數(shù)字信號(hào)處理-習(xí)題答案素材charpter6

1、2011/1北京大學(xué)出版社 違者必究1第6章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與 MATLAB實(shí)現(xiàn)引言線性相位濾波器的特點(diǎn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器利用等紋波最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器2【本章教學(xué)目的與要求】掌握線性相位濾波器的特點(diǎn)及其零點(diǎn)位置的分布特點(diǎn)；學(xué)會(huì)應(yīng)用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器；學(xué)會(huì)應(yīng)用頻率抽樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器；了解等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器的方法；學(xué)會(huì)應(yīng)用MATLAB軟件設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器；了解IIR濾波器與FIR濾波器的不同特點(diǎn)及兩種濾波器的選用原則。3【本章知識(shí)結(jié)構(gòu)】46.1 引言【問(wèn)題的引入】IIR數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)：能借助模

2、擬濾波器已有成果設(shè)計(jì)； 簡(jiǎn)單方便缺點(diǎn)：相位非線性，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器優(yōu)點(diǎn)：嚴(yán)格線性相位；系統(tǒng)十分穩(wěn)定（傳輸函數(shù)為全零點(diǎn)型）；進(jìn)行濾波時(shí)可采用FFT缺點(diǎn)：幅度特性較差；設(shè)計(jì)繁瑣5案例 濾波器在濾除圖像高頻噪聲，增強(qiáng)圖像中的應(yīng)用。含有噪聲的圖像 濾波器濾波后圖像 66.2線性相位濾波器的特點(diǎn)線性相位條件設(shè)FIR系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為實(shí)序列 （長(zhǎng)度為N），則其Z變換為：顯然為關(guān)于 的 N-1階多項(xiàng)式，它在Z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)、在原點(diǎn)有 N-1個(gè)重極點(diǎn)。若 滿足下面的 “ 偶對(duì)稱 ” 或 “ 奇對(duì)稱 ” 條件：則FIR濾波器將具有嚴(yán)格的線性相位特性。7對(duì)于長(zhǎng)度為N的單位采樣響應(yīng)h(n)，其頻率響應(yīng)為當(dāng)h

3、(n)為實(shí)數(shù)序列時(shí)，可將頻率響應(yīng)表示為式中，H（w）稱為幅度函數(shù)， 稱為相位特性， 稱為幅頻特性， 稱為相頻特性。對(duì)于長(zhǎng)度為N的單位采樣響應(yīng)h(n)，其頻率響應(yīng)為當(dāng)h(n)為實(shí)數(shù)序列時(shí)，可將頻率響應(yīng)表示為式中，H（w）稱為幅度函數(shù)， 稱為相位特性， 稱為幅頻特性， 稱為相頻特性。 線性相位是指系統(tǒng)的相位特性是頻率的線性函數(shù)，即84類線性相位濾波器9知識(shí)拓展（FIR濾波器具有線性相位的充要條件）把系統(tǒng)相位特性與頻率的關(guān)系式代入頻率響應(yīng)表達(dá)式，得等式左右兩側(cè)實(shí)部、虛部分別相等兩式相除，可得10整理，得即：要使上式成立，必須滿足得到第一類線性相位濾波器的條件。11第二類線性相位濾波器，可作與第一類線

4、性相位同樣的推導(dǎo)，得到第二類FIR濾波器是線性相位的充要條件 126.2.2線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)1第I種類型，h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)13其求和項(xiàng)全為實(shí)數(shù)則：顯然：幅度函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，可正可負(fù)；相位函數(shù)是 的線性函數(shù)，且通過(guò)原點(diǎn)，即具有嚴(yán)格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)14線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)的各項(xiàng)相對(duì)于 對(duì)稱的項(xiàng)相等。15線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn)將相等項(xiàng)合并，因N為奇數(shù)，余中間項(xiàng)令 ，則：改換記法其中16線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點(diǎn) 該類濾波器適合于設(shè)計(jì)任何關(guān)于 為偶對(duì)稱特性頻率的濾波器。 對(duì) 皆為偶對(duì)稱，所以幅度函數(shù) 對(duì) 也是偶對(duì)稱。2

5、第II種類型：h(n)偶對(duì)稱，N取偶數(shù)與情形1推導(dǎo)相同N為偶數(shù)，余項(xiàng)令 ，得：17FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)改換記法其中因此這種情況不適合做在 處不等于零的濾波器，如高通濾波器、帶阻濾波器 。特點(diǎn)：當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 在 z = -1 為零點(diǎn)，且由于 對(duì) 呈奇對(duì)稱，因而 對(duì) 也呈奇對(duì)稱。18FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)3第III種類型，h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)19FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)顯然：相位特性同樣為一嚴(yán)格的直線，但在零點(diǎn)處有 的截距。則：幅度特性相位特性20FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)上式表明，當(dāng) 時(shí)， ，相當(dāng)于 在 z =1和z = -1有兩個(gè)零點(diǎn)，并且由于 對(duì) 呈奇

6、對(duì)稱，因而 對(duì) 也呈奇對(duì)稱。這種情況不適合做在 處為偶對(duì)稱的濾波器，如低通和高通濾波器。推導(dǎo)方法與前面類似，可得： 對(duì) 為奇對(duì)稱，21FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)4第III種類型，h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)這種情況不適合做在 處為偶對(duì)稱的濾波器，如低通濾波器。上式表明：當(dāng) 時(shí)， ，相當(dāng)于 在z=1處有一個(gè)零點(diǎn)；并且由于 對(duì) 呈奇對(duì)稱、對(duì) 呈偶對(duì)稱，因而 也對(duì) 呈奇對(duì)稱、對(duì) 呈偶對(duì)稱。22FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點(diǎn)下表給出了上述4種類型的線性相位濾波器的相位響應(yīng)、時(shí)域幅度響應(yīng)和頻域幅度響應(yīng)的示意圖。23知識(shí)拓展I型濾波器適合于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻濾波器；II型適合于設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器

7、;III型適合于設(shè)計(jì)帶通濾波器；IV型適合于設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器。但在實(shí)際應(yīng)用中，低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)一般選擇I,II兩種類型，III,IV兩種線性相位FIR濾波器常在微分器和希爾伯特變換器中使用。 24線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性6.2.3線性FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 偶對(duì)稱取“” 奇對(duì)稱取“”設(shè) 是 的零點(diǎn)，則 也是 的零點(diǎn)。當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)， 為實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，此時(shí) 應(yīng)是共軛成對(duì)的，則 也是零點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)實(shí)線性相位FIR濾波器，其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓鏡像共軛成對(duì)。25線性相位FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布266.3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)濾波器要求的理想頻響特性為 , 則FIR濾

8、波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題就在于：尋求某一系統(tǒng)函數(shù) ，使該系統(tǒng)頻響特性 逼近 ；若要求FIR濾波器具有線性相位特性，則 必須滿足上節(jié)所述的奇對(duì)稱或偶對(duì)稱條件。線性相位FIR濾波器的常用設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)法、頻率采樣法、等波紋最佳逼近法窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)有限長(zhǎng)濾波器頻率響應(yīng)來(lái)逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)。 27設(shè)計(jì)方法以低通線性相位濾波器為例,一般選擇選擇 為線性理想低通濾波器理想低通濾波器單位采樣響應(yīng)為：一般先給定理想濾波器的頻率響應(yīng) ，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器的頻率響應(yīng)來(lái)逼近28設(shè)計(jì)方法要得到有限長(zhǎng)的 ，最簡(jiǎn)單的方法是用一長(zhǎng)為 的矩形窗 截?cái)?。按照線性相位濾波器的要求， 必須偶對(duì)稱，如下圖。對(duì)稱中心

9、必須等于濾波器的延時(shí)常數(shù) 是中心點(diǎn)在a的偶對(duì)稱無(wú)限長(zhǎng)非因果序列。 所以有：29理想矩形幅頻特性和矩形窗函數(shù)序列幅度函數(shù) 30設(shè)計(jì)方法下面從頻域卷積的角度來(lái)分析由矩形窗所求得的濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)矩形窗的頻率響應(yīng)為 為矩形窗的幅度響應(yīng)。如下圖31設(shè)計(jì)方法主瓣旁瓣旁瓣32設(shè)計(jì)方法將理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 表示為：若用代表所設(shè)計(jì)的低通濾波器的幅度函數(shù)，則:可見(jiàn)：設(shè)計(jì)的濾波器的幅度響應(yīng)是矩形窗函數(shù)的幅度響應(yīng)與理想低通濾波器的幅度響應(yīng)的卷積（過(guò)程如下圖所示）33設(shè)計(jì)方法矩形窗對(duì)理想低通濾波幅度特性的影響 34設(shè)計(jì)方法加矩形窗處理后，對(duì)理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了以下兩點(diǎn)影響： 使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)=c 處，形成

10、了一個(gè)過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度等于矩形窗的頻率響應(yīng)WR()的主瓣寬度= 4/N 在截止頻率c的兩邊=c 2/N 處（即過(guò)渡帶 的兩邊），H()出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的快慢，則取決于WR()波動(dòng)的快慢。若增加截取長(zhǎng)度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為： 隨著x加大，函數(shù)曲線波動(dòng)的頻率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對(duì)比例保持不變。 這個(gè)相對(duì)比例由sinx/x決定, 即由矩形窗函數(shù)的形狀決定。 35設(shè)計(jì)方法因而，當(dāng)長(zhǎng)度N增加時(shí)，只會(huì)減小過(guò)渡帶寬(4/N )，而不會(huì)改變肩峰的相對(duì)值。 在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰值為8.95%

11、，N增加時(shí)，4/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是8.95%，這就是吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。 由于窗譜肩峰的存在，影響到H()通帶的平坦和阻帶的衰減，使阻帶最小衰減只有21dB左右，因此在實(shí)際中，矩形窗很少采用。 為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好頻率特性，一般采用其他類型的窗函數(shù) ，對(duì) 進(jìn)行加窗處理。 366.3.2窗函數(shù)矩形窗（Rectangle window） 其頻率響應(yīng)為37三角形窗(Bartlett Window)其頻率響應(yīng)為：主瓣寬度為：38其頻率響應(yīng) 和幅度響應(yīng) 分別為： 是三項(xiàng)矩形窗的幅度響應(yīng) 的移位加權(quán)和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍

12、，為漢寧(Hanning window)窗，又稱升余弦窗39其幅度響應(yīng)為：同漢寧窗的主瓣寬度 相同，但旁瓣幅度更小，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi) 。漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗40其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量，幅度響應(yīng)為：通過(guò)加入余弦的二次諧波分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變?yōu)椴既R克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗41下圖為N=31時(shí)，矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線窗函數(shù)42窗函數(shù)下圖為N=311時(shí)矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼5種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)43窗函數(shù)凱塞爾(Kaiser)窗I0()是第

13、一類修正零階貝塞爾函數(shù)一般取1525項(xiàng)就可滿足精度要求。是一個(gè)可選參數(shù)，用來(lái)選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說(shuō)來(lái)， 越大,過(guò)渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。44窗函數(shù)零階貝塞爾曲線凱塞爾窗函數(shù)曲線 窗函數(shù)基本參數(shù)比較456.3.3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟求理想濾波器的單位采樣響應(yīng) 由過(guò)渡帶帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗函數(shù)，估計(jì)窗口長(zhǎng)度N；求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位采樣響應(yīng)h(n);求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù) 46例 題（2）求得：解:(1)設(shè)理想線性相位濾波器的頻率特性為 由阻帶截止頻率與通帶截止頻率近似求得 ，即一線性相位高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)為：通帶截止頻率 通帶衰減，阻帶截止頻率阻帶最小衰減。試應(yīng)用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)該濾波器。47例 題（4）加窗處理得 （3）已知阻帶最小衰減 ，查表