圓的有關(guān)概念及圓的確定-知識講解

1、圓的有關(guān)概念及圓的確定一知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)：理解圓的描述概念和圓的集合概念；理解半徑、直徑、弧、弦、弦心距、圓心角、同心圓、等圓、等弧的概念；經(jīng)歷探索點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的過程，會運(yùn)用點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；了解不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的外接三角形的概念能力目標(biāo)：能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算或證明；會過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓情感目標(biāo)：在確定點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系的過程中體會用數(shù)量關(guān)系來確定位置關(guān)系的方法，逐步學(xué)會用變化的觀點(diǎn)及思想去解決問題，養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的習(xí)慣

2、【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義圓的描述概念如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“O0”讀作“圓0.要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可;圓是一條封閉曲線.圓的集合概念圓心為0,半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)0的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.平面上的一個(gè)圓，把平面上的點(diǎn)分成三類：圓上的點(diǎn)，圓內(nèi)的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的的點(diǎn)的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.要點(diǎn)詮釋：定點(diǎn)為圓心

3、，定長為半徑；圓指的是圓周，而不是圓面；強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，至U定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.要點(diǎn)二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外若O0的半徑為r，點(diǎn)P到圓心0的距離為d，那么：點(diǎn)P在圓內(nèi)二dvr；點(diǎn)P在圓上：二d=r；點(diǎn)P在圓外二dr.二”讀作等價(jià)于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)在圓上是指點(diǎn)在圓周上，而不是點(diǎn)在圓面上;要點(diǎn)三、與圓有關(guān)的概念弦弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.要點(diǎn)詮釋：直徑是圓中通過圓心的特殊

4、弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是O0的直徑，CD是OO中任意一條弦，求證：ABCD.證明：連結(jié)OG0D/AB=A0+0B=C0+30GD（當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心0時(shí)，取“=”號）二直徑AB是O0中最長的弦.一二，讀作“圓弧AB或“弧AB.弧半圓優(yōu)弧劣弧要點(diǎn)詮釋:圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓;大于半圓的弧叫做優(yōu)?。恍∮诎雸A的弧叫做劣弧.弧:圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作半圓是弧，而弧不一定是半圓；無特殊說明時(shí)，弧指的是劣弧.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點(diǎn)詮釋：等弧

5、成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視;圓中兩平行弦所夾的弧相等.同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓TOC o 1-5 h z圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓要點(diǎn)詮釋：同圓或等圓的半徑相等圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角要點(diǎn)詮釋：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，反之也成立要點(diǎn)四、確定圓的條件經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)能作無數(shù)個(gè)圓；經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)AB能作無數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；(3)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓(4)經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形如圖：OO是厶ABC的外接

6、圓，ABC是OO的內(nèi)接三角形，點(diǎn)0是厶ABC的外心外心的性質(zhì)：外心是ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋：(1)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓“確定”的含義是“存在性和唯一性”(2)只有確定了圓心和圓的半徑，這個(gè)圓的位置和大小才唯一確定【典型例題】類型一、圓的定義(2014秋？邳州市校級月考)如圖所示，BD,CE是厶ABC的高，求證：E,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.B【思路點(diǎn)撥】要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，就是證明這幾個(gè)點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離都相等即可【答案與解析】證明：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F,連接DF,EF./BD,CE是厶ABC的高，BCD和厶BCE都是直角三角

7、形.DF,EF分別為RtBCD和RtBCE斜邊上的中線,DF=EF=BF=CF.E,B,C,D四點(diǎn)在以F點(diǎn)為圓心，BC為半徑的圓上.2【總結(jié)升華】要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，只能依據(jù)圓的定義，去說明這些點(diǎn)到平面內(nèi)某一點(diǎn)的距離相等舉一反三：【變式】平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則該平行四邊形一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外的安全區(qū)域.這個(gè)導(dǎo)火索的長度為18cm,那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？【思路點(diǎn)撥】計(jì)算在導(dǎo)火索燃燒完的時(shí)間內(nèi)人跑的距離與120m比較.【答案與解析】18導(dǎo)火索

8、燃燒的時(shí)間為=20(s)0.9相同時(shí)間內(nèi)，人跑的路程為20X6.5=130(nr)人跑的路程為130m120m,點(diǎn)導(dǎo)火索的人安全.【總結(jié)升華】爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示.安全區(qū)域類型二、圓的有關(guān)計(jì)算V3.已知，點(diǎn)P是半徑為5的OO內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3在過點(diǎn)P的所有的OO的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【思路點(diǎn)撥】在一個(gè)圓中，過一點(diǎn)的最長弦是經(jīng)過這一點(diǎn)的直徑，最短的弦是經(jīng)過這一點(diǎn)與直徑垂直的弦.【答案】C.【解析】作圖，過點(diǎn)P作直徑AB,過點(diǎn)P作弦&，連接OC則0C=5CD=2PC由勾股定理，得一-CD=2PC=8又TAB=10

9、,過點(diǎn)P的弦長.的取值范圍是丄山，C弦長.的整數(shù)解為8,9,10,根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數(shù)的弦共4條.故選C.【總結(jié)升華】利用垂徑定理來確定過點(diǎn)P的弦長的取值范圍根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，容易漏解舉一反三:【變式】平面上的一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cm則圓的半徑是(A.2.5cmB.6.5cmC.2.5cm或6.5cmD.5cm或13cm【答案】C.類型三、確定圓的條件的有關(guān)作圖與計(jì)算C已知：不在同一直線上的三點(diǎn)A、BC,求作:O0使它經(jīng)過點(diǎn)A、BC.【思路點(diǎn)撥】作圓的關(guān)鍵是找圓心得位置及半徑的大小，經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心一定在連接這兩點(diǎn)的線段的

10、垂直平分線上，進(jìn)而可以作出經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)的圓【解析】作法：1、連結(jié)AB,作線段AB的垂直平分線MN2、連接AC,作線段AC的垂直平分線EF,交MN于點(diǎn)03、以0為圓心，0B為半徑作圓.所以O(shè)O就是所求作的圓.N【總結(jié)升華】通過這個(gè)例題的作圖可以作出銳角三角形的外心（圖一）角三角形的外心（圖三）.探究各自外心的位置.（圖一）（圖二），鈍【變式】（2015?江干區(qū)二模）給定下列圖形可以確定一個(gè)圓的是（）A.已知圓心B.已知半徑C.已知直徑D.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)【答案】D.提示：A、已知圓心只能確定圓的位置不能確定圓的大小，故錯(cuò)誤;（圖三）BC、已知圓的半徑和直徑只能確定圓的大小并不能確定圓的位置，故錯(cuò)誤;D不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故正確，故選D.【思路點(diǎn)撥】求出符合條件的OP的最大值與最小值那么OP的長的取值范圍是【答案】3WOPC5.【解析】OP最長邊應(yīng)是半徑長，為5;根據(jù)垂線段最短，可得到當(dāng)OPLAB時(shí)，OP最短.直徑為10,弦AB=8/OP