圓中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題精編版

1、最新資料推薦 圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題實(shí)際是圓的分類討論問(wèn)題，做這種題型重要的是如何將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)，從而將題型變?yōu)榉诸愑懻摗镜湫屠}】題型一：圓中的折疊問(wèn)題例題一(2012江西南昌12分)已知，紙片0O的半徑為2,如圖1,沿弦AB折疊操作.折疊后的AB所在圓的圓心為O時(shí)，求OS的長(zhǎng)度；如圖2,當(dāng)折疊后的AB經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí)，求AOB的長(zhǎng)度；如圖3,當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；在圖1中，再將紙片0O沿弦CD折疊操作.如圖4,當(dāng)ABCD,折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB.CD的距離之和為d求d的值;如圖5,當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的AB與CD所

2、在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn),試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】解：(1)折疊后的AB所在圓O與0O是等圓，OA=OA=2。當(dāng)AB經(jīng)過(guò)圓O時(shí)，折疊后的AB所在圓O在0O上,如圖2所示，連接OA.OA.OB,OB,OO。.OOA,AOOB為等邊三角形，圖2.ZAOB=ZAOO+ZBOO=6O+6O=12O。AOB的長(zhǎng)度=120冗2180如圖3所示，連接OA,OB,*/OA=OB=AB=2,:.AOB為等邊三角形。過(guò)點(diǎn)O作OE丄AB于點(diǎn)E,：OE=OAsin60=3。AD圖斗(2)如圖4,當(dāng)折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF丄AB交AB于

3、點(diǎn)H、交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交CD于點(diǎn)F,即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上。.ABCD,：EF垂直平分AB和CD。根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=1PE,PG=-PF。22又.EF=4,：點(diǎn)O到AB.CD的距離之和d為：111、d=PH+PG=-PE+-PF=-(PE+PF)=2。222如圖5,當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下:設(shè)0，,O為APB和CPD所在圓的圓心，點(diǎn)0與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)O于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱,:點(diǎn)M為的OO中點(diǎn)，點(diǎn)N為00的中點(diǎn)。折疊后的APB與CPD所在圓外切，：連心線OO必過(guò)切點(diǎn)P。折疊后的APB與CPD所在圓與0O是等圓，：.OP

4、=OP=2,：PM=-OO=ON,PN=OO=OM,22：四邊形OMPN是平行四邊形?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題)相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形，三角形中位線定理。【分析】(1)折疊后的AB所在圓O與0O是等圓，可得OA的長(zhǎng)度。如圖2,過(guò)點(diǎn)O作OE丄AB交0O于點(diǎn)E,連接OA.OB.AE、BE,可得OAE、4OBE為等邊三角形，從而得到AOB的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。如圖3,連接OA.OB,過(guò)點(diǎn)O作OE丄AB于點(diǎn)E,可得AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求AOB所在圓的圓心O到弦AB的距離。(2)如圖4,AEB

5、與CFD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF丄AB交AEB于于點(diǎn)E,交CFD于點(diǎn)F,根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB.CD的距離之和。最新資料推薦由三角形中位線定理，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。變式一如圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦BC折疊后，劣弧BC與AB交于點(diǎn)D,得到BDC.若BD=CD，求證：BDC必經(jīng)過(guò)圓心0；若AB=8,BD=2CD，求BC的長(zhǎng).變式二如圖，AABC內(nèi)接于OO，AD丄BC，OE丄BC，OE=2BC.求ZBAC的度數(shù);(2)將厶ACD沿AC折疊為ACF，將厶ABD沿AB折疊為ABG，延長(zhǎng)FC和GB相交于點(diǎn)H；求證：四邊形AFHGH是

6、正方形；(3)若BD=6，CD=4，求AD的長(zhǎng).題型二：圓中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題例題二(2011湖南常德,25.10分)已知ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O、O，P是AB的中點(diǎn)。12如圖8,若厶ABC是等腰三角形，且AC=BC，在AC.BC上分別取點(diǎn)E、F,使ZAOE=ZBOF，則有結(jié)論12APOE仝AFOP.四邊形POCO是菱形。請(qǐng)給出結(jié)論的證明；1212如圖9,若(1)中厶ABC是任意三角形，其它條件不變，則(1)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；最新資料推薦最新資料推薦最新資料推薦 # (3)如圖10,若PC是0O的切線，求證：AB2=BC2+3AC211VBC是0O2直徑，則02是

7、BC的中點(diǎn)又P是AB的中點(diǎn)AP02是AABC的中位線.P02=2AC1又AC是001直徑P02=01C=2AC1同理P01=02C=2BCVAC=BCP02=01C=P01=02CPOCO四邊形PO1CO2是菱形結(jié)論P(yáng)01E9AP02F成立，結(jié)論不成立證明：在（1）中已證P02=2AC,又01E=2ACP02=01E同理可得P01=02F/P02是厶ABC的中位線P02AC.ZP02B=ZACB同理ZP01A=ZACB.ZP02B=ZP01AVZA01E=ZB02FA01E=ZP02B+ZB02FZP01A+Z即ZP01E=ZF02P、.E01P9AP02F；延長(zhǎng)AC交002于點(diǎn)D,連接BD.

8、VBC是002的直徑，則ZD=90,又PC是001的切線，則ZACP=90,.ZACP=ZD又ZPAC=ZBAD.APCsBAD又P是AB的中點(diǎn)AAC=CD在RtBCD中，B2CC+D2_BD+在RtAABD中,AB2_AD2+BD2圖汝圖WAB2=4AC2+BD2=AC2+BD2丿+3AC2AB2=BC2+3AC2評(píng)析：要證一個(gè)四邊形是菱形，可證它的四條邊相等，也可證明它是有一組鄰邊相等的平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形；要證兩三角形全等，可通過(guò)SSS,SAS,ASA，或AAS來(lái)加以判斷；當(dāng)待證式中出現(xiàn)多個(gè)平方的形式時(shí)，應(yīng)首先考慮勾股定理及等量代換.變式一閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題。經(jīng)

9、過(guò)正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓。圓心是正四邊形的對(duì)稱中心，這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形。如圖（十三），已知正四邊形ABCD的外接圓OO，OO的面積為S，正四邊形ABCD的面積為S，以圓心O為頂12點(diǎn)作ZMON，使ZMON=90，將ZMON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與0O相交于點(diǎn)E、F，分別與正四邊形ABCD的邊相交于點(diǎn)G、H。設(shè)OE、OF、EF及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S（1）當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖），則S、S、S之間的關(guān)系為：S=（用含S、S的代數(shù)式表示）;1212（2）當(dāng)OMLAB時(shí)（如圖），點(diǎn)G為垂足，則（1）中的結(jié)論仍然成

10、立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）當(dāng)ZMON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖,）則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)(2)求ZCOB的度數(shù);求0O的半徑R；(3)【答案】解：（1）f4（2）成立。理由：連OB,可證圖中的兩個(gè)陰影部分的面積之和等于圖的陰影部分的面積（3）成立。過(guò)點(diǎn)0分別作AB、BC的垂線交AB、BC于點(diǎn)P、Q,交圓于點(diǎn)X、Y,可證直角三角形OPG全等于直角三角形OQH,可說(shuō)明兩陰影部分面積之和等于圖的陰影部分面積.變式二（2012杭州）如圖，AE切OO于點(diǎn)E,AT交0O于點(diǎn)M,N,線段OE交AT于點(diǎn)C,OB丄AT于點(diǎn)B,已知ZEAT=30AE=3任,MN=2.點(diǎn)F在0O上（FME是劣?。?/p>

11、，且EF=5，把OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F重合在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在OO上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與厶OBC的周長(zhǎng)之比.考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；平移的性質(zhì);性質(zhì)。專題：計(jì)算題。 最新資料推薦分析：(1)由AE與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出所求的角與ZA相等，由ZA的度數(shù)即可求出所

12、求角的度數(shù)；在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長(zhǎng)，再由OB垂直于MN,由垂徑定理得到B為MN的中點(diǎn)，根據(jù)MN的長(zhǎng)求出MB的長(zhǎng)，在直角三角形OBM中，由半徑OM=R，及MB的長(zhǎng)，利用勾股定理表示出OB的長(zhǎng)，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC,用OE-OC=EC列出關(guān)于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；把厶OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個(gè)，如圖所示，每小圖2個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長(zhǎng)EO與圓交于點(diǎn)D,連接DF,由第二問(wèn)求出半徑，的長(zhǎng)直

13、徑ED的長(zhǎng)，根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由ZFDE為30，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長(zhǎng)，表示出三角形EFD的周長(zhǎng)，再由第二問(wèn)求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長(zhǎng)，即可求出兩三角形的周長(zhǎng)之比.解答：解：(1)TAE切0O于點(diǎn)E，.AE丄CE,又0B丄AT,.ZAEC=ZCBO=90,又ZBCO=ZACE,.AECsOBC，又ZA=30,AZCOB=ZA=30；(2)TAE=313,ZA=30,.在RtAAEC中，tanA=tan30=,AE即EC=AEtan30=3,VOB丄MN,B為MN的中點(diǎn)，又MN=2l衛(wèi)2,.MB=MN=/22

14、2連接0”，在厶MOB中，OM=R,MB=.22OB=：0於-MB2=；-R2-22在厶COB中,ZBOC=30,VcosZBOC=cos30=OC2.OC=OB=，討一空又OC+EC=OM=R,一空+3,整理得：R2+18R-115=0,即(R+23)(R-5)=0,解得：R=-23(舍去)或R=5,則R=5；在EF同一側(cè)，COB經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有6個(gè),如圖，每小圖2個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角形，如圖所示：E延長(zhǎng)EO交圓O于點(diǎn)D,連接DF,如圖所示,VEF=5,直徑ED=10,可得出ZFDE=30,FD=5叮3最新資料推薦則Cefd=5+10+5T3=15+5*3由（2）可

15、得coB=3+l：，Caefd：5COB=（15+5血）：（3+4%）=5：1.點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30道角三角形的性質(zhì)，平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.題型三：圓中的動(dòng)點(diǎn)例題三（2012江蘇南京10分）如圖，A、B為。O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是。O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱ZAPB為。O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角。（1）已知ZAPB是口O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。若AB為。O的直徑，則ZAPB=若。O半徑為1,AB=J2，求ZAPB的度數(shù)（2）已知O為O外一點(diǎn)，以O(shè)為圓心作一個(gè)圓與口O相交于A、B兩點(diǎn)

16、，ZAPB為口O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，2U12U1U1直線PAPB分別交口O于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN,試探索Z4PB與ZMAN.ZANB2之間的數(shù)量關(guān)系?！敬鸢浮拷猓海?）900。如圖，連接AB、OA、OB.在AOB中,.OA=OB=1.AB=、込,：.OA2+OB2=AB2gZAOB=90。1當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時(shí)（如圖1）,ZAPB=2ZAOB=45；當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)（如圖2）,1ZAPB=（360ZAOB）=135。2（2）根據(jù)點(diǎn)P在。O上的位置分為以下四種情況.第一種情況：點(diǎn)P在OO2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3,ZMAN=

17、ZAPB+ZANB,:ZAPB=ZMAN-ZANB。圈1第二種情況：點(diǎn)P在OO2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B最新資料推薦最新資料推薦之間，如圖4,yZMAN=ZAPB+ZANP=ZAPB+C180ZANB）,:.ZAPB=ZMAN+ZANB180。第三種情況：點(diǎn)P在OO2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間,之間，如圖5,ZAPB+ZANB+ZMAN=180。，ZAPB=180ZMANZANB。第四種情況：點(diǎn)P在。O2內(nèi)，如圖6,ZAPB=ZMAN+ZANB。【考點(diǎn)】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)?！痉治觥?1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90。即可得ZAPB=900

18、o根據(jù)勾股定理的逆定理可得ZAOB=90,再分點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上;點(diǎn)P在劣弧AB上兩種情況討論即可。(2)根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為四種情況得到ZAPB與ZMAN、ZANB之間的數(shù)量關(guān)系。變式一如圖12-1所示，在AABC中，AB=AC=2,ZA=90,O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在BA邊上自由移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上自由移動(dòng).(1)點(diǎn)E,F的移動(dòng)過(guò)程中，OEF是否能成為ZEOF=45的等腰三角形？若能，請(qǐng)指出AOEF為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)E,F的位置若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在滿足明你的結(jié)論.(2)當(dāng)上EOF=45時(shí)，設(shè)BE=x,CF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍.(2)中的條件時(shí)，若以

19、O為圓心的圓與AB相切(如圖12-2),試探究直線EF與口O的位置關(guān)系，并證解：如圖,圖12-1（圖121）C8最新資料推薦 (1)點(diǎn)E,F移動(dòng)的過(guò)程中，OEF能成為上EOF=45的等腰三角形此時(shí)點(diǎn)E,F的位置分別是:E是BA的中點(diǎn)，F(xiàn)與A重合.BE=CF=J2E與A重合，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)(2)在AOEB和AFOC中，ZEOB+ZFOC=135,ZEOB+ZOEB=135BEBOZFOC=ZOEB.又JZB=ZC,:.OEBFOC.*=COCF/BE=xCF=yOB=OC=-V22+2222y=2(1WxW2)xEF與beOFO相切OEB7C，西=OBF=匹.即BF=BOOFOFOF又ZB=ZE

20、OF=45,BEOOEF./.ZBEO=ZOEF.點(diǎn)O到AB和EF的距離相等.JAB與口O相切，點(diǎn)O到EF的距離等于口O的半徑.EF與口O相切.1變式二如圖，在。O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,AC二2AB,點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B兩點(diǎn)重合)，過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn).如圖1,求證：PCDsABC；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCDSAABC?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出APCD并說(shuō)明理由；如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP丄AB時(shí)，求ZBCD的度數(shù).【課后練習(xí)】1(2012湘潭)如圖，在。O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,AC=AB,點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B兩點(diǎn)重合)，過(guò)

21、點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn).(1)如圖1,求證：PCDABC；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCDABC?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出PCD并說(shuō)明理由;最新資料推薦(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP丄AB時(shí)，求ZBCD的度數(shù).考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的性質(zhì)；垂徑定理；相似三角形的判定。專題：幾何綜合題。分析：(1)由AB是0O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得ZACB=90,又由PD丄CD,可得ZD=ZACB,又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得ZA=ZP,根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：PCDABC；由厶PCDsABC，可知當(dāng)PC=AB時(shí)，PCD9AABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；由ZACB=90,AC=AB，可求得ZABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得ZPCD的度數(shù)，又由垂徑定理,求得AC=AP，然后利用圓周角定理求得ZACP的度數(shù)，繼而求得答案.解答：(1)證明：TAB是0O的直徑，ZACB=90,VPD丄CD,ZD=90,ZD=ZACB,VZA與ZP是EC對(duì)的圓周角，.ZA=ZP,AP