人教數(shù)學(xué)平行四邊形的專項培優(yōu) 易錯 難題練習(xí)題(含答案)及詳細答案

1、.請一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE.（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a得到如圖2情形你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷.4DAD圉11圖2e（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（aHb,k0）,第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例

2、簡要說明理由.4D衛(wèi)1（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值.【答案】（1）BG丄DE,BG=DE；BG丄DE，證明見解析；（2）BG丄DE,證明見解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時針旋轉(zhuǎn)90即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定ABCGDCE，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到1）中的位置關(guān)系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG2轉(zhuǎn)換為兩個矩形的長、寬平方和.詳

3、解：（1）BG丄DE,BG=DE；T四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZECG=90,ZBCG=ZDCE,BCG竺DCE,BG=DE,ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90,.ZCDE+ZDHG=90,.BG丄DE.(2)TAB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,.BC_CG_bDCCa，又:ZBCG=ZDCE,.BCG-DCE,.ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90,.ZCDE+ZDHG=90,.BG丄DE.(3)連接BE、DG.根據(jù)題意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,TBG丄DE,ZBCD=ZECG=90.B

4、E2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.點睛：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.2.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點O,點E、F是直線AD上兩動點，且AE=DF,CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G,連接AG,直線AG交BE于點H.如圖1,當點E、F在線段AD上時，求證：ZDAG=ZDCG；猜想AG與BE的位置關(guān)系,并加以證明；如圖2,在(1)條件下，連接HO,試說明HO平分ZBHG；當點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出ZBH

5、O的度數(shù).EEDy【答案】（1）證明見解析；AG丄BE.理由見解析；（2）證明見解析；（3）ZBHO=45.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC,ZADB=ZCDB=45,則可根據(jù)SAS證明ADGCDG，所以ZDAG=ZDCG；根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC,ZBAD=ZCDA=90,根據(jù)SAS證明ABE竺DCF，則ZABE=ZDCF，由于ZDAG=ZDCG，所以ZDAG=ZABE，然后利用ZDAG+ZBAG=90得到ZABE+ZBAG=90，于是可判斷AG丄BE；（2）如答圖1所示，過點O作OM丄BE于點M,ON丄AG于點N,證明AONBOM，可得四邊形OMHN為正方形，因此H

6、O平分ZBHG結(jié)論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG丄BE；過點O作OM丄BE于點M,ON丄AG于點N,構(gòu)造全等三角形厶AONBOM,從而證明OMHN為正方形，所以HO平分ZBHG，即ZBHO=45.試題解析：（1）T四邊形ABCD為正方形，DA=DC,ZADB=ZCDB=45,在厶ADG和厶CDG中AD-CDlADG-lCDGIDG-DG.ADG竺CDG（SAS）,.ZDAG=ZDCG；AG丄BE.理由如下：四邊形ABCD為正方形，.AB=DC，ZBAD=ZCDA=90，在厶ABE和厶DCF中AB-DCzBZF-zCDFIAE-DFABE竺DCF（SAS）,.ZABE=ZD

7、CF，ZDAG=ZDCG,.ZDAG=ZABE，TZDAG+ZBAG=90,ZABE+ZBAG=90，ZAHB=90,AG丄BE；(2)由(1)可知AG丄BE.如答圖1所示，過點O作OM丄BE于點M,ON丄AG于點N,則四邊形OMHN為矩形.ZMON=90,又:OA丄OB,.ZAON=ZBOM.TZAON+ZOAN=90,ZBOM+ZOBM=90,.ZOAN=ZOBM.在厶AON與厶BOM中，loan-LOBMOA-OB也40/V-上BOM.AON竺BOM(AAS).OM=ON,.矩形OMHN為正方形,.HO平分ZBHG.3）將圖形補充完整,如答圖2示,ZBHO=45.與（1）同理，可以證明A

8、G丄BE.過點O作OM丄BE于點M,ON丄AG于點N,與（2）同理，可以證明AON竺BOM,可得OMHN為正方形，所以HO平分ZBHG,.ZBHO=45.考點：1、四邊形綜合題；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、正方形的性質(zhì)3.如圖，在等腰RtABC中，ABAC=90，點E在AC上（且不與點A、C重合）,在AABC的外部作等腰RthCED，使ZCED匸90，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF.o（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系；（2）將CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點E在線段BC上時，如圖，連接AE,請判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;CB團若AB云2

9、虧，CE=2，在圖的基礎(chǔ)上將CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度.【答案】（1）證明見解析；（2）AF=2aE4邁或2邁./ZC/D7fJ團解析】【分析】（1）如圖中，結(jié)論：AF=72AE，只要證明AEF是等腰直角三角形即可;（2）如圖中，結(jié)論：AF=p2AE，連接EF，DF交BC于K先證明EKFQEDA再證明AEF是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形.b、如圖中當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形-分別求解即可.【詳解】（1）如圖中，結(jié)論：AF=j2AE.理由：四邊形ABFD是平行四邊形,AB

10、=DF,AB=AC,AC=DF,DE=EC,AE二EF,ZDEC=ZAEF=90,AEF是等腰直角三角形，:AF=+2AE.故答案為AF=、2AE.（2）如圖中，結(jié)論：AF=+：2aE.理由：連接EF,DF父BC于K.四邊形ABFD是平行四邊形，:AB/DF，:ZDKE=ZABC=45,:ZEKF=180ZDKE=135,EK二ED,ZADE=180ZEDC=18045=135,:ZEKF=ZADE,。.ZDKC=ZC,:DK=DC,.DF=AB=AC,:KF=AD,在EKF和EDA中，EK二EDZEKF二ZADE,、KF二ADA:EKFBEDA,:EF=EA,ZKEF=ZAED,:ZFEA=

11、ZBED=90,:AEF是等腰直角三角形，:AF=人2AE.如圖中，當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H,易知EH=DH=CH=*2,AH=g5）2-（、2）2=3、2,AE=AH+EH=4、2,ACBbE團F如圖中當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形，易知AE=AH-EH=3J2-邁=2邁，綜上所述，滿足條件的AE的長為4邁或2邁.【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考?？碱}型4.如圖，在RtAABC中，ZB=90,A

12、C=60cm,ZA=60，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒（0VtW15）.過點D作DF丄BC于點F,連接DE,EF.(1)求證：AE=DF；四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由;當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.答案】(1)見解析；(2)能，t=10；15(3)t=或12.【解析】【分析】利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長，即可證明；易證

13、四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；DEF為直角三角形，分/EDF=90和/DEF=90兩種情況討論.【詳解】解：(1)證明：在RtAABC中，ZC=90-ZA=30，AB=112AC=2x60=30cmTCD=4t,AE=2t，又在RtACDF中，ZC=30,DF1DF=CD=2t，DF=AE；2(2)能，TDFIIAB，DF=AE，四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60-4t=2t，解得：t=10,當t=10時，AEFD是菱形；(3)若厶DEF為直角三角形，有兩種情況：如圖1，ZEDF=90，DEIB

14、C，則AD=2AE，即60-4t=2x2t，解得:t=,則AE=2AD,即2t二2（60-4t），解得:t=12,15綜上所述，當t=2或12時，ADEF為直角三角形.（1）如圖1,將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為be，點C落在點C處，若ZADB=42，則ZDBE的度數(shù)為（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9.（畫一畫）如圖2,點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN（點M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3點F在這張矩形紙片的邊B

15、C上，將紙片折疊，使FB落在射線FD7上，折痕為GF，點A,B分別落在點A,B處，若AG-3，求BD的長.【答案】(1)21；(2)畫一畫；見解析；算一算：BD=3【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問題；【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G,作/BGC的角平分線交AD于M,交BC于N,直線MN即為所求；720一【算一算】首先求出GD=9-=3，由矩形的性質(zhì)得出ADIIBC,BC=AD=9，由平行線的性質(zhì)得出/DGF=ZBFG，由翻折不變性可知，ZBFG=ZDFG，證出ZDFG=ZDGF，由等腰三、20角形的判定定理證出DF=DG=t，再由勾股定理求出CF，可得B

16、F,再利用翻折不變性，可知fbz=fb,由此即可解決問題.EC詳解】(1)如圖1所示四邊形ABCD是矩形,miADIIBC,ZADB=ZDBC=42,由翻折的性質(zhì)可知，ZDBE=ZEBC=1ZDBC=21。,故答案為21(2)【畫一畫】如圖所示【算一算】如3所示：AG=3，AD=9,GD=9-7二2033T四邊形ABCD是矩形,ADIIBC,BC=AD=9,乙DGF=ZBFG,由翻折不變性可知，zBFG=ZDFG,ZDFG=ZDGF,DF=DG=20TCD=AB=4,zC=90,在RtACDF中,由勾股定理得：CF=JDF2CD242二16.BF=BC-CF=916_1111由翻折不變性可知，

17、FB=FB=y,2011BD=DF-FB=一一一二333【點睛】四邊形綜合題,考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會利用翻折不變性解決問題如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點0,在RtAPFE中，ZEPF=90，點E、F分別在邊AD、AB上（1）如圖1,若點P與點0重合：求證：AF=DE；若正方形的邊長為當ZDOE=15。時，求線段EF的長；（2）如圖2,若RtAPFE的頂點P在線段OB上移動（不與點0、B重合），當BD=3BP時，證明：PE=2PF.ai團2【答案】證明見解析，2、迂；(2)證明

18、見解析.【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：A0思DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；作OG丄AB于G,根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；首先過點P作HP丄BD交AB于點H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系【詳解】(1)證明：T四邊形ABCD是正方形，OA=OD，ZOAF=ZODE=45,ZAOD=90,ZAOE+ZDOE=90，TZEPF=90,.ZAOF+ZAOE=90，.ZDOE=ZAOF，在厶AOF和厶DOE中,rAOAF=AODEOA=OD,ZAOF=ZDOE.AOF竺DOE,.AF=DE；解：過點O作OG丄AB于G,T正方形的邊長為2

19、j3,1OG=BC=斗3,ZD0E=15,AOF竺DOE,ZAOF=15,ZFOG=45-15=30,OF=OGcosZDOG=2,.EF=pOF2+OE2=2邁；(2)證明：如圖2,過點P作HP丄BD交AB于點H,02則厶HPB為等腰直角三角形，ZHPD=90,.HP=BP,TBD=3BP,.PD=2BP,.PD=2HP,又:ZHPF+ZHPE=90,ZDPE+ZHPE=90,.ZHPF=ZDPE,又:ZBHP=ZEDP=45,PHF-PDE,.PF_PH_1PEPD2，.PE=2PF【點睛】此題屬于四邊形的綜合題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理

20、注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵在平面直角坐標系中，O為原點，點A(-6,0)、點C(0,6),若正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OABC，記旋轉(zhuǎn)角為a：如圖，當a=45。時，求BC與AZB的交點D的坐標；如圖，當a=60時，求點B的坐標；若P為線段BC的中點，求AP長的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).圖圖【答案】（1）（6-6巨,6）；（2）（3打-3,3+3朽）；（3）3、遼-3AP3、遼+3.【解析】【分析】（1）當a=45。時，延長0A經(jīng)過點B,在RtABAZD中，ZOBC=45,AZB=6邁6，可求得BD的長，進而求得CD的長，即可得出點D的坐標；（2）過點C作x軸垂線MN，交

21、x軸于點M，過點B作MN的垂線，垂足為N，證明0MC2C,NB,，可得CN=OM=3、f3，B,N=C,M=3，即可得出點Bz的坐標；（3）連接OB,AC相交于點K，則K是0B的中點，因為P為線段BC，的中點，所以PK=120C，=3，即點P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，即可得出AP長的取值范圍.【詳解】解：（1）TA（-6，0）、C（0，6），0（0，0），四邊形0ABC是邊長為6的正方形，當a=45時，如圖，延長0A，經(jīng)過點B，T0B=6、2，0A，=0A=6，Z0BC=45，二AB=6*26，二BD=（6巨-6）xj2=12-6邁，CD=6-（12-6邁）=6邁-6，BC與A，B，的

22、交點D的坐標為（6-6邁，6）；AA0圖（2）如圖，過點C，作x軸垂線MN，交x軸于點M，過點B，作MN的垂線，垂足為N，/ZOC=90,.ZOCM=90-ZBCN=ZCBN,/OC=BC,ZOMC=ZCNB=90,.OMC空CNB(AAS),當a=60時，/ZA,OC,=90,OC=6,.ZC，OM=30,.C，N=OM=3書,B，N=C，M=3,點B，的坐標為U/3-3,3+3忑);如圖，連接OB,AC相交于點K,則K是OB的中點，TP為線段BC，的中點，PK=OC，=3,2.P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，TAK=3邁,AP最大值為3邁+3,AP的最小值為3邁-3,.AP長的取值范圍

23、為3品-3AP3耀+3.【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理(3)問解題的關(guān)鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡.8如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落在點B處.AB與CD交于點E求證：AEDCEB；過點E作EF丄AC交AB于點F,連接CF,判斷四邊形AECF的形狀并給予證明.答案】(1)見解析(2)見解析解析】分析】(1)由題意可得AD=BC=BC,ZB=ZD=ZB,且/AED=ZCEB，利用AAS證明全等，則結(jié)論可得；(2)由厶AEDCEB可得AE=CE，且EF丄AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，ZAEF=ZCEF.即AF=CF，

24、ZCEF=ZAFE=ZAEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形【詳解】證明：(1)T四邊形ABCD是平行四邊形AD=BC,CDIIAB，ZB=ZDT平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊BC=BC,ZB=ZBZD=ZB,AD=BC且ZDEA=ZBECADE竺BEC(2)四邊形AECF是菱形TADE竺BEC.AE=CETAE=CE,EF丄AC.EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEFAF=CFTCDIABZCEF=ZEFA且ZAEF=ZCEFZAEF=ZEFAAF=AEAF=AE=CE=CF.四邊形AECF是菱形【點睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定

25、，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵.9(問題發(fā)現(xiàn))如圖(1)四邊形ABCD中，若AB=AD,CB=CD，則線段BD,AC的位置關(guān)系為；(拓展探究)如圖(2)在RtAABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在RtAABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD，F(xiàn)E,分別交AB，AC于點M，N.試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；(解決問題)如圖(3)在正方形ABCD中，AB=2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60,得到正方形ABCD，請直接寫出BD平方的值.SSS【答案】(1)AC垂直平分BD；(2)四邊形FMAN是矩形，理由見解析；(3)16+8,或

26、16-8,；【解析】【分析】依據(jù)點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，即可得出AC垂直平分BD；根據(jù)RtAABC中，點F為斜邊BC的中點，可得AF=CF=BF,再根據(jù)等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB,AE=CE，進而得出/AMF=ZMAN=ZANF=90，即可判定四邊形AMFN是矩形；分兩種情況：以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60,以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60,分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到結(jié)論【詳解】TAB=AD,CB=CD,點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，AC垂直平分BD,故答案

27、為：AC垂直平分BD；四邊形FMAN是矩形.理由：如圖2，連接AF，圍RtAABC中，點F為斜邊BC的中點，AF=CF=BF,又等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,.AD=DB，AE=CE，由(1)可得，DFAB,EFAC,又:ZBAC=90,ZAMF=ZMAN=ZANF=90,.四邊形AMFN是矩形；(3)BD的平方為16+8或16-8J分兩種情況：以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60,如圖所示：過D作DE丄AB,交BA的延長線于E,E由旋轉(zhuǎn)可得,ZDAD=60.ZEAD=30,AB=2.J=AD，DE=、AD=.j打AE=,;,RtABD1E中，BD12=d1E2+BE2=(F)

28、2+(2+)2=16+8.-以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60,如圖所示：過B作BF丄AD于F,(1)如圖1,若厶ABC為等邊三角形，求證旋轉(zhuǎn)可得，乙DAD=60,ZBAD=30,TAB=2.=AD,BF=AB=、,AF=、.；,.DF=2_,.RtABDF中，BD2=BF2+D1Fi=(-J)2+(2：)2=16-8.-綜上所述，BD平方的長度為16+8或16-8【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理進行計算求解.解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形.10.已知點O是厶ABC內(nèi)任意一點，連接OA并延長到E,使得AE=OA,以O(shè)B,OC為鄰邊作OBFC,連接OF與BC交于點H,再連接EF.占一圖了:EF丄BC；EF