47第四十七章構(gòu)造論證

1、第四十七章構(gòu)造論證概念構(gòu)造與論證是一類創(chuàng)造性的思維活動(dòng)要求我們積極展開聯(lián)想靈活運(yùn)用 所學(xué)的知識(shí)。而構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，一類數(shù)論問題可以通過構(gòu)造 出某些特殊結(jié)構(gòu)，特殊形式的數(shù)列或數(shù)組來解決，另外在解決一些圖形問題 上，邏輯推理問題上也可以通過構(gòu)造我們所熟悉的特殊情景然后在解題，問 題就變得容易多了。各種探討給定要求能否實(shí)現(xiàn)，在論證中，有時(shí)需進(jìn)行分類討論，有時(shí) 則要著眼于極端情形，或從整體把握設(shè)計(jì)最佳安排和選擇方案的組合問題, 這里的最佳通常指某個(gè)量達(dá)到最大或最小.解題時(shí)，既要構(gòu)造出取得最值的 具體實(shí)例，又要對(duì)此方案的最優(yōu)性進(jìn)行論證論證中的常用手段包括抽屜原 則、整除性分析和不等式估計(jì).組

2、合證明題，在論證中，有時(shí)需進(jìn)行分類討論，有時(shí)則需要著眼于極端 情況，或從整體把握。若干點(diǎn)及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題 目稱為圖論問題。若干點(diǎn)及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱 為圖論問題，這里宜從特殊的點(diǎn)或線著手進(jìn)行分析.各種以染色為內(nèi)容，或 通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色 .例題有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的 小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問能否做到：(1)某2堆石子全部取光？ (2)3堆中的所有石子都被取走

3、？n支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用單循環(huán)制，即每對(duì)均與其他各隊(duì)比賽 一場.現(xiàn)規(guī)定勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.如果每一隊(duì) 至少勝一場，并且所有各隊(duì)的積分都不相同，問：n=4是否可能？n=5是否可能？如圖35-1，將1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，10這10個(gè)數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的5個(gè)圓圈內(nèi)的各數(shù)之和均不大于某個(gè)整數(shù)M.求M的最小值并完成你的填圖( 2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題)如圖，在時(shí)鐘的表盤上任意作9個(gè)120。的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋 4個(gè)數(shù)，且每兩個(gè)扇形覆蓋的數(shù) 不全相同，求證：一定可以找到3個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤上的數(shù).并

4、舉一個(gè)反例說明，作8個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立.一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是 I，最大的數(shù)是25,除1 之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和.問：這組數(shù)之和的最小值是多少 ？當(dāng)取到最小 值時(shí)，這組數(shù)是怎樣構(gòu)成的？2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的獲勝。甲、乙輪流 取，如果甲先取，如何才能保證贏？在10X19方格表的每個(gè)方格內(nèi)，寫上 0或1,然后算出每行及每列 的各數(shù)之和問最多能得到多少個(gè)不同的和數(shù) ？在8X 8的國際象棋盤上最多能夠放置多少枚棋子，使得棋盤上每行、 每列及每條斜線上都有偶數(shù)枚棋子？在下圖中有16個(gè)黑點(diǎn)，

5、它們排成了一個(gè)4X4的方陣用線段連接其中4點(diǎn)，就可以畫出各種不同的正方形現(xiàn)在要去掉某些點(diǎn)，使得其中任意4點(diǎn)都不能連成正方形，那么最少要去掉多少個(gè)點(diǎn) ？三個(gè)邊長為1的正方形并排放在一起，成為1X 3的長方形.求證:123 90；.某學(xué)校的學(xué)生中，沒有一個(gè)學(xué)生讀過學(xué)校圖書館的所有圖書，又知道 圖書館內(nèi)任何兩本書都至少被一個(gè)同學(xué)都讀過問：能否找到兩個(gè)學(xué)生甲、 乙和三本書4、B、C,使得甲讀過A、B,沒讀過C,乙讀過B C,沒讀過A? 說明判斷過程.4個(gè)人聚會(huì)，每人各帶2件禮品，分贈(zèng)給其余3個(gè)人中的2人試 證明：至少有2對(duì)人，每對(duì)人是互贈(zèng)過禮品的.甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班級(jí)之間舉行象棋比賽各班同

6、學(xué)都按I , 2，3, 4,依次編號(hào)當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí)，具有相同編號(hào)的同學(xué)在同一臺(tái)對(duì)壘在甲、乙兩班比賽時(shí)，有15臺(tái)是男、女生對(duì)壘；在乙、丙班比賽時(shí)，有9臺(tái)是男、女生對(duì)壘試說明在甲、丙班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的 臺(tái)數(shù)不會(huì)超過24.并指出在什么情況下，正好是 24 ?將5X 9的長方形分成10個(gè)邊長為整數(shù)的長方形.證明：無論怎樣分 法.分得的長方形中必有兩個(gè)是完全相同的.在平面上有7個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上.如果在這 7個(gè)點(diǎn)之字連結(jié)18條線段，那么這些線段最多能構(gòu)成多少個(gè)三角形？在9X9棋盤的每格中都有一只甲蟲，根據(jù)信號(hào)它們同時(shí)沿著對(duì)角線各 自爬到與原來所在格恰有一個(gè)公共頂點(diǎn)的鄰格中，這樣

7、某些格中有若干只甲 蟲，而另一些格則空著.問空格數(shù)最少是多少 ？若干臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)，要求：任意兩臺(tái)之間最多用一條電纜連接；任意三臺(tái)之間最多用兩條電纜連接；兩臺(tái)計(jì)算機(jī)之間如果沒有電纜連接，則必須有另一臺(tái)計(jì) 算機(jī)和它們都連接有電纜.若按此要求最少要用79條電纜.問：(1)這些計(jì)算機(jī)的數(shù)量是多少臺(tái)？(2)這些計(jì)算機(jī)按要求聯(lián)網(wǎng)，最多可以連多少條電纜 ？在一個(gè)6X6的方格棋盤中，將若干個(gè)1 X 1的小方格染成紅色.如果 隨意劃掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一個(gè)是紅色的.那么最少要涂 多少個(gè)方格？如圖，把正方體的6個(gè)表面剖分成9個(gè)相等的正方形.現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)3種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形

8、所染的顏色不同.那 么染成紅色的正方形的個(gè)數(shù)最多是多少個(gè) ？證明：在6X 6X 6的正方體盒子中最多可放入 52個(gè)1 X I X 4的小 長方體，這里每個(gè)小長方體的面都要與盒子的側(cè)面平行.用若干個(gè)I X 6和1 X 7的小長方形既不重疊，也不留孔隙地拼成一個(gè)11X12的大長方形，最少要用小長方形多少個(gè) ？在1997X1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個(gè)按鈕.按鈕 每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變?yōu)?不亮，或由不亮變?yōu)榱?如果原來每盞燈都是不亮的，請(qǐng)說明最少需要按多 少次按鈕才可以使燈全部變亮？（2008年臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽）將 1、2、3、4、5、

9、6寫在一個(gè)圓周上，然后把圓周上連續(xù)三個(gè)數(shù)之和寫下來，則可以得到六個(gè)數(shù)d、a2、a3、a4、a5、a6，將這六個(gè)數(shù)中最大的記為 A .請(qǐng)問在所有填寫方式中，A的最 小值是什么？有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊 石子問，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？在1000X 1000的方格表中任意選取 n個(gè)方格染為紅色，都存在 3 個(gè)紅色方格它們的中心構(gòu)成一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)求n的最小值.在某市舉行的一次乒乓球邀請(qǐng)賽上，有3名

10、專業(yè)選手與3名業(yè)余選手參加.比賽采用單循環(huán)方式進(jìn)行，就是說每兩名選手都要比賽一場為公平 起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負(fù)者扣分，每勝專業(yè)選手一場加 2分，每勝業(yè)余選手一場加1分; 專業(yè)選手每負(fù)一場扣2分，業(yè)余選手每負(fù)一場扣1分問：一位業(yè)余選手最少要?jiǎng)賻讏?，才能確保他的得分比某位專業(yè)選手高？有9位數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語言，每3個(gè)人中至少有2個(gè)人有 共通的語言.求證：在這些數(shù)學(xué)家中至少有 3人能用同一種語言交談。1998名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼依次為1至1998的自然數(shù).現(xiàn)在要從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，使得剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號(hào)碼等于另外兩人的號(hào)

11、碼的乘積.那么，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員最少有多少人？在黑板上寫上1、2、3、4、2008，按下列規(guī)定進(jìn)行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù) a和b，然后寫上它們的差（大數(shù)減小數(shù)），直到 黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止.問黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？桌子上放著55根火柴，甲、乙二人輪流每次取走 13根，規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝.如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？將15X 15的正方形方格表的每個(gè)格涂上紅色、藍(lán)色或綠色.證明：至 少可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數(shù)相同.在2009張卡片上分別寫著數(shù)字 1、2、3、4、2009,現(xiàn)在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別

12、寫上1、2、3、4、2009.然后將每一張卡片正反兩個(gè)面上的數(shù)字相加，再將這2009個(gè)和相乘，所得的積能否確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？個(gè)盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200枚下面我 們對(duì)這些棋子做如下操作：每次拿出 2枚棋子，如果顏色相同，就補(bǔ)1枚黑 色棋子回去；如果顏色不同，就補(bǔ) 1枚白色的棋子回去.這樣的操作，實(shí)際 上就是每次都少了 1枚棋子，那么，經(jīng)過399次操作后，最后剩下的棋子是（）顏色（填“黑”或者“白”）.在黑板上寫上1、2、3、4、2008,按下列規(guī)定進(jìn)行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a和b，然后寫上它們的差（大數(shù)減小數(shù)），直到 黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止.問黑板上剩下的

13、數(shù)是 奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號(hào)排列，今要將它們變?yōu)榉葱蚺帕?，即從?卷到第1卷.如果每次只能調(diào)換相鄰的兩卷，那么最 少要調(diào)換多少次？某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進(jìn)辦公室，三人口供如下：甲：丙第二個(gè)進(jìn)去，乙第三個(gè)進(jìn)去。乙：甲第三個(gè)進(jìn)去，丙第一個(gè)進(jìn)去。丙： 甲第一個(gè)進(jìn)去，乙第三個(gè)進(jìn)去。三人口供每人僅對(duì)一半，究竟誰第一個(gè)進(jìn)辦公室？從前一個(gè)國家里住著兩種居民，一個(gè)叫寶寶族，他們永遠(yuǎn)說真話；另一 個(gè)叫毛毛族，他們永遠(yuǎn)說假話。一個(gè)外地人來到這個(gè)國家，碰見三位居民， 他問第一個(gè)人：“請(qǐng)問你是哪個(gè)民族的人？”“匹茲烏圖。”那個(gè)人回答。外地人聽不懂，就問其他兩個(gè)人：

14、“他說的是什么意思？”第二個(gè)人回答：“他說他是寶寶族的?！钡谌齻€(gè)人回答：“他說他是毛毛族的。”請(qǐng)問，第一個(gè)人說的話是什么意思？第二個(gè)人和第三個(gè)人各屬于哪個(gè)民族？有三個(gè)和尚，一個(gè)講真話，一個(gè)講假話，另外一個(gè)有時(shí)講真話，有時(shí)講 假話。一天，一位智者遇到這三個(gè)和尚，他先問左邊的那個(gè)和尚：“你旁邊 的是哪一位？ ”和尚回答說“講真話的?！彼謫栔虚g的和尚：“你是哪一 位？”和尚答：“我是半真半假的?！彼詈髥栍疫叺暮蜕校骸澳闩赃吺悄?一位？ ”答：“講假話的。”根據(jù)他們的回答，智者馬上分清了他們，你能 分清嗎？一次學(xué)校舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，A、B、C、D E五個(gè)班取得了團(tuán)體前五名, 發(fā)獎(jiǎng)后有人問他們的名次，

15、回答是：A班代表說：“ B是第三名，C是第五名?！盉班代表說：“ D是第二名，E是第四名。”C班代表說：“ A是第一名，E是第四名?！盌班代表說：“ C是第一名，B是第二名。”E班代表說：“ D是第二名，A是第三名?！弊詈?，他們都補(bǔ)充說：“我的話是半真半假的。”請(qǐng)你判斷一下，他們各個(gè)班的名次例1 200米賽跑，張強(qiáng)比李軍快0.2秒，王明的成績是39.4秒，趙剛的 成績比王明慢0.9秒，但比張強(qiáng)快0.1秒，林林比張強(qiáng)慢3秒，請(qǐng)你給這五 人排出名次來。有一把長為9厘米的直尺，你能否在上面只標(biāo)出 3條刻度線，使得用這 把直尺可以量出從1至9厘米中任意整數(shù)厘米的長度？42. 一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一位

16、數(shù)字都不超過另一個(gè)三位數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的 數(shù)字，那么就稱它被后下個(gè)三位數(shù)“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但 240和223互相都不 能被吃掉?，F(xiàn)請(qǐng)你設(shè)計(jì)6個(gè)三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個(gè)都不能被其它5個(gè)數(shù)吃掉，并且它們的百位數(shù)字只允許取 1, 2, 3, 4。問這6個(gè)三位數(shù)分別是 多少？盒子里放著紅、黃、綠 3種顏色的鉛筆，并且規(guī)格也有 3種：短的、中 的和長的。已知盒子的鉛筆，3種顏色和3種規(guī)格都齊全。問是否一定能從 中選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各不相同？國際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個(gè)4X 4的棋盤至少要放幾

17、個(gè)皇后?在如圖10-1所示表格第二行的每個(gè)空格內(nèi)，填入一個(gè)整數(shù)，使它恰好表示它上面的那個(gè)數(shù)字在第二行中出現(xiàn)的次數(shù)，那么第二行中的5個(gè)數(shù)字各是幾？在100個(gè)人之間，消息的傳遞是通過電話進(jìn)行的，當(dāng)甲與乙兩個(gè)人通話時(shí)，甲把他當(dāng)時(shí)所知道的信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴甲。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得只需打電話196次，就可以使得每個(gè)人都知道其他所有人的信息。桌上放有1993枚硬幣，第一次翻動(dòng)1993枚，第二次翻動(dòng)其中的1992 枚,第三次翻動(dòng)其中的1991枚，？，依此類推，第1993次翻動(dòng)其中的一枚。能 否恰當(dāng)?shù)剡x擇每次翻動(dòng)的硬幣，使得最后所有的硬幣原先朝下的一面都朝上？某學(xué)校的學(xué)生中，沒有

18、一個(gè)學(xué)生讀過學(xué)校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內(nèi)任何兩本書都至少被一個(gè)同學(xué)都讀過問：能否找到兩個(gè)學(xué)生甲、乙和三本書4、B、C,使得甲讀過A、B,沒讀過C,乙讀過B、C,沒讀過A? 說明判斷過程.將15X 15的正方形方格表的每個(gè)格涂上紅色、藍(lán)色或綠色.證明：至少 可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數(shù)相同.有9位數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語言，每3個(gè)人中至少有2個(gè)人有共通的語言.求證：在這些數(shù)學(xué)家中至少有 3人能用同一種語言交談.今有長度是I， 2, 3，,199的金屬桿各1根，能否用上所有的金屬 桿，不彎曲任何一根，把它們焊接成；（1）一個(gè)正方體框架；（2）個(gè)長方體框架。桌上有一堆石子共100

19、1粒。第一步從中扔去一粒石子，并把余下的石子分成兩堆。以后的每一步，都從某個(gè)石子數(shù)目多于1的堆中扔去1粒，再把某一堆分成兩堆。問：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都剛好有3粒石子？一些棋子被擺成了一個(gè)四層的空心方陣（下圖是一個(gè)四層空心方陣的示 意圖），后來小林又添入28個(gè)棋子，這些棋子恰好變成了一個(gè)五層的空心方陣（不能移動(dòng)原來的棋子），那么最開始最少有個(gè)棋子將七位數(shù)“ 1357924 ”重復(fù)寫287次組成一個(gè)2009位數(shù)“13579241357924”，刪去這個(gè)數(shù)中所有位于奇數(shù)位（叢左往右數(shù)）上的數(shù)字組成一個(gè)新數(shù)，再刪去新數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，按上述方法一直刪下去直到剩下一個(gè)數(shù)字為止，則

20、最后剩下的數(shù)字是 。桌子上放著5張卡片，小月在卡片的正面寫上 1、2、3、4、5,然后冬 冬在背面分別寫上1、2、3、4、5,寫完后計(jì)算每張卡片上兩數(shù)之和，再把5個(gè)和相乘，問：冬冬能否找到一種寫法，使得最后的乘積是奇數(shù)？為什么？班主任老師外出采購前將255元班費(fèi)分裝在幾個(gè)袋子里，只要買 255元以內(nèi)的東西，他都可以從事先準(zhǔn)備好的袋子里湊出所要付的錢，而不必再數(shù)錢數(shù)，你知道班主任分裝在幾個(gè)袋子里嗎？每個(gè)袋子里放了多少元？要用天平稱出1克、2克、3克40克這些不同的整數(shù)克重量，至少 要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？(1)將1, 2, 3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字排列在圓周上，使得

21、任意 相鄰兩數(shù)的差(大減小)不小于3且不大于5.對(duì)于1至11這11個(gè)數(shù)字，對(duì)于I至12這12個(gè)數(shù)字，對(duì)于1至14這14個(gè)數(shù)字，滿足上述要求的排列方法是否存在？在平面上有7個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上.如果在這7個(gè)點(diǎn)之間連結(jié)18條線段，那么這些線段最多能構(gòu)成多少個(gè)三角形 ？將九個(gè)正方形其邊長分別為1、4、7、8、9、10、14、15和18拼成一個(gè)正方形，那么在這個(gè)長方形的四個(gè)直角上的四個(gè)正方形面積總和是多少？答案與解析【分析與解】 可以，口（1989，989, 89）（1900, 900, 0）（950, 900，950）（50，0，50）（25，25，50） （O, 0，25）.（2

22、）因?yàn)椴僮骶蛢煞N，每堆取走同樣數(shù)目的小石子，將有偶數(shù)堆石子堆中一 半移至另一堆，所以每次操作石子總數(shù)要么減少3的倍數(shù)，要么不變.現(xiàn)在共有1989+989+89=3067不是3的倍數(shù)，所以不能將3堆中所有石子都取走.【分析與解】（1）我們知道4個(gè)隊(duì)共進(jìn)行了 C4場比賽，而每場比賽有2分產(chǎn)生，所以4個(gè)隊(duì)的得分總和為C4 X 2=12.因?yàn)槊恳魂?duì)至少勝一場， 所以得分最低的隊(duì)至少得 2分，又要求每個(gè)隊(duì)的得分都不相同，所以 4個(gè) 隊(duì)得分最少2+3+4+5=14 12不滿足.即n=4不可能。（2）我們知道5個(gè)隊(duì)共進(jìn)行C場比賽，而每場比賽有2分產(chǎn)生，所以4個(gè)隊(duì)的得分總和為 C X 2=20因?yàn)槊恳魂?duì)至少勝

23、一場，所以得分最低的 隊(duì)至少得2分，又要求每個(gè)隊(duì)的得分都不相同，所以5個(gè)隊(duì)得分最少為2+3+4+5+6=20滿足.即n=5有可能.但是我們必須驗(yàn)證是否存在實(shí)例.如下所示，A得2分,C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“ A B表示A B比賽時(shí),A勝B; “ B-C ”表示B、C比賽時(shí)，B平C,余下類推.3.【分析與解】要使量平均的填寫，因?yàn)槿鏜最小，就要盡果有的連續(xù)5個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)特別小，有的特別大，那么M就只能大于等于特別大的數(shù)，不能達(dá)到盡量小的目的.因?yàn)槊總€(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)都用了 5次，所以10次的和為5X (1+2+3+10)=275每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275,整數(shù)M大

24、于28.下面來驗(yàn)證M=28時(shí)是否成立，注意到圓圈內(nèi)全部數(shù)的總和是55，所以肯定是一邊五個(gè)的和是28，一邊是27.因?yàn)閿?shù)字都不一樣，所以和 28肯定是相間排列，和27 也是相問排列，也就是說數(shù)組每隔4個(gè)差值為I，這樣從1填起，容易排出適當(dāng)?shù)奶顖D【分析與解】 要在表盤上共可作出12個(gè)不同的扇形，且112中的每 個(gè)數(shù)恰好被4個(gè)扇形覆蓋將這12個(gè)扇形分為4組，使得每一組的3個(gè)扇 形恰好蓋住整個(gè)表盤那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個(gè)扇形，必有991 3個(gè)扇形屬于同一組，那么這一組的 3個(gè)扇形可以覆蓋整個(gè)表盤.4另一方面，作8個(gè)扇形相當(dāng)于從全部的12個(gè)扇形中去掉4個(gè)，則可以去掉蓋住同一個(gè)數(shù)的4個(gè)扇形，這樣這

25、個(gè)數(shù)就沒有被剩下的 8個(gè)扇形蓋住，那么這8個(gè)扇形不能蓋住整個(gè)表盤.【分析與解】首先把這組數(shù)從小到大排列起來，那么最小的肯定為1，1后面只能是1的2倍即2, 2后面可以是3或4，3的后面可以是4, 5, 6;4的后面可以是5, 6, 8最大的為25.下面將所有的可能情況列出：l , 2, 3, 4,，25所有的和是35;I , 2, 3, 5,，25所有的和是36;1, 2, 3, 6,25所有的和是37;1, 2, 4, 5,，25所有的和是37;1, 2, 4, 6,，25所有的和是38;1, 2, 4, 8,，25所有的和是40.25是奇數(shù)，只能是一個(gè)偶數(shù)加上一個(gè)奇數(shù)在中間省略的數(shù)中不能只

26、有1個(gè)數(shù)，所以至少還要添加兩個(gè)數(shù)，而且這兩個(gè)數(shù)的和不能小于25,否則就無法得到25這個(gè)數(shù)要求求出最小值，先看這兩個(gè)數(shù)的和是 25的情況，因?yàn)槭÷缘膬蓚€(gè)數(shù)不同于前面的數(shù)，所以從20+5開始.25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+1仁13+12這些數(shù)中20，19，18，17太大，無法產(chǎn)生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12看這些誰能出現(xiàn)和最小的I， 2, 3, 4,，25中，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)沒有 可以滿足的：再看 I ， 2，3, 5,，25,發(fā)現(xiàn) 1，2, 3，5，10，15, 25 滿足,所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61【分

27、析與解】先從簡單的情況看起，看看棋子數(shù)量較少時(shí)，在什么情況下先取者勝，什么情況下后取者勝可以列表如下：棋子數(shù)量先取者勝后取者勝1枚V2枚V3枚V4枚V5 枚（3 1 1）V6 枚（4 1 1）V7枚V8枚V9 枚（18）V10枚V11 枚（3 8）V12 枚（4 8）V13 枚（3 10）V14 枚（4 10）V15 枚（7 8）V16枚V17 枚（1 16）V18枚V19 枚（3 16）V20 枚（4 16）V棋子數(shù)是18時(shí)比較容易看得出來是先取者勝還是后取者勝，可以看出只有棋子數(shù)是2枚和8枚時(shí)是后取者勝，其他情況下都是先取者勝.當(dāng)棋子數(shù)大于8時(shí)，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子數(shù)變成前面

28、已有 的棋子數(shù)先取者為了取勝，第一次取后，應(yīng)該使剩下的棋子數(shù)是后取者勝 的情況，比如變成剩下2枚或8枚這樣推下去，可以發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)棋子數(shù)是 8的倍數(shù)或者除以8余2時(shí)，是后取者勝，其他情況下是先取者勝.題目中有2004枚棋子，除以8余4,所以先取者肯定可以取勝不過 取勝的策略比較靈活，不能明確地說每次后取者取多少枚先取者就相應(yīng)地取 多少枚，應(yīng)該從除以8的余數(shù)來考慮：先取者第一次可以先取 4枚，這樣還剩下2000枚，2000除以8 的余數(shù)是0;先取者為了保證獲勝，在每一次后取者取了之后，先取者再取的時(shí)候，應(yīng)該使得自己取后剩下的棋子數(shù)是8的倍數(shù)或者除以8余2;后取者每次可以取 1, 3，4, 7枚，每

29、次先取者取后剩下的棋子 數(shù)除以8的余數(shù)是0或2,所以每次后取者取后剩下的棋子數(shù)除以 8 的余數(shù)是 7，5，4，1 或 1，7，6，3.所以接下來先取者可以對(duì)應(yīng)地取 7, 3, 4，1或1，7，4，3枚棋子， 這樣剩下的剩下的棋子數(shù)除以 8的余數(shù)為0, 2, 0, 0或0, 0, 2, 0.這樣就保證了第點(diǎn).每次先取者取后剩下的棋子數(shù)除以 8的余數(shù)是0或2,那么最后 一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者獲勝.【分析與解】 先每列的和最少為0,最多是10,每行的和最少是0,最 多是19,所以不同的和最多也就是0, 1, 2, 3, 4,，18, 19這20個(gè).下面我們說明如果0出現(xiàn)，那么必然有另外

30、一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn).如果0出現(xiàn)在行的和中，說明有1行全是0,意味著列的和中至多 出現(xiàn)0到9,加上行的和至多出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，所以少了一種可能.如果0出現(xiàn)在列的和中，說明在行的和中 19不可能出現(xiàn)，所以0 出現(xiàn)就意味著另一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn)，所以至多是19，下面給出一種排出方法 TOC o 1-5 h z 1111111I111I111LJ10 iJ1JI11I11I1JI10 0111tt1111J11|11OOOOOlJlJllLLilll!OOOOOQQO i 11 I J t|OOOOOGOOOlli !【分析與解】因?yàn)?X8的國際象棋盤上的每行、每列都正好有偶數(shù)格，若某行（某列）有空格，必空偶

31、數(shù)格而斜線上的格子數(shù)有奇也有偶，不妨從 左上角的斜線看起：第一條斜線只有 1格，必空；第三條有3格，必至少空 1格；第五、七條分別有5、7格，每條線上至少空1格由對(duì)稱性易知共 有16條斜線上有奇數(shù)格，且這 16條斜線沒有共用的格子，故至少必空出 16格其實(shí)，空出兩條主對(duì)角線上的16個(gè)格子就合題意此時(shí)，最多可放置48枚棋子，放在除這兩條主對(duì)角線外的其余格子中，如下圖所示.XXXXXXXXXXXXXXXX【分析與解】至少要除去6個(gè)點(diǎn)，如下所示為幾種方法:【分析與解】仔細(xì)分析，要證 123 90，由于3 45，所以，只需證明 12 45就可以了！于是想到能否把2 (1 )移動(dòng)位置，與 1 ( 2 )

32、拼合在一起，恰成一個(gè)45)的角呢？于是想到：如圖1所示，再拼上一個(gè)單位正方形 DFK則三角形AKC為 等腰直角三角形，KCA 45：，又直角三角形KCF與AHD全等，所以KCF2.因此,121 KCF KCA 45 .(S 1)(Q 2)有了拼合 2與1的思想，學(xué)生往往產(chǎn)生不同的拼合方式，沿著拼合全等的思路發(fā)散開來，又可以找到許多拼法.如圖2三角形AHP是等腰直角三角形，HAP 45，HAG 2, BAP 1.所以12 BAP HAG HAP 45；.2,QCP(圖3)如圖3三角形AQC是等腰直角三角形，ACQ 45， QCP如圖4三角形WD是等腰直角三角形WDB 45, CDB 1,，WDH

33、 2.所以 12 CDB WDHWDB 45 .如圖5三角形ZAH是等腰直角三角形,ZHA 45, ZHY 1,因此12 ZHY 2 ZHA 45 .其他的沿著“拼合全等”的思路的證法就不例舉了如果利用相似三角形的知識(shí)，如圖 5所示，又FH 1,FA 2, FC 2,所以，F(xiàn)H 12 FAFA 22 FCAFC，因此 HFA s AFC ,2 FHA FAC,但 1 CAB，12 CAB FACEAB 45：.用相似三角形法不用添設(shè)輔助線，簡潔明了 再開思路，可用三角法證明如下：2與1都是小于45）的銳角，可知1 +2是銳角.又tan 1DA 1DC 3，DA1tan 2.HD2115tan

34、12tan 1ta n23 261，所以1tan 1tan21 1丄 13 261245：.【分析與解】首先從讀書數(shù)最多的學(xué)生中找一人甲由題設(shè)，甲至少有一本書未讀過，記為 C.設(shè)B是甲讀過的書中一本，由題意知，可找到學(xué) 生乙，乙讀過 B、C由于甲是讀書數(shù)最多的學(xué)生之一，乙讀書數(shù)不能超過 甲的讀書數(shù)，而乙讀過 C書，甲未讀過C書，所以一定可以找出一本書 A, 使得甲讀過而乙未讀過，否則乙就比甲至少多讀過一本書.這樣一來，甲讀過A、B,未讀過C;乙讀過B C未讀過A.因此可以找到滿足要求的兩個(gè)學(xué) 生.【分析與解】將這四個(gè)人用4個(gè)點(diǎn)表示，如果兩個(gè)人之間送過禮，就在兩點(diǎn)之間連一條線.由于每人送出2件禮

35、物，圖中共有4X2=8條線，由于每人禮品都分贈(zèng) 給2個(gè)人，所以每兩點(diǎn)之間至多有1+1=2條線。四點(diǎn)間，每兩點(diǎn)連一條線， 一共6條線，現(xiàn)在有8條線，說明必有兩點(diǎn)之間連了 2條線，還有另外兩點(diǎn) （有一點(diǎn)可以與前面的點(diǎn)相同）之間也連了 2條線.即為所證結(jié)論?！痉治雠c解】不妨設(shè)甲、乙比賽時(shí)，115號(hào)是男女對(duì)壘，乙、丙比賽時(shí)在115號(hào)中有a臺(tái)男女對(duì)壘，15號(hào)之后有9-a臺(tái)男女對(duì)壘(0 a9)甲、丙比賽時(shí)，前15號(hào)，男女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)是15-a(如果1號(hào)乙與1 號(hào)丙是男女對(duì)壘，那么1號(hào)甲與1號(hào)丙就不是男女對(duì)壘)，15號(hào)之 后，有9-a臺(tái)男女對(duì)壘.所以甲、丙比賽時(shí)，男女對(duì)壘的臺(tái)數(shù)為15-a+9-a=24-2a

36、24.僅在a=0,即必須乙、丙比賽時(shí)男、女對(duì)壘的號(hào)碼，與甲、乙比賽 時(shí)男、女對(duì)壘的號(hào)碼完全不同，甲、丙比賽時(shí)，男、女對(duì)壘的臺(tái)數(shù) 才等于24.【分析與解】10個(gè)邊長為整數(shù)的長方形，其面積顯然也均是正整數(shù).劃分出的長方形按面積從小到大為：1 X 1，1 X 2，I X 3，1 X 4，2X 2，1 X 5，1 X 6，2X 3，1X 7，1X 8，2X 4，1 X 9，3 X 3. 2X 5，2X 6，3X 4，2 X 7，3 X 5，2 X 8，4X 4，2 X 9，3X6,從這些長方形中選出10個(gè)不同的長方形，其面積和最小為：1 X 1+1X 2+1X 3+1X 4+2X 2+1X 5+1X

37、6+2X 3+1X 7+1X 8=46.而原長方形的面積為 5X 9=4546.所以分出的長方形必定有某兩個(gè)是完全 一樣的.【分析與解】平面上這7個(gè)點(diǎn)，任意3點(diǎn)都不在同一條直線上，若任意2點(diǎn)連接，共可連接出C；C； =7X 6- 2=21 條線段現(xiàn)在只連接18條線段，有3條沒有連出，要使得這18條線段所構(gòu)成的三角 形最多，需使得沒連出的這3條線段共同參與的三角形總數(shù)最多，故這3條線斷共點(diǎn)對(duì)于這3條線段中的任何一條，還與其他 5個(gè)點(diǎn)本應(yīng)構(gòu)成5個(gè)三 角形，故這3條線段沒連出，至少少構(gòu)成5X 3-3=12個(gè)三角形.如上圖所示，在圖中 AD AE、AF之間未連接，因?yàn)槠渲?ADE AED,ADF AF

38、D AEF AFE被重復(fù)計(jì)算，所以減去3 而平面內(nèi)任何三點(diǎn)不共線的7個(gè)點(diǎn)，若任何2點(diǎn)連線，最多可構(gòu)成C7 =35個(gè)三角形故現(xiàn)在最多可構(gòu)成三角形35-12=23個(gè).【分析與解】 方法一：考慮到甲蟲總是斜著爬，我們把棋盤黑白相間 染色，發(fā)現(xiàn)原來黑色格子里的甲蟲都會(huì)爬到黑色的格子里面，而白色格子里 面的甲蟲都會(huì)爬到白色格子里面，所以我們只用觀察最少能空出多少個(gè)黑格 子，多少個(gè)白格子.因?yàn)榧紫x每次都從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，而由奇數(shù) 行有25個(gè)黑格子，偶數(shù)行有16個(gè)黑格子知，偶數(shù)行的16只甲蟲爬到奇數(shù) 行會(huì)空出9個(gè)黑格子，而奇數(shù)行的 25只蟲子爬到偶數(shù)行就可以沒有空 格.白格子蟲子也會(huì)從奇

39、數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，但是奇數(shù)行 和偶數(shù)行都是20個(gè)格子，最少的情況下不會(huì)出現(xiàn)空格子，所以最少出現(xiàn)9個(gè)空格.方法二：對(duì)2X2棋盤如下黑白染色，則易知兩黑格及兩白格分別對(duì)換甲 蟲即可使棋盤格不空；從而得到 2nX2n棋盤可劃分為若干塊 2 X 2棋盤，棋盤格均不空.對(duì)3X3棋盤如下黑白染色，注意到圖中有 5個(gè)黑格，黑格中的甲蟲爬行后必進(jìn)入黑格，且四個(gè)角上的黑格內(nèi)的甲蟲必爬人中心黑格，而中心黑格內(nèi)的甲蟲只能爬人某一格，必至少空3個(gè)黑格.對(duì)5X 5棋盤黑白染色后，利用、的結(jié)論易知至少空 5個(gè)黑 格.依次類推，可知對(duì)9X 9棋盤黑白染色后，至少空 9個(gè)空格.下 圖是甲蟲爬行的一種方法.【分

40、析與解】 將機(jī)器當(dāng)成點(diǎn)，連接電纜當(dāng)成線，我們就得到一個(gè)圖， 如果從圖上一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，可以沿著線跑到圖上任一個(gè)其它的點(diǎn)，這樣的圖就 稱為連通的圖，條件表明圖是連通圖.我們看一看幾個(gè)點(diǎn)的連通圖至少有多少條線可以假定圖沒有圈（如果有圈，就在圈上去掉一條線），從一點(diǎn)出發(fā)，不能再繼續(xù)前進(jìn)，將這一點(diǎn)與連結(jié)這點(diǎn)的線去掉考慮剩下的n-1個(gè)點(diǎn)的圖，它仍然是連通的用同樣的辦法又可去掉一點(diǎn)及一條線這樣繼續(xù)下去，最后只剩下一個(gè)點(diǎn)因此 n個(gè)點(diǎn)的連通圖至少有n-1條線（如果有 圈，線的條數(shù)就會(huì)增加），并且從一點(diǎn)A向其他n-1個(gè)點(diǎn)各連一條 線，這樣的圖恰好有n-1條線.因此，（1）的答案是n=79+1=80并且將一臺(tái)計(jì)算機(jī)與

41、其他79臺(tái)各用一條線相連，就得到符合要求的聯(lián)網(wǎng). 下面看看最多連多少條線.在這80個(gè)點(diǎn)（80臺(tái)計(jì)算機(jī)）中，設(shè)從A引出的線最多，有k條，與A相連的點(diǎn)是B1, B2，Bk由于條件，B.B2，Bk之間沒有 線相連.設(shè)與A不相連的點(diǎn)是 A， A3，Am，則m+k=8Q而A2， A3,An每一點(diǎn)至多引出k條線，圖中至多有mk條線， 因?yàn)? 2B40 4 m k （m k） （m k） 6400所以mK k40.6 40.4 40.3 39.4即 E B A D C誰是第一、誰是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了嗎？本題還可以單純用快慢關(guān)系來進(jìn)行判斷。/ A v B, D C, D v A, E A

42、,可得 B、E 均A D C,一、二、三名分別應(yīng)是 C、D Ao但第四、五名仍需計(jì)算。由 E=A 3 秒，B=A 0.2 秒，可知E B,故B是第四，E是第五名?！痉治雠c解】 答：可以。（1）標(biāo)3條刻度線，刻上A, B, C厘米（都是大于1小于9的整數(shù)），那 么，A, B, C, 9這4個(gè)數(shù)中，大減小兩兩之差，至多有 6個(gè)：9-A, 9-B, 9-C, C-A, C-B, B-A,加上這4個(gè)數(shù)本身，至多有10個(gè)不同的數(shù)，有可能 得到1到9這9個(gè)不同的數(shù)。例如刻在1, 2, 6厘米處，由1, 2, 6, 9這4個(gè)數(shù)，以及任意2個(gè)的 差，能夠得到從1到9之間的所有整數(shù)：1, 2, 9-6=3 ,

43、6-2=4 , 6-1=5 , 6, 9-2=7, 9-1=8, 9。 除1, 2, 6之外，還可以標(biāo)出1, 4, 7這3個(gè)刻度線：1, 9-7=2 , 4- 仁3, 4, 9-4=5, 7-1=6 , 7 , 9-1=8 , 9。另外，與 1 , 2 , 6 對(duì)稱的，標(biāo)出 3 , 7 , 8;與1 , 4 , 7對(duì)稱的,標(biāo)出2 , 5 , 8也是可以.【分析與解】 答：6個(gè)三位數(shù)都不能互吃,那么其中任意兩個(gè)數(shù),都 不能同時(shí)有2個(gè)數(shù)位相同。由于百位只取1 , 2,十位只取1, 2 , 3,所以,只能讓3個(gè)數(shù)百位是1,另 外3個(gè)數(shù)百位數(shù)是2。百位是1的3個(gè)數(shù),分別配上十位1, 2 , 3;百位是

44、 2的3個(gè)數(shù)同樣。這樣先保證前兩位沒有完全一樣的。即：11* , 12* , 13* ,21* ,22*, 23*。11*最小，個(gè)位應(yīng)取取最大的，4 ,它要求另外5個(gè)數(shù)個(gè)位均小于4。11412*較小，個(gè)位應(yīng)取3,它要求前兩位能吃1*的數(shù)，個(gè)位小于3。12313*個(gè)位取2,就不能吃前兩數(shù)，同時(shí)它要求前兩位能吃13*的數(shù)個(gè)位小于2 132 21*較小,個(gè)位應(yīng)取 3,才能不被23*和22*吃。21322*個(gè)位取2即可。22223*各位必須取1。231所以這 6 個(gè)數(shù)是 114 , 123 , 132 , 213 , 222 , 231。【分析與解】答：如果能選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各

45、不相同，則這3支筆必須包含紅、黃、綠，短、中、長這 6個(gè)因子，即 不能有重復(fù)因子出現(xiàn)。但是這種情況并不能保證出現(xiàn)。例如，盒子中有 4種筆：紅短，黃短，綠中， 綠長，3種顏色和3種規(guī)格都齊全，由于紅和黃只出現(xiàn) 1次，必須選，但是 這時(shí)短已經(jīng)出現(xiàn)2次，必然無法滿足3支筆6個(gè)因子的要求。所以，不一定能選出?！痉治雠c解】答：2X2棋盤，1個(gè)皇后放在任意一格均可控制 2X2=4格；3X 3棋盤，1個(gè)皇后放在中心格里即可控制 3X 3=9格；4X 4棋盤，中 心在交點(diǎn)上，1個(gè)皇后不能控制兩條對(duì)角線，還需要 1個(gè)皇后放在拐角處控 制邊上的格。所以至少要放2個(gè)皇后。如圖所示。【分析與解】答：設(shè)第二行從左到右填

46、入 A, B, C, D, E,貝UA+B+C+D+E=5若E大于0,如E=1,則B=1, A+C+D=3小于4,矛盾，可得：E=0, A大于 0小于4;若D大于0,如D=1,則B大于0,因A大于0,則A和C無法填寫，所以D=0, A必等于2;A=2,可知B+C=3只有當(dāng)B=1, C=2時(shí)，ABCDE=21200符合要求。所以第二行的5個(gè)數(shù)字是2, 1, 2, 0, 0。【分析與解】答：給100個(gè)人分別編號(hào)1-100,他們知道的消息也編上相同的號(hào)碼。（1）2-50號(hào)每人給1號(hào)打1次電話，共49次，1, 50號(hào)得到1-50號(hào)消息。同時(shí)，52-100號(hào)每人給51號(hào)打1次電話，共49次，51，100

47、號(hào)得到51-100號(hào)消息。（2）1號(hào)和51號(hào)通1次電話，50號(hào)和100號(hào)通1次電話，這時(shí)1，50，51,100號(hào)這4個(gè)人都知道了 1-100號(hào)消息。（3）2-49號(hào)，52-99號(hào)，每人與1號(hào)（或者50，51，100號(hào)中的任意1人）通1次話，這96人也全知道了 1-100號(hào)消息。這個(gè)方案打電話次數(shù)一共是（49+49）+2+96=196 （次）。【分析與解】 答：可以。按要求一共翻動(dòng)1+2+3+?+1993=1993 997平均每個(gè)硬幣翻997次，是奇數(shù)。而每個(gè)硬幣翻奇數(shù)次，結(jié)果都是把原來朝 下的一面翻上來。因?yàn)椋?993 X 997=1993+ （1992+1） + （1991+2） +?+ （

48、997+996）所以，可以這樣翻動(dòng)：第1次翻1993個(gè)，每個(gè)全翻1次；第2次與第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每個(gè)翻了一遍；第3次與第1992次（倒數(shù)第2次），第4次與第1991次，？，第997次與第998次也一樣，都可以把每個(gè)硬幣全翻 1次。這樣每個(gè)都翻動(dòng)了 997次，都把原先朝下的一面翻成朝上?！痉治雠c解】首先從讀書數(shù)最多的學(xué)生中找一人甲由題設(shè)，甲至少有一本書未讀過，記為C.設(shè)B是甲讀過的書中一本，由題意知，可找到學(xué)生乙，乙讀過B、C.由于甲是讀書數(shù)最多的學(xué)生之一，乙讀書數(shù)不能超過甲的讀書數(shù)，而乙讀過C書，甲未讀過C書，所以一定可以找出一本書 A,使得甲讀過而乙未讀過，

49、否則乙就比甲至少多讀過一本書.這樣一來，甲讀過 A、B,未讀過C;乙讀 過B、C未讀過A.因此可以找到滿足要求的兩個(gè)學(xué)生.【分析與解】如果找不到兩行的某種顏色數(shù)一樣，那么就是說所有顏色的列與列之問的數(shù)目不同.那么紅色最少也會(huì)占：0+1+2+?+14=105個(gè)格子.同樣藍(lán)色和綠色也是，這樣就必須有至少：3X (0+|+2+?+14)=315 個(gè)格子.但是，現(xiàn)在只有15X 15=225個(gè)格子，所以和條件違背，假設(shè)不成立，結(jié)論 得證.【分析與解】假設(shè)任意三位數(shù)學(xué)家都沒有共同會(huì)的語言，這表明每種語言至多有兩人會(huì)說.即這九位數(shù)學(xué)家為 A、B、C、D E、F、G I .由于一 位數(shù)學(xué)家最多會(huì)三種語言，而每

50、種語言至多有兩人會(huì)說，所以一位數(shù)學(xué)家至 多能和另外三人通話，即至少與五人語言不通.不妨設(shè)A不能與B C DE、F通話. 同理，B也至多能和三人通話，因此在 C、D E、F中至少有一 人與B語言不通，設(shè)為C.則A、B、C三人中任意兩人都沒有共同語言，與題意矛盾.這表明假設(shè)不成立，結(jié)論得證.【分析與解】（1）不可能焊接成正方體框架。因?yàn)檎襟w的12條棱長度相同，所以199根金屬桿的長度和應(yīng) 該是12的倍數(shù)。但是實(shí)際上 I + 2+ 3+ 199=（ 1 + 199）X 199- 2= 19900。19900 不 是12的倍數(shù)。 可以焊接成長方體框架。因?yàn)殚L方體有 4個(gè)長、4個(gè)寬、4個(gè)高, 所有棱長

51、的和可以表示為（長+寬+高）X 4, 199根金屬桿的長度和是 4 的倍數(shù)即可。19900顯然是4的倍數(shù)?！痉治雠c解】具體構(gòu)造如下：第一步，先把他們焊接成長為199的金屬桿100根。199 = 1 + 198= 2+ 197= 3+ 196=99+ 100第二步，焊接的長方體框架，長是 4根199X 12的金屬桿，寬是4 根199X 12金屬桿，高是4根199的金屬桿?！痉治雠c解】每次操作都是扔1粒石子，并把某一堆分成2堆。假設(shè)最后桌子上剩n堆石子，每堆3枚，桌上還有3n石子。在此 之前進(jìn)行了（ n 1）操作，扔了（ n1）枚石子。扔掉的和桌子上現(xiàn)有的應(yīng) 該等于最初的1001粒石子。3n +（

52、n1）= 10014n 1= 10014n=1002n= 250.5n不是整數(shù)，說明最初的假設(shè)錯(cuò)誤，所以無論經(jīng)過多少步操作，桌上的每一堆中石子不可能都恰好是 3粒?！痉治雠c解】先明確方陣問題的特征：1相鄰兩圈外圈每邊比內(nèi)圈每 邊多2枚棋子。2、相鄰兩圈外圈比內(nèi)圈多8枚棋子。將四層空心方陣變成五層空心方陣有 3種方法：一種是在最外層增加一圈（兩行兩列）；第二種是在最內(nèi)層增加一圈（兩行兩列）；第三種是在最內(nèi)層增加一行一列，在最外層的另外兩個(gè)方向也增加一行一列。1、空心方陣的最里層至少需要 8枚棋子，若是五層的空心方陣從里到 外各層棋子數(shù)依次為 & 16、24、32、40，最外層至少需要40枚棋子，小 林只添28枚棋子，顯然第一種情況不符合題意。2、如果是第二種情況，小林把28枚棋子放到了最里圈，則從里到外各 層的棋子數(shù)依次是 28、36、44、52、60,原四層空心方陣應(yīng)該有棋子 60+ 52 + 44+ 36= 192 枚。3、如果是第三種情況。設(shè)原四層空心方陣最里圈每邊有x枚棋子。小林在里圈1行1列放了（x 2）X 21= 2 x 5 （枚）棋子小林在外圈1行1列放了 （x + 6）X 2+ 1 = 2 x + 13 （枚）棋子（2x 5） + （ 2x + 13）