隨機(jī)過程Ch泊松過程（ＰＰＴ）

1、第三章 泊松過程 13.1 泊松過程的定義定義隨機(jī)過程N(yùn)(t)，t 0 是計(jì)數(shù)過程，如果 N(t) 表示到時(shí)刻 t為止已發(fā)生的事件A的總數(shù)，且N(t)滿足條件(1) N(t) 0 ;(2) N(t)取整數(shù);(3)若s t ，則N(s) N(t);(4)當(dāng)s t時(shí)，N(t) - N(s)等于區(qū)間(s, t中發(fā)生事件A的次數(shù)。23.1 泊松過程的定義獨(dú)立增量計(jì)數(shù)過程 對(duì)于t1 t2 0)，事件A發(fā)生的次數(shù) N(t+s) -N(t)僅與時(shí)間間隔s有關(guān)，而與初始時(shí)刻t無關(guān)33.1 泊松過程的定義定義：稱計(jì)數(shù)過程X(t)，t 0 是泊松過程，如果X(t)滿足(1) X(0)=0;(2) X(t)是獨(dú)立增

2、量過程;(3)在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t 0的泊松分布，即對(duì)任意s, t 0，有43.1 泊松過程的定義注：(1)泊松過程是平穩(wěn)增量過程(2)由EX(t)=t ,知 故表示過程的強(qiáng)度 例 在(0, t內(nèi)接到服務(wù)臺(tái)咨詢 的次數(shù)X(t)，在(0, t內(nèi)到某火車站售票處購買車票的旅客數(shù)X(t)等53.1 泊松過程的定義定義：稱計(jì)數(shù)過程X(t)，t 0 是泊松過程，如果X(t)滿足(1) X(0)=0；(2) X(t)是平穩(wěn)、獨(dú)立增量過程；(3) X(t)滿足下列兩式 (參數(shù)0)63.1 泊松過程的定義泊松過程兩種定義的等價(jià)性的證明：定義1定義2 由（2）知平穩(wěn)性，又當(dāng)h充分小

3、的，有73.1 泊松過程的定義定義2定義183.1 泊松過程的定義93.1 泊松過程的定義(2)對(duì)n1，建立遞推公式103.1 泊松過程的定義 113.1 泊松過程的定義 123.1 泊松過程的定義 (3)133.1 泊松過程的定義 (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明n=0,n=1時(shí)，結(jié)論已成立假設(shè)n-1時(shí)(n1)，結(jié)論成立，由遞推公式143.1 泊松過程的定義 153.2 泊松過程的性質(zhì)一、數(shù)字特征設(shè)X(t), t 0是參數(shù)為的泊松過程，對(duì)任意t, s0, +)，若s t發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在0, t內(nèi)沒有事件發(fā)生 T1服從均值為1/的指數(shù)分布T1tW10223.2 泊松過程的性質(zhì)(2)n=2 PT2t| T1

4、=s= P在(s, s+t內(nèi)沒有事件發(fā)生| T1=s=PX(s+t) -X(s)=0 | X(s) -X(0) =1= PX(s+t) -X(s)=0 T2服從均值為1/的指數(shù)分布tT2T1=sW2W10s+t s233.2 泊松過程的性質(zhì)(3)n 1TnTn-1 =sn-1T2=s2T1=s1tWn-2W2W10Wn-1Wn243.2 泊松過程的性質(zhì) 等待時(shí)間Wn的分布 定理設(shè)X(t), t 0是參數(shù)為的泊松過程， Wn, n 1是相應(yīng)等待時(shí)間序列， 則Wn服從參數(shù)為n與的分布， 概率密度為253.2 泊松過程的性質(zhì)證 ，Ti為時(shí)間間隔 TnT2T1tW2W10Wn-1Wn263.2 泊松過

5、程的性質(zhì) 273.2 泊松過程的性質(zhì)參數(shù)為n與的分布又稱愛爾蘭分布，它是n個(gè)相互獨(dú)立且同服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的分布。指數(shù)分布的矩母函數(shù)為 , 特征函數(shù)分布的矩母函數(shù)為 ,特征函數(shù)283.2 泊松過程的性質(zhì) 例 設(shè)X1(t), t0和X2(t), t0是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為1和2。記 為過程X1(t)的第k次事件到達(dá)時(shí)間,記 為過程X2(t)的第1次事件到達(dá)時(shí)間，求 即第一個(gè)泊松過程第k次事件發(fā)生比第二個(gè)泊松過程第1次事件發(fā)生早的概率。293.2 泊松過程的性質(zhì)解 設(shè) 的取值為x， 的取值為y， 303.2 泊松過程的性質(zhì)則f(x, y)為 與 的

6、聯(lián)合概率密度由于X1(t)與X2(t)獨(dú)立，故yxy=xD313.2 泊松過程的性質(zhì) 323.2 泊松過程的性質(zhì)三、到達(dá)時(shí)間Wn的條件分布 假設(shè)在0, t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生1次，確定這一事件到達(dá)時(shí)間W1的條件分布密度tW10sW2解：先求對(duì)s0，有=033對(duì)0st，有tW10sW2343.2 泊松過程的性質(zhì) 353.2 泊松過程的性質(zhì)對(duì)st，有363.2 泊松過程的性質(zhì)從而W1的條件分布函數(shù)為條件分布密度函數(shù)為373.2 泊松過程的性質(zhì)定理設(shè)X(t), t0是泊松過程，已知在0, t內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次事件的到達(dá)時(shí)間W1 W2 Wn的條件概率密度為383.2 泊松過程的性質(zhì) 例 設(shè)在0,

7、t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0st，對(duì)于0kn，求PX(s)=k| X(t)=n.解 k n 0 s t393.2 泊松過程的性質(zhì) （二項(xiàng)分布）403.2 泊松過程的性質(zhì) 例 設(shè)在0, t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k次(k0)463.3 非齊次泊松過程設(shè)X(t), t 0為具有均值函數(shù) 的非齊次泊松過程，則有或(證明方法與齊次泊松過程類似見教材P49)定理473.3 非齊次泊松過程 例 設(shè)X(t), t 0是具有跳躍強(qiáng)度的非齊次泊松過程(0)，求EX(t)和DX(t)。解483.3 非齊次泊松過程 例 某路公共汽車從早晨5時(shí)到晚上9時(shí)有車發(fā)出，乘客流量如下：5時(shí)按平均乘客為200人/小時(shí)計(jì)算；5

8、時(shí)至8時(shí)乘客平均到達(dá)率線性增加，8時(shí)到達(dá)率為1400人/小時(shí)；8時(shí)至18時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)到21時(shí)到達(dá)率線性下降，到21時(shí)為200人/小時(shí)，假定乘客數(shù)在不重疊的區(qū)間內(nèi)是相互獨(dú)立的，求12時(shí)至14時(shí)有2000人乘車的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 493.3 非齊次泊松過程 解 設(shè)t=0為早晨5時(shí)，t=16為晚上9時(shí)，則 503.3 非齊次泊松過程解 12時(shí)至14時(shí)為t7,9在0,t內(nèi)到達(dá)的乘車人數(shù)X(t)服從參數(shù)為(t)的非齊次泊松過程12時(shí)至14時(shí)乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為12時(shí)至14時(shí)有2000人來站乘車的概率為513.4 復(fù)合泊松過程定義設(shè)N(t), t0是強(qiáng)度的泊松過程，Yk,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與N(t), t0獨(dú)立，令 則稱為復(fù)合泊松過程。 例 設(shè)N(t)是在0, t內(nèi)來到某商店的顧客數(shù)， Yk是第k個(gè)顧客的花費(fèi)，則 是 0, t內(nèi)的營業(yè)額。 523.4 復(fù)合泊松過程設(shè) 是復(fù)合泊松過程，則(1)X(t), t0是獨(dú)立增量過程；(2)X(t)的特征函數(shù)是事件的到達(dá)率，gY(u)是隨機(jī)變量Y1的特征函數(shù)；(3)若 ，則定理：53泊松過程的特征函數(shù)為543.4 復(fù)合泊松過程證(1)令0t0t1tm，則可以驗(yàn)證X(t)具有獨(dú)立增量性(2)553.4 復(fù)