功利理論的基本概

1、功利理論的基本概念 1 什么是決策分析？為什么要決策分析？ 大多數(shù)工程分析的目的是為制訂決策提供信息或者依據(jù)。制訂工程決策，其范圍從簡單地選擇一項(xiàng)結(jié)構(gòu)中一根柱子的尺寸，到選定一座水壩的壩址，到?jīng)Q定核動力是否是一種適用的能源。2BUT3 在工程決策的各個方面，實(shí)際上不可避免地存在著各種不確定性。因此，在工程系統(tǒng)的規(guī)劃與設(shè)計(jì)中作出任何決策，都要衡量某些風(fēng)險。而這就是決策分析所發(fā)揮的作用。而功利理論，就是決策分析的其中一種方法。4 什么是“功利”呢？ 一個方案是否可取，這取決于某些因素，如經(jīng)濟(jì)價值、時間的因素、聲譽(yù)、社會接受力、趣味性以及其它。在決策樹中，對可行方案的排列次序需要有一種尺度，用于在眾

2、多因素之間衡量其滿意的程度。對于某些特性，例如經(jīng)濟(jì)價值就具有一種良好的測量尺度；可是，對大多數(shù)的因素而言，則缺乏明顯的方法去衡量它的價值。當(dāng)決策樹的結(jié)果需要諸因素組合的評價對價值量度問題則變得更為復(fù)雜。為了建立一項(xiàng)統(tǒng)一的尺度來衡量一個方案的總價值可以引進(jìn)“功利”的概念。對決策者來說，“功利”一詞，其含義是價值的真實(shí)量度。功利理論提供一種體系，決策者可以用它對價值進(jìn)行統(tǒng)一的測定，組合和對比。因此如果所有方案功利價值都可得到，則可選取具有最高功利價值的方案。5 1功利理論的原理引入以下的符號來規(guī)定兩個事件之間的優(yōu)選程度即： AB 表示A較B為好； AB表示AB之間無差別； AB表示A至少和B一樣可

3、取。以下為功利理論的重要法則： (1)次序可排性。 AB之間的優(yōu)先程度可按照向B逐漸增長的優(yōu)選度的次序進(jìn)行排列： AB AB AB AB AB6(2)可遞換性。如果AB及BC,則AC。(3)連續(xù)性。如果ABC，應(yīng)有一個值(在0與1之間） 存在，使得某人在(a)肯定得到B及(b)分別以概率和(1一)得到A或者C這兩個事件之間無所偏向。這個無偏向性可以用以下“抽彩”法表示出：(a)(b)7 顯然從上述“抽彩”中可看出，如果為0，肯定得到C，因此C被明顯地選用。而如果1，“抽彩”意味著肯定得到A，則置不被選用。因此，介于01的某個值，(a)與(b)之間無差別的情況將發(fā)生。在數(shù)學(xué)上的術(shù)語中，B為后一種

4、“抽彩”法中的必然等價。(4)替換性。一個“抽彩”和它的必然等價可以互換而不影響它的優(yōu)選比從(3)顯然可以看出兩者具有同等的優(yōu)選性。8(5)單調(diào)性。如果AB ，于是當(dāng)pp時，(6)可分解性。一組分支可以用單個的分支代替，例如：9 2功利函數(shù) 個人的優(yōu)選特點(diǎn)如符合功利法則,則可將他的優(yōu)選特點(diǎn)編入功利函數(shù)中.功利函數(shù)可將優(yōu)選性的次序定量.從數(shù)學(xué)上而言,這個函數(shù)代表一個可選程度繪成實(shí)線的 圖形,因此允許用數(shù)字來表示可選性. 令符號 u() 表示一個事件的功利函數(shù)。功利函數(shù)的特征要求： 如AB ，則u(A)u(B)； 如AB ，則u(A)=u(B) ； 如AB ，則u(A)u(B)： 功利函數(shù)的一個重

5、要特征是一張彩票的功利等于它得獎的期望功利。即功利函數(shù)與功利理論的原則是一致的。10 例如,在A與C之間的抽彩的功利為u( )=pu(A)+(1-p)u(C)將上述方程中的功利函數(shù)的特性用于如下優(yōu)選方式:兩者抽彩功利相等u(B)=pu(A)+(1-p)u(C)對給定的A與C的功利值,首先建立一個具有合適的選定的 p值的無差別的表達(dá)式,然后由上述方程確定B的功利值.p1-pAC11功利函數(shù)另一個重要的性質(zhì)是功利函數(shù)經(jīng)過線性轉(zhuǎn)換后其相對功利值將保持不變。換言之，如果一個一致的功利值集u經(jīng)過下式轉(zhuǎn)換到u u(Ei)a十bu(Ei) ;i=1，n 式中 a常數(shù)； b正常數(shù)。 則新的功利值集u(Ei)

6、，i=1，n ，將仍保持決策者原先的優(yōu)選性。這說明功利值并不是唯一的,絕對功利值并不必要,能夠表達(dá)優(yōu)選性的相對功利值就能滿足需要了。12 3確定功利值 假設(shè)三個事件,E1,E2,E3,需要規(guī)定它們的功利值.首先按優(yōu)選度次序排列,如E1E2E3.通常對最優(yōu)選事件指定其功利值為1，最不優(yōu)選事件指定為0，即u（E1）=1，u（E3）=0。相對E1即E3的功利，要求E2的功利，抉擇者可以在如下的抽彩方式中作出選擇： L1： L2：1E2P1-PE1E313 可以調(diào)整p值，直到L1，L2 兩種抽彩方式無差別為止。此時的p值即為E2的功利值u（E2）.此時的p值和表示功利值u（E2），與抉擇樹種的概率無關(guān)

7、。在復(fù)雜的決策樹中，許多事件將需要指定功利值?？捎靡韵碌牟襟E系統(tǒng)地確定幾個事件的相對功利值，即E1至En： (1)按優(yōu)選次序排列Ei，即E1E2En。 (2)指定u(E1)1.0及u(En) 0。 (3)利用對前述三個事件所建議的方法，確定u(E2) ，使得在下述抽彩事件之間無差別.14 可以看出，兩個極端事件E1及En，系用為抽彩的參考點(diǎn)。 (4)對步驟(3)重復(fù)(n一3)次，每次分別用E3 En-1 代替E2；當(dāng)然，每次得到的p值很可能是有差別的。 (5)在這個階段，已經(jīng)確定丁一組功利值u(E1)，u(E2)，u(En)?？墒牵瑸榱艘獙@些值作交叉檢驗(yàn)，需要利用u(E1)及u(En-1)1

8、5 作為一組新的參考點(diǎn)，重復(fù)進(jìn)行步驟(3)，并確定新的E2 的功利值，即u(E2)，使之達(dá)到無差別，如下所示： 如果這些功利值是一致的。u(E2)應(yīng)等于u(E2) 。 (6)對步驟(5)重復(fù)(n一4)次，每次分別用E3 En-1 代替E2。16例：在一項(xiàng)決策分析中，它包括幾種不同的方案，用于消除由于二氧化硫(SO2)及一氧化碳(CO)所造成某大城市的空氣污染，需要確定如下四個事件的功利值：(1) 低量CO，低量SO2；(2)高員CO，低量SO2；(3)低量CO，高量SO2；(4)高量CO，高量SO2等的濃度。 顯然事件的可取程度將隨污染源濃度成反向變化。此外，決策者感到此刻減少SO2比減少CO

9、更為迫切。請先做出這4種方案的優(yōu)選程度排列，再來估計(jì)各個方案的功利值。17 4經(jīng)濟(jì)價值的功利函數(shù) 常常用經(jīng)濟(jì)術(shù)語表達(dá)失誤的后果?？墒?，經(jīng)濟(jì)價值并非總是功利的一個一致性的量度；也就是，決策者的優(yōu)選次序?qū)⑷Q于實(shí)際涉及到的金錢的數(shù)量，試考慮一下情況。 要求一位決策者從一下一對抽彩中對方案和方案作出選擇：0.50.51.0E1E2E318 在抽彩方案中，其結(jié)果將是E1或E2，兩者均具有同等的可能性；而在抽彩方案中，肯定只有結(jié)果E3。如果各個事件的經(jīng)濟(jì)價值為d(E1)=10美分，d(E2)=0美分以及d(E3）=5美分，對決策者來說，方案和都無關(guān)緊要?？墒?，如果d(E1)=1000美元， d(E2)=

10、0，而d(E3）=500美元，由于方案肯定獲利500美元，因而可能被選；而方案有50%的機(jī)會毫無所得而獲得另外500美元的機(jī)會也并不是那么有吸引力。應(yīng)該看到，兩個方案的期望經(jīng)濟(jì)價值是一樣的。19 例 某工程師作出決策分析，這涉及到從損失20美元到獲利100美元的后果。他要在這個錢數(shù)范圍內(nèi)確定其功利函數(shù)。20 6最大期望功利 最大期望功利準(zhǔn)則。以前曾指出經(jīng)濟(jì)價值并非總是可以代表一個真實(shí)的功利尺度。按此最大EMV準(zhǔn)則也并非總是選擇能反映決策者其實(shí)意愿的方案的適當(dāng)準(zhǔn)則，一個較常用的決策準(zhǔn)則有如下所述。 只要已知每一后果的功利，每一方案的期望功利值可由下式給出：其中i=1,n21 式中的uij為與有關(guān)

11、的第j項(xiàng)結(jié)果的功利；Ui為方案i的功利。因此，使期望功利達(dá)到最大值，就可得到最大期望功利值價值準(zhǔn)則。根據(jù)這個最大EUV準(zhǔn)則，最優(yōu)方案的期望功利價值為: 此時如果各個后果用經(jīng)濟(jì)語言dij來表達(dá)。上述方程變?yōu)椋?式中u (dij)是為某個特定的決策者建立的金錢功利函數(shù)。22 7功利函數(shù)的常用型式功利函數(shù)通常是用來模擬風(fēng)險排斥特性，它的數(shù)學(xué)型式將包括如下幾種類型：(1)指數(shù)功利函數(shù)式中參數(shù)風(fēng)險排斥程度的量度； a和b標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)。 如果這個功利函數(shù)經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化并使得u(0)0以及 u(1)1，則標(biāo)準(zhǔn)化的指數(shù)功利函數(shù)變?yōu)?3指數(shù)功利函數(shù)24(2)對數(shù)型 標(biāo)準(zhǔn)化的對數(shù)函數(shù)如下所示： 式中為一參數(shù)，通常相當(dāng)于決

12、策者所有的資金儲備額度；亦即，當(dāng)增加，決策者將有較多的多余的功利(例如錢)，并表現(xiàn)為較小的風(fēng)險排斥。函數(shù)圖形如下：25對數(shù)功利函數(shù)26(3)二項(xiàng)式類型 標(biāo)準(zhǔn)化的二項(xiàng)式功利函數(shù)可表達(dá)為： 式中a為與風(fēng)險排斥程度有關(guān)的參數(shù)。 決策者的風(fēng)險排斥性程度可用如下的“風(fēng)險排斥系數(shù)”來度量。27則經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的對數(shù)功利函數(shù)及二項(xiàng)式功利函數(shù)的風(fēng)險排斥系數(shù)分別為：它們都是x的函數(shù)。 可以看出，指數(shù)功利函數(shù)的風(fēng)險排斥系數(shù)并不夠其屬性而有所變化；而對數(shù)功利函數(shù)的風(fēng)險排斥系數(shù)則隨著x而減小，而當(dāng)為二項(xiàng)式功利函數(shù)時則隨著x而增加。 當(dāng)然功利函數(shù)也可以是凹形的，也就是功利的增長限度格隨屬性x的增值而增加28 在種情況下，決策者的優(yōu)選特牲可稱之“風(fēng)險親和性”。我們可以認(rèn)為，這種優(yōu)選特性通常是不實(shí)際的。 8期望功利對功利函數(shù)型式的敏感性 通常，很準(zhǔn)肯定哪種功利函致型式是最合適的；例如，應(yīng)該是指數(shù)型還是二項(xiàng)式型。然而，正確地選擇功利函數(shù)的型式也許并非很重要，特別是，如果期望功利值對因數(shù)的型式并不敏感的話。29