材料力學課件chapter

1、第六章彎曲變形 限制彎曲變形 橋式起重機的主梁工程中的彎曲變形這些問題涉及到梁的彎曲變形分析 分析靜不定梁以及梁的振動問題 利用彎曲變形 車輛上的疊板彈簧 梁的撓曲線、撓度和轉角在外載（橫向外力或力偶）作用下，梁的軸線由直線變?yōu)榍€，彎曲后的軸線稱為梁的撓曲線在對稱彎曲條件下，撓曲線是一條連續(xù)、光滑的平面曲線梁的撓曲線彎曲變形時，梁軸線上的每一點即存在沿 y 方向的位移，也存在沿 x 方向的位移（由于軸線處在中性層，軸線不可伸長）在小變形的假定下，軸線上的每一點沿 x 軸方向的位移很小，可以忽略不計，而只考慮沿 y 方向的位移軸線上的每一點沿 y 軸方向的位移稱為梁的撓度，即橫截面形心在垂直于

2、軸線方向的位移稱為梁的撓度。一般用 y = w(x) 表示，并且以向上為正橫截面相對于其原位置所轉過的角度稱為梁的截面轉角。一般用q (x) 表示截面轉角，并且以逆時針為正梁的撓度和轉角忽略橫截面的剪切變形，變形后的橫截面仍保持平面，并且與撓曲線垂直（平截面假設）。則轉角 q 等于撓曲線在該點的切線與 x 軸的夾角 q 撓度 w 和轉角q 是梁彎曲變形的兩個基本量在小變形的假定下為保證梁有足夠的剛度，梁的撓度 w 和轉角 q 應滿足工程中規(guī)定的值（范圍）剛度條件剛度條件 w 和q 為許用撓度和許用轉角，其值依不同的工作條件而不同 撓曲線的近似微分方程 由第五章可知，在純彎曲情況下，彎矩與曲率的

3、關系為 由高等數學知識，撓曲線的曲率為 根據小變形假設， |w|=|q | b 時，最大轉角為 AFlBCab當 x = 0 時，轉角為梁的最大撓度梁的撓度極值條件：w = 0當 x = 0 時，轉角當 x = a 時，轉角因此，當 0 x b）， ， 與中點的誤差為最大撓度 wmax 與中點撓度 w(l/2)的相對誤差為梁的最大撓度為可見，可用梁的中點撓度近似代替梁的最大撓度梁的中點撓度為當 a = b = l/2 時，最大撓度發(fā)生在梁的中點最大轉角為 階梯函數法階梯函數（Heaviside函數）的定義 AlFBabxxoyFRAFRBFHAC對于前面的例題FHA =0， FRA = Fb

4、/ l ， FRB= Fa / l梁橫截面上彎矩可以表示為統(tǒng)一的表示形式可見，利用階梯函數可以避免連接條件，簡化問題的求解利用撓曲線方程邊界條件邊界條件例 圖示的等截面懸臂梁長為l，抗彎剛度為EI，端部受集中力 F 的作用，求梁任一截面的轉角和撓度解 如圖建立坐標系， 由于梁的分布載荷 q(x) = 0，利用撓曲線為微分方程，可得梁的撓曲線方程為 截面轉角為 最大撓度和轉角分別為 用疊加法求解彎曲變形彎矩，剪力和載荷集度均與撓度無關，僅為坐標 x 的函數當給定外載時，梁的撓曲線微分方程為撓曲線方程為線性微分方程，同時，通常邊界條件關于撓度也是線性的。因此，從數學上看為線性微分方程邊值（初值）問

5、題，疊加原理成立 在小變形假定下，梁橫截面上的彎矩、剪力是在梁未變形的構形上計算。從而，當梁只承受橫向載荷時，梁的彎矩等內力僅為軸線坐標 x 的函數的函數，而與梁的撓度、轉角無關 撓曲線的曲率又為近似表示形式 兩種條件決定了撓曲線近似微分方程為線性微分方程。同時，通常的邊界條件也是關于撓度和轉角的一次形式力學機制 根據疊加原理，可利用若干已知的、簡單載荷下的變形結果獲得載荷較復雜下的變形結果疊加原理：在若干載荷作用下，梁上任一截面的撓度、轉角等于各個載荷單獨作用下該截面的撓度、轉角之和=+例題例 圖示的等截面簡支梁長為l，抗彎剛度為EI，受有在 A 端的集中力偶 M0 和均布載荷 q 的作用，

6、求梁任一截面的轉角和撓度解 將問題分解為如下兩個子問題，并如圖建立坐標系 AM0lBq（問題 I） AlBq（問題 II） AM0lBxyxyxy 記 原問題的梁的撓度為w，轉角為q ； 問題 I 的梁的撓度為wI，轉角為qI ；問題 II 的梁的撓度為wII，轉角為qII則根據疊加原理，有 AM0lBqxywq（問題 I） AlBqxyqIwI（問題 II） AM0lBxyqIIwII對問題 I對問題II（問題 I） AlBqxyqIwI（問題 II） AM0lBxyqIIwII原問題梁 A 端的轉角 qA 和梁中點的撓度 w1/2 分別為例題例 圖示的等截面外伸梁，AB段的抗彎剛度為EI1

7、， BC段的抗彎剛度為EI2，在BC段有均布載荷q的作用，求截面C的轉角和撓度解 將問題分解為如下兩個子問題，并如圖建立坐標系 lBqCaAqaqa2/2（問題 I） lBqCaAxyxyqa（問題 II）qa2/2 lBCaAxyBaCq（問題 I）xyw1cq1c 對問題 I，由于梁AB段內的剪力和彎矩為零，所以，AB段不發(fā)生變形 而 BC段相當于懸臂梁，故問題 I 可等價于問題 I qaqa2/2（問題 I） lBqCaAxy 利用懸臂梁的結論，可得梁截面C處的撓度w1c和轉角q1c分別為 對問題II ，剪力 qa 由支座 B承受，不會引起梁的彎曲，僅有彎矩 qa2/2 的作用 由于梁B

8、C不受力，僅考慮簡支梁AB的彎曲變形，梁截面B處的轉角為qB為qa（問題 II）qa2/2 lBCaAxy利用連續(xù)條件，梁 BC 為直線，梁截面C處的撓度w2c和轉角q2c分別為w2cq2c請認真體會本例應用疊加原理的解題技巧因此，原問題截面C處的總撓度和轉角分別為 提高彎曲剛度的主要措施 由梁彎曲的微分方程 可知，要提高彎曲剛度，可以從以下幾個方面考慮 改善結構的形式，減少彎矩的數值 減少跨度，增加支承 合理安排梁的截面形狀盡量減小 a，b 的值，以減少傳動力 F1、F2 對傳動軸彎曲變形的影響盡量將集中力轉化為分布力改善結構的形式，減少彎矩的數值 AlBq AlBq減少跨度，增加支承合理安

9、排截面形狀，增大截面的抗彎剛度 超靜定梁的求解靜定梁未知量（支反力）可由梁的平衡方程確定，懸臂梁，簡支梁，外伸梁超靜定梁未知量（支反力）不能完全由梁的平衡方程確定，即未知量的數目多于平衡方程的數目。超靜定梁亦稱為靜不定梁對于超靜定梁，支反力的數目與平衡方程的數目的差稱為超靜定梁的超靜定次數超靜定問題的概念 保持結構靜定的多余約束稱為多余約束 對應于多余約束的支反力稱為多余支反力靜不定問題的求解步驟確定超靜定問題的次數解除多余的約束，代之于約束反力，使問題成為含約束反力的靜定問題根據多余約束處的變形協調條件，建立多余約束反力的補充方程利用平衡方程，求解約束反力，從而得到梁的內力、撓度和轉角等物理

10、量例題Al/2FBCl/2例 求解圖示超靜定梁的約束反力結構為一次超靜定問題解法1 解除支座B 處的約束，代之于約束反力 FRB（懸臂梁），并如圖建立坐標系Al/2FBCl/2FRBxoy彎矩方程為利用撓曲線微分方程邊界條件表達式中含有約束反力 FRB變形協調條件為梁的撓度曲線為Al/2FBCl/2FRBxoyMAFRA A 處的約束反力和反力偶分別為解法2 解除固定端 A 處的轉動約束，代之于約束反力偶MA （簡支梁），并如圖建立坐標系Al/2FBCl/2MAAl/2FBCl/2xxoy利用疊加原理，此問題分解為兩個子問題MAAl/2BCl/2xxoyAl/2FBCl/2xxoyABd例題例

11、 如圖所示的梁 AB，若左固定端相對于右固定端垂直移動d，試求梁的撓度曲線和固定端的支反力FRBMBABdxyx解 此問題為二次靜不定。解除固定端 B 處的約束，代之于約束反力 FRB 和反力偶 MB （懸臂梁） ，并建立坐標系l撓曲線微分方程FRBMBABdxyx邊界條件FRBMBABdxyx變形協調條件例題例 如圖所示的梁AB，其抗彎剛度為EI，試求梁的支座反力a2aaABFFCD解 解除固定端 A，B兩處的所有約束。此問題共有六個未知的約束反力。三次超靜定問題MAMBFHBABFFCDFHAFRBFRA 此時，水平方向的力平衡和矩平衡自動滿足，平衡方程只剩垂直方向的力平衡，即MAMBFH

12、BABFFCDFHAFRBFRA利用對稱性，可知對于梁變形，水平位移相對撓度為高階小量，可以忽略不計，從而可以忽略水平方向的約束反力。即 FHA= FHB= 0利用對稱性，問題簡化為一次超靜定，未知量為彎矩 MA ( = MB )利用對稱性，可考慮原問題的一半，由對稱性知，梁中間截面 E 只存在彎矩 ME 由梁的基本變形結論知，在載荷 F 單獨作用下，截面 E 處的轉角為在彎矩 ME單獨作用下，截面E處的轉角為a2aaABFFCD AaFaCEME根據疊加原理，梁截面 E 處的轉角為變形協調條件由變形協調條件固定端 A 處的支反力偶為 AaFaCEMEFRAMA AaFaCEME利用對稱性和截面 A處的轉角為零的條件，可求解此問