量子力學(xué)講義-更正版

1、第12章散射理論12.1散射現(xiàn)象的一般描述從 量子力學(xué)觀點(diǎn)看，散射態(tài)是一種非態(tài)，涉及體系的能譜的連續(xù)區(qū)部分。態(tài)理論的在于研究體系的分立的能量本征值和本征態(tài)以及它們之間的量子躍遷。在實(shí)驗(yàn)上則主要是通過(guò)光譜分析（譜線的波數(shù)，強(qiáng)度，選擇定則等）來(lái)獲取有關(guān)信息。而在散射問(wèn)題中，人們感的不是能量本征值（能量可連續(xù)變化），而是散射粒子的角分布以及散射過(guò)程中粒子的各種性質(zhì)（例如，角關(guān)聯(lián)，極化等）的變化。由于散射實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)都是在離開“靶子”很遠(yuǎn)的地方（ r ，是粒子波長(zhǎng)）進(jìn)行，角分布等觀測(cè)量依賴于波函數(shù)在 r 處的漸近行為，它與入射粒子能量，相互作用等有關(guān)。如入射粒子與靶粒子還有結(jié)構(gòu)，并且在散射過(guò)程中發(fā)生改變

2、，這也是散射理論最關(guān)心。12.1.1散射的經(jīng)典力學(xué)描述，截面從經(jīng)典力學(xué)來(lái)看，在散射過(guò)程中，每個(gè)入射粒子都以一個(gè)確定的碰撞參數(shù)b和方位角0 射向靶子。由于靶粒子的作用，入射粒子軌道發(fā)生偏轉(zhuǎn)，沿某方向(,) 射出，其運(yùn)動(dòng)軌道由Newton方程確定。當(dāng)然，在實(shí)際的散射實(shí)驗(yàn)中，人們并不對(duì)每一個(gè)粒子的軌道有，而是想了解入射粒子束經(jīng)過(guò)散射后沿不同方向出射的分布。設(shè)一束粒子以穩(wěn)定的入射流密度ji （時(shí)間穿過(guò)截面的粒子數(shù)）入射，由于靶粒子的作用，設(shè)在時(shí)間內(nèi)有dn 個(gè)粒角d 出射。 , 子沿方向的ji d dn , ji d 顯然， dn 即。令 , 1 dn (1) d ji , 的量綱是面積，故稱為散射截面

3、， , 一般來(lái)說(shuō)，它與有關(guān)。如把沿各方向出射的粒子都計(jì)算在內(nèi)，即2d , 0dd sin ,t0 t稱為總截面。如何用經(jīng)典力學(xué)來(lái)計(jì)算 , ?，F(xiàn)在來(lái)通常假定，入射粒子與靶子相互作用只依賴V r 于它們的相對(duì)距離 r ，記為。 d0a圖12.1：經(jīng)典力學(xué)中粒子與勢(shì)場(chǎng)的碰撞 b b+db 0此時(shí)，入射粒子將做平面運(yùn)動(dòng)，散射角分布 與方位角 無(wú)關(guān)，只需要分析出射粒子隨 角的分布。顯然，偏轉(zhuǎn)角 依賴于b 。在 , 方向d sin d d角元是來(lái)自從中射出的粒子，b, b db; , d 定義的環(huán)面積jibddb.元bddb 中入射的粒子。所以dn dn ji dbdbsin d b r sin d r

4、sin dd ln rd rcos sin r 2b r V r 1HZWRQ 12.1.2散射的量子力學(xué)描述，散射波幅為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)在碰撞過(guò)程中入射粒子和靶粒子的態(tài)不改變（激發(fā)度凍結(jié)），即彈性散射。在此過(guò)程中，只有相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。設(shè)相互作用用定域勢(shì)V r 表示，r 是入射粒子與靶粒子的相對(duì)坐標(biāo)。這樣的兩體問(wèn)題總可以化為單體問(wèn)題來(lái)還假定 V r 具有一定的力程 a ， a 時(shí)，相互作用才值得考慮。處理。即只當(dāng)r在散射實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)粒子源，它提供一束穩(wěn)定的接近于單色的平行入射粒子束，從遠(yuǎn)處射向靶粒子（散射中心）。入射粒子波束可以近似用一個(gè)平面波來(lái)描述，即（為方便不妨取入射方向?yàn)?z 軸方

5、向）i eikz，E 為入射粒子能量， i 是動(dòng)量k 2 E k，px py 0的本征態(tài)（ pz）。由于靶粒子的作用，入射粒子的動(dòng)量并非守恒量，即有一定概率改變方向，或者說(shuō)要產(chǎn)生散射波。設(shè)相互作用為一個(gè)中心V r 勢(shì)，則角動(dòng)量為守恒量?？梢哉撟C，當(dāng) r 時(shí)，散射波的形式為1 f expikrr即往外出射的球面波，f 的量綱為長(zhǎng)度，稱為散射波幅，是 的函數(shù)，不依賴于 角。概括起來(lái)說(shuō)，在中心勢(shì)V r 作用下，波函數(shù)在 r 時(shí)的漸近行為是f expikr r expikz (2)r第一項(xiàng)代表入射波，第二項(xiàng)代表出射的球面波，它描述由于靶粒子作用所出現(xiàn)的散射現(xiàn)象。在上述波函數(shù)的漸近形式下，入射粒子ji

6、k 流密度為，而散射粒子流（徑向）為expikr expikr i f j c.c. f2 sr rrkf 2r 2因此，在角元 d 中方向的時(shí)間的出射粒子數(shù)為 k 22dn j dS j r 2 d d d fjfssi按截面定義式(1)，有1dn 2fd ji這就是散射截面（也稱微分截面，或角分布）與散射波幅 f 的關(guān)系。在理論上，散射波幅 f 可以由求解 Schrdinger方程 V ( r ) 2E 22 時(shí)r 并要求的漸近行為如式(2)所示而定出。 f 求出后即可計(jì)算出微分截面 f 2，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)出的微分截面（按照(1)式， dn出總截面d ji ）比較，還可以計(jì)算 d12.2分波法

7、本節(jié)將給出在中心力場(chǎng)作用下，粒子的散射截面的一個(gè)普遍計(jì)算方法分波法。 從原則上講，分波法式一個(gè)嚴(yán)格的處理方法。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，并不能把一切分波都考慮 在內(nèi)，而是根據(jù)具體情況，只考慮重要的一 些分波，因而也是一種近似的處理。特別是 對(duì)于低能散射，分波法是一個(gè)極為方便的近似處理方法。12.2.1守恒量的分析與處理能量本征值問(wèn)題（特別是有簡(jiǎn)并的情況）相似，守恒量的分析對(duì)于處理散射問(wèn)題是的。對(duì)于無(wú)自旋粒子在中心力場(chǎng) V r 中的散射，軌道角動(dòng)量 l是守恒量。在處理能量本征值問(wèn)題時(shí)，通H , l 2 , l 的共同本征態(tài)。常選擇波函數(shù)是z在散射問(wèn)題中，入射粒子通常用平面波來(lái)描述，如取入射方向?yàn)?z 軸，

8、則入射波 i expikz是動(dòng)量和能量的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為px py 0,pz k,E 2k 2 2但動(dòng)量并非守恒量，因?yàn)樽⒁獾剑?i,V r 0還是守恒量 lz 的本征態(tài)（本征值為m=0），但不是守恒量 l 2的本征態(tài)，而的本征態(tài)的疊加（注意： l 2p, l 2 0 ）。是 expikz這可從 i的下列展開式看出：按照 H , l 2 , lz 的共同本征態(tài)展開(平把 i面波按球面波展開）e x p ik z e x p ik rc o s l 0 2 l1 i 2 l k r Pc o s ljll1 ij k r Y4 lll 0l 0 2 l 1 ir4 ll 01 e x p

9、i k r2 l (5)2 ik r2 Ye x p i k r l l 0這里利用了球Be函數(shù)的漸進(jìn)行為1 / 2)j (x) xsin(x llx在上面展開式中，因?yàn)閑ikz 已經(jīng)是能量E 和 lz（lz 0,即中，只需對(duì)m=0）的本征態(tài)，所以展開式（5）l 2的本征態(tài)（角量子數(shù) l）求和（保持k和m=0不變）。在散射問(wèn)題中把入射波按守恒量的本征態(tài)進(jìn)行展開（分波）是一個(gè)十分重要的概念。各分波在散射過(guò)程中可以分開來(lái)一個(gè)一個(gè)處理，使問(wèn)題化簡(jiǎn)。這在處理更復(fù)雜的散射問(wèn)題中尤為明顯。12.2.2分波的散射波幅和相移入射粒子在中心力場(chǎng)的作用下，波函數(shù)可以表示為 Rl (kr )Yl 0 ( )（6）l

10、 0既然與 無(wú)關(guān)，所以在式（6）中m=0Rl (kr) 顯然，若V (r) 0，則jl (kr) 。把式(6)代入Schrdinger方程 V (r ) 22 2E出徑向方程 k l (l 1) U ( r ) R1dd(8) 0r 22 r 2lr 22 V ( r ) 2drdrU ( r ) 可以看出，不同 l的分波已經(jīng)分離，各自滿足一定的徑向方程即式(8)和邊條件（見下式(15)。 滿足的邊條件是散射 eikz sceikz入射波(散射波)eikr )r f (（9）scr下面在分波法中如何表達(dá)此邊條件f ( )可分解為(10)l 分波，即按分波法的精神，散射波幅f ( ) fl (

11、)l其中 fl ( ) 來(lái)自入射波中的eikr4 2l 1il j kr Y ) f (散射ll 0lr(11)（入射波的l分波）（散射波的l分波）入射l 分波經(jīng)散射后要產(chǎn)生外行波，所以 Rl (kr)可表示成4 (2l 1)il j (kr) al h (kr)R (kr) lll2r4 (2l 1)il (1 a ) expi(kr l2) (12)l expi(kr l 2)2ikr式中外行波的幅度 al待定，它反映散射勢(shì)場(chǎng)的影響（ al 0 表示無(wú)散射），對(duì)于彈性散射，各分波的幅度不會(huì)改變（即只有相位改變，反映粒子數(shù)守恒），即1 al 1所以，可以令1 al exp2il （l ,實(shí)）

12、即al exp2il 1 2i expil sin l此時(shí)式(12)化為14 (2l 1)il exp iR (kr ) rllkrsin kr l (15)l 2l 分波的散射波為4 2l 1il4 2l 1ilal2h kr Y rll 0alexp i kr l2 Y l 02ikrexpil sin lexpikr Yl 0 4 2l 1krexpikr r（16）2l 1kexpil sin l Pl cos 與式(11)相比，得f 2l 1 expi sin P cos （17）llllk由此求得散射波幅f f 1 2l 1expi sin P cos llllkl 0l 0 1

13、2l 1exp2i 1 P cos （18）ll2ikl 0而微分截面表示為2f 2 1 2l 1expi sin P cos lllk 2l 024k 2（19）l 02l 1 expil sin lYl 0 再利用球諧函數(shù)的正交歸一性，可求出總截面l（20）l 0以上兩式就是微分截面及總截面用各分波的相移l來(lái)表達(dá)的一般公式，計(jì)算截面歸結(jié)為計(jì)算各分波的相移l 。根據(jù)邊條件(15)解徑l向方程(8)，可求出。注意，徑向方程出2E / ），故相移與能量現(xiàn)了入射粒子能量（k l (E) 。有關(guān)(a)相移 l的正負(fù)號(hào)U r 的作用是改變漸近行為sin kr l 2krl分波的徑向波函數(shù)的sin kr

14、 l l 2kr即產(chǎn)生一個(gè)相移 l。若 U r 0，則 l 0 。U r 0從物理圖象來(lái)看，若(斥力)，粒子將被推向外，即徑向波函數(shù)將往外推，這相當(dāng)于 l 0。反之，若 U r 0 (引力)，則波函數(shù)將向內(nèi)移。概括起來(lái)：l0，徑向 (引力)l(斥力)sin(kr l / 2) sin(kr l / 2 )ll0l 0圖12.7：l 的圖像(b)具體處理散射問(wèn)題時(shí)，要計(jì)算多少分波就l足夠精確了？一般說(shuō)來(lái)，越大的分波所描述的粒子距力心的平均距離就越大，因而受到l中心力場(chǎng)的影響就越小，即越小?？梢杂冒虢?jīng)典圖象大致估計(jì)一下需要計(jì)算多少分波的相移。如圖13.8,設(shè)相互作用的力程為a ，r a即只當(dāng)相互距

15、離時(shí)，作用力才較顯著。設(shè)入射粒子的速度為v ，瞄準(zhǔn)距為 b ，則角動(dòng)量 l mvb 。能夠受到作用力影響的粒子的 b a，即lmax mva，所以 mva almax 為入射粒子de Brog波長(zhǎng)。例如，對(duì)于核子 4.5fmp2mEE(上式中E用MeV為)。核子之間作用力的力程 a 1013 cm，因此，當(dāng)E 20MeV (低能核子-核子散射)，只要考慮 l 0,1分波(即s波與p波)就可以了。能量越高，越短，要考慮的分波就越多。在只考慮s波的情況下，角分布是球?qū)ΨQ的，或者說(shuō)是各向同性的。這是能量很低情況下散射截面的共同特征。實(shí)驗(yàn)工作者往往對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的角分布曲線進(jìn)行所謂“相移分析”，即根據(jù)公式

16、(19)找一組參數(shù) l (l 0,1, 2,.) ，使根據(jù)它們計(jì)算出的截面 ( ) 與實(shí)驗(yàn)值偏離最小(用最小二乘法)。這種從實(shí)驗(yàn)截面分析得出的相移l ，是研究粒子間相互作用的不可缺少的資料。vabz圖13.812.2.3光學(xué)定理按式(18)Im f ( ) 1 (2l 1) sin P (cos2)llkl 0Pl (1) 1 ，得對(duì)于 0 ，利用Im f (0) 1 (2l 1) sin2 lkl 0與式(20)比較，Im f (0) k4l 4 Im f (0)即tk此即光學(xué)定理。它表明向前散射( 0)波幅與總截面之間的關(guān)系。從物理上講，總截面是入射波減弱的度量。因發(fā)生散射時(shí)，入射束中的粒

17、子必然有一部分沿不同方向開去，即有一部分粒子從入射波中移出去，使入射波方向( 0 ，即向前散射方向)的散射波幅減弱，而這種減弱是由于入射波和向前散射波相消的結(jié)果。于是，向前散射波幅越大，這種相消也越大（它從入射波中移去足夠的入射流,以說(shuō)明吸收反應(yīng)），減弱也越多，總截面也就越大。上面是用彈性散射的分波法來(lái)證明的。實(shí)際上還可以非常普遍的方法證明此光學(xué)定理包括有非彈性散射的情況，光學(xué)定理也是成立的。例1 低能粒子對(duì)球方勢(shì)阱的散射設(shè)散射中心的勢(shì)場(chǎng)為球?qū)ΨQ常勢(shì)阱，勢(shì)場(chǎng)滿足 Vra( r ) 0V(V0 )(21)00ra假定入射粒子的能量很低，k很小，波長(zhǎng) 很大，l 0 的s分波。滿足 ka 1 ，因此

18、只要利用上節(jié)的結(jié)果，對(duì)徑向波函數(shù) R(r)引入代換u (r )r后，l 0 分波的R (r ) 方程是 d2 u 2u k0( ra ) dr 2(22)2 ud 2 uk( ra )0dr 2其中2 m E2 m V(23), k 222kk022解是u ( r ) A sin ( k r 0 )(24)(25)( r( ra )a )u ( r ) A sin ( kr 0 )u (r ) 有限的邊界條件，由( 24 )式利用 r 0 處R ( r ) 得0 0 ，再利用rr a處波函數(shù)連續(xù)，波函數(shù)的微商連續(xù)，即u (r )的對(duì)數(shù)微商連續(xù)的條件，得k cot(ka 0 ) k cot k

19、a(26) 0k a a r c t a nk a0 k k 0 (27) arctank a ka0k 2mV0 k 0 k k(23)(28)20k02 1 1tan kaka 0 0ka012.2.2(18) f ( ) 1 ta n ka1f ( ) e i 0sin 0a00kkka02 tan k a 2 a 2 1f0k0 a 244 tan k asin 2 4 a 2Q 1 200 0022kkka0這些結(jié)果可以相應(yīng)地用于球?qū)ΨQ勢(shì)壘以及剛球勢(shì)。對(duì)球?qū)ΨQ勢(shì)壘，可將 V0，k0改成 V0改成ik 0 后得出k 0極限情況的微分散射截面是2 thk a ( ) a2 0 1(33)

20、k0 a總散射截面是2 thk aQ 4 a2 0 1(34)k0 a , k0 ,thk0a 1, 總散射截面是對(duì)剛球勢(shì)，V0Q 4 a2(35)在這種情況下，總散射截面等于半徑為a的球面面積。這個(gè)結(jié)果與經(jīng)典情況不同。在經(jīng)典力學(xué)中，總散射截面等于剛球的最大截面面積 a2。量子力學(xué)的結(jié)果比經(jīng)典力學(xué)大四倍，這是因?yàn)槿肷洳梢园l(fā)生衍射，s 波是各向同性的，因此剛球表面各處對(duì)散射有同等的貢獻(xiàn)。例2剛球散射。剛球散射是一個(gè)典型的散射問(wèn)題，它是球方勢(shì)壘的極限情況，數(shù)學(xué)上處理較為簡(jiǎn)單，容易得出相移的作用可如下表示：表達(dá)式。剛球的 , raa( r ) V0 , r顯然，l 分波的徑向波函數(shù)可寫為r aR

21、(kr ) 0, R (kr ), r all其中 Rl (kr) 滿足 k2 l(l 1) R (kr) 0， 1 d r2dr ar2lr2drdr該方程有兩個(gè)獨(dú)立解：jl(kr) 和 n（lkr）所以R（lkr） c1 （jlkr） c2n（lkr）jl(kr)和n（lkr）漸近行為分別是（r ）kr）sin（kr l /2）co（s kr l /2）kr，n（lkr）（jlkrkr）的漸近解為故R（lR（kr）c sin（kr l / 2）c co（s kr l / 2）l21krkr與 R（lkr）應(yīng)滿足的邊條件：sin(kr l )1R (kr) rllkr2F coslc2 si

22、nl l Rl (kr) cosl jl (kr) sinlnl (kr) r a r a l ka x Rl (x) cosl jl (x) sinlnl (x) 0即jl (x)tan(36)ln (x)l分兩種情況。(a)低能極限 (x 0) 。利用xlx 0j ( x) l(2l 1)!n ( x) x0 (2l 1)!lxl 1可求出x2l1j (x)tanx0 l l(2l 1)!2 (2l 1)n (x)lx 0時(shí)，只有 l0 分波的l 0 分波，顯然，當(dāng)相移0 重要，所以求截面時(shí)只考慮即s波。由于tan 0 x又 x 1 ，所以0 x ka 0因而總截面為 4 sin2 4 4

23、 a220t0k 2k 2角分布是各向同性的?？偨孛媸墙?jīng)典剛球截面a2的4倍，與剛球面積相等。(b)高能極限(x )。利用式子(20)、(36), 4 x(2l 1) sin2 tlk 2l 04(2l 1) j (x)2xl j (x) n (x)k222l0ll(x ) 時(shí)當(dāng) 4 x(2l 1) sin2 (x l2)sin2 (x l2) cos2 (x llk 22)l 04 x(2l 1) sinl 0(x l22)k 2因?yàn)楫?dāng) l 當(dāng) l 所以偶， sin2 (x l奇， sin2 (x l2) sin22) cos2xx 4 x x (2l1) sinx (2l 1) cos x

24、22tk 2l 0,2l 1,3,5x(x 1)x (x 1)(x 2) cos2x42sink 222當(dāng) (x ) 時(shí)， 4 4x2x2 a(sinx cos x) 2222tk 2k 222是經(jīng)典剛球截面的2倍，也是剛球面積的一半。12.3近似Lippman-Schwinger方程，Born下面給出散射問(wèn)題的另一種處理方法，即采用積分方程的形式，這個(gè)方法的特點(diǎn)是不去進(jìn)行分波，而把散射振幅作為一個(gè)整體，從求解一個(gè)積分方程得出。這個(gè)方法對(duì)于高能量粒子的散射較為適用，因?yàn)樵诖饲闆r下，相當(dāng)多的分波都對(duì)散射振幅有可觀的貢獻(xiàn)，用分波法來(lái)處理就很冗繁。12.3.1Green函數(shù)，Lippman-Schw

25、inger方程在13.1中已提到，粒子被勢(shì)場(chǎng)V (r) 的散射，歸結(jié)為求解Schrdinger方程 22 k 2 (r)V (r)(r)(1)22 是入射粒子能量）， (r)( E 2k 2滿足下列邊條件：expik r (r) expik r f ( ,) r (2)r定義Green函數(shù)，它滿足G(r , r ) (r(2k )G(r , r )2r )(3)可以證明 2 d r G(r , r )V (r )(r )3(r )(4)2滿足方程(1)。因?yàn)椋檬?3)，(2 k 2 ) (r ) 2 d 3r(2 k )G(r , r )V (r )(r ) 22 2V (r ) (r )

26、2但式(4)解不是唯一的，因?yàn)?2 r d r G r , r V r r r032r 0也滿足方程(1)，只要滿足 0方程2 k02r這種不確定性可由入射波和出射波的邊條件來(lái)r a（力確定。例如，對(duì)于有限力程作用當(dāng) r exp ik r （入射粒程），V 0 ，要求r ik ，用平面波描述）,(0)子具有確定動(dòng)量可取為 i ，于是散射問(wèn)題歸結(jié)為求解下列積分方程： r r exp ik r(7)sc22 exp ik r 3d r G r , rVrr此即Lippman-Schwinger方程，通常要求滿足出射波邊條件 2 d r G r , r V r r 3rsc2r f , expikr

27、r下面來(lái)Green函數(shù)的求解。根據(jù)方程(3) 的空間平移不變性，G r , r 應(yīng)表示成下列形式 G r , r 其Fourier變換為 G rr G rr dq exp iq r r G q 3代入式(3)，利用12 3 d q exp iq3rrrr 2exp iq r r q exp iq2rr1q2 k2 G q2 311 k 2 G q q22 312 31G d q q23rrexp iqrrk 2 R R rrexp iq R1 d 3G(R) 2 q k322expiqR cos 120sin d 0dq xpiqR 2 32q dqk 2q201 2 2 iR dk 2q2q

28、 k Ckqk01 G Rexp ikR R4 exp ik rrG r r 4rr代入式(7)，得 r exp ik r d 3r exp ik rr 2 2V r r(14) rr這就是方程(1)的解，它滿足邊條件(2)。由r 于積分內(nèi)含有待求解的未知函數(shù)，所以是一個(gè)積分方程。具體計(jì)算時(shí)，往往只能采用逐級(jí)近似法求解。12.3.2Born近似如把入射粒子與靶的相互作用V看成微擾，按微擾論的精神：作為一級(jí)近似，式(14)中的 V r r 可用 V rexp ik r 代替，則 r exp ik r exp ik rr 2 2(15)V rexp ik rd 3r rr此即勢(shì)散射問(wèn)題的Born一

29、級(jí)近似解。根據(jù)它在r 的漸近行為，與式(2)比較，即可求出散射f波幅的一級(jí)近似解。假設(shè) V r 具有有限力程，則式(15)中對(duì) r的積分實(shí)際上局限于空間中一個(gè)有限區(qū)域。當(dāng)時(shí)r r r 1 r r 1 2 22r r r22rrr 式(15)被積函數(shù)中，分母 rr是一個(gè)光滑的r 時(shí)，可徑直用 r緩變化函數(shù)，當(dāng)代替，但分子是一個(gè)隨r 迅速振蕩的函數(shù)。 exp ikr 1 r r exp ik r r2r exp ikr ik fr (16)k k r其中，f 是出射粒子動(dòng)量，對(duì)于彈kfr k性散射，k f得出。這樣，由式(15)、(16)可 exp ikr2 2r r r d r exp k r

30、Vr3i k fsc與式(2)比較，得 (18) d r exp iq rVr32 2式中q k f kq是散射過(guò)程中粒子的動(dòng)量qk f轉(zhuǎn)移（見左圖）， 是的夾角，即散射角。fk與 kf還與入k射粒子能量有關(guān)系，但式(18)中未明顯標(biāo)記出。由圖可看出q 2k sin 2k 和 越大，則動(dòng)量轉(zhuǎn)移q越大。除一個(gè)常數(shù)因子外，散射波幅(18)即相互V (r )作用的Fourier變換。若 V 是中心力場(chǎng)（或?qū)τ谌肷浞较蚓哂休S對(duì)稱性），則f與 角無(wú)關(guān)。計(jì)算式(18)的積分時(shí)，可選擇 q 方向?yàn)?z軸方向，采用球坐標(biāo)系，可得出f ( ) 2rV (r) sin qrdr02(21) q而散射截面表為4 2

31、22 )( ) f (r V (r ) sin qr dr4q20可以看出， q愈大，則 ( ) 愈小，即入射粒子受到勢(shì)場(chǎng)V (r ) 的影響愈小。由此可以看出，對(duì)于高能入射粒子（ k 很大）， ( ) 主要集中在小角度范圍內(nèi)。Born近似的適用條件在Born近似下 exp ik r(r )(r )sc exp ik r r exp ik r d 3r 2 2rr V (r ) exp ikr 如Born近似為一個(gè)好的近似，就要求 1(r ) exp ikr sc勢(shì)場(chǎng)V 對(duì)散射波的影響，在靶子鄰域 (r 0) 內(nèi)最強(qiáng)，因此上述條件可換成 sc (0) 1設(shè) V 為中心場(chǎng)，則3 r exp ik

32、r 2 2(0 )dV ( r ) exp ikr scr 2 2 kdr exp ikr V ( r ) sin kr 0 1此即Born近似成立的條件。進(jìn)一步分析表明，Born近似比較適用于高能粒子散射（詳細(xì)見曾謹(jǐn)言:量子力學(xué)(I)p687-688)。相移的近似計(jì)算公式利用展開公式（注意：q 2k sin (2) ）sin qr (2l 1) j (kr)P (cos )2llqrl 0代入公式(21)，得f ( ) 2 (2l 1)P (cos ) V (r) j2 (kr)r 2drll20l 0與分波法計(jì)算公式12.2.2:(18)式f ( ) 1 (2l 1) expi sin P (cos )lllkl 0比較expil 1 sin ll l 2kV (r) j2 (kr)r 2drll20 V (r) 0l0 V (r) 0 l 012.4全