狀態(tài)空間分析方法

1、關(guān)于狀態(tài)空間分析方法第一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第9章 狀態(tài)空間分 析方法基本要求9-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器9-4 有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5 李雅普諾夫第二方法返回主目錄第二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月引言：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡單比較。經(jīng)典控制理論(50年代前)現(xiàn)代控制理論(50年代后)研究對象單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述)狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算微積、復(fù)變函數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)?/p>

2、論設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)非唯一性、試湊成份多, 經(jīng)驗(yàn)起很大作用。主要在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。設(shè)計(jì)的解析性，與計(jì)算機(jī)結(jié)合，主要在時(shí)間域進(jìn)行。第三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月基本要求 掌握由系統(tǒng)輸入輸出的微分方程式、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、及簡單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法。熟練掌握矩陣指數(shù)的計(jì)算方法，熟練掌握由時(shí)域和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動(dòng)態(tài)方程計(jì)算傳遞函數(shù)的公式。正確理解可逆線性變換, 熟練掌握可逆線性變換前、后動(dòng)態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。正確理解可控性和可觀測性的概念，熟練掌握和運(yùn)用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。 返回子目錄第四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月熟練掌握可逆線性

3、變換矩陣的構(gòu)成方法, 能將可控系統(tǒng) 化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。能將不可控系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解。正確理解對偶原理, 會(huì)將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測性的問題轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的可控性問題來研究。正確理解單變量系統(tǒng)零、極點(diǎn)對消與動(dòng)態(tài)方程可控、可觀測的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)成方法。正確理解狀態(tài)反饋對可控性，可觀性的影響, 正確理解狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件。第五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月熟練掌握全維狀態(tài)觀測器的公式和設(shè)計(jì)方法, 熟練掌握由觀測器得到的狀態(tài)估計(jì)值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng), 可進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置和觀測器極點(diǎn)配置。正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和

4、系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的概念, 熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。正確理解李雅普諾夫方程正定對稱解存在的條件和解法, 能通過解李雅普諾夫方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析。第六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來設(shè)計(jì)和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。返回子目錄第七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月狀態(tài)：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。一、狀態(tài)空間的基本概念已知 時(shí)狀態(tài)， 時(shí)的輸入，可確定 時(shí)任一變量的運(yùn)

5、動(dòng)狀況。狀態(tài)變量：確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量 。第八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月狀態(tài)空間：由 張成的n維向量空間。狀態(tài)向量： 如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為需要n個(gè)狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為X(t)對于確定的某個(gè)時(shí)刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個(gè)點(diǎn)，狀態(tài)隨時(shí)間的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。第九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-2設(shè)一RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示?；芈贩匠虨閳D9-2 RLC網(wǎng)絡(luò)第十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月選擇狀態(tài)變量則有寫成輸出第十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月寫成若選另一組狀態(tài)變量則有第十二張，

6、PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 若給出 (t=0) 時(shí)的初值 、 、 、 和 時(shí)就可確定系統(tǒng)的行為。單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)選取狀態(tài)變量二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（9-17）第十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月或?qū)懗桑?-19）第十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示圖9-3第十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-3輸入為 u ，輸出為y 。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?？紤]用下列常微分方程描述的系統(tǒng)第十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：狀態(tài)方程為寫

7、成取狀態(tài)變量第十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月輸出圖9-4 例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月多輸入-多輸出系統(tǒng)圖9-6 多變量系統(tǒng)第二十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 為狀態(tài)變量；為輸入量；為輸出變量。第二十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣形式：式中第二十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月.輸出變量方程第二十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式中第二十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-7 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第二十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三

8、、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中 均為列向量。（9-28）齊次向量微分方程（9-29）方程的解為1、齊次狀態(tài)方程的解第二十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月可得代入方程 將方程兩邊系數(shù)必相等, 即第二十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月我們定義（9-31）（9-32）因此，齊次狀態(tài)方程的解為將 t=0 代入（9-29）中得第二十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（9-33）（9-34）（9-35）為nn矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次狀態(tài)方程的解為用拉氏變換法求解第二十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月拉氏反變換后得到（9-37）（9-38）第三

9、十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月最終得到與前一種解法所得結(jié)果一致。式中（9-41）第三十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：第三十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-8 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性性質(zhì)3第三十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-5設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。第三十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫出方程解為第三十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-6設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。第三十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6

10、月解：用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù) 第三十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月狀態(tài)方程之解為 將上式進(jìn)行拉氏反變換第三十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-9 系統(tǒng)的瞬態(tài)解（a）與相軌跡（b）第三十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月改寫為 用 左乘等式兩邊 2 非齊次狀態(tài)方程的解非齊次方程（9-53）（9-54）第四十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月用 左乘上式兩邊（9-54）則式（9-54）可以寫成（9-55）積分上式得第四十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法拉氏反變換得由于由卷積定理有

11、第四十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月因此由于最后得到第四十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-7求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)控制量u為單位階躍函數(shù)。第四十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第四十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則第四十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月四、傳遞函數(shù)矩陣（9-58）系統(tǒng)狀態(tài)方程（9-59）輸出方程拉氏變換為第四十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解出定義傳遞函數(shù)矩陣為（9-63）第四十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月所以特

12、征方程為第四十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-8設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。第五十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：已知故第五十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-9設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。第五十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。第五十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月五、動(dòng)態(tài)方程的可逆線性變換其中 P 是nn 矩陣第五

13、十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式?jīng)]有改變。第五十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒有改變第五十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-10對例9-9之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。第五十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 根據(jù)題意求變換矩陣代入第五十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同?？傻玫诹畯垼琍PT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性在狀態(tài)空間法中，

14、對系統(tǒng)的描述可由狀態(tài)方程和輸出方程來表示。狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化可控性和可觀測性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入是否能控制狀態(tài)的變化和“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來這樣兩個(gè)問題。返回子目錄第六十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、準(zhǔn)備知識(shí)設(shè)A 是 nn 矩陣, x 是 n1 向量,齊次方程組若 |A|=0, （9-70）式存在非零解；若|A|0, （9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1、齊次方程組的非零解第六十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2、Cayley-Hamilton定理 Cay

15、ley-Hamilton定理指出， 矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式。則A滿足（9-71）（9-72）A的特征多項(xiàng)式第六十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)用Cayley-Hamilton 定理（9-78）對于矩陣指數(shù) 可以用來表示。第六十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-11解：矩陣A的特征多項(xiàng)式要求計(jì)算矩陣 的第六十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣A滿足自己的特征多項(xiàng)式，有本題中n=100，故有第六十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3 引理的充分必要條件是：存在 使（9-80）非奇異。這里A :nn, b: n1.第六十七張

16、，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月若對任意狀態(tài) ，存在一個(gè)有限時(shí)刻 和控制量 ，能在 時(shí)刻將狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到0，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。二、線性系統(tǒng)的可控性1 定義對于任意時(shí)刻 和 ，若存在控制向量 ，能將 的每個(gè)初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到 時(shí)刻的另一任意狀態(tài) ,則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。 等價(jià)的定義第六十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例如圖9-10 二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖所示系統(tǒng)可控。第六十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2 可控性判據(jù)其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系統(tǒng)可控的充分必要條件是（9-84）（9-85）（9-86）

17、單變量線性定常系統(tǒng)第七十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：將u(t) 代入式(9-54)，可得（9-87）若式(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識(shí)的引理，存在t10，使得(1-30)式定義的W(0, t1)矩陣非奇異，取t1為可控性定義中的tf ，且在0, tf 上定義第七十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月由定義可知式(9-86)成立時(shí)，系統(tǒng)可控。 第七十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月再證明若系統(tǒng)可控，則式(9-86)成立 根據(jù)凱萊哈密爾頓定理 （9-88）（9-89）假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即 x(tf)=0 。根據(jù)(9-54)式

18、，則有第七十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月把(9-89) 式代入(9-88) 式，得記這時(shí)（9-90）第七十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月由于x(0)是任意的n維向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于(9-84) 式中的A陣和b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為S，這樣，可控的充要條件就寫成：rankS=n 或 detS0。第七十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-11 不可控系統(tǒng)第七十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例子系統(tǒng)可控系統(tǒng)第七十七張，PPT共二百一十

19、六頁，創(chuàng)作于2022年6月3 約當(dāng)型方程的可控性判據(jù) 約當(dāng)塊的一般形式為由前面討論可知，等價(jià)變換不改變可控性。第七十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月可控的充分必要條件為同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的b中的元素不為零。這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。第七十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-12系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)可控時(shí)， 應(yīng)滿足的條件。第八十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 如果用直接計(jì)算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果 .因?yàn)锳陣有兩個(gè)若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的(1)

20、應(yīng)有 ，由判據(jù)的(2)，A的第二行所對應(yīng)的b中的元素b2,b4均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為第八十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4、可控標(biāo)準(zhǔn)形（9-92）則系統(tǒng)一定可控。一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式第八十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(9-92)式的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形 。對于一般的單輸入n維動(dòng)態(tài)方程 (9-93)其中A，b分別為nn,n1的矩陣。成立以下定理： 若n維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。第八十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法 計(jì)算可控性矩陣S；計(jì)算 ，并記

21、 的最后一行為h。構(gòu)造矩陣 P令 即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。第八十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。第八十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 先判斷可控性，再計(jì)算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。故系統(tǒng)可控。一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 第八十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征式的系數(shù)，但符號(hào)相反。則變換矩陣為第八十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月可求出第八十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月5 系統(tǒng)按可控性

22、進(jìn)行分解 系統(tǒng)可控時(shí)，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的情況，這時(shí)應(yīng)有下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理 第八十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月若單變量系統(tǒng)(9-84，85)式的可控性矩陣滿足(9-103）式，則存在可逆線性變換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式 式中 是n1維向量, 是n2維向量，并且（9-106）（9-107）第九十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(9-106)式表明下面的動(dòng)態(tài)方程是可控的： （9-107)式表明的動(dòng)態(tài)方程式(9-108，109)和原來的n維動(dòng)態(tài)方程式(9-84，85)具有相同的傳遞函數(shù)?；蛘哒f傳

23、遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。（9-108）（9-109）第九十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：（9-110）考察(9-103)式，并將它重新寫出如下進(jìn)而可以證明補(bǔ)充選取線性無關(guān)的向量并使得向量組 線性無關(guān)。第九十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月令若將(9-104，105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來，(9-104，105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖9-12所示。即可證明 具有定理所要求的(9-104)的形式。第九十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-12 系統(tǒng)按可控性分解第九十四張，PPT共二百一十六頁

24、，創(chuàng)作于2022年6月從圖9-12中可見，控制輸入不能直接改變 也不能通過影響 間接改變 ，故 這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。 第九十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-14設(shè)有系統(tǒng)方程如下 其傳遞函數(shù)為 試進(jìn)行可控性分解 。第九十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：系統(tǒng)的可控性矩陣由于S的第3列是第1列與第2列的線性組合，系統(tǒng)不可控 。選取第九十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算出 構(gòu)成第九十八張，PPT共二百一十六頁

25、，創(chuàng)作于2022年6月故有因而得第九十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、線性系統(tǒng)的可觀測性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為(9-113,114) 如果在有限時(shí)間間隔0, t1 內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個(gè)分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱可觀的。式中A,b,c分別為 矩陣。1、 可觀測性的定義第一百張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可觀測(不能被確定)的，則稱系統(tǒng)不可觀。圖9-13 不可觀測系統(tǒng)第一百零一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 分析(9-117)式，

26、當(dāng)知道某一時(shí)刻的輸出時(shí)， (9-117)式是n個(gè)未知量x(0)的(一個(gè))方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0) ，必須要利用一段時(shí)間上的輸入和輸出的值。將(9-117)式左乘一個(gè)列向量，再從0到t1積分就可得到n個(gè)未知數(shù)x(0)的n個(gè)方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來研究。(9-117)我們考慮沒有外作用的系統(tǒng)，可求出第一百零二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2 可觀測性判據(jù) 可觀測的充分必要條件是(9-118)(9-118)式中的矩陣稱為可觀性矩陣。并記為V。第一百零三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式（9-118）又可以寫成取x(0)= ，這一非零的

27、初始狀態(tài)引起的輸出為（9-120）根據(jù)準(zhǔn)備知識(shí)中的引理，存在第一百零四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月將 代入上式，得 顯然不可能由y(t)=0來確定。即系統(tǒng)不可觀測。第一百零五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月試判斷系統(tǒng)的可觀測性。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為例題9-15第一百零六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：系統(tǒng)的可觀性矩陣 是奇異的，故系統(tǒng)不可觀測。系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測性。 第一百零七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月事實(shí)上 因?yàn)?是可逆陣，所以上式兩端矩陣的秩相同。第一百零

28、八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3 對偶原理上面兩個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱系統(tǒng)、是互為 對偶 的系統(tǒng)。 系統(tǒng)系統(tǒng) 第一百零九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月對偶原理 系統(tǒng)的可控性(可觀性)等價(jià)于系統(tǒng)的可觀性(可控性)。只要寫出系統(tǒng)的可控性矩陣(可觀性矩陣)和系統(tǒng) 的可觀性矩陣(可控性矩陣)即可證明以上結(jié)論。利用對偶原理，可以將可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可觀測性的研究上。因?yàn)閷ε枷到y(tǒng)的可控性研究就相當(dāng)于對原系統(tǒng)的可觀性研究。 第一百一十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)用： 若式(9113)和式(9114)的動(dòng)態(tài)方程中A陣

29、具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測的充分必要條件為 同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。 每一約當(dāng)塊的第1列所對應(yīng)的c中的元素 非零。上述條件就是約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程的可觀測性判據(jù)。它可以由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。第一百一十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-16 設(shè)動(dòng)態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)可觀測時(shí) 應(yīng)滿足的條件。第一百一十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為這也就是原系統(tǒng)可觀測的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)如下：第一百一十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月4 可觀測標(biāo)準(zhǔn)形 一個(gè)單輸出系統(tǒng)如果其A,c 陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形

30、式，它一定是可觀測的。（9-122）式稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。 （9-122）第一百一十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月通過對偶原理證明：給定系統(tǒng)方程如下（9-123）若有等價(jià)變換將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形式中 具有(9-122)的形式。第一百一十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng) 根據(jù)對偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測，所以其對偶系統(tǒng)一定可控。 化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P.第一百一十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月因此有（9-134）比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。第一百一十七張，PP

31、T共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-17系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為將系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換矩陣。第一百一十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解：顯然該系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫出它的對偶系統(tǒng)的A,b陣，分別為根據(jù)A,b陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出P陣：第一百一十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算可控性矩陣S由(9-128)式求出P陣由(1-60)式求出M陣第一百二十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式中第一百二十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 5 系統(tǒng)按可觀性進(jìn)行分解 系統(tǒng)可觀測，則通過等價(jià)變換可以化為可

32、觀測標(biāo)準(zhǔn)形?，F(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對偶結(jié)果。 若(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測，且第一百二十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月則存在可逆矩陣P，將動(dòng)態(tài)方程化為式中 是n2維向量, 是n-n2維向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）第一百二十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(9-135,136)的式子也可用圖9-14表示。 這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。 (9-137)式表明n2維的子系統(tǒng) (A1 b1 c1 )是可觀的； 這部分狀態(tài)變量是不可觀的； (9-138)式表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。系統(tǒng)按可觀性分

33、解的結(jié)果(9-138)第一百二十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖914 系統(tǒng)按可觀測性分解由圖上可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測的部分。第一百二十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月四、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 （9-141）對應(yīng)的傳遞函數(shù)為（9-140）考慮單變量系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)方程為1、可控性、可觀測性與零、極點(diǎn)對消問題第一百二十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式中： N(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點(diǎn)， D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點(diǎn)。下面是本段的主要結(jié)果。定理 動(dòng)態(tài)方程

34、式(9-140)可控、可觀測的充分必要條件是g(s) 無零、極點(diǎn)對消，即D(s)和N(s)無非常數(shù)的公因式。第一百二十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：首先用反證法證明條件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)第一百二十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月將s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得(9-145)將上式前乘c、后乘b后即有（9-146）將(9-145)式前乘cA、后乘b后即有（9-147）第一百二十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年

35、6月依次類推可得這組式子又可寫成第一百三十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 出現(xiàn)矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)無相同因子，即g(s)不會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)相消的現(xiàn)象。因?yàn)閯?dòng)態(tài)方程可觀測，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有又由于系統(tǒng)可控，不妨假定A、b具有可控標(biāo)準(zhǔn)形(9-92)的形式，直接計(jì)算可知（9-148）第一百三十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-18設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不難驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測的。第一百三十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然N(s)和D(s)無非常數(shù)的公因式，這時(shí)傳遞函數(shù)沒有零、極點(diǎn)相消。事實(shí)上分別計(jì)算 第一百三十三張，

36、PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2 傳遞函數(shù)的最小階動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn) 已知?jiǎng)討B(tài)方程，可以用(9-64)式計(jì)算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程？這一問題稱為傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問題。 如果又要求所找出的動(dòng)態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問題。第一百三十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)給定有理函數(shù)(9-149)(9-149)式中的d 就是下列動(dòng)態(tài)方程中的直接傳遞部分(9-150)所以只需討論(9-149)式中的嚴(yán)格真有理分式部分。第一百三十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月給定嚴(yán)格真有理函數(shù)(9-151)要求尋找 A,b,c，使得(9-

37、152)并且在所有滿足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論第一百三十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153) 對(9-151)式，可構(gòu)造出如下的實(shí)現(xiàn) (A ,b,c)(9-153)（1）g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況第一百三十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(9-154)可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn) (9-153)式給出的(A, b, c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的?？芍苯佑?jì)算它對應(yīng)的傳遞函數(shù)就是(9-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無零、極點(diǎn)對消，故可知(9-153)式對應(yīng)的動(dòng)態(tài)方

38、程也一定可觀。同樣可以說明(9-154)式是(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實(shí)現(xiàn)。第一百三十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)用例子說明,設(shè)g(s)有以下的形式(9-155)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn) 因?yàn)間(s)無零、極點(diǎn)對消，故可知上式中c1c4均不為零。第一百三十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月令分別對應(yīng)于第一百四十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月而綜合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得由若當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測性判據(jù)可知上式是可控、可

39、觀測的，因而它是g(s)一個(gè)最小階實(shí)現(xiàn)。第一百四十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 若g(s)的分母是n階多項(xiàng)式，但分子和分母有相消的公因式時(shí),這時(shí)n 階的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)就不是最小階實(shí)現(xiàn)，而是非最小實(shí)現(xiàn)，(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。 g(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況第一百四十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-19設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子與分母有公因子(s+1) 。仿照(9-153)式，可寫出g(s)的一個(gè)三維的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)無須驗(yàn)證這個(gè)實(shí)現(xiàn)是可控的第一百

40、四十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月因此這一實(shí)現(xiàn)是不可觀的。同理，如果按(9-154)式構(gòu)造如下的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形的三維實(shí)現(xiàn)，它一定是不可控的。計(jì)算可觀測性矩陣第一百四十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測的三維實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，構(gòu)造出二維的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，它是g(s)的最小實(shí)現(xiàn)。第一百四十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 9-3 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下(9-157)

41、令(9-158)一、狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置問題式中的v 是參考輸入，k稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是1n 的向量。返回子目錄第一百四十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-15(9-159)圖9-15所示的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。將(9-157)式和(9-158)式用方框圖表示，見圖9-15，它是一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。第一百四十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算(9-159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因?yàn)? 狀態(tài)反饋不影響可控性第一百四十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月上式中最后一個(gè)矩陣顯然是非奇異矩陣，因此有(9-160

42、)因此有第一百四十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式(9-160)表明，若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不可控，不論用什么k 陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。 狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測性。即原來可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來不可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是可觀的。狀態(tài)反饋是否改變系統(tǒng)的可觀測性，要進(jìn)行具體分析。第一百五十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-20系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下下表列出了系統(tǒng) c 陣參數(shù)、狀態(tài)增益向量 k 和系統(tǒng)可觀測

43、性的關(guān)系。第一百五十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 可觀 任意 可觀01 可觀 1 111 不可觀 1 2 可觀11 不可觀 0 110 可觀 1 1 不可觀10閉環(huán)系統(tǒng) k 原系統(tǒng) c2 c1 可觀性的變化可以從閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)變化、是否發(fā)生零極點(diǎn)對消來說明。第一百五十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2 狀態(tài)反饋對閉環(huán)特征值的影響 閉環(huán)方程(9-159)中的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值，一般稱為閉環(huán)的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)主要由閉環(huán)的極點(diǎn)所決定，而穩(wěn)定性則完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決定。 通過選取反饋增益陣來改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置問題。第

44、一百五十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：定理： 閉環(huán)方程(9-159) 的系統(tǒng)矩陣A-bk 的特征值可以由狀態(tài)反饋增益陣 k 配置到復(fù)平面的任意位置，其充分必要條件是(9-157)式的系統(tǒng)可控。先證充分性 因?yàn)?9-157)式的系統(tǒng)可控,則存在可逆矩陣P，將(9-157)式的系統(tǒng)通過 的變換化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。第一百五十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月式中(9-161)現(xiàn)引入（9-162）第一百五十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月這時(shí)(9-158)式的狀態(tài)反饋式可寫為：考慮矩陣第一百五十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月它的特征式

45、為由于故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。第一百五十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)任意給定的閉環(huán)極點(diǎn)為 , 且(9-166)式中 完全由 所決定。比較 (9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根為 ，需有(9-167)這說明任意給定閉環(huán)n個(gè)極點(diǎn)，均可通過(9-167) 、(9-163)式確定，使A-bk具有給定的n個(gè)特征值，充分性證畢。第一百五十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月必要性 若系統(tǒng)(9-157)可任意配置閉環(huán)特征值，要證明系統(tǒng)(9-157)可控。用反證法，若系統(tǒng)(9-157)不可控，則存在一個(gè)可逆矩陣，通過等

46、價(jià)變換后，可將(9-157)式轉(zhuǎn)換為(9-104，105)的可控分解形式?？紤]矩陣A4的特征值不受 的影響，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影響，這與可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系統(tǒng)(9-157)可控。第一百五十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 以上定理的充分性證明中，已給出通過可控標(biāo)準(zhǔn)形來選擇k陣，使閉環(huán)具有任意要求的特征值的計(jì)算步驟，現(xiàn)歸納如下計(jì)算A的特征式由所給的n 個(gè)期望特征值 ， 計(jì)算期望的多項(xiàng)式第一百六十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P求出反饋增益陣 上述步驟中有化可控標(biāo)準(zhǔn)形這一步。

47、如果不經(jīng)過這步，也可直接求k。求第一百六十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月系統(tǒng)狀態(tài)方程為若加狀態(tài)反饋使閉環(huán)特征值分布為-1,-2,-1+j,-1-j，試求狀態(tài)反饋增益陣k。例9-21第一百六十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月方法一、通過化可控標(biāo)準(zhǔn)形求解計(jì)算A的特征式由所給的4 個(gè)期望特征值，計(jì)算期望的多項(xiàng)式解：第一百六十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月求出反饋增益陣=-0.4 -1 -21.4 -6 根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P求第一百六十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月方法二：令 ，計(jì)算A-bk的特征式比

48、較兩個(gè)特征式的系數(shù)可得所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 第一百六十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月最后強(qiáng)調(diào)： 在極點(diǎn)配置定理中，“任意配置”是和系統(tǒng)可控等價(jià)的。若不要求任意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值時(shí)，才是可配置的。 第一百六十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-22設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為這一系統(tǒng)是不可控的。若指定閉環(huán)特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-1第一百六十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月令第一百六十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月有所

49、以令第一百六十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月對-2,-2,-2,-1第一百七十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月所以有但若指定閉環(huán)特征值為 -2 ,-2,-2,-2 ，就找不出k來達(dá)到這一配置要求。第一百七十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-23有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為要求用狀態(tài)反饋的方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-2,-1+j,-1-j。第一百七十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 首先要將系統(tǒng)用狀態(tài)方程寫出，即構(gòu)造出傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)，為了計(jì)算方便，取可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)反饋增益向量k可寫成閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為第一百七十三張，PPT共二百

50、一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月狀態(tài)反饋系統(tǒng)的方框圖如圖9-16所示。按給定極點(diǎn)，期望多項(xiàng)式為 比較上兩特征多項(xiàng)式，令s同次的系數(shù)相等，可得或 k=4 4 1 第一百七十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-16 例9-23在引入狀態(tài)反饋后的結(jié)構(gòu)圖第一百七十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二、狀態(tài)觀測器 為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，須對狀態(tài)變量進(jìn)行測量，但在實(shí)際系統(tǒng)中，并不是所有的狀態(tài)變量都能測量到的。因此為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過一個(gè)模型來對狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。狀態(tài)觀測器又稱狀態(tài)漸近估計(jì)器。第一百七十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)

51、作于2022年6月圖9-17 狀態(tài)的開環(huán)估計(jì) 一個(gè)明顯的方法是利用計(jì)算機(jī)構(gòu)成一個(gè)與實(shí)際系統(tǒng)具有同樣動(dòng)態(tài)方程的模型系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值，見圖。第一百七十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 由于圖9-17中未能利用系統(tǒng)的輸出信息對誤差進(jìn)行校正，所以用圖9-17得到的估計(jì)值是一個(gè)開環(huán)估值。 一般系統(tǒng)的輸入量u和輸出量y均為已知，因此希望利用y=cx與 的偏差信號(hào)來修正 的值，這樣就形成了圖9-18的閉環(huán)估計(jì)方案。 第一百七十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-18 狀態(tài)的閉環(huán)估計(jì)方案第一百七十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6

52、月 根據(jù)圖9-18所表示的關(guān)系可寫出觀測器部分的狀態(tài)方程(9-169)由(9-169)式和系統(tǒng)方程式可求出觀測誤差 應(yīng)滿足的方程式(9-170)第一百八十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月(9-170) 式表明，只要A-Hc的特征值均在復(fù)平面的左半部， 隨著 t 的增長而趨向于零，而且趨于零的速度由A-Hc 的特征值所決定。于是有下面極點(diǎn)可任意設(shè)置的狀態(tài)觀測器定理定理：若系統(tǒng)(A b c)可觀測, 則(9-169)式給出了系統(tǒng)的一個(gè)n 維狀態(tài)觀測器，并且觀測器的極點(diǎn)可以任意配置。第一百八十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-24系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測

53、器，觀測器的特征值要求設(shè)置在-10 ,-10 。第一百八十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 將觀測器增益矩陣 H 寫成觀測器的特征方程為第一百八十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項(xiàng)式為比較上述兩多項(xiàng)式中s的同次項(xiàng)系數(shù)得因此觀測器的方程為第一百八十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、由被控對象、觀測器和狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)若原系統(tǒng)(對象)方程為(9-171)現(xiàn)以狀態(tài)觀測器所得到的狀態(tài)估計(jì)值 代替原系統(tǒng)的狀態(tài)變量 x 形成狀態(tài)反饋，即(9-172)而觀測器的方程為(9-173)第一百八十五張，PPT共二百一十六頁

54、，創(chuàng)作于2022年6月 由對象、觀測器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-19所示。圖9-19 帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)第一百八十六張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月將(9-172)式代入(9-171)式和(9-173)式，可分別得到(9-174)(9-175)取狀態(tài)變量為(9-176)(9-177)第一百八十七張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月將(9-176) 、(9-177)式的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行如下的坐標(biāo)變換(9-178)所得到的動(dòng)態(tài)方程為：(9-179)(9-180)第一百八十八張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過(9-179

55、)式、(9-180)式來計(jì)算。從(9-179)式可知，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征式可計(jì)算如下(9-181)第一百八十九張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 上式表明 , 圖9-19所示閉環(huán)系統(tǒng)的特征式等于矩陣 A-bk 與矩陣A-Hc 的特征式的乘積，而A-bk 是狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，A-Hc是觀測器的系統(tǒng)矩陣，(9-181)式表明狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和觀測器的動(dòng)態(tài)特性是相互獨(dú)立的。 這個(gè)特點(diǎn)表明：若系統(tǒng)是可控、可觀的，則可按閉環(huán)極點(diǎn)配置的需要選擇反饋增益陣k，然后按觀測器的動(dòng)態(tài)要求選擇H，H的選擇并不影響已配置好的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。因此系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測器的設(shè)計(jì)可分開進(jìn)行，這

56、個(gè)原理通常稱為分離定理。第一百九十張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月通常把反饋增益陣和觀測器一起稱為控制器圖9-20 控制器第一百九十一張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例9-25設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為希望用狀態(tài)反饋使閉環(huán)的極點(diǎn)為-46j，并求實(shí)現(xiàn)這個(gè)反饋的狀態(tài)觀測器，觀測器的極點(diǎn)設(shè)置在-10，-10。第一百九十二張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知 ,其二階動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)是可控且可觀的。為了設(shè)計(jì)觀測器方便，現(xiàn)取可觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，即根據(jù)題意要求閉環(huán)特征方程為第一百九十三張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月令兩個(gè)特征式對應(yīng)的系數(shù)相等，可解出 k1=2, k2=40。 再求觀測器，根據(jù)極點(diǎn)的要求，期望多項(xiàng)式為令 , 使求狀態(tài)反饋 k，令k=k1 k2 。求出狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式第一百九十四張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月與期望多項(xiàng)式相比,得到 h1=100, h2=14。由式可計(jì)算出觀測器方程為 由對象、狀態(tài)反饋和觀測器構(gòu)成的整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-21所示。第一百九十五張，PPT共二百一十六頁，創(chuàng)作于2022年6月圖9-21 例9-25的反饋控制系統(tǒng)第一百九十六張，PPT共二百一十