式(- Z? + c)(一 一 c)” 0 ,則整數(shù)”應(yīng)為二、選擇題：1、若aABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10,則這樣的 三角形共有（） TOC o 1-5 h z A、6個B、7個C、8個D、9個2、

6、在ABC 中，AB=AC, D 在 AC 上，且 BD=BC=AD,貝！|NA 的度數(shù)為（）A、30B、36C、45D、72 3、等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分，則此三角形底邊之長為（）A、7B、11C、7 或 11D、不能確定 4、在AABC中，NB=50,ABAC,則NA的取值范圍是（B、0ZAD、80ZAA、0ZA18080C、50ZA130 0的三條線段可以組成,只要40,長為2 +。， 3 +。, 5 +。三角形設(shè)長為5 +的線段所對的角為a,貝卜為aABC的最大角又由 (2 + ) + (3 +(i) (5 +(i) =-12當(dāng) 2_12 = 0 9 即 =2右時，

7、ZkABC為直角三角形。3、34、(1) “； (2) 2或J (3) 4V0PV2； (4) 0V0PV色或 2220P22.全等三角形知識考點：掌握用三角形全等的判定定理來解決有關(guān)的證明和計 算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形 全等。精典例題：【例1】如圖，已知ABBC, DCBC, E在BC上，AE=AD, AB=BCo 求證：CE=CDo分析：作AFJ_CD的延長線（證明略） 評注：尋求全等的條件，在證明兩條線段（或兩個角）相等時，若它們所在的兩個三角形不全等，就必須添加輔助 線，構(gòu)造全等三角形，常見輔助線有：連結(jié)某兩個已知點; 過已知點作某已知直線的平行線；延長某已

8、知線段到某 個點，或與已知直線相交；作一角等于已知角?！纠?】如圖，已知在aABC中，ZC=2ZB, Z1 = Z2, 求證：AB=AC+CDo分析：采用截長補短法，延長AC至E,使AE=AB,連結(jié) DE；也可在AB上截取AE=AC,再證明EB=CD （證明略）。 探索與創(chuàng)新：【問題一】閱讀下題：如圖，P是AABC中BC邊上一點, E 是 AP 上的一點，若 EB=EC, Z1 = Z2,求證：AP_LBC。證明：在AABE 和4ACE 中，EB=EC, AE=AE, Z1 = Z 2AAABEAACE （第一步）AAB=AC, Z3 = Z4 （第二步）AAPBC （等腰三角形三線合一）上面

9、的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；若不正確，請指出關(guān)鍵錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為 正確的證明過程。略解：不正確，錯在第一步。正確證法為：VBE=CE，ZEBC=ZECB又N1 = N2A ZABC=ZACB, AB=ACAAABEAACE (SAS)AZ3 = Z4又AB=ACAAPBC評注：本題是以考查學(xué)生練習(xí)中常見錯誤為閱讀材料設(shè)計 而成的閱讀性試題，其目的是考查學(xué)生閱讀理解能力，證明 過程中邏輯推理的嚴(yán)密性。閱讀理解題是近幾年各地都有的 新題型，應(yīng)引起重視。【問題二】眾所周知，只有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三 角形不一定全等，你能想辦法安排和外理這三個條件，使這 兩個三角形

10、全等嗎？請同學(xué)們參照下面的方案(1)導(dǎo)出方案(2) (3) (4)。解：設(shè)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形，方案(1)： 若這個角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全 等。方案(2)：若這個角是直角，則這兩個三角形全等。方案(3)：若此角為已知兩邊的夾角，則這兩個三角形全等。評注：這是一道典型的開放性試題，答案不是唯一的。如 方案(4)：若此角為鈍角，則這兩個三角形全等。(5)：若 這兩個三角形都是銳解(鈍角)三角形，則這兩個三角形全 等。能有效考查學(xué)生對三角形全等概念的掌握情況，這類題 目要求學(xué)生依據(jù)問題提供的題設(shè)條件，尋找多種途徑解決問 題。本題要求學(xué)生著眼于弱化題設(shè)條件，設(shè)計讓命

11、題在一般 情況不成立，而特殊情況下成立的思路。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題:1、若ABC烏ZXEFG,且NB=60, ZFGE-ZE=56,貝!|NA =度。2、如圖，ABEFDC, ZABC=90, AB=DC,那么圖中有全 等三角形 對。3、如圖，在ABC 中，ZC=90, BC=40, AD 是NBAC 的平 分線交BC于D,且DC ： DB=3 ： 5,則點D到AB的距離 是 o4、如圖，在aABC中，ADBC, CEAB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點H ,請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件： ,使AEHgZkCEB。5、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E 處，BE與AD相交于點0

12、,寫出一組相等的線段（不包括 AB=CD 和 AD=BC）o6、如圖，ZE=ZF=90, ZB=ZC, AE=AFo 給出下列結(jié) 論：N1 = N2；BE=CF；ACNgZkABM；CD=DN。其中正確的結(jié)論是 二、選擇題：（填序號）。1、如圖，ADJLAB, EAAC, AE=AD,中正確的是（）A、AADFAAEGACDC、ABMFACNGABEAB=AC,則下列結(jié)論B、AABED、AADCBC填空第5題圖E.ADD ABC選擇第1題圖2、如圖,AE=AF,AB=AC, EC 與 BF 交于點 0, ZA=60,ZB=25,則NE0B的度數(shù)為（）A 60D、85B、70C、753、如果兩個

13、三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等,那么這兩個三角形的第三邊所對的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互補或相等選擇笫2題圖選擇第4題圖4、如圖，在ABC中，AD是NA的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PB=?，PC=，AB=C, AC=，則 (，+)與3 + c)的大小關(guān)系是()B、m + n b + cC、 m + n - b + cD、無法確定三、解答題：1、如圖，Z1 = Z2, Z3 = Z4, EC=ADo 求證：ZABE和4BDC是等腰三角形。解答題第2題圖2、如圖，AB=AE, ZABC=ZAED, BC=ED,點 F 是 CD 的 中點。(1)求證：AFCD；

14、(2)在你連結(jié)BE后，還能得出什么新結(jié)論？請再寫出兩 個。3、(1)已知，在ABC 和4DEF 中，AB=DE, BC=EF, Z BAC=ZEDF=100,求證：ABCgzDEF；(2)上問中，若將條件改為AB=DE, BC=EF, ZBAC=ZEDF=70,結(jié)論是否還成立，為什么？4、如圖，已知NMON的邊0M上有兩點A、B,邊ON上有 兩點C、D,且AB=CD, P為NMON的平分線上一點。問：2XABP與4PCD是否全等？請說明理由。ZABP與4PCD的面積是否相等？請說明理由。DK解答題第5題圖5、如圖，已知CELAB, DFAB,點E、F分別為垂足，且 AC/BDo(1)根據(jù)所給條

15、件，指出4ACE和4BDF具有什么關(guān)系？請你對結(jié)論予以證明。(2)若aACE和4BDF不全等，請你補充一個條件，使得兩個三角形全等，并給予證明。參考答案一、填空題：1、32； 2、3； 3、15； 4、AH=BC 或 EA=EC 或 EH=EB 等;5、DC=DE 或 BC=BE 或 OA=OE 等；6、二、選擇題：BBDA三、解答題：1、略；2、(1)略；(2) AFBE, AF 平分 BE 等；3、(1)略；(2)不成立，舉一反例即能說明;4、(1)不一定全等，因AABP與4PCD中，只有AB=CD, 而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定全等。(2) 面積相等，因為0P為NMON平

16、分線上一點，故P到邊AB、CD上的距離相等，即aABP中AB邊上的高與4PCD中CD邊上的高相等，又根據(jù)AB=CD (即底邊也相等)從而aABP與PCD的面積相等。5、(1) 4ACE和4BDF的對應(yīng)角相等；(2)略4.直角三角形、勾股定理、面積知識考點：了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關(guān)性 質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方 關(guān)系及與面積有關(guān)的問題等方面O精典例題:【例1】如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60, ZB=ZD=90, BC=2, CD=3,則 AB=?分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問

17、題 來解決，其關(guān)鍵是對內(nèi)分割還是向外補形。答案：沔【例2】如圖，P為aABC邊BC上一點，PC=2PB,已知ZABC=45, ZAPC=60,求 NACB 的度數(shù)。分析：本題不能簡單地由角的關(guān)系推出NACB的度數(shù)， 而應(yīng)綜合運用條件PC=2PB及NAPC=60來構(gòu)造出含30角 的直角三角形。這是解本題的關(guān)鍵。答案：ZACB=75 （提示：過 C 作 CQ_LAP 于 Q,連結(jié) BQ,則 AQ=BQ=CQ） 探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且ZQPN=30,點A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)汽車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方

18、向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲的影響？如果 受影響，已知汽車的速度為18千米/小時，那么學(xué)校受影 響的時間為多少秒？分析：從學(xué)校（A點）距離公路（MN）的最近距離（AD=80米）入手，在距A點方圓100米的范圍內(nèi)，利用圖形,根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它o略解：作AD_LMN于D,在RtADP中，易知AD=80。所以這所學(xué)校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半 徑作圓交MN于E、F,連結(jié)AE、AF,則AE=AF=100,根據(jù) 勾股定理和垂徑定理知：ED=FD=60, EF=120,從而學(xué)校受噪聲影響的時間為：.旦（小時）=24 （秒） 18000 150評注：本題是一道存在性探索題，通過給定

19、的條件，判斷所研究的對象是否存在。問題二圖【問題二】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.如 圖12,據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米 /時的速度沿北偏東30方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不 變。若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響。(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由。(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?解：(1)如圖1,由點A作ADL

20、BC,垂足為D。VAB=220, ZB=30 AAD=110 (千米)。由題意知，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時,將會受到臺風(fēng)的影響。故該城市會受到這次臺風(fēng)的影響。(2)由題意知，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時, 將會受到臺風(fēng)的影響。則AE=AF=160。當(dāng)臺風(fēng)中心從E處 移到F處時，該城市都會受到這次臺風(fēng)的影響。由勾股定理 得：DE = AE2-AD2 =V1602 -1 102 = V270 x50 = 30/15 o，EF = 60屈（千米:該臺風(fēng)中心以15千米/時的速度移動。，這次臺風(fēng) 影響該城市的持續(xù)時間為喀=4行（小時）。（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力

21、最大，其最大風(fēng)力為12詈=6.5 （級）。評注：本題是一道幾何應(yīng)用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會圖形中的幾何元素代表的意義, 由題意可分析出，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，會 受臺風(fēng)影響，若過A作ADJLBC于D,設(shè)E, F分別表示A市受臺風(fēng)影響的最初，最后時臺風(fēng)中心的位置，貝!I AE=AF= 160；當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市受臺風(fēng)影響的風(fēng)力最大。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題:1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、則x的取值范圍是。2、如圖，D為ABC的邊BC上的一點，已知AB=13, AD=12, BD=5, AC=BC,貝!I BC=第2題圖第5題圖3、如圖，四邊形 A

22、BCD 中，已知 AB ： BC ： CD ： DA=2 ： 2 ： 3 ：1,且NB=90,則NDAB= 4、等腰aABC中，一腰上的高為3cm,這條高與底邊的夾角為 30,則 s.=5、如圖，ABC 中，ZBAC=90, ZB=2ZC, D 點在 BC 上,AD平分NBAC,若AB=1,則BD的長為。6、已知RtAABC中，ZC=90, AB邊上的中線長為2,且 AC+BC=6,貝！|sm8c=o7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD/7BC,腰長為8cm, AC、BD 相交于0點，且NA0D=60,設(shè)E、F分別為CO、AB的中8、如圖，點D、E是等邊aABC的BC、AC上的點，且CD=AE,

23、 AD、BE 相交于 P 點，BQlADo 已知 PE=L PQ=3, 貝！I AD=o9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方 形A、B、C、D的面積的和是 o二、選擇題：1、如圖，已知aABC 中，AQ=PQ, PR=PS, PR_LAB 于 R, PS AC于S,則三個結(jié)論：（DAS = AR；QPAR；BRP QSP 中（）A、全部正確 B、僅和正確 C、僅正 確 D、僅和正確2、如果一個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍， TOC o 1-5 h z 并且有一個角是30,那么這個三角形的形狀是()A、直角三角形B、

24、鈍角三角形C、銳角三角形 D、不能確定3、在四邊形 ABCD 中，ADCD, AB=13, BC=12, CD=4, AD=3,則NACB的度數(shù)是()A、大于90B、小于90C、等于90D、不能確定4、如圖，已知ABC 中，ZB=90, AB=3, BC=6, 0A=0C=幾，則NOAB的度數(shù)為()A、10B、15C、20D、25三、解答題：1閱讀下面的解題過程：已知八屋C為*(：的三邊, 且滿足力,試判斷ABC的形狀。解：V a2c2 -b2c2 = a4-b4(1)c2(a2 -b2) = (a2 +b2)(a2 -b2)()/ a2 +b2 = c2 ()ABC是直角三角形。問：(1)上

25、述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號;(2)錯誤的原因是；(3)本題的正確結(jié)論是 o2、已知aABC 中，ZBAC=75, ZC=60, BC=3+V5, 求AB、AC的長。3、如圖，ZABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE, DG CE 于 Go(1)求證：G是CE的中點；(2) ZB=2ZBCEo4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，ZACB=90, BC=60 米，NA=36。(1)若入口 E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口 E到C點的最短路線，并求最短路線CE的長(保留整數(shù));(2)若線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，已

26、知水渠造價為50元/米，水渠路線應(yīng)如何設(shè)計才能使造價 最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價。參考數(shù)據(jù)：sin36=0. 5878, sin54=0. 80905、已知 ABC的兩邊AB、AC的長是方程X2 一(2攵+ 3)x +女2 +3女+ 2 = 0的兩個實數(shù)根，第三邊BC=5。(1) A為何值時,(2)A為何值時, 一個三角形的面積。ABC是以BC為斜邊的直角三角形;ABC是等腰三角形，求出此時其中參考答案一、填空題:16.9； 3、135； 4、3V3cm2； 5、V3-1 ； 6、1、10 或2/;2、5； 7、4(1)；略；(3)直角三角形或等腰三角形8、 7； 9、 49 二、

27、選擇題：BDCB 三、解答題： 提示：過 A 作 AD_LBC 于 D,則 AB=3。AC =273 提示：連結(jié)ED(1) 51米；(2)若要水渠造價最低，則水渠應(yīng)與AB垂直，造價2427元。5、(1) 2； (2) k=4或3,當(dāng)攵=4時，面積為12。5.角平分線、垂直平分線知識考點：了解角平分線、垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解 決一些實際問題。精典例題：【例題】如圖，已知在aABC中，AB=AC, ZB=30, AB的垂直平分線EF交AB于點E,交BC于點F,求證：CF =2BFo分析一：要證明CF=2BF,由于BF與CF沒有直接聯(lián)系,聯(lián)想題設(shè)中EF是中垂線，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF,則B

28、F=AFo 問題轉(zhuǎn)化為證CF=2AF,又NB=NC=30,這就等價于要證 ZCAF=90,則根據(jù)含30角的直角三角形的性質(zhì)可得CF= 2AF=2BFo分析二：要證明CF=2BF,聯(lián)想NB=30, EF是AB的中 垂線，可過點A作AGEF交FC于G后，得到含30角的Rt ABG,且EF是RtZkABG的中位線，因此BG=2BF=2AG,再 設(shè)法證明AG=GC,即有BF=FG=GC。例題圖2分析三：由等腰三角形聯(lián)想到“三線合一”的性質(zhì)，作ADJ_BC于D,則BD=CD,考慮到NB=30,不妨設(shè)EF=L再用勾股定理計算便可得證。以上三種分析的證明略。B F D例題圖3探索與創(chuàng)新:【問題】請閱讀下面材

29、料，并回答所提出的問題:三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對 邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。如圖，AABC中，AD是角平分線。求證：器=喋。DC AC分析：要證登=羋, DC AC一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在同一條直線 上，AABD與aADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我 們注意到在比例式黑=喋中，AC恰好是BD、DC、AB的第四DC AC比例項，所以考慮過C作CEAD交BA的延長線于E,從而 得到BD、CD、AB的第四比例項AE,這樣，證明黑=當(dāng)就可DC AC以轉(zhuǎn)化為證AE=AC。證明：過C作CEAD交B

30、A的延長線于EZ1 = Z2CEAD= N2=N3 尸NE=N3nAE=ACZ1 = ZECEAD嚕嚏BD AB DCAC(1)上述證明過程中，用了哪些定理(寫出兩個定理 即可)；(2)在上述分析、證明過程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個填入后面的括號內(nèi)(轉(zhuǎn)化思想數(shù)形結(jié)合思想分類討論思想答案：轉(zhuǎn)化思想(3)用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：已知AD 是*(：中 NBAC 的角平分線，AB=5 cm, AC=4 cm, BC=7cm,求BD的長。答案：3cm 評注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題:1、如圖，ZA=52, 0是AB、AC的垂直平分線的交

31、點，那么 NOCB=o2、如圖，已知AB=AC, ZA=44, AB的垂直平分線MN交AC 于點 D,則NDBC=3、如圖，在AABC 中，ZC=90, ZB=15, AB 的中垂線 DE 交BC于D點，E為垂足，若BD=8,則AC=。4、如圖，在aABC中，AB=AC, DE是AB的垂直平分線， BCE 的周長為 24, BC=10,則 AB=。5、如圖，EG、FG分別是NMEF和NNFE的角平分線，交點是 G, BP、CP分別是NMBC和NNCB的角平分線，交點是P, F、C在AN上，B、E在AM上，若NG=68,那么NP二、選擇題：1、如圖，ABC的角平分線CD、BE相交于點F,且NA=

32、60,則NBFC等于（）A、80B、100C、120D、140 2、如圖，ZkABC 中，Z1 = Z2, Z3=Z4,若ND=36,則 NC的度數(shù)為（）A、82B、72C、62D、523、某三角形有一個外角平分線平行于三角形的一邊，而這 三角形另一邊上的中線分周長為2：3兩部分，若這個三 角形的周長為30cm,則此三角形三邊長分別是（）An 8 cm、8 cm、14cmB、12 cm 12 cm、 6cmC、8 cm 8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm上答案都不對4、如圖，RtAABC 中，ZC=90,的高，CE是中線，CF是NACB中相等的銳角為一組，則共CD是AB邊上

33、 的平分線，圖 有（）B、2組A、0組C、3組D、4組5、如果三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么 這個三角形是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形 D、不能確定 三、解答題：2、在aABC 中，ABWAC, D、1、如圖，RtZkABC的NA的平分線與過斜邊中點M的垂 線交于點D,求證：MA=MDoE在BC上，且DE=EC,過D作DFBA交AE于點F, DF=AC,求證：AE平分NBAC。3、如圖，在ABC 中，NB=22.5, ZC=60, AB 的垂直平分線交BC于點D, BD=6V2, AE_LBC于點E,求EC的長。4、如圖，在 RtZABC 中，ZACB=90,

34、AC=BC, D 為 BC的中點，CE1AD,垂足為E, BFAC交CE的延長線于點F,求證AB垂直平分DF o參考答案一、填空題:1、38； 2、24； 3、4； 4、14； 5、68二、選擇題：CBCDB三、解答題：1、過 A 作 AN_LBC 于 N,證ND=NDAM；2、延長 FE 到 G,使 EG=EF,連結(jié) CG,證DEFgZCEG3、連結(jié)AD, DF為AB的垂直平分線，AD=BD=6a, ZB = ZDAB=22. 5/ ZADE=45, AE=AD=x6/2=6 22又,NC=60AEC= =2V3V3 M4、證ACDgZkCBF.平行四邊形知識考點:理解并掌握平行四邊形的判定

35、和性質(zhì)精典例題：例1已知如圖：在四邊形ABCD中，AB=CD, AD=BC, 點E、F分別在BC和AD邊上，AF=CE, EF和對角線BD相交 于點0,求證：點0是BD的中點。分析：構(gòu)造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來證明B0=D0略證：連結(jié)BF、DE在四邊形ABCD中,BE CA F例1圖;AB=CD, AD=BC四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC, AD=BCXVAF=CE，F(xiàn)DBE, FD=BE，四邊形BEDF是平行四邊形ABO=DO,即點0是BD的中點?！纠?已知如圖：在四邊形F、G、H 分另！是 AB、BC、CD、DA點，求證：四邊形EFGH是平行四分析：欲證四邊形EFGH是平行

36、例2圖ABCD 中，E、 邊上的中 邊形。四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、H分別是各邊上的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，連結(jié)AC后，EF和GH 的關(guān)系就明確了，此題也便得證。（證明略）變式1：順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形是菱形。變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形是矩形。變式3：順次連結(jié)正方形四邊中點所得的四邊形是正方形。變式4：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點所得的四邊形是菱形。變式5：若AC=BD, ACBD,則四邊形EFGH是正方形。變式6：在四邊形ABCD中，若AB=CD, E、F、G、H分別為 AD、 BC、 BD、AC的中點，求證：EFGH是菱形。BF C孌式6

37、圖E P孌式7圖變式7：如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點,ADE和4BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形PQMN是菱形。探索與創(chuàng)新：【問題】已知如圖，在AABC中，ZC=90,點M在BC上, 且BM=AC,點N在AC上，且AN=MC, AM和BN相交于P,求NBPM的度數(shù)。分析：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求的卻是角的度數(shù),為此，我們由條件中的直角及相等的線段，可聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，從而應(yīng)該平移AN。略證：過M作MEAN,且ME=AN,連結(jié)NE、BE,則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE=AM,MEAN,探索與創(chuàng)新圖ACBC

38、AMEBC在ABEM和aAMC中，ME=CM, ZEMB=ZMCA=90, AABEMAAMCABE=AM=NE, Z1 = Z2, Z3 = Z4, Zl + Z3=90AZ2+Z4=90,且 BE=NE.BEN是等腰直角三角形： ZBNE=45VAM/7NEA ZBPM=ZBNE =45跟蹤訓(xùn)練:填空題:1、一個平行四邊形的兩條對角線的長度分別為5和7,則它的一條邊長”的取值范圍是2、ZZ7ABCD的周長是30, AC、BD相交于點0, /0皿的周長比aOBC的周長大3,則AB=o3、已知 ZZ7ABCD 中，AB=2AD,對角線 BD_LAD,則NBCD 的度數(shù)是 O4、如圖：在 ZZ7

39、ABCD 中，AE_LBD 于 E, ZEAD=60, AE =2, AC+BD=16,則BOC 的周長為。5、如圖：QABCD的對角線AC、BD相交于0, EF過點 0,且 EFLBC 于 F, Zl = 30, N2=45, 0D=2凡 貝!j AC 的 長為 O6、如圖:過ZZ7ABCD的頂點B作高BE、BF,已知BF=BE,4BC=16, ZEBF=30,則 AB=7、如圖所示，ZZ7ABCD的周長為30, AEBC于點E,AFCD 于點 F,且 AE ： AF=2 ： 3, ZC=120,則平行四邊形ABCD的面積為二、選擇題:1、若ZZ7ABCD的周長為28, ZkABC的周長為1

40、7cm,則AC的長為（）A、 11cmB、5. 5cmC、4cmD、3cm2、如圖，OABCD 和U7EAFC 的頂點 D、E F、 直線上，則下列關(guān)系中正確的是（）A、DEBFB、DE=BFD、DE=FE=BFB在同一條C、DE 48B、106C 12V7D、24V2三、解答題：1、如圖，在 ZZ7ABCD 中，AE_LBC 于 E, AF_LDC 于 F, Z ADC=60, BE=2, CF=1,連結(jié) DE 交 AF 于點 P,求 EP 的長。E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA上的點，且喋=BE票=需=需=攵建)，閱讀下列材料,然后回答下面的問題:如上圖，連結(jié)BD AE =

41、AHBE HD 9AEH/7BD,連結(jié)AC,FC GCBF DGFG/7BD則EF與GH是否一定平行，答:當(dāng)a值為時，四邊形EF6H是平行四邊形;在的情形下，對角線AC和BD 條件時，EFGH為矩形；在的情形下，對角線AC和BD 條件時，EFGH為菱形；只需滿足只需滿足3、已知，在四邊形ABCD中，從ABDC； AB=DC；ADBC；AD=BC；NA=NC；NB=ND中取出兩個 條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾 種情形？請你具體寫出這些組合。4、如圖，在aABC 中，ZACB=90, D、F 分別為 AC、AB的中點，點E在BC的延長線上，ZCDE=ZAo(1)求證：四邊

42、形DECF是平行四邊形;(2)若sma/,四邊形EBFD的周長為22,求DE的長。蹤訓(xùn)練參考答案1、1. 提示：由NB=NADC=60, BE=2, AE_LBC 可得 AB=4, 再證 DF=DC-CF=3, AAD=6, EC=BC-BE=4=DC,又N BCD=120, AZEDC=30,求得NAPE = NEAP=60, AAEP 為等邊三角形，EP=AE=2V3o2、是；任意正數(shù)；BD_LAC；AC=BD3、和；和；和；和；和；和;和；和；和4、(1)證 ECDF, ED/7CF； (2) DE=5.矩形、菱形知識考點：理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學(xué)知識解 決有關(guān)問題。精典

43、例題：【例1】如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點 0, AEBD,垂足為 E, ZDAE ： ZBAE=3 ： 1,求NEAC的度數(shù)。分析：本題充分利用矩形對角線把矩形分成四個等腰三角形的基本圖形進行求解。 解略，答案450。例1圖例2圖例3圖【例2】如圖，已知菱形ABCD的邊長為3,延長AB到 點E,使BE=2AB,連結(jié)EC并延長交AD的延長線于點F,求 AF的長。分析：本題利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線分線段成比例 的性質(zhì)定理，可使問題得解。解略，答案AF=4.5?！纠?】如圖，在矩形ABCD中，M是BC上的一動點， DE1AM,垂足為E, 3AB = 2BC,并且AB、BC的

44、長是方程x2 _* - 2)x + 2攵=0 的兩根。(1)求A的值；(2)當(dāng)點M離開點B多少時，的面積是aDEM面積的3倍？請說明理由。分析：用韋達定理建立線段AB、AC與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系，求出略解：(1)由韋達定理可得AB+BC=a.2, ABBC=2人,又由BC=|AB可消去AB,得出一個關(guān)于女的一元二次方程3攵 2一37攵 + 12 = 0, 解得勺12,右因 AB+BCu1 &-20, 2,故3 =：應(yīng)舍去。(2)當(dāng)k = 12 時，AB+BC=10, ABBC=2k=24,由于 AB G、H,使EFGH為矩形，則這樣的矩形（）A、僅能作一個B、可以作四個C、一般情況下不可作D

45、、可以作無窮多個7、如圖，在矩形 ABCD 中，AB=4cm, AD=12cm, P 點在 AD邊上以每秒1 cm的速度從A向D運動，點Q在BC邊上， 以每秒4 cm的速度從C點出發(fā)，在CB間往返運動，二點 同時出發(fā)，待P點到達D點為止，在這段時間內(nèi)，線段PQ有（）次平行于AB。A、1D、4B、2C、3QB1-1c第7題圖第8題圖8、如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD=9cm, AB=3cm,將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別是（）A、4cm、MemB、5cm Vio cmC、4cm、2 cmD、 5cm、 2、后cm9、給出下面四個命題：對角線相等的四邊形是矩形

46、；對角線互相垂直的四邊形是菱形；有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形；菱形的對角線的平方和等于邊長平方的4倍。其中正確的命題有（）A、B、C、D、 10、平行四邊形四個內(nèi)角的平分線，如果能圍成一個四邊形,那么這個四邊形一定是()A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形三、解答題：11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于點G, DEAG于E,且DE=DC,根據(jù)上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論。12、如圖，在ABC中，ZACB=90, CD是AB邊上的高,ZBAC的平分線AE交CD于F, EG1AB于G,求證：四邊形 GECF是菱形。1

47、3、如圖，以ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即ABD、ABCE AACFo請回答下列問題(不要求證明):(1)四邊形ADEF是什么四邊形?(2)當(dāng)aABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形?(3)當(dāng) ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在?跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1、180； 2、20cm； 3、3； 4、3V2 ； 5、20提示：4題過點P作矩形任一邊的垂線，利用勾股定理 求解；5題連結(jié)AC,證ABEgZkACF得AE=AF,從而4AEF 是等邊三角形。二、DDBBA三、解答題:11 可證DEAgZABF12、略證：AE 平分NBAC,且 EG_

48、LAB, ECAC,故 EG=EC,易得NAEC=NCEF, VCF=EC, EG=CF,又因 EGAB, CD AB,故EGCF。四邊形GECF是平行四邊形，又因EG=FG, 故GECF是菱形。13、(1)平行四邊形；(2) ZBAC=150； (3)當(dāng)NBAC= 60時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在。.正方形知識考點：理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進行有關(guān)的證明 和計算。精典例題：【例1】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC 的點，且EFAC,在DA的延長線上取一點G,使AG=AD, EG與DF相交于點H。求證：AH=ADo分析：因為A是DG的中點，故在DGH中，若A

49、H=AD, 當(dāng)且僅當(dāng)DGH為直角三角形，所以只須證明DGH為直角三角形（證明略）。評注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。本例中直角三角形的中線性質(zhì)使本題證明簡單?！纠?】如圖，在正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD 上的點，若NPAQ=45,求證：PB+DQ=PQo分析：利用正方形的性質(zhì)，通過構(gòu)造全等三角形來證明。變式：若條件改為PQ=PB+DQ,那么NPAQ=?你還能 得到哪些結(jié)論？ 探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相 交于點0, E是AC上一點，過A作AG_LEB于G, AG交BD于點F,則0E=0F,對上述命題，若點E在A

50、C的延長線上,AGEB,交EB的延長線于點G, AG的延長線交DB的延長線 于點F,其它條件不變，則結(jié)論0E=0F”還成立嗎？如果 成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。分析：對于圖1通過全等三角形證明OE=OF,這種證法是否能應(yīng)用到圖2的情境中去，從而作出正確的判斷。結(jié)論：(2)的結(jié)論“0E=0F”仍然成立。提示：只須證明A0Fg/B0E即可。評注：本題以正方形為背景，突破了單純的計算與證明,著重考查了學(xué)生觀察、分析、判斷等多種能力。【問題二】操作，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點B,另一邊與射線DC相交于點Qo探究：設(shè)

51、A、P兩點間的距離為x(1)當(dāng)點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論;(2)當(dāng)點Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為求)與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;(3)當(dāng)點P在線段AC上滑行時，PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使4PCQ成為等腰三角 形的點Q的位置，并求出相應(yīng)的，值；如果不可能，請說明 理由(題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用)。ADAD分析：（1）實驗猜測：PQ=PB,再利用正方形性質(zhì)證明;（2）將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求；（3）可能。略解：（1）如圖 L 易證 BP=PD, Z1 = Z2, ZPQD=180

52、-ZPQC=ZPBC=ZPDQAPB=PD=PQ(2)如圖2,易證aBOPgAPEQ，qe=po=ao-ap=Wt1 1 S西邊形P6C0 =SBc+SycQ = - PC(BO + QE) = - PCPE + EQ= -PC2 =l(V2-x)222 1，y = -X2-41X+X (OWxV 史)“22(3) APCQ可能成為等腰三角形。當(dāng)點P與點A重合時，點Q與點D重合，這時PQ=QC, ZPCQ是等腰三角形，此時x=0；當(dāng)點Q在邊DC的延長線上,且CP=CQ時,PCQ是等腰三角形（如圖3）。此時,QN=PM=v,CN=CP=1 一.1,所以 CQ=QNCN = V2a-19 當(dāng)&一時

53、，解得x=io評注：本題是一道新穎別致的好題，它考查學(xué)生實踐操作能力和探究問題的能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題:1、給出下面三個命題：對角線相等的四邊形是矩形；對角線互相垂直的四邊形是菱形；對角線互相垂直的矩形是正方形。其中真命題是（填序號）。2、如圖，將正方形ABCD的BC邊延長到E,使CE=AC, AE與CD邊相交于F點，那么CE：FC=第3題圖3、如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形 ABCD的位置，它們的重疊部分的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC=&,則正方形移動的距離村是4、四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,給出以下題設(shè) 條件：AB=BC=CD=DA；A

54、0=B0=C0=D0； （3）A0=C0,B0=D0, ACBD；AB=BC, CD=DA。其中能判斷它是正方形的題設(shè)條件是（把正確的序號填在橫線)o二、選擇題：1、如圖，把正方形ABCD的對角線AC分成”段，以每一段為 對角線作正方形，設(shè)這個小正方形的周長和為“正方形ABCD的周長為s,貝Us與的關(guān)系式是 oAn s pB、s pC、s pD、S與/，無關(guān)2、如圖，在正方形ABCD中，DE=EC, ZCDE=60,則下列 關(guān)系式：Nl ： Z4=4 ： 1；Nl ： N3=l ： 1；（N正確的是（）1 + Z2) ： (N3+N4) =5： 3 中,A、D、僅和B、僅 C、僅和BCAD第1

55、題圖3、如圖，正方形ABCD的面積為256,點F在AD上，點E在AB的延長線上,RtaCEF的面積為200,則BE的值為（A、10B、11C、12D、154、有若干張如圖所示的正方形和長方形紙片，表中所列四 種方案能拼成邊長為的正方形的是（）卡片方案(1)(2)(3)A112B111C121D211bbb三、解答題:1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，BD與CE交于F點，求證：AFBEo2、已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN1DM且交NCBE的平分線于N。(1)求證：MD=MN； (2)若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB上任意一點”，其余條

56、件不變，則結(jié)論“MD=MN”還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。3、如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點，引PEJ_BC 于 E, PF_LDC 于 F。求證：(1) AP=EF； (2) APEFo第3題圖4、如圖，過正方形ABCD的頂點B作BECA,作AE=AC,又 CFAE,求證：ZBCF=lZAEBo2跟蹤訓(xùn)練參考答案填空題:1、；2、拒+i； 3、V2-1； 4、二、三、選擇題：CDCA解答題：1、易證ABFgZkCFB 和BAECDE,由ABFCFBn NAFB= NBFC=NFAD= ZDCE；由BAEgZCDEnNDCE= ZABFo 所以NDAF=NEA

57、B,故NEHA=NEAB=90, AFBEO2、（1）如圖1,取AD中點F,連結(jié)MF,由MN_LDM得NDAM=90,易證N1 = N2,又因NMNB=NNBE-N2=45-N2, ZDMF=ZAFM-Z1 = 45-Z1,所以NDMF=NMNB,又因 DF=BM,所以DMFgMNB,故 MD=MN。(2)成立，如圖2,在AD上取DF=MB,則易知：Zl = 90-ZDMA,又N2+NDMA=90, AZ1 = Z2,又NDMF= 45-Zl, ZMNB=45-Z2, ZDMF=ZMNB,又DF=MB,AADMFAMNB,故 MD=MN。3、略證：延長AP與EF相交于點H,連結(jié)PC,因為BD是

58、對角線，易證PA=PC, Z1 = Z2,根據(jù)PE_LBC于E, PF DC 于 F,知 PECF 為矩形，PC=EF,且NDAH=NFPH,又因 為N1 = N2 = N3,所以在PHF 中，ZFPH+Z3 = Z4+Z1 =90,所以PHF為直角三角形，故APJ_EF。4、提示：證AEFC是菱形，過A點作BE的垂線構(gòu)造30角的直角三角形。9.梯形知識考點:掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，并能熟練解決實際問題。精典例題：【例1】如圖，在梯形ABCD中，AB/ZDC,中位線EF=7,對角線ACLBD, ZBDC=30,求梯形的高AH。分析：根據(jù)對角線互相垂直，將對角線平移后可構(gòu)造直

59、角三角形求解。略解：過A作AMBD交CD的延長線于M。VAB/7DC, ADM=AB, ZAMC=ZBDC=30又中位線EF=7ACM=CD+DM=CD+AB=2EF=14XVACBD,AACAM, AC=1CM=72VAHCD, A ZACD=60AAH=ACsin60= -V3 2評注：平移梯形對角線、平移梯形的腰是解梯形問題時常用的輔助線?！纠?】如圖，梯形ABCD中，AD/7BC, E、F分別是AD、BC 的中點，ZB+ZC=90, AD=7, BC=15,求 EF 的長。分析：將AB、CD平移至E點構(gòu)成直角三角形即可。答案：EF=4探索與創(chuàng)新：【問題】已知，在梯形ABCD中，ADBC

60、,點E在AB上,點 F在DC 上，且 AD=”，BC=3。（1）如果點E、F分別為AB、DC的中點，求證：EFBC 且 EF=；2（2）如圖2,如果告=告，判斷EF和BC是否平行? EB FC n請證明你的結(jié)論,并用a、b、洲、的代數(shù)式表示EFo分析：（2）根據(jù)（1）可猜想EF/7BC,連結(jié)AF并延長交 BC的延長線于點M,利用平行線分線段成比例定理證明即可。略證：連結(jié)AF并延長交BC的延長線于點MVAD/7BM,AAABM 中有FM EB，EFBC,AE EFAB BM m + n TOC o 1-5 h z AEF= 1n m + nm + n而處=變=%故cma八絲CM FC nm mT