高中數(shù)學(xué)人教A版 選擇性必修第二冊(cè)數(shù)列專項(xiàng)突破3

1、試卷第 =page 3 3頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)試卷第 =page 4 4頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)數(shù)列專項(xiàng)突破3第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明一、單選題1已知an是公差為d（d0）的等差數(shù)列，若存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x9滿足方程組，則d的最小值為（）ABCD2已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)且滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（ ）A若單調(diào)遞增，則；B若，則；C若，則D若，則.3已知數(shù)列滿足：.若正整數(shù)使得成立，則A16B17C18D194已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，給出下列三個(gè)結(jié)論：若，則

2、數(shù)列僅有有限項(xiàng)；若，則數(shù)列單調(diào)遞增；若，則對(duì)任意的，陼存在，使得成立則上述結(jié)論中正確的為（ ）ABCD5數(shù)列中，若，則下列命題中真命題個(gè)數(shù)是（ ）（1）若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則；（2）若，數(shù)列都是單調(diào)遞增數(shù)列；（3）若，任取中的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)（），則都是單調(diào)數(shù)列.A個(gè)B 個(gè)C個(gè)D個(gè)6已知數(shù)列an滿足：a1=0，（nN*），前n項(xiàng)和為Sn (參考數(shù)據(jù)： ln20.693，ln31.099)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）A是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列BCD二、多選題7已知數(shù)列滿足：，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減BCD8已知數(shù)列滿足，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大

3、整數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A存在，使得B是等比數(shù)列C的個(gè)位數(shù)是5D的個(gè)位數(shù)是1第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題9已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，其中，令（表示三者中的最大值），則對(duì)于任意，的最小值為_(kāi)10任意實(shí)數(shù)a，b，定義，設(shè)函數(shù)，數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，且，則=_；11對(duì)于數(shù)列定義：，稱數(shù)列為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列.如果（常數(shù)），那么稱數(shù)列是階等差數(shù)列.現(xiàn)在設(shè)數(shù)列是階等差數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi).12定義“穿楊二元函數(shù)”如下：.例如：.對(duì)于奇數(shù)，若，（彼此相異），滿足，則最小的正整數(shù)的值為_(kāi).四、解答題13設(shè)數(shù)列an和bn的項(xiàng)數(shù)均為m，則將數(shù)列an和bn的距離定

4、義為.（1）給出數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；（2）設(shè)A為滿足遞推關(guān)系an+1=的所有數(shù)列an的集合，bn和cn為A中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為m，若b1=2，c1=3，bn和cn的距離小于2016，求m的最大值；（3）記S是所有7項(xiàng)數(shù)列an|1n7，an=0或1的集合，TS，且T中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3，證明：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.14在無(wú)窮數(shù)列中，是給定的正整數(shù)，.若，寫(xiě)出，的值；證明：存在，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)呈周期變化；若，的最大公約數(shù)是，證明數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為.15給定數(shù)列，對(duì)，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)的最小值記為，（1）設(shè)，求；（2）設(shè)是公比大于1

5、的等比數(shù)列，且時(shí)，證明：成等比數(shù)列；（3）設(shè)是公差大于0的等差數(shù)列，且，證明：成等差數(shù)列16已知數(shù)列滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列不可能是常數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）當(dāng)時(shí)，令，判斷對(duì)任意，是否為正整數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案第 = page 21 21頁(yè)，共 = sectionpages 22 22頁(yè)答案第 = page 22 22頁(yè)，共 = sectionpages 22 22頁(yè)參考答案1C【分析】把方程組中的都用和表示，求得的表達(dá)式，根據(jù)方程組從整體分析可知：當(dāng)，時(shí)，取最小值【詳解】解：把方程組中的都用和表示得：，把代入得：，根據(jù)分母結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及可知：當(dāng)，時(shí)，取最小值為故選：C【點(diǎn)睛】

6、關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組從整體分析得：當(dāng)，時(shí)，取最小值2D【分析】由數(shù)列遞增可得，結(jié)合數(shù)列的遞推式，解不等式可判斷；分別求得，比較可判斷；由數(shù)列的遞推式可得，由累乘法可判斷；求得，可判斷【詳解】解：數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)且滿足，若單調(diào)遞增，可得，即為，可得，且，由，可得，故正確；若，可得，解得（負(fù)值已舍去），由，而在，的范圍是，而，則，故方程的解在，內(nèi)，故正確；由，可得，即，即，可得，故正確；若，可得，解得，由，可得，故錯(cuò)誤故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的運(yùn)用，考查數(shù)列中的項(xiàng)的范圍和單調(diào)性，以及數(shù)列的求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力、推理能力3B【分析】由題意可得，時(shí)，將換為，兩式相除

7、，累加法求得即有，結(jié)合條件，即可得到所求值【詳解】解：，即，時(shí)，兩式相除可得，則，由，可得，且，正整數(shù)時(shí)，要使得成立，則，則，故選：【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.4A【分析】對(duì)于，利用數(shù)列的單調(diào)性，通過(guò)累加法即可作出判斷；對(duì)于，先證明，再借助作差法即可得到結(jié)果；對(duì)于，判斷數(shù)列是有界的還是發(fā)散的即可.【詳解】對(duì)于，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，數(shù)列單調(diào)遞減，；，即，即，即，而為定值，數(shù)列僅有有限項(xiàng)，命題正確；對(duì)于，先用數(shù)學(xué)歸納法證明.（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立；（2）假設(shè)時(shí)，則，記，在上單調(diào)遞增，對(duì)，都有

8、.，又在上單調(diào)遞增，又，數(shù)列單調(diào)遞增，命題正確；對(duì)于，即，又，顯然存在上界，即存在上界，命題錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系顯然無(wú)法確定通項(xiàng)，從而要從項(xiàng)間關(guān)系切入，利用單調(diào)性、最值、周期性等，結(jié)合放縮思想即可得到結(jié)果.5C【分析】對(duì)（1），由數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解方程可得的值；對(duì)（2），由函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和極值，可判斷單調(diào)性；對(duì)（3），由，判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)列中，若，（1）若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解得或，故（1）不正確；（2）若，由函數(shù)，由，可得極值點(diǎn)唯一且為，極值為，由，可得，則，即有.由于，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，則數(shù)列都是單調(diào)遞增數(shù)列，

9、故（2）正確；（3）若，任取中的9項(xiàng)，構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)列，2，9，是單調(diào)遞增數(shù)列；由，可得，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得或時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；或時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減所以數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列，故（3）正確；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論思想方法，屬于難題6C【分析】設(shè)，則有，構(gòu)建，求導(dǎo)分析可知導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列，分別判定，即得單調(diào)性，數(shù)列與數(shù)列的單調(diào)性一致，可判定A選項(xiàng)正確；B、C選項(xiàng)利用分析法證明，可知B正確，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)利用數(shù)學(xué)歸納法證分兩邊證，即可證得.【詳解】由題可知，a1=0，設(shè)，則有，即令，則

10、，這里將視為上的前后兩點(diǎn)，因函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列又因?yàn)橥砜芍?，所以單調(diào)遞增，單調(diào)遞減因?yàn)閿?shù)列與數(shù)列的單調(diào)性一致，所以單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)?，則，欲證，即由，上式化為，顯然時(shí)，當(dāng)時(shí)，故成立；所以原不等式成立故B選項(xiàng)正確；欲證，只需證，即即，顯然成立故，所以故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；欲證，因單調(diào)性一致則只需證，只需證因?yàn)?，若，則；又因?yàn)?，若，則；由數(shù)學(xué)歸納法有，則成立故D選項(xiàng)正確。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查二階線性數(shù)列的綜合問(wèn)題，涉及單調(diào)數(shù)列的證明，還考查了分析法證明與數(shù)學(xué)歸納法的證明，屬于難題.7ABC【分析】由給定條件可得，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性而判斷選

11、項(xiàng)A，利用不等式性質(zhì)探求出可判斷選項(xiàng)B，由的范圍探求出的范圍而判斷選項(xiàng)C，取特值說(shuō)明而判斷選項(xiàng)D.【詳解】因，則，即，令，則，在上單調(diào)遞增，點(diǎn)與是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，于是有，則，都單調(diào)，又，則，即，所以單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，A正確；顯然，而，即，則，于是，則有，所以，B正確；，而，所以，C正確；若，則，而，即對(duì)和都不成立，D不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及單調(diào)性的某些數(shù)列問(wèn)題，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.8BD【分析】根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列為遞增數(shù)列，根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)，從而

12、可判斷AB的正誤，利用二項(xiàng)式定理可判斷C的正誤，從而可判斷D的正誤.【詳解】，.由題可得為正整數(shù)，故，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，即，故即.又，結(jié)合、均為正整數(shù)可得，其中，而，故，其中.故，又，故，故，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此，因此A錯(cuò)誤，B正確又，因?yàn)闉?0的倍數(shù)，故的個(gè)位數(shù)為，因此C錯(cuò)誤設(shè)，則，故的個(gè)位數(shù)為，因此D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：以取整函數(shù)為背景的數(shù)列的遞推關(guān)系，需結(jié)合遞推關(guān)系的形式和整數(shù)的性質(zhì)挖掘新的隱含的遞推關(guān)系，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的遞推關(guān)系，與個(gè)位數(shù)或余數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，多從二項(xiàng)式定理去考慮.9【分析】當(dāng)時(shí)，可得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得，取得

13、最小值，而，分別求出，比較可得時(shí)，的最小值，然后當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出可能取得最小值時(shí)的值，比較即可得答案【詳解】當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值，此時(shí)，因?yàn)?，而，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，因?yàn)?，而，此時(shí)的最小值為 ， 當(dāng)時(shí)，所以，令，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，此時(shí)的最小值為 ，綜上，的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類思想，解題的關(guān)鍵是分別當(dāng)，和時(shí)，

14、根據(jù)題意求出的最小值，然后比較可得答案，考查計(jì)算能力，屬于難題10【解析】【分析】根據(jù)定義可得函數(shù)的解析式對(duì)等比數(shù)列的公比分三種情況討論，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得數(shù)列的首項(xiàng)【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)a，b，定義函數(shù) 數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，且 當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗?，由等比?shù)列通項(xiàng)公式可得，所以整個(gè)數(shù)列為因?yàn)樗源肟傻眉从蓪?duì)數(shù)運(yùn)算所以化簡(jiǎn)后可得，即所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以不成立 當(dāng)時(shí)，所以整個(gè)數(shù)列為所以，因?yàn)榇肟傻眉从蓪?duì)數(shù)運(yùn)算所以化簡(jiǎn)后可得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以等式左邊大于0，等式右邊小于0，方程無(wú)解綜上所述，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，指數(shù)與對(duì)數(shù)的互換、對(duì)數(shù)的綜合運(yùn)算及

15、求值，分類討論思想的應(yīng)用，計(jì)算量大，過(guò)程繁瑣，需要很強(qiáng)的計(jì)算推理能力，屬于難題11【分析】根據(jù)定義，利用迭加法求得，繼續(xù)迭加后，得出，先求出的表達(dá)式，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：由題知：，迭加得：，則，.又，則，迭加得：，則，則，迭加得：，則，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由新定義求數(shù)列通項(xiàng)公式以及迭加法的運(yùn)用，考查邏輯思維和計(jì)算能力.129765【分析】先求出，由題設(shè)可知至少有5個(gè)不同的正的奇約數(shù)，且5個(gè)奇約數(shù)中，至少有一個(gè)為的形式，據(jù)此可得的最小值.【詳解】因?yàn)?，?由題設(shè)，存在5組不同的，使得奇數(shù)，故有5個(gè)不同的形如形式正的奇約數(shù)，又，又，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題

16、考查數(shù)列的求和以及正奇數(shù)的因數(shù)分解，注意對(duì)題設(shè)條件要合理轉(zhuǎn)化，從而得到正奇數(shù)滿足的性質(zhì)，本題屬于難題.13（1）7；（2）3455；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由數(shù)列距離的定義直接求出所給兩個(gè)數(shù)列的距離；（2）令a1=p，由遞推公式，求出a2，a3，a4，a5，探求出A中數(shù)列項(xiàng)的周期性，即得數(shù)列bn和cn規(guī)律，由結(jié)合周期性及，求得m的最大值；（3）假設(shè)T中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，設(shè)出cn，dn，fn，最終求得和中必有一個(gè)成立，與已知矛盾即可得解.【詳解】（1）依題意，數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離為1+0+5+1=7；（2）設(shè)a1=p，其中p0，且p1，由，得，a5=p，

17、因此，a1=a5，則有A中數(shù)列的項(xiàng)呈周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，在數(shù)列bn中，b4k-3=2，b4k-2=-3，b4k-1=-，b4k=，kN*，在數(shù)列cn中，b4k-3=3，b4k-2=-2，b4k-1=-，b4k=，kN*，得項(xiàng)數(shù)m越大，數(shù)列bn和cn的距離越大，由得：，于是得m3456時(shí)，所以m的最大值為3455；（3）假設(shè)T中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，在數(shù)列an中，ai=0或1，則僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組(a1，a2，a3)有且僅有8個(gè)，(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，那么這17個(gè)元素(

18、即數(shù)列)之中必有三個(gè)具有相同的a1，a2，a3，設(shè)這個(gè)數(shù)列分別為cn：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，dn：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，fn：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)列中每?jī)蓚€(gè)的距離大于等于3，則在bn和cn中，cidi(i=4，5，6，7)中至少有三個(gè)成立，不妨設(shè)c4d4，c5d5，c6d6，由題意，c4和d4中一個(gè)等于0，而另一個(gè)等于1，又因f4=0或1，于是得f4=c4和f4=d4中必有一個(gè)成立，同理，得f5=c5和f5=d5中必有一個(gè)成立，f6=c6和f6=d6中必有一個(gè)成立

19、，因此，“fi=ci(i=4，5，6)中至少有兩個(gè)成立”或“fi=di(i=4，5，6)中至少有兩個(gè)成立”中必有一個(gè)成立，從而得和中必有一個(gè)成立，與T中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3矛盾，即假設(shè)不成立，所以T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并合理地運(yùn)用計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.14，；證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析.【分析】由，結(jié)合，可求出，的值；利用反證法證明，假設(shè)，由于，證得當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)呈周期變化；利用反證法證明數(shù)列中必有，再利用綜合法證明數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為.【詳解】解：由，得，.從第

20、四項(xiàng)開(kāi)始滿足，.所以，.證明：反證法：假設(shè)，由于，記，則，.則，.由數(shù)學(xué)歸納法易得，當(dāng)時(shí)，與矛盾.故存在，使.所以數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)值為的項(xiàng)，故存在，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)呈周期變化.證明：先證數(shù)列中必有（反證法）：假設(shè)數(shù)列中沒(méi)有，由知數(shù)列中必有項(xiàng)，設(shè)第一個(gè)項(xiàng)是，令，則必有，于是由，則，因此是的因數(shù)，由，則或，因此是的因數(shù)，依次遞推，可得是，的因數(shù)，因?yàn)?，所以這與，的最大公約數(shù)是矛盾，所以數(shù)列中必有；再證數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為：假設(shè)數(shù)列中第一個(gè)項(xiàng)為，令，則，若，則數(shù)列中的項(xiàng)從開(kāi)始依次為“，”的無(wú)限循環(huán)，故有無(wú)窮多項(xiàng)為；若，則，若，則進(jìn)入“，”的無(wú)限循環(huán)，故有無(wú)窮多項(xiàng)為；若，則從開(kāi)始的項(xiàng)依次為，必出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)，從而進(jìn)入“，”的無(wú)限循環(huán)，故有無(wú)窮多項(xiàng)為；綜合可知，數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推數(shù)列，合情推理及數(shù)列有關(guān)的證明，考查分析問(wèn)題能力，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.15（