函數的基本性質教案

1、優(yōu)秀教案 歡迎下載我的函數的基本性質教案1. .函數的單調性1 設 x 1 x 2 a , b , x 1 x 2 那么 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是增函數；x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是減函數 . x 1 x 22 設函數 y f x 在某個區(qū)間內可導,假如 f x 0,就 f x 為增函數；假如f x 0,就 f x 為減函數 . 注：假如函數 f x 和 g x 都是減函數 , 就在公共定義域內 , 和函數 f x g x 也是減函

2、 數 ; 如 果 函 數 y f u 和 u g x 在 其 對 應 的 定 義 域 上 都 是 減 函 數 , 就 復 合 函 數y f g x 是增函數 . 2. 奇偶函數的圖象特點函數奇偶性的判定奇函數的圖象關于原點對稱,偶函數的圖象關于y 軸對稱 ;反過來,假如一個函數的圖象關于原點對稱, 那么這個函數是奇函數；假如一個函數的圖象關于y 軸對稱, 那么這個函數是偶函數注：如函數 y f x 是偶函數,就 f x a f x a ；如函數 y f x a 是偶函數,就 f x a f x a . 注：對于函數 y f x x R , f x a f b x 恒成立 , 就函數 f x 的

3、對稱軸是函數 x a b; 兩個函數 y f x a 與 y f b x 的圖象關于直線 x a b對稱 . 2 2注 ： 如 f x f x a , 就 函 數 y f x 的 圖 象 關 于 點 a 0, 對 稱 ; 如2f x f x a , 就函數 y f x 為周期為 2 的周期函數 . n n 13. 多項式函數 P x a x a n 1 x a 的奇偶性多項式函數 P x 是奇函數 P x 的偶次項 即奇數項 的系數全為零 . 多項式函數 P x 是偶函數 P x 的奇次項 即偶數項 的系數全為零 . 23. 函數 y f x 的圖象的對稱性1 函數 y f x 的圖象關于直線

4、 x a 對稱 f a x f a x f 2 a x f x . 2 函數 y f x 的圖象關于直線 x a b對稱 f a mx f b mx 2f a b mx f mx . 4. 兩個函數圖象的對稱性1 函數 y f x 與函數 y f x 的圖象關于直線 x 0 即 y 軸 對稱 . 2 函數 y f mx a 與函數 y f b mx 的圖象關于直線 x a b對稱 . 2 m3 函數yfx優(yōu)秀教案歡迎下載fyfxab的圖和yf 1 x 的圖象關于直線 y=x 對稱 . 的圖象右移 a 、上移 b 個單位,得到函數25. 如將函數yfx 象；如將曲線fx ,y 0的圖象右移 a

5、、上移 b 個單位, 得到曲線xa,yb0的圖象. 5.互為反函數的兩個函數的關系b , 并 不 是fabf1ba. 27. 如 函 數yfkxb 存 在 反 函 數 , 就 其 反 函 數 為y1f1xkyf1kxb, 而函數yf1kxb 是y1fxb 的反函數 . g x g y ,k6.幾個常見的函數方程1 正比例函數f x cx ,fxy f x f y ,f1c . 2 指數函數f x x a ,f xyf x f y ,f1a0. 3 對數函數f x log ax ,f xyf x f ,f a 1 a0,a1. 4 冪函數f x x ,f xyf x f ,f1. 5 余弦函數f

6、 x cosx , 正弦函數g x sinx ,f xy f x f yf01,lim x 0g x 1. | 2 a ,就x7.幾個函數方程的周期商定 a0 （1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f xa 1 0, f x 或1f x f2 f xa,f x 0,1 , 就fx的周期 T=2a；23fx1f1afx 0,就fx的周期 T=3a；x4fx 1x2fx 1x 1fx2且f a 1f x 1f x21,0|x 1x 2f1ffx2 x的周期 T=4a；8.5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x

7、2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a；6fxa fx fxa,就fx的周期 T=6a. 分數指數冪1amn1m（a0,m nN ,且n1）. na2am1（a0,m nN ,且n1） . nman9.根式的性質優(yōu)秀教案歡迎下載10.（1） n ana . a ；00. （2）當 n 為奇數時,nn a當 n 為偶數時,na n|a|a aa a有理指數冪的運算性質Q. 1arasarsa0, , r s2 arsarsa0, , r sQ . 3 abrr a bra0,b0,r注：如 a0,p 是一個無理數,就 質,對于無理數指數冪都適用 . 33. 指數式與對數式

8、的互化式Q . a p 表示一個確定的實數上述有理指數冪的運算性logaNbabN a0,a1,N0.34. 對數的換底公式11.logaNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. logma推論logambnnlogba, 且a1,m n0, 且m1 ,m對數的四就運算法就如 a0,a 1,M 0,N0,就1 log aMNlogaMlogaN ; 0 , 記b24ac. 如f x 的定義域為2 logaMnlogaMlogaN; N3 logaMnlogaM nR . 注：設函數fxlogmax2bxcaR , 就a0,且0 ; 如fx的值域為 R , 就a0,

9、且0 . 對于a0的情形 , 需要單獨檢驗 . 12.對數換底不等式及其推論如a0,b0,x0,x1, 就函數ylogaxbx a1 當 ab時 , 在0,1和1 a,上ylogaxbx 為增函數 . a22當 ab時, 在0,1和1 a,上ylogaxbx 為減函數 . a推論 :設nm1,p0,a0,且a1,就（1） logm pnp logmn .（2）logamloganloga2m2n.優(yōu)秀教案 歡迎下載四典例解析題型一：判定函數的奇偶性例 1 爭論下述函數的奇偶性：解：（ 1）函數定義域為 R,fx為偶函數；（另解）先化簡：,明顯為偶函數；從這可以看出,化簡后再解決要簡潔得多；（2

10、）必要分兩段爭論：設設當 x=0 時 fx=0,也滿意 fx=fx；由、知,對x R 有 fx =fx, fx為奇函數；,（3）,函數的定義域為fx=log 21=0 x=1 ,即 fx的圖象由兩個點A（ 1,0）與 B（ 1,0）組成,這兩點既關于 y 軸對稱,又關于原點對稱,fx既是奇函數,又是偶函數；（4） x 2a 2, 要分 a 0 與 a 0 時,優(yōu)秀教案 歡迎下載,當 a 0 時, fx為奇函數；既不是奇函數,也不是偶函數 . 點評： 判定函數的奇偶性是比較基本的問題,難度不大, 解決問題時應先考察函數的定義域, 如函數的解析式能化簡,一般應考慮先化簡,但化簡必需是等價變換過程（

11、要保證定 義域不變）；例 22022 天津文 .16設函數 f（x）在（ ,+）內有定義,以下函數： y=|f（x）|； y=xf（x2）； y=f（ x）； y=f（ x） f（ x）；必為奇函數的有 _（要求填寫正確答案的序號）答案：；解析：y=（ x）f（ x）2=xf（x 2）=y；y=f（ x） f（x）=y；點評：該題考察了判定抽象函數奇偶性的問題；對同學規(guī)律思維才能有較高的要求；題型二：奇偶性的應用例 3（2022 上海春, 4）設 f（x）是定義在 R 上的奇函數,如當 x0時,f（x）=lo g3（1+x）,就 f（ 2）=_ _；答案： 1；解：由于 x0時, f（ x）=

12、lo g3（1+x）,又 f（x）為奇函數,所以 f（ x）=f（ x）,設 x0,所以 f（x）=f（ x）=f（1x）,所以 f（ 2）=log33= 1；點評：該題考察函數奇偶性的應用；上函數的取值；解題思路是利用函數的奇偶性得到函數在對稱區(qū)域例 4已知定義在R 上的函數 y= fx滿意 f2+x= f2x,且 fx是偶函數,當x0,2時, fx=2x1,求 x4,0時 fx的表達式；解：由條件可以看出,應將區(qū)間4,0 分成兩段考慮：如 x 2,0, x0,2,fx為偶函數,當 x 2,0時, fx= fx=2x1, 如 x4, 2,4+ x0,2,f2+x+ f2x,fx= f4x,f

13、x= fx= f4 （ x）= f4+x=2（x+4） 1=2x+7；綜上,優(yōu)秀教案 歡迎下載點評：結合函數的數字特點,借助函數的奇偶性,處理函數的解析式；題型三：判定證明函數的單調性例 5（2022 天津, 19）設在,上為增函數；是上的偶函數；（ 1）求的值；（ 2）證明解：（ 1）依題意,對一切,有,即對一切成立,就,；,就（2）定義法 設,由,得上為增函數；,即,在（導數法）,在上為增函數點評：此題用了兩種方法：定義法和導數法,相比之下導數法比定義法更為簡潔；fx+例 6已知 fx是定義在R 上的增函數,對x R 有 fx0,且 f5=1,設 Fx=,爭論 F x的單調性,并證明你的結

14、論；解：這是抽角函數的單調性問題,應當用單調性定義解決；在 R 上任取 x1、x2,設 x1x2, fx2= fx1, fx是 R 上的增函數,且優(yōu)秀教案歡迎下載f10=1 ,當 x10 時 0 fx10 時 fx1; 如 x1x25,就 0fx1fx21, 0 fx1fx21, 0, F x2x15,就 fx2fx11 , fx1fx21, 0, Fx2 F x1；綜上, F x在（ , 5）為減函數,在（5,+）為增函數；點評：該題屬于判定抽象函數的單調性；抽象函數問題是函數學習中一類比較特別的問題,其基本才能是變量代換、換元等,應嫻熟把握它們的這些特點；題型四：函數的單調區(qū)間例 7（20

15、22 春季北京、安徽,12）設函數 f（x）（ab0）,求 f（ x）的單調區(qū)間,并證明 f（x）在其單調區(qū)間上的單調性；.解：在定義域內任取 x1 x2,f（x1） f（x2）,ab0, ba 0,x1x20,只有當 x1x2 b 或 bx1x2 時函數才單調當 x1x2 b 或 bx1x2時 f（x1） f（x2） 0f（x）在（ b, ）上是單調減函數,在（, b）上是單調減函數點評：本小題主要考查了函數單調性的基本學問；對于含參數的函數應用函數單調性 的定義求函數的單調區(qū)間；例 8 （1）求函數 的單調區(qū)間；（2）已知優(yōu)秀教案歡迎下載試確定的單調區(qū)間和單調性；如解：（ 1）函數的定義域

16、為,在上分分解基本函數為、明顯在上是單調遞減的,而別是單調遞減和單調遞增的；依據復合函數的單調性的規(guī)章：所以函數 在 上分別單調遞增、單調遞減；（2）解法一：函數的定義域為 R,分解基本函數為 和；明顯 在 上是單調遞減的,上單調遞增；而 在 上 分 別 是 單 調 遞 增 和 單 調 遞 減 的 ； 且,依據復合函數的單調性的規(guī)章：所以函數的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為,；解法二：,令,得或,“同向增、異向減；令,或單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為點評：該題考察了復合函數的單調性；要記住” 的規(guī)章；題型五：單調性的應用例 9已知偶函數fx在0,+上為增函數,且f2=0 ,解不等式flog 2x 2+

17、5x+40；解： f2=0, 原不等式可化為 flog 2x 2+5x+4f2；又 fx為偶函數,且 fx在0,+上為增函數,fx在,0上為減函數且 f2=f2=0；不等式可化為 log2x 2+5x+4 2 或 log 2x 2+5x+4 2 由得 x2+5x+44, x 5 或 x0優(yōu)秀教案歡迎下載由得 0 x 2+5x+4得x 4 或 1x由得原不等式的解集為 x|x5 或x4 或 1x或 x0 ；例 10已知奇函數fx的定義域為R,且 fx在 0,+上是增函數,是否存在實數 m,使 fcos2 3+f4m 2mcosf0對全部 0, 件的全部實數 m 的范疇,如不存在,說明理由；都成立

18、？如存在,求出符合條解： fx是 R 上的奇函數,且在0,+上是增函數,fx是 R 上的增函數,于是不等式可等價地轉化為fcos23f2mcos4m,即 cos232mcos4m,即 cos 2mcos+2m 20；設 t=cos,就問題等價地轉化為函數gt=t 2mt+2m2=t 2+2m2 在 0,1上的值恒為正,又轉化為函數gt在 0,1上的最小值為正；當0,即 m0m1 與 m0 不符；m042當421；1,即 m2 時, g1=m10m2 綜上,符合題目要求的m 的值存在,其取值范疇是m42；另法 僅限當 m 能夠解出的情形優(yōu)秀教案歡迎下載恒成立,： cos 2mcos+2m20 對

19、于 0,等價于 m2 cos 2 /2 cos 對于 0,恒成立當 0,時, 2 cos 2 /2cos 42, m42；點評：上面兩例子借助于函數的單調性處理了恒成立問題和不等式的求解問題；題型六：最值問題例 11（2022 全國理, 21）設 a 為實數,函數f（x）=x 2+|xa|+1,xR；（1）爭論 f（ x）的奇偶性；（2）求 f（x）的最小值；解：（ 1）當 a=0 時,函數 f（ x）=（ x）2+|x|+1=f（x）,此時 f（x）為偶函數；當 a 0時, f（a）=a2+1, f（ a）=a 2+2|a|+1,f（ a）f（ a）, f（ a）f（a）；此時函數 f（x）

20、既不是奇函數,也不是偶函數；（2）當 xa 時,函數 f（x）=x 2x+a+1=（x）2+a+；f（x）在（ ,a）上如 a,就函數 f（x）在（ ,a）上單調遞減,從而,函數的最小值為f（a） =a2+1；f（）=+a,且 f（）如 a,就函數f（ x）在（ , a 上的最小值為f（a）；當 xa 時,函數 f（ x）=x 2+xa+1=（ x+）2a+；）=a,且 f（）如 a,就函數 f（x）在 a,+ 上的最小值為f（f（a）；如 a,就函數 f（x）在 a,+上單調遞增,從而,函數 f（x）在 a,+上的最小值為 f（a）=a 2+1；綜上,當 a時,函數 f（x）的最小值是a；當

21、a時,函數 f（x）的最小值是 a 2+1；當 a時,函數優(yōu)秀教案a+歡迎下載f（ x）的最小值是；點評： 函數奇偶性的爭論問題是中學數學的基本問題,假如平常留意學問的積存,對解此題會有較大幫忙 .由于 xR,f（ 0）=|a|+1 0,由此排除 f（x）是奇函數的可能性 .運用偶函數的定義分析可知,當 a=0 時, f（x）是偶函數,第 2 題主要考查同學的分類爭論思想、對稱思想；例 12設 m 是實數,記 M= m|m1 ,fx=log 3x 24mx+4m 2+m+ ；1證明：當 mM 時, fx對全部實數都有意義；反之,如 fx對全部實數 x 都有意義,就 mM；2當 mM 時,求函數

22、 fx的最小值；3求證：對每個 mM,函數 fx的最小值都不小于 1；1 證明：先將 fx變形： fx=log 3x2m 2+m+, 當 mM 時, m1,xm2+m+ 0 恒成立,故 fx的定義域為 R；反之,如 fx對全部實數 x 都有意義,就只須 x 24mx+4m 2+m+ 0；令 0,即 16m 244m 2+m+ 0,解得 m1,故 mM；2解析：設 u=x 24mx+4m 2+m+,y=log 3u 是增函數,當 u 最小時, fx最??；而 u=x2m 2+m+,m+,明顯,當 x=m 時, u 取最小值為此時 f2m=log 3m+ 為最小值；3證明：當 mM 時, m+=m1

23、+ +13,優(yōu)秀教案 歡迎下載當且僅當 m=2 時等號成立；log3m+ log 33=1；點評：該題屬于函數最值的綜合性問題,進行處理；題型七：周期問題考生需要結合對數函數以及二次函數的性質來為（例 13 如 y=f2x的圖像關于直線和對稱,就 fx的一個周期）CDAB解：由于 y=f2x關于對稱,所以fa+2x=fa2x；所以 f2a2x=fa+a2x= faa2x= f2x；同理, fb+2x =fb 2x,所以 f2b2x=f2x,所以 f2b2a+2x=f2b2a2x=f2a2x=f2x；所以 f2x的一個周期為 2b 2a,故知 fx的一個周期為 4ba；選項為 D；點評：考察函數

24、的對稱性以及周期性,類比三角函數中的周期變換和對稱性的解題規(guī)就處理即可；如函數 y=fx的圖像關于直線 x=a 和 x=b 對稱（ ab）,就這個函數是周期函數,其周期為 2（ba）；例 14 已 知 函 數 是 定 義 在 上 的 周 期 函 數 , 周 期, 函 數是奇函數 又知 在 上是一次函數,在 上是二次函數,且在 時函數取得最小值；證明：；求 的解析式；求 在 上的解析式；解：是以 為周期的周期函數,優(yōu)秀教案歡迎下載又是奇函數,故,；,；當時,由題意可設由得,；是奇函數,又知在上是一次函數,可設,而,當時,從而當時,；時,當時,有,當時,；點評： 該題屬于一般函數周期性應用的題目,周期性是函數的圖像特點,要將其轉化成數字特點；五思維總結 1判定函數的奇偶性,必需依據函數的奇偶性定義進行,為了便于判定,常應用定義的等價形式： f x= fxf x fx=0 ；優(yōu)秀教案 歡迎下載2對函數奇偶性定義的懂得,不能只停留在f-x=fx和 f-x=- fx這兩個等式上,要明確對定義域內任意一個 x,都有 f-x=fx,f-x=- fx的實質是：函數的定義域關于原點對稱這是函數具備奇偶性的必要條件；稍加推廣, 可得函數 fx的圖象關于直線 x=a 對稱的充要條件是對定義域內的任意 x,都有 fx+a=fa-x成立 函數的奇偶性是其相應圖象的特別的對稱性的反映；3如奇函數的定義