高中數(shù)學(xué)北師大版 必修第二冊(cè)第二章平面向量及其應(yīng)用綜合強(qiáng)化2

1、試卷第 =page 3 3頁，共 =sectionpages 4 4頁試卷第 =page 4 4頁，共 =sectionpages 4 4頁高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)第二章平面向量及其應(yīng)用綜合強(qiáng)化2第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1已知向量的夾角為，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（ ）ABCD2中，若，點(diǎn)滿足，直線與直線相交于點(diǎn)，則（ ）ABCD3在中，是角的對(duì)邊，已知，則以下判斷錯(cuò)誤的是（ ）A的外接圓面積是；B；C可能等于14；D作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則的最大值是.4在銳角中，角，的對(duì)邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）ABCD5若面積為1的滿足，

2、則邊的最小值為（ ）A1BCD26已知平面向量滿足，且的最小值，則的最小值為（ ）AB1C2D1或2二、多選題7已知的內(nèi)角分別為，滿足，且，則以下說法中正確的有（ ）A若為直角三角形，則；B若，則為等腰三角形；C若，則的面積為；D若，則8一般的，的夾角可記為，已知同一個(gè)平面上的單位向量滿足，則的取值可以是（ ）.AB1C2D第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題9在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的取值范圍為_.10已知， ， 是空間單位向量，且滿足，若向量， ，則在 方向上的投影的最大值為_.11設(shè)，為單位向量，非零向量，若，的夾角為，則的最大值等于_12如圖，在

3、平面四邊形ABCD中，ABBC，ADDC，ABAD1，BAD，射線BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)（E在線段BC上，且不與B，C重合）滿足DC平分EDF，則當(dāng)4BE+BF最小時(shí)，tanEDF的值是_.四、解答題13如圖，某市擬在長(zhǎng)為的道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)的圖像，且圖像的最高點(diǎn)為；賽道的后一部分為折線段，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定.（1）求的值和兩點(diǎn)間的直線距離；（2）折線段賽道最長(zhǎng)為多少？求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).14在中，為上一點(diǎn)，是線段的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（1）證明：；（2）若，求15已知為的外心，求證.16在，三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，

4、角，的對(duì)邊分別為，且_，作，使得四邊形滿足， 求的取值范圍.答案第 = page 17 17頁，共 = sectionpages 17 17頁答案第 = page 16 16頁，共 = sectionpages 17 17頁參考答案1A【分析】依題意可得，令，則，通過換元可得，所以，當(dāng)時(shí)，可得的 最小值.【詳解】依題意可得，則，則，所以，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是：令，通過換元得到.2A【分析】本題首先可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出、，然后根據(jù)、三點(diǎn)共線以及、三點(diǎn)共線得出，再然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則得出、，最后根據(jù)即可得出結(jié)果.

5、【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椤⑷c(diǎn)共線，所以，因?yàn)?，、三點(diǎn)共線，所以，聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的幾何應(yīng)用，可借助平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解題，考查應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求夾角，考查向量共線的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是難題.3D【分析】對(duì)A：利用正弦定理可求得的外接圓半徑，即可求解的外接圓面積；對(duì)B：利用余弦定理角化邊，即可求解；對(duì)C：利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和差的正弦公式，即可求解；對(duì)D：利用三角形面積公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解【詳解】解：對(duì)A：，由正弦定理可得，即的外接圓半徑，的外接

6、圓面積是，故選項(xiàng)正確；對(duì)B：由余弦定理可得，故選項(xiàng)正確；對(duì)C：由正弦定理可得，故選項(xiàng)正確；對(duì)D：設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)我，到的距離為，即，又由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以的最大值是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：D4D【分析】根據(jù)已知條件，利用余弦定理和面積公式，結(jié)合倍角公式求得,進(jìn)而求得A的各個(gè)三角函數(shù)值，再利用正弦定理邊化角求得關(guān)于C的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)銳角三角形的條件得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍即可【詳解】解：ABC中，由，得，；即， ，ABC為銳角三角形，,，,， 故選：D5C【分析】由已知利用三角形的面積公式可得，由余弦定理可求，利用輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】解：

7、的面積，且，根據(jù)余弦定理得：，即，可得，則，解得：，即邊的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式、余弦定理和輔助角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力.6D【分析】設(shè)，則，由的最小值為，得，且，解得或，然后分2種情況考慮的最小值，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)，則 因?yàn)榈淖钚≈?，所以的最小值為，則，且，解得或，當(dāng)，即時(shí)，所以的最小值為2；當(dāng)，即時(shí)，所以的最小值為1，綜上，的最小值為1或2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的計(jì)算與二次函數(shù)值域的綜合問題，考查學(xué)生的推理分析能力和計(jì)算能力.7BD【分析】利用正弦定理邊角互化設(shè)akln2，bkln42

8、kln2，cklnt，結(jié)合兩邊和大于第三邊求得2t8，討論t.判斷選項(xiàng)A,利用余弦定理得m的式子判斷BD;利用面積公式判斷C【詳解】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論：對(duì)于A，根據(jù)題意，若sinA：sinB：sinCln2：ln4：lnt，則a：b：cln2：ln4：lnt，故可設(shè)akln2，bkln42kln2，cklnt，k0則有bacb+a，則kln2c3kln2，變形可得2t8，當(dāng)時(shí)；c最大，若為直角三角形，則，即，解得； 當(dāng)時(shí)；若為直角三角形，則，即，解得綜上：或，故A錯(cuò)；由題意，abcosCabmc2，m若，則解得t=4，故，為等腰三角形；B正確；對(duì)于C，當(dāng)t4，akln2時(shí)，則bkln4

9、，cklntkln4，則有bc2a，此時(shí)等腰ABC底邊上的高為 ，三角形面積為，C錯(cuò)；對(duì)于D，當(dāng),則有a2+b2c20，即解得由選項(xiàng)A,B的解析知kln2c3kln2綜合兩式得，故m 選項(xiàng)D正確；綜合可得BD正確；故選：BD8ABC【分析】結(jié)合題意，討論滿足的情況，分別研究即可【詳解】由題意可知，當(dāng)且在之間時(shí)，滿足，如圖所示，不妨令，則易知，結(jié)合圖象可知當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)且在之間時(shí)，滿足，如圖所示，不妨令，過點(diǎn)作，且，連接，則易知為平行四邊形，又易知，則，結(jié)合圖象可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)；當(dāng)且在之間時(shí)，滿足，同理當(dāng)且在之間時(shí)，有；綜上可知：故選：ABC9【分

10、析】由余弦定理化簡(jiǎn)已知式，再由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換得，由銳角三角形求得的范圍，待求式切化弦，通分后利用已知條件化為，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得范圍【詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由，得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函數(shù)的取值范圍，解題關(guān)鍵是由正弦定理和余弦定理變形化簡(jiǎn)得出三角形中角的關(guān)系，從而再由銳角三角形得角的范圍再把待求式化為某個(gè)角的函數(shù)，從而求得取值范圍10 .【分析】先確定在 方向上的投影用計(jì)算，對(duì)該式子利用數(shù)量積相關(guān)公式化簡(jiǎn)，再用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值.【詳解】在 方向上的投影為. 把 ，代

11、入整理得，.令，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：.112【分析】由題意，可得，從而可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值，比較大小即可得答案【詳解】解：，為單位向量，和的夾角等于，當(dāng)時(shí)，則；非零向量，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，綜上，取得最大值為2故答案為：212【分析】由已知求得BC，設(shè)CDECDF（0），利用正弦定理把CE、CF用含有的代數(shù)式表示，可得4BE+BF，換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】解：如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADDC，ABAD1，BAD，可得BCDC.E在線段BC上（不含端點(diǎn)），且DC平分EDF，設(shè)CDECDF（0），

12、在CDE中，由，可得.在CDF中，由，可得.4BE+BF4（）+（）.令xtan（0，），則函數(shù)y，y.當(dāng)xtan時(shí)，函數(shù)y取得最大值，即4BE+BF取得最小值，此時(shí)tanEDFtan2.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的解法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題.13（1）；（2）最長(zhǎng)為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）由圖得到A及周期，利用三角函數(shù)的周期公式求出，將M的橫坐標(biāo)代入求出M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求出|MP|；（2）由余弦定理得,利用均值不等式求解，且有求出坐標(biāo).【詳解】（1）依題意，有，又，, 當(dāng)時(shí)， ，又,（2）如圖，在中，由余弦定理得 即,故從而，即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，折線段賽

13、道最長(zhǎng).因?yàn)?，所?又所以,，所以,故.14（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式及正弦定理得，再由得，面積的關(guān)系，即可得，的關(guān)系，即可得證；（2）先由余弦定理求出的余弦值，即可求出的余弦值，再利用余弦定理即可求出【詳解】解：（1）在中，由正弦定理，又，（2），由（1）知，在中，由余弦定理知，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛： 本題考查的知識(shí)是“掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題”解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)的，面積的關(guān)系，即可得，的關(guān)系15證明見解析【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為軸的正半軸，設(shè)，結(jié)合三角形所在邊的直線方程，利用叉積運(yùn)算，分別得到，進(jìn)而得到，再結(jié)合三角形面積公式和證明即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為軸的正半軸，在軸的上方，則，直線的方程是，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，所以有，得.直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，所以有，得.于是，又，又，所以.證畢.16.【分析】根據(jù)題意，選擇求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】若選：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦