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1、Good is good, but better carries it.精益求精,善益求善。一致連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(1)-1、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),證明在上一致可導(dǎo)的充分必要條件是在上連續(xù)。這里在上一致可導(dǎo)是指:對(duì)任給,存在,使得對(duì)任意,當(dāng)時(shí),就有成立。證明充分性設(shè)在上連續(xù),于是在上一致連續(xù),對(duì)任給,存在,使得對(duì)任意,當(dāng)時(shí),就有成立;對(duì)任意,存在位于之間,使得,顯然,于是,即得在上一致可導(dǎo);必要性設(shè)在上一致可導(dǎo),注到的地位對(duì)稱(chēng),因此有對(duì)任給,存在,當(dāng),時(shí),就有,從而,故得到在上一致連續(xù),因此在上連續(xù)。2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上非李普希茲連續(xù),證明在區(qū)間上一致連續(xù)的充分必要條件是:對(duì)任給的,總存在正數(shù),使

2、當(dāng),滿(mǎn)足時(shí),就有.證明充分性對(duì)任給,取,對(duì)任意,當(dāng)時(shí),若滿(mǎn)足,就有;若成立,則有,即得在區(qū)間上一致連續(xù)。充分性用反證法.假若在區(qū)間上不一致連續(xù),則存在,存在,使得,但,則有,由假設(shè)條件,對(duì),只需要充分大,就滿(mǎn)足,就有,矛盾,所以在區(qū)間上一致連續(xù);必要性證法一設(shè)在區(qū)間上一致連續(xù),對(duì)任意,存在,當(dāng),時(shí),有;若有,滿(mǎn)足,必有,取,若有,滿(mǎn)足時(shí),我們斷言必有;假若不成立,也就是假若有,必得矛盾。事實(shí)上,令,則存在正整數(shù),使得,設(shè),則有,;不妨設(shè),因?yàn)?,故由連續(xù)函數(shù)介值定理,知存在,使得,;同理,存在,使得,;如此繼續(xù)下去,則得,其中規(guī)定;這時(shí),對(duì)每個(gè),因?yàn)椋视梢恢逻B續(xù)的定義,;從而,這與,矛盾;對(duì)于

3、的情況,可類(lèi)似討論。必要性證畢。證法二假若結(jié)論不成立,則存在,對(duì)任意正整數(shù),存在,盡管,但;由于在區(qū)間上一致連續(xù),對(duì),存在,當(dāng),時(shí),有;于是必有,不妨設(shè),則存在正整數(shù),使得,取,;,則有,從而有,這與相矛盾,故必要性結(jié)論成立。注:對(duì)函數(shù),或者,或,顯然在上一致連續(xù),不出現(xiàn)必要性的條件,不成立必要性的結(jié)論,所以此題應(yīng)只有充分性,應(yīng)無(wú)必要性.再者條件也難造出來(lái)。對(duì),顯然在上一致連續(xù);,若,且,則必有,。對(duì),顯然在上一致連續(xù)。例29,().解,又,故.例30證明(1);(2),().證明設(shè)是以為周期的函數(shù),;當(dāng)時(shí),();由傅立葉展開(kāi)定理,得,特別地,當(dāng)時(shí),有,于是;故.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,試證明:

4、在上一致連續(xù)的充分必要條件是對(duì)區(qū)間上任意兩數(shù)列與,當(dāng)時(shí),有.證明:必要性設(shè)在上一致連續(xù),則對(duì),當(dāng),時(shí),有.由,對(duì)于上述,當(dāng)時(shí),有,從而有,所以.充分性:用反證法假設(shè)在上不一致連續(xù),則,對(duì),存在,盡管,但,不妨取,存在,盡管,但,上述,滿(mǎn)足,但是,與條件,矛盾.設(shè)于區(qū)間上一致連續(xù),且收斂,證明也收斂,問(wèn)若將于區(qū)間上一致連續(xù)改為于區(qū)間上連續(xù),上述結(jié)論是否仍成立?說(shuō)明理由.證明由于在上一致連續(xù),對(duì)任意,存在,當(dāng),時(shí),有,由收斂,知對(duì)上述,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有,于是有,即是Cauchy序列,所以收斂.若在上連續(xù),收斂,未必有收斂,例如,顯然收斂,但是不收斂.三、設(shè)為有限區(qū)間,在上有定義,試證:在上一致

5、收斂充要條件是把Cauchy序列映射為Cauchy序列,(即當(dāng)為Cauchy序列時(shí),亦為Cauchy序列)。證明必要性設(shè)在上一致連續(xù),對(duì),當(dāng)時(shí),有,設(shè)是Cauchy序列,則對(duì)此,當(dāng)時(shí),有,從而有,所以有是Cauchy序列;充分性用反證法,假若在上非一致連續(xù),則,雖然,但,注意到為有限區(qū)間,因此中存在收斂的子列,因,故亦收斂,且,從而穿插之后,序列亦收斂,為Cauchy序列,但其像序列恒有,不是Cauchy序列,與一致條件矛盾,所以假設(shè)不成立,故有在上一致連續(xù),命題得證。注:當(dāng)為無(wú)限區(qū)間時(shí),充分性不再成立,例如把上的任一Cauchy序列,映成Cauchy序,但在上不一致連續(xù)。設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上,

6、定義,證明在上一致連續(xù).五、設(shè)在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù),證明:也在內(nèi)一致連續(xù)。證明首先證明都在上有界,因?yàn)樵谟邢迏^(qū)間內(nèi)一致連續(xù),從而存在,滿(mǎn)足當(dāng)此,時(shí),有,現(xiàn)取正整數(shù),滿(mǎn)足,令,;對(duì)任意,存在,使得,即得在上是有界的;同理在上也是有界的;下面證明,若在區(qū)間上有界,且都一致連續(xù),則在區(qū)間上一致連續(xù)。設(shè),滿(mǎn)足,;那么由得一致連續(xù)性得到,對(duì)于任意,存在,使得當(dāng),時(shí),有,從而,即得在上一致連續(xù)。設(shè)在上一致連續(xù),在上連續(xù),且,證明:在上一致連續(xù).證明:設(shè),則在上連續(xù),由存在,可知在上一致連續(xù),又在上一致連續(xù),所以在上一致連續(xù).3、設(shè)在上連續(xù)可微,收斂,且在上一致連續(xù),試證必有.證明由在上一致連續(xù),得,對(duì),當(dāng)

7、,且時(shí),便有;由收斂,由微分中值定理,存在,使得,于是有.對(duì)上述,存在,當(dāng)時(shí),便有;取,對(duì)任意,必存在正整數(shù),使得,故得.4、設(shè)且存在,在上有界,試證成立.5、用定積分的定義證明:若在上連續(xù),且存在上的連續(xù)可微函數(shù),使得,則在a,b上可積,且.證明:對(duì)區(qū)間的任意分割:,任取,記,;存在,使得,;再由在上一致連續(xù),得,對(duì),當(dāng)時(shí),有,;從而,即得函數(shù)在上可積,且。6、用積分的定義,(1)計(jì)算:;(2)計(jì)算.解.(1),提示:,仿照4題的證明過(guò)程,可具體可算出使得成立的點(diǎn);(2),提示:,。定理9若在上連續(xù),則在上必可積.證明:由在上連續(xù),得在上一致連續(xù),對(duì)任意給定,由一致連續(xù)性,必存在,使得對(duì)任意的,只要,就有.取定的一個(gè)分割,使,由最大、最小值定理,可取,使,從而.根據(jù)定理6,在上可積.定理設(shè)在上連續(xù)。對(duì)區(qū)間的任意分割:,任取,記,;成立。證明因?yàn)樵谏线B續(xù),所以在上可積,于是;再由在上連續(xù),得在上有界,在上一致連續(xù),進(jìn)而成立,故結(jié)果得證。證明:(1)若在上連續(xù)可導(dǎo),且都收斂,則有;(2)設(shè)在上連續(xù),且收斂,若在上一致連續(xù),則必有.(1)提示:由及條件,得存在,又收斂,得.(2)證明由在上一致連續(xù),得,對(duì),當(dāng),且時(shí),便有;由于收斂,則有,由積分平均值定理,存在,使得,于是有,對(duì)上述,存在,當(dāng)時(shí),便有;取,

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