2020高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)講義

1、-i-第一章計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)Q知識系統(tǒng)整合排列概念排列數(shù)公式*組合概念組合數(shù)公式2規(guī)律方法收藏兩個(gè)計(jì)數(shù)原珅應(yīng)用応川il敕原理1分類和分步計(jì)數(shù)原理兩個(gè)原理的共同之處是研究做一件事，完成它共有的方法種數(shù)，而它們的主要差異是“分類”與“分步”.（2）分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn):類與類相互獨(dú)立，每類方案中的每一種方法均可獨(dú)立完成這件事（可類比物理中的“并聯(lián)電路來理解）.分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn):步與步相互依存，且只有所有的步驟均完成了（每步必不可少），這件事才算完成（可類比物理中的“串聯(lián)電路來理解）.2解決排列組合應(yīng)用題的原則- -學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精解決排列組合應(yīng)用題的原則有特殊優(yōu)先的原則、先取后排

2、的原則、正難則反的原則、相鄰問題“捆綁”處理的原則、不相鄰問題“插空”處理的原則特殊優(yōu)先的原則：這是解有限制條件的排列組合問題的基本原則之一，對有限制條件的元素和有限制條件的位置一定要優(yōu)先考慮正難則反的原則:對于一些情況較多、直接求解非常困難的問題，我們可以從它的反面考慮，即利用我們平常所說的間接法求解相鄰問題“捆綁處理的原則：對于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁起來看成一個(gè)元素與其他元素排列，然后將相鄰元素進(jìn)行排列不相鄰問題“插空”處理的原則：對于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好,然后再將不相鄰的元素在這些排好的元素之間及兩端插入指標(biāo)問題采用“擋板法”把問題

3、轉(zhuǎn)化為：把n個(gè)相同元素分成m個(gè)組的分法，這相當(dāng)于n個(gè)相同元素的每兩個(gè)元素之間共n1個(gè)空，任插m1個(gè)板子的學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精插法數(shù)，即C錯(cuò)誤!種.先取后排的原則:對于較復(fù)雜的排列組合問題，常采用“先取后排”的原則,即先取出符合條件的元素，再按要求進(jìn)行排列定序問題倍縮、空位插入原則定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理分排問題直排原則一般地，對于元素分成多排的排列問題,可先轉(zhuǎn)化為一排考慮，再分段研究小集團(tuán)問題先整體后局部原則小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其他策略進(jìn)行處理(10)構(gòu)造模型原則一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模

4、型等,可使問題直觀理解，容易解決(1)二項(xiàng)式定理：3二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用（a+b）n=Cnan+C錯(cuò)誤!anib+C錯(cuò)誤嚴(yán)kbk+-+C錯(cuò)誤5，其中各項(xiàng)的系數(shù)C錯(cuò)誤!(k=o,1,2,，n)稱為二項(xiàng)式系數(shù)，第k+1項(xiàng)C錯(cuò)誤嚴(yán)kbk稱為通項(xiàng).- -學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性.與首末兩端“等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，體現(xiàn)了組合數(shù)性質(zhì)C錯(cuò)誤!=C錯(cuò)誤!.增減性與最大值.當(dāng)k錯(cuò)誤!時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C錯(cuò)誤!逐項(xiàng)增大；當(dāng)k錯(cuò)誤!時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C錯(cuò)誤!逐項(xiàng)減小.當(dāng)川為偶數(shù)時(shí)展開式中間一項(xiàng)T41的二項(xiàng)式系數(shù)cy最大；當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)展開式中間兩項(xiàng)丁專與丁1的二項(xiàng)式系數(shù)czc亍相等雖大.各項(xiàng)的二項(xiàng)

5、式系數(shù)之和等于2企即Co+Cn+C錯(cuò)誤+c錯(cuò)誤!=2n；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤!+=C錯(cuò)誤!十C錯(cuò)誤!+C錯(cuò)誤戶二乃-1。對于二項(xiàng)式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”一-構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)已知條件求r,再求T.有時(shí)還需先求n，再求r，才能求出T.r+lr+1有些三項(xiàng)展開式問題可以通過變形變成二項(xiàng)式問題加以解決;有時(shí)也可以通過組合解

6、決，但要注意分類清楚，不重不漏.對于二項(xiàng)式系數(shù)問題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的一個(gè)重要手段.近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng).用二項(xiàng)式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識來解決.畐學(xué)科思想培優(yōu)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，應(yīng)準(zhǔn)確進(jìn)行“分類”，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)：每一種方法必屬于某一類(不漏)，任何不同類的兩種方法是不同的方法(不重)，每一類中的每一種方法都能獨(dú)立地“完成這件事情”.2應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，應(yīng)準(zhǔn)確理解“分步的含義，完成這件事情，需要分成若干步

7、驟，只有每個(gè)步驟都完成了，這件事情才學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精能完成.例1某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余4家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）A.14B.16C.20D.48（2）個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域（如圖所示），現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.（用數(shù)字作答）解析分兩類：第1類，甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另兩個(gè)發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得N=2X6=112；第2類，3人全來自其余4家企業(yè)，有4種情況.綜上可知，共有N=N+N=1

8、2+4=16種情況.12（2）因?yàn)閰^(qū)域1與其他4個(gè)區(qū)域都相鄰，首先考慮區(qū)域1,有4種涂法.- -學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精若區(qū)域2,4同色，有3種涂法，此時(shí)區(qū)域3,5均有2種涂法，涂法總數(shù)為4X3X2X2=48；若區(qū)域2，4不同色，先涂區(qū)域2，有3種方法,再涂區(qū)域4有2種方法，此時(shí)區(qū)域3,5都只有1種涂法，涂法總數(shù)為4X3X2X1X1=24。因此,滿足條件的涂色方法共有4824=72種答案（1）B（2）72拓展提升（1）要弄清“分類”還是“分步”（2）解決涂色問題時(shí)，要盡量讓相鄰區(qū)域多的區(qū)域先涂色例2（1）某外語組有9人,每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中7人會(huì)英語,3人會(huì)日語，從中選出會(huì)英語

9、和日語的各一人，有種不同的選法；（2）將4封信投入3個(gè)信箱中，共有種不同的投法解析（1）共分三類:第一類，當(dāng)選出的會(huì)英語的人既會(huì)英語又會(huì)日語時(shí)，選會(huì)日語的人有2種選法；第二類,當(dāng)選出的會(huì)日語的人既會(huì)英語又會(huì)日語時(shí),選會(huì)英語的人有6種選法；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三類，當(dāng)既會(huì)英語又會(huì)日語的人不參與選擇時(shí)，則需從只會(huì)日語和只會(huì)英語的人中各選一人，有2X6=12種選法.故共有2+6+12=20種選法.(2)第1封信可以投入3個(gè)信箱中的任意一個(gè),有3種投法；同理,第2,3,4封信各有3種投法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有3X3X3X3=34=81種投法答案(1)20(2)81拓展提升以上兩題容易錯(cuò)解的

10、原因：忽視其中一人既會(huì)英語、又會(huì)日語這一隱含條件，從而導(dǎo)致錯(cuò)解分步的依據(jù)應(yīng)該是“信”而不應(yīng)該是“信箱，導(dǎo)致錯(cuò)解二排列與組合區(qū)分排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，有序的問題屬于排列問題,無序的問題屬于組合問題，在解決排列組合應(yīng)用題時(shí)常用如下解題策略：特殊元素優(yōu)先安排的策略；合理分類和準(zhǔn)確分步的策略；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精排列、組合混合問題先選后排的策略；正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；相鄰問題捆綁處理的策略；不相鄰問題插空處理的策略；定序問題除法處理的策略；分排問題直排處理的策略；“小集團(tuán)排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略例3五位老師和五名學(xué)生站成一排，五名學(xué)生必須排在一起共有多

11、少種排法？五名學(xué)生不能相鄰共有多少種排法？老師和學(xué)生相間隔共有多少種排法?解(1)先將五名學(xué)生“捆綁”在一起看作一個(gè)與五位老師排列有A錯(cuò)誤!種排法，五名學(xué)生再內(nèi)部全排列有A錯(cuò)誤!種，故共有A錯(cuò)誤！A錯(cuò)誤!=86400種排法.(2)先將五位老師全排列有A錯(cuò)誤！種排法，再將五名學(xué)生排在五位老師產(chǎn)生的六個(gè)空位上有A錯(cuò)誤!種排法，故共有A錯(cuò)誤A錯(cuò)誤!=86400種排法.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精可用圖表示：0口0口0口0口0（用O表示老師所在位置，用表示中間的空當(dāng)）（3）排列方式只能有兩類,如圖所示:0口0口0口0口0（用表示老師所在位置，用O表示學(xué)生所在位置）故有2A錯(cuò)誤！A錯(cuò)誤廠2880種排法拓展

12、提升“學(xué)生相鄰”就“捆綁學(xué)生”，“學(xué)生不相鄰”就插空“捆綁”之中的元素有順序，哪些元素不相鄰就插空例4由1,2，3，4,5五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)排成一遞增數(shù)列，則首項(xiàng)為12345,第2項(xiàng)是12354,直到末項(xiàng)（第120項(xiàng)）是54321。問：（1）43251是第幾項(xiàng)？（2）第93項(xiàng)是怎樣的一個(gè)五位數(shù)？解由題意知，共有五位數(shù)為A5=120（個(gè)）.5比43251大的數(shù)有下列幾類：萬位數(shù)是5的有A錯(cuò)誤!=24（個(gè)）；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精萬位數(shù)是4,千位數(shù)是5的有A3,=6(個(gè))；3萬位數(shù)是4,千位數(shù)是3,百位數(shù)是5的有A：=2(個(gè));.比43251大的數(shù)共有A錯(cuò)誤!+A錯(cuò)誤！A錯(cuò)誤!=

13、32(個(gè)).43251是第12032=88（項(xiàng)）(2)從知萬位數(shù)是5的有A錯(cuò)誤廠24(個(gè))，萬位數(shù)是4,千位數(shù)是5的有A錯(cuò)誤!=6(個(gè))但比第93項(xiàng)大的數(shù)有12093=27(個(gè)),第93項(xiàng)即倒數(shù)第28項(xiàng),而萬位數(shù)是4,千位數(shù)是5的6個(gè)數(shù)是45321,45312,45231,45213,45132,45123,從此可見第93項(xiàng)是45213.拓展提升數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型,解題時(shí)要著重注意從附加受限制條件入手分析,找出解題的思路例5有4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi)共有多少種放法？恰有1個(gè)盒子中不放球,有多少種放法？恰有2個(gè)盒子中不放球,有多少種放法？解(1)由分步乘法計(jì)數(shù)

14、原理可知,共有44=256種放法先從4個(gè)小球中取2個(gè)作為一組，有C2,4種不同的取法，再把學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精取出的2個(gè)小球與另外2個(gè)小球（即3組）分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子里，有A錯(cuò)誤!種不同的放法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C錯(cuò)誤!A錯(cuò)誤!=144種不同的放法（3）恰有2個(gè)盒子中不放球，也就是把4個(gè)不同的小球只放入2個(gè)盒子中,有兩類放法：第1類，1個(gè)盒子中放3個(gè)小球，一個(gè)盒子中放1個(gè)小球先把小球分組，有C：種分法，再放到2個(gè)盒子中，有A錯(cuò)誤!種不同的放法，共有C3，4A錯(cuò)誤!種不同的放法；第2類，2個(gè)盒子中各放2個(gè)小球有錯(cuò)誤!種放法故恰有2個(gè)盒子中不放球的放法共有C錯(cuò)誤4錯(cuò)誤!+

15、錯(cuò)誤!=84（種）.拓展提升排列與組合的綜合問題,首先要分清何時(shí)為排列，何時(shí)為組合對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進(jìn)行組合，再進(jìn)行排列。對特殊元素的位置有要求時(shí)，在組合選取時(shí)，就要進(jìn)行分類討論，分類的原則是不重、不漏在用間接法計(jì)數(shù)時(shí),要注意考慮全面，排除干凈三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用對于二項(xiàng)式定理的考查常出現(xiàn)兩類問題，一類是直接運(yùn)用通項(xiàng)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精公式來求特定項(xiàng)另一類,需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)式定理來處理問題,從近幾年高考命題趨勢來看，對于本部分知識的考查以基礎(chǔ)知識和基本技能為主,難度不大,但不排除與其他知識的交匯，具體歸納如下：(1)考查通項(xiàng)公式問題(2)考查系數(shù)問題:涉及項(xiàng)的

16、系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)以及系數(shù)的和；一般采用通項(xiàng)公式或賦值法解決可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理解決問題例6已知在錯(cuò)誤!n的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56:3。求展開式中的所有有理項(xiàng)；求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng);(3)求*+9C2,n+81C錯(cuò)誤!+十9nlC錯(cuò)誤!的值解(1)由cn(2)4：c錯(cuò)誤!(一2)2=56:3,解得n=10，因?yàn)橥?xiàng)：Tr+1=C錯(cuò)誤!Q誤！)101錯(cuò)誤!r=(2)rC錯(cuò)誤!X錯(cuò)誤！,當(dāng)5錯(cuò)誤!為整數(shù)時(shí)，r可取0,6,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精- - -學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精展開式是有理項(xiàng)，于是有理項(xiàng)為T=X5和T=13440。17(2)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對值最大

17、，則錯(cuò)誤！解得錯(cuò)誤!又因?yàn)閞1,2,3，9,所以r=7,當(dāng)r=7時(shí)，T8=1536x錯(cuò)誤!，又因?yàn)楫?dāng)r=0時(shí)，T=x5,當(dāng)r=10時(shí)，iTli=(-2)10X錯(cuò)誤!=1024X錯(cuò)誤!，所以系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為丁8=15360乂錯(cuò)誤!.(3)原式=10+9C錯(cuò)誤!+81C錯(cuò)誤!+h9i0iC錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！錯(cuò)誤!.拓展提升求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的步驟例7已知(1x)5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a，則(a+TOC o 1-5 h z5432100a+a)(a+a+a)等于則(a+a+a+a)0242n24135設(shè)錯(cuò)誤嚴(yán)=a0+aiX+a2X2+a2nX2n,2(a+a+a+，+a

18、)2=1352n1解析(1)在所給等式中，令x=1,得a+a+a+a+a+a=0012345;令x=1,得一a+aa+aa+a=32，由+得，a5432100+a+a=16，由一得，a+a+a=16,所以(a+a+a)(a241350241+a+a)=256。35(2)設(shè)f(x)=2n,則(a+a+a+a)2(a+a+a+錯(cuò)誤!0242n135a)2=(a+a+a+-+aaaa-a)(a+a+a2n10242n1352n1024+a+a+a+aa)=(1)f(1)=曲早耳.雄切2n=2n1352n1錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!n。答案(1)256(2)錯(cuò)誤!n拓展提升一般地，若f(x)=axn+a

19、xn1a,貝|f(x)展開式中01n各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇次項(xiàng)系數(shù)的和為a+a+a024+-=錯(cuò)誤p偶次項(xiàng)系數(shù)的和為a1+a3+a5+-=錯(cuò)誤j當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精- -f1a+a+a+=024f-12a+a+a+135錯(cuò)誤!(2)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.四分類討論的數(shù)學(xué)思想例8錯(cuò)誤!錯(cuò)誤總的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A.40B.20C.20D.40解析對于錯(cuò)誤!

20、錯(cuò)誤!5,可令X=得各項(xiàng)系數(shù)的和為a=2,故a=1。錯(cuò)誤!5的展開式的通項(xiàng)為T+=C錯(cuò)誤件)5錯(cuò)誤F=C錯(cuò)誤Q-rX(1)rXX52r.要得到錯(cuò)誤!錯(cuò)誤F展開式中的常數(shù)項(xiàng)分為兩類情況，錯(cuò)誤!的X與錯(cuò)誤!5展開式中含錯(cuò)誤!的項(xiàng)相乘;錯(cuò)誤!的錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!5展開式中含X的項(xiàng)相乘，故令52r=1得r=3,令52r=1得r=2，從而可得所求常數(shù)項(xiàng)為C錯(cuò)誤/22乂(一1)卄。錯(cuò)誤/2必(一1)2=40.答案D- -學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精拓展提升求幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)或特定項(xiàng)時(shí),一般要根據(jù)這幾個(gè)二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類搭配,分類時(shí)要抓住一個(gè)二項(xiàng)式逐項(xiàng)分類，分析其他二項(xiàng)式應(yīng)滿足的條件,然后再求解結(jié)果,此法易出現(xiàn)分類搭配不全,運(yùn)算失誤等錯(cuò)誤例9在0，1，2，3，4,5，6這七個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有多少個(gè)？解依題意，可分兩大類第一類，當(dāng)三個(gè)數(shù)字均為偶數(shù)時(shí)，第一步：在2,4,6中任取一個(gè)作為百位，有3種方法;第二步:在0和第一步剩余的兩個(gè)數(shù)中任取一個(gè)作為十位，有3種方法；第三步:在剩余的兩個(gè)偶數(shù)中任取一個(gè)作為個(gè)位,有2種方法于是，第一類中三位數(shù)共有N=3X3X2=18（個(gè)）1第二類，當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)時(shí)（1）偶數(shù)在百位，第一步：在2,4,6中任取一個(gè)作為