01-matlab經(jīng)典講義和數(shù)學建模試題集12套2002a

1、2002 高教社杯大學生數(shù)學建模競賽A 題車燈線光源的優(yōu)化設計參考注意：以下是命題人給出的，學生的解答，地進行評閱。參考。各評閱組應根據(jù)對題目的理解及一. 假設和簡化 (略)二. 模型的建立建立坐標系如下圖，記線光源長度為 l ，功率為 W，B,C 點的光強度分別為 hB (l) W 和hC (l) W，先求 hB (l) 和hC (l) 的表達式，再建立整個問題的數(shù)學模型.y 2x 2以下均以毫米為，由所給信息不難求出車燈反射面方程為 z （0,0,15）。，焦點坐標為601) 位于點 P(0,w,15)的能量的點光源反射到點C(0, 2600, 25015)的能量x 2y 2設反射點的坐標

2、為 Q ( x, y,) .記入射向量為 a ,該點反射面外法線方向為 b ,不難得60到反射向量c 滿足2 bzac a b. 2CABbc記r 2 x2 y 2 ,由r 2a ( x, y w,60 15),b ( x / 30, y / 30,1)P從而得c (c , c , c ) 的表達式axyzy2xyw0Qcx r 2 900bxw(2 y 2 r 2 900)r 2 900c y 1800r 2 3600wy 810000r 4cz 60(r 2 900)注意到反射光通過 C 點,應有kcx x,kcy 2600 y,kcz 25015 r / 602第1頁，共4頁 900r

3、2其中 k 為常數(shù). 從上述第一式可解得 x 0 或k 兩組方程:.由此得反射點坐標滿足以下2wyx 0 y 5 (w 2600) y 4 1800y 3 (1498200w 4680000) y 2 (9360000w 810000) y 0.3750w13(w 2600)y x 5200y 900 y 2通過計算可知,存在 wC 1.56 ,當 w wC 時第一組方程不存在滿足 r 2 362 的實根,00即無反射點. 而當 w wC 時,有兩個反射點 Q (0, y , y 2 / 60), i 1,2 .0iii而第二組方程僅當 3.8119 w 1.5609 時存在滿足r2 362

4、的一對實根,即有兩y 2x2個反射點(x, y,),記為4 .60若反射點的坐標為 Q(x, y, z) ,則位于點 P(0, w,15) 的能量點光源經(jīng) Q 點反射到 C點的能量密度(L 面積的能量, 正比強度)為cos 4 (PC) 2其中PQ ( y w)2 (r 2 / 60 15)2 , QC (2600 y)2 (25015 r 2 / 60 15) 2x 2x2而 為反射向量與 z 軸的夾角,25015 r 2 / 60cos .QC2) hB (l ), hC (l) 的表達式長l 的具有的能量密度為能量的線光源位于點 P(0, w,15) 的長dw 的微小線光源段反射到C 點

5、4E(w) fi (w) / l,i1其中cos i, w l / 2, wC (w) 4 (P00, i 1,2fC) 2ii0, w 30, wC 0cos i, w 3.8119,1.5609f i (w) 4 (P, i 3,4C) 2i0, w3.8119,1.5609長l 的具有能量的線光源反射到 C 點的能量密度為第2頁，共4頁l / 2hC (l ) E(w)dw. l / 2類似hB (l) 的表達式.相應的反射點方程為x 0 y 5 (w 1300) y 4 1800 y3 (1498200w 2340000) y 2 (4680000w 810000) y 0.7500w

6、y 13(w 1300)x 2600 y 900 y 2相應的 wB 0.78, 而第二組方程的有兩個反射點的范圍為 w1.906,0.7800005.03） 優(yōu)化設計的數(shù)學模型設線光源的功率為 W, 則它反射到B 點和 C 點的能量密度分別為hB (l ) W hC (l) W .問題的數(shù)學模型為:和minW0 l l 0 2 1s . t .hh( l ) W( l ) WBC三. 模型的求解hB (l ), hC (l ) 可以用數(shù)值積分求得. hB (l) 應具備下列性質(zhì)：0,0 l l 2 wBB0h (l ) ,l l l BBB, l ll B0其中l(wèi) 為起亮值， l 為最大值點

7、， l為的最大范圍，例如取為 20mm。 h (l) 也有類似的BB0C性質(zhì)，且起亮值和最大值點均相應地右移.數(shù)值求解hB (l ) 2hC (l ) ,記其解為 l l* ,再求出l , l ,不難看出l l 且 l 落在(l ,l ) 之中。B CBC*B C令 w* 1/ hC (l* ) 2 / hB (l* ) 現(xiàn)證 w* 為問題之最優(yōu)值。事實上，對可行域中任一(l, w) ，當l l* ,有 w 2H / hB (l) 2H / hB (l* ) w* , （用到 l l* 時 hB ）。當l l * ，有 w 2H / hC (l ) 2H / hC (l* ) w* ，（用到

8、l l* 時 hc ）。這就證明了 w* 的確是最小值。事實上數(shù)值結果為l 3.86,l 7.62, l 4.41.BC*四. 反射光亮區(qū)的計算分別將線光源和車燈反射面離散化為點光源和面元的集合，計算每一點光源關于每一車燈反射面元的反射光線，判斷其是否與車燈反射面相交，若相交，一次反射光不能到達測試屏，第3頁，共4頁否則求出該反射光線與反射屏平面的交點，即為反射亮點。所有這些亮點的集合即為反射光亮區(qū)。亮區(qū)的上半部分由下圖所示(橫坐標為x 軸，縱坐標為y 軸，部分是關于 x 軸對稱的.為mm),下半部分與上半五. 注記(1) 計算hB (l ), (hC (l ) 的另一方法是建立問題的數(shù)值模型用數(shù)值模擬的方法加以解決.具體的做法是: 在得到反射光線和反射到測試屏上能量的數(shù)學模型后, 分別將線光源和車燈反射面離散化為點光源和面元的集合，在測試屏 B( 或 C)點附近取一微小面元.計算每一點光源關于每一車燈反射面元的反射光線，將所有能到達該面元的反射光線的反射能量迭加起來,除以面元的面積即為 B( 或 C)點的反射能量密度.但用這樣的方法必須十分注意結果的檢驗,注意計算精度(必須密度和測試屏