《數(shù)值分析》課程教學(xué)大綱

1、數(shù)值分析課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程代碼：12110109課程英文名稱：Numerical AnalysisI 課程面向?qū)I(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)課程類型：必修課先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)學(xué)分：3總學(xué)時(shí)：60( 其中理論學(xué)時(shí)：52 ；上機(jī)實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：8 )二、課程性質(zhì)與目的本課程是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)計(jì)算數(shù)學(xué)分支。通過(guò)這門課程的學(xué)習(xí), 使學(xué)生比較系統(tǒng)地掌握函數(shù)插值、函數(shù)逼近與曲線擬合、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解、線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方程和方程組的解法、矩陣特征值與特征向量計(jì)算的基本算法和理論分析。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，一方面要使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力得到進(jìn)一步的加深

2、和提高，另一方面使學(xué)生具備運(yùn)用所學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)相結(jié)合進(jìn)行科學(xué)計(jì)算以及分析和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題能力。三、課程教學(xué)內(nèi)容與要求第一章緒論1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）了解本課程的意義、內(nèi)容和特點(diǎn)；（2）理解誤差、有效數(shù)字及有關(guān)概念；（3）知道數(shù)值穩(wěn)定性和病態(tài)問(wèn)題；（4）知道數(shù)值運(yùn)算中的一些原則。2、教學(xué)重點(diǎn)絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字。3、教學(xué)難點(diǎn)數(shù)值穩(wěn)定性。第二章函數(shù)插值1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）理解函數(shù)插值概念，了解插值多項(xiàng)式的存在性與唯一性；（2）掌握拉格朗日（Lagrange）插值法及余項(xiàng)公式；（3）了解差商的概念和基本性質(zhì)，掌握牛頓(Newton) 插值法；（4）了解埃爾米特(Hermit

3、e)插值的概念, 會(huì)求低次Hermite插值多項(xiàng)式以及利用重節(jié)點(diǎn)的差商表構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)；（5）理解分段插值的概念，掌握分段線性插值法和分段三次Hermite插值法；（6）了解三次樣條(spline)插值概念和三次樣條(spline)插值函數(shù)的構(gòu)造方法，會(huì)求三次樣條(spline)插值函數(shù)。2、教學(xué)重點(diǎn)格朗日（Lagrange）插值法、牛頓(Newton) 插值法和三次樣條(spline)插值法。3、教學(xué)難點(diǎn)插值余項(xiàng)公式的證明和三次樣條(spline)插值。第三章函數(shù)逼近與曲線擬合1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）了解內(nèi)積、內(nèi)積空間、歐氏范數(shù)、函數(shù)正交等概念, 熟悉內(nèi)積的性質(zhì)；（2）理解函數(shù)的

4、最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多項(xiàng)式的求法；（3）理解正交多項(xiàng)式的概念；（4）會(huì)用正交函數(shù)系作最佳平方逼近；（5）理解曲線擬合的最小二乘法的概念，掌握曲線擬合多項(xiàng)式的計(jì)算。2、教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)的最佳平方逼近，曲線擬合的最小二乘法。3、教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)的最佳平方逼近。第四章數(shù)值積分1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）理解數(shù)值求積公式的基本概念, 理解代數(shù)精度的概念，會(huì)求一個(gè)積分公式的代數(shù)精度；（2）掌握牛頓-柯特斯(Newton-Cotes)公式, 了解幾種低階求積公式的余項(xiàng)；（3）掌握數(shù)值積分的復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生（Simpson）公式，了解復(fù)化柯特斯(Cotes)公式，了解復(fù)化求積的收斂性；（4）掌握

5、變步長(zhǎng)的梯形求積分方法和龍貝格（Romberg）積分法，了解求積公式的誤差；（5）了解高斯(Gauss)型求積公式；（6）了解數(shù)值微分。2、教學(xué)重點(diǎn)代數(shù)精度的概念，復(fù)化辛卜生（Simpson）公式，龍貝格（Romberg）積分法。3、教學(xué)難點(diǎn)求積公式的的余項(xiàng)和收斂性。第五章常微分方程的數(shù)值解1、教學(xué)內(nèi)容與要求(1) 了解建立常微分?jǐn)?shù)值方法的基本思想與途徑；(2) 熟悉一階常微分方程數(shù)值解的歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法，了解局部截?cái)嗾`差和精度的概念；(3) 理解龍格-庫(kù)塔方法的基本思想，會(huì)用二階、三階和四階龍格-庫(kù)塔格式；(4) 知道常微分方程數(shù)值解單步法的收斂性和穩(wěn)定性；(5) 理解線性多步法,

6、會(huì)建立符合一定精度要求的線性多步格式；(6)了解預(yù)測(cè)-校正技術(shù)和外推技巧。2、教學(xué)重點(diǎn)一階常微分方程數(shù)值解的歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法和四階龍格-庫(kù)塔格式。3、教學(xué)難點(diǎn)常微分方程數(shù)值解單步法的穩(wěn)定性和收斂性, 預(yù)測(cè)-校正技術(shù)和外推技巧。第六章線性代數(shù)方程組的解法1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）了解向量范數(shù)與矩陣范數(shù)；（2）掌握高斯（Gauss）消去法和高斯（Gauss）主元素消去法；（3）了解矩陣分解法，會(huì)用矩陣分解法與追趕法求解線性方程組；（4）知道矩陣條件數(shù)和精度分析；（5）了解線性方程組的迭代解法。2、教學(xué)重點(diǎn)高斯（Gauss）消去法和高斯（Gauss）主元素消去法。3、教學(xué)難點(diǎn)矩陣范數(shù)，矩陣條件

7、數(shù)和精度分析。第七章非線性方程和方程組的解法1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）知道迭代法的基本思想及收斂性；（2）掌握牛頓(Newton) 迭代法和快速弦截法；（3）了解非線性方程組的N ewton迭代法。2、教學(xué)重點(diǎn)：牛頓法和快速弦截法。3、教學(xué)難點(diǎn)：非線性方程組的Newton迭代法。第八章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算1、教學(xué)內(nèi)容與要求(1) 掌握矩陣特征值與特征向量計(jì)算的冪法和反冪法；(2) 了解Jacobi方法和QR方法。2、教學(xué)重點(diǎn)冪法和反冪法。3、教學(xué)難點(diǎn)Jacobi方法和QR方法。上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一：函數(shù)插值1、基本要求要求學(xué)生對(duì)上機(jī)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容用框圖或簡(jiǎn)煉語(yǔ)言描述算法步驟，說(shuō)明變量或數(shù)組含義，寫出

8、源程序，上機(jī)運(yùn)行求解，記錄和分析計(jì)算結(jié)果。寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。2、主要內(nèi)容（1）用拉格朗日插值公式求函數(shù)插值。（2）用分段線性插值法和分段三次Hermite插值法求函數(shù)插值。3、操作要點(diǎn)首先在上機(jī)前寫出源程序，上機(jī)時(shí)進(jìn)入C語(yǔ)言運(yùn)行環(huán)境輸入源程序，然后調(diào)試和運(yùn)行。4、主要儀器設(shè)備計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)二：Mathematica或Matlab數(shù)學(xué)軟件介紹1、基本要求要求學(xué)生了解Mathematica或Matlab軟件的基本操作、基本功能和基本運(yùn)算。對(duì)上機(jī)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容寫出算法步驟，記錄和分析計(jì)算結(jié)果，寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。2、主要內(nèi)容（1） 熟悉Mathematica或Matlab軟件的基本操作、基本功能和基本運(yùn)算。（2） 利

9、用Mathematica或Matlab軟件求三次樣條(spline)插值。3、操作要點(diǎn)上機(jī)時(shí)一邊學(xué)習(xí)Mathematica或Matlab軟件介紹一邊仿照實(shí)例的格式進(jìn)操作和運(yùn)行。4、主要儀器設(shè)備計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)三：函數(shù)逼近與曲線擬合，線性方程組的解1、基本要求要求學(xué)生進(jìn)一步了解Mathematica或Matlab軟件的基本操作、基本功能和基本運(yùn)算。對(duì)上機(jī)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容寫出算法步驟，記錄和分析計(jì)算結(jié)果，寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告2、主要內(nèi)容（1）利用Mathematica或Matlab軟件求進(jìn)行函數(shù)逼近。（2）利用Mathematica或Matlab軟件編寫程序進(jìn)行曲線擬合和直接利用內(nèi)部命令進(jìn)行曲線擬合。（3）利用Mat

10、hematica或Matlab軟件求線性方程組的解。3、操作要點(diǎn)上機(jī)時(shí)一邊學(xué)習(xí)Mathematica或Matlab軟件介紹一邊仿照例題的格式進(jìn)操作和運(yùn)行。4、主要儀器設(shè)備計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)四：數(shù)值積分和常微分方程的數(shù)值解1、基本要求要求學(xué)生對(duì)上機(jī)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容用框圖或簡(jiǎn)煉語(yǔ)言描述算法步驟，說(shuō)明變量或數(shù)組含義，寫出源程序，上機(jī)運(yùn)行求解，記錄和分析計(jì)算結(jié)果。寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。2、主要內(nèi)容（1）用復(fù)化梯形或復(fù)化辛卜生求積公式、變步長(zhǎng)梯形公式或龍貝格公式求定積分的近似值。（2）用歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法和四階龍格庫(kù)塔方法求常微分方程的數(shù)值解。3、操作要點(diǎn)首先在上機(jī)前寫出源程序，上機(jī)時(shí)進(jìn)入C語(yǔ)言運(yùn)行環(huán)境輸入源程序，然后

11、調(diào)試和運(yùn)行。4、主要儀器設(shè)備計(jì)算機(jī)四、學(xué)時(shí)分配學(xué)時(shí)分配表序號(hào)教 學(xué) 內(nèi) 容學(xué)時(shí)課堂講授實(shí)驗(yàn)課習(xí)題課討論課其它1緒論22函數(shù)插值8223函數(shù)逼近與曲線擬合614數(shù)值積分8225常微分方程的數(shù)值解8126線性代數(shù)方程組的解法6127非線性方程和方程組的解法218矩陣特征值與特征向量的計(jì)算4小計(jì)4488比例73.4%13.3%13.3%合計(jì)60實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)分配表序號(hào)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目（或內(nèi)容）名稱實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)類型每組實(shí)驗(yàn)人數(shù)說(shuō)明驗(yàn)證性設(shè)計(jì)性綜合性其它1函數(shù)插值2212Mathematica或Matlab數(shù)學(xué)軟件介紹2213函數(shù)逼近與曲線擬合線性方程組的解2214數(shù)值積分和常微分方程的數(shù)值解221小計(jì)826五、教學(xué)環(huán)節(jié)與教學(xué)要求課堂講授注重啟發(fā)式和因材施教, 引導(dǎo)、激發(fā)、調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，努力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力以及構(gòu)造算法運(yùn)用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的能力。教學(xué)手段采用黑板和多媒體相結(jié)合的方法。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用方面要求學(xué)生熟悉C語(yǔ)言編程，了解Mathematica或Matlab數(shù)學(xué)軟件。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)請(qǐng)見(jiàn)上面上機(jī)實(shí)驗(yàn)中基本要求和操作要點(diǎn)。課后安排好答疑時(shí)間、地點(diǎn)。作業(yè)方面，每?jī)蓪W(xué)時(shí)布置3-4道習(xí)題，作業(yè)批改1/2并按等級(jí)評(píng)分和登記。六、課程考核辦法 1、平時(shí)成績(jī)（作業(yè)