12-4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度

1、第四節(jié) 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度一、平穩(wěn)過程的功率譜密度 二、譜密度的性質(zhì) 三、互譜密度及其性質(zhì) 四、小結(jié) 一、平穩(wěn)過程的功率譜密度設(shè)有時間函數(shù)假如x(t)滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 且絕對可積, 即 那么x(t)的傅立葉變換存在或者說具有頻譜且同時有傅立葉逆變換一般是復(fù)數(shù)量, 其共軛函數(shù)1. 平均功率和能量譜密度狄利克雷資料等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式.平均功率上的平均功率.帕塞瓦爾資料平均功率的譜表示式 由給定的x(t)構(gòu)造一個截尾函數(shù)絕對可積它的帕塞瓦爾等式傅里葉資料變形得稱為 x(t) 的平均功率譜密度2. 平穩(wěn)過程的平均功率和能量

2、譜密度交換定義式中積分與均值的運(yùn)算順序, 并注意到平穩(wěn)過程的均方值是常數(shù), 于是 平穩(wěn)過程的平均功率該過程的均方值平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度,即稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式.也簡稱為自譜密度或譜密度, 它是從頻率這個角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數(shù)字特征. 物理意義: 表示X(t)的平均功率關(guān)于頻率的分布. 二、譜密度的性質(zhì) 性質(zhì)1性質(zhì)2它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式.辛欽資料維納資料說明1.平穩(wěn)過程在自相關(guān)函數(shù)絕對可積的條件下,維納-辛欽公式成立. 都是偶函數(shù), 所以維納-辛欽公式還可以寫成如下的形式: 數(shù)的譜表示式. 它揭示了從時間角度描

3、述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計規(guī)律和從頻率角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律之間的聯(lián)系. 在應(yīng)用上我們可以根據(jù)實(shí)際情形選擇時間域方法或等價的頻率域方法去解決實(shí)際問題.3. 維納-辛欽公式又稱為平穩(wěn)過程自相關(guān)函例1已知譜密度求平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和均方值. 解由公式知自相關(guān)函數(shù) 利用留數(shù)定理, 可算得 均方值為說明有理譜密度 在實(shí)際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程, 它們的自相關(guān)函數(shù)或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在, 此時如果允許譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有-函數(shù), 有關(guān)實(shí)際問題仍能得到圓滿解決. 在這種情況下, 自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型函數(shù)的平穩(wěn)過程, 其譜密度都是離散的. 求自相關(guān)函數(shù) 所對

4、應(yīng)譜密度 解 所要求的譜密度為相應(yīng)的譜密度如圖所示: 此圖說明了譜密度是如何表明噪聲以外的周期信號的. 例2白噪聲均值為零而譜密度為正常數(shù), 即 的平穩(wěn)過程X(t) 稱為白噪聲過程, 簡稱白噪聲. 其名出于白光具有均勻光譜的緣故. 2. 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)1. 定義是不相關(guān)的.(1) 白噪聲也可定義為均值為零、自相關(guān)函數(shù)為 說明(2)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型. 它的平均功率是無限的.白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單,方便的優(yōu)點(diǎn).如果某種噪聲(或干擾)在比實(shí)際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內(nèi), 具有比較“平坦”的譜密度, 那就可把它近似地當(dāng)作白噪聲來處理. 三、互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的定義設(shè) X(t

5、)和Y(t)是兩個平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過程.稱為平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互譜密度 .說明互譜密度的性質(zhì)2. 在互相關(guān)函數(shù)絕對可積的條件下, 有如下維納-辛欽公式 4. 互譜密度與自譜密度之間成立有不等式 注意 (1) 在應(yīng)用上當(dāng)考慮多個平穩(wěn)過程之和的頻率結(jié)構(gòu)時, 要運(yùn)用互譜密度. 例如: 其中X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的. Z(t)的自相關(guān)函數(shù)是根據(jù)維納-辛欽公式, Z(t) 的自譜密度為(2) 互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義, 引入這個概念主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性.例如: 對具有零均值的平穩(wěn)過程X(t)和Y(t), 根據(jù)性質(zhì)(2),解功率譜密度為常數(shù)的平穩(wěn)過程是

6、白噪聲.例3解例4解方法1例5平均功率為方法2四、小結(jié) 為了計算平穩(wěn)過程的譜密度(或互譜密度), 一般總是先求出相關(guān)函數(shù), 再進(jìn)行FT(維納-辛欽公式)得到譜密度.平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互譜密度狄利克雷資料Born: 13 Feb 1805 in Dren, French Empire (now Germany)Died: 5 May 1859 in Gttingen, Hanover (now Germany)Lejeune Dirichlet帕塞瓦爾資料Born: 27 April 1755 in Rosires-aux-Saline, FranceDied: 16 Aug 1836 in Paris, FranceMarc-Antoine Parseval des Chnes傅里葉資料Born: 21 March 1768 in Auxerre, Bourgogne, FranceDied: 16 May 1830 in Paris, FranceJoseph Fourier辛欽資料Born: 19 July 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, RussiaDied: 18 Nov 1959 in Moscow, USSRAleksandr Yakovlevich K