大學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典求極限方法(最全)

1、n求極限的各種方法1約去零因子求極限例1求極限lim-XT1x-1【說明】XT1表明X與1無限接近，但X幻，所以X-1這一零因子可以約去。【解】lim(X-)(X+-)(X2+-)=lim(x+1)(X2+1)=6=4XT1X1XT12分子分母同除求極限例2：求極限limX*3x3+1【說明】-型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求。【解】lim乂二XT83x3+1=limXS11X3+壬x30=Vganb【注】(1)一般分子分母同除X的最高次方;aXn+aXn1+A+a(2)limnn-10-XT8bXm+bmm102x3分子(母)有理化求極限例3：求極限lim(節(jié)x2+3

2、一*x2+1)【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。(px2+3一：x2+1)(：x2+3+x2+1)【解】lim(：x2+3一x2+1)=limII.xT+wxT+w才x2+3+x2+1=lim2.=0 xT+wx2+3+px2+1例4：求極限lim+tanx一1+血xxT0 x3【解】lim1+tanx-二limtan匸曲xtox3xtox3衛(wèi)1+tanx71+sinxtanx一sinx1tanx一sinx1=limlim=lim=xto叫1+tanx+、.；1+sinxxtox32Xtqx34x3x3注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)

3、鍵4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限smx11丄兩個(gè)重要極限是lim=1和lim(1+_)x=lim(1+)n=lim(1+x)x=e，第xToxxTwxnTwnxT0一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。(x+1例5：求極限limxT+w【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出再湊+1，最后湊指數(shù)部分。解】limxT+wVx一1丿x(2A=lim1+xT+wx一1丿x=limxT+w1+丄x一1丿x(x+2a、；(2)已知lim=8，求a。(1A例6：(1)lim1xT+w5用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】常見等價(jià)無窮小有：當(dāng)xT0時(shí),xsinxtanxarcsi

4、nxarctanxln(l+x)ex一1,1-cosxx2,1+ax龍-1-abx；2等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：【解】求極限limx叫x)=xT01-cosxxln(1+x)x-x_lim=lim=2.xt01-COSxxt01x22例8：求極限limrxT0tan3x解】sinx-xlimxT0tan3xsinx-x=limxT0 x3cosx-1=limxT03x21x2二二lim2xT03x26用羅必塔法則求極限例9求極限limlnCOs2xln(1+Sin2x)xT0 x2【說明】巴或型的極限，可通過羅必塔法則來求。g0lnco

5、s2x-ln(1+sin2x)cos2x【解】lim=limcos2xxT0、=limxT02xxT0sin2x(2x2cos2x1+sin2x丿=3-2sin2xsin2x1+sin2x2x注】許多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解Jx(x-t)f(t)dtTOC o 1-5 h z例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)豐0，求極限lim.xT0 xJxf(x-t)dt0解】由于dtx蘭J0f(u)(-du)二Jxf(u)du,于是0 x0Jx(x-t)f(t)dtxJxf(t)dt-Jxtf(t)dtlim-o=limooxT0 xJxf(x-t)dtxT0 xJxf(u)du0

6、0Jx=lim-oJxf(t)dt=limof(t)dt+xf(x)-xf(x)Jxf(uu)du+xf(x)of(0)=1f(0)+f(0)27用對(duì)數(shù)恒等式求limf(x)g(x)極限soJxf(u)du+xf(x)2例11：極限lim1+ln(1+x)xxtO解】2221n1+ln(1+x)lim1+ln(1+x)x=limexln1+ln(1+x)=xlim12xtOxe2xtOxtO【注】對(duì)于1g型未定式limf(x)g(x)的極限，也可用公式limf(x)g(x)(1g)=elim(f(x)-1)g(x)因?yàn)閘imf(x)g(x)=elimg(x)ln(f(x)=elimg(x)ln

7、(1+f(x)-1)=elim(f(x)-1)g(x)例12：求極限limxtOx3解1】(2+cosx)2re叫3丿1原式二limxtOx3=limlnxtOx2ln(2+cosx)-ln3=limxtOx2=limxtO-(sinx)2+cosx2x解2】i(2+cosx12re叫3丿1原式二limxtOx3=limlnxtOx2=limcosx1ln(l+3TOC o 1-5 h zxtOx2cosx11=lim=xtO3x268利用Taylor公式求極限例13求極限limx*a2,(a0).xtOx2x2解】ax=exina=1+xlna+ln2a+0(x2),2=1一xlna+ln2

8、a+o(x2)2ax+a-x-2=x2ln2a+0(x2).ax+a-x-2x2ln2a+0(x2)lim=lim=ln2a.xtOx2xtOx211例14求極限lim(-cotx).xtOxx111sinx-xcosxlim(-cotx)=limxt0 xxxt0 xxsinxTOC o 1-5 h zx一一+o(x3)x1-+o(x2)3!2!=limxt0 x3=limxt0 x39數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解（1n2例15：極限limnsinIn丿【說明】這是1-形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。

9、（1、x2（丄）_1（丄.丄【解】考慮輔助極限limxsin=limexxsinx1丿=limey21嚴(yán)丫J=e一6x丿xT+8ytO+所以，lim1In2nsmnsVn丿10n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.f111極限lim；+,+A+V*n2+1&n2+2n2+n丿例16：極限lim+：+A+,nsn2+12xn2+22電n2+n2丿【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，是把f(x)看成0,1定積分。解】lim1fff1+f-+AnsnVVn丿+fVnTVn丿丿=J1f(x)dx0原

10、式=lim1nsn=+A2+:1+例17：ns=i1=dx=-!lnn說明】該題遇上一題類似，但是不能湊成lim1fff1Vff?+A+ffnYnsnVVn丿Vn丿Vn丿丿的形式，因而用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。解】limnsf亠+亠+人+亠1VPn2+1n2+2Jn2+n丿因?yàn)閚111n+A+iII1Ii：n2+nn2+1n2+2：n2+nvn2+1lim.n二lim.n二1nsvn2+nnsvn2+101+x22v2+111A1i+,.+A+i&n2+1n2+2Jn2+n丿12單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：設(shè)數(shù)列x滿足0 x兀,x.=

11、sinx(n=1,2,L)n1n+1n所以limntw(I)證明limx存在，并求該極限;nns(II)計(jì)算lim【分析】極限的存在.詳解】可推得=1、丄xx2n+丄n.nTwx丿n一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列(I)因?yàn)? xv兀，則0vx=sinx1v兀.1210 x=sinx1兀，n=1,2,L，則數(shù)列x有界.n+1nn于是+丄=sin兀”0時(shí),sinxx),則有xx，可見數(shù)列x單xxn+1nnnn調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限limx存在.nns設(shè)limx=l,在x=sinx兩邊令ntw,得l二sinl,解得l二0,即limx=0n+1n