初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一,選擇題（共5 小題,每道題 7 分,共35 分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為 A,B,C,D 的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的 . 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里,不填,多填或錯(cuò)填都得 0 分）1已知非零實(shí)數(shù) a,b 中意2a 4 b2 a 3b 24 2a ,就a b 等于（）（A ）1 （B）0 （C）1 （D）2 D C2如圖,菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為a,點(diǎn)O 是對(duì)角線(xiàn) AC 上的一點(diǎn),且 OAa,OB O OCOD1,就a 等于（）（A ）5 1 （B ）5 1 （C）1 （D）2 A （第2 題）B 2 23將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為 1

2、,2,3,4,5,6 的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次,記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為a ,其次次擲出的點(diǎn)數(shù)為 b ,就使關(guān)于x,y 的方程組 ax by 3,只有正數(shù)解的概率為（）x 2y 21 2 5 13 （A ）（B）（C）（D）12 9 18 36 4如圖1 所示,在直角梯形 ABCD 中,ABDC ,B 90 . 動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn)B 動(dòng)身,沿梯形的邊由 B C D A 運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的路程為x,ABP 的面積為y. 把y 看作x 的函數(shù),函數(shù)的圖像如圖 2 所示,就ABC 的面積為（）（A ）10 （B）16 （C）18 （D）32 圖1 圖2 （第4 題）5關(guān)于x,y 的方程2 x x

3、y 2 2 y 29 的整數(shù)解（x,y）的組數(shù)為（）（A ）2 組（B ）3 組（C）4 組（D）無(wú)窮多組二,填空題（共5 小題,每道題7 分,共35 分）6一個(gè)自行車(chē)輪胎,如把它安裝在前輪,就自行車(chē)行駛5000 km 后報(bào)廢；如把它安裝在后輪,就自行車(chē)行駛3000 km 后報(bào)廢,行駛確定路程后可以交換前,后輪胎假如交換前,后輪胎,要使一輛自行車(chē)的一 對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢,那么這輛車(chē)將能行駛 km 第 1 頁(yè),共 10 頁(yè)學(xué)習(xí)必備 歡迎下載7已知線(xiàn)段AB 的中點(diǎn)為C,以點(diǎn)A 為圓心,AB 的長(zhǎng)為半徑作圓,在線(xiàn)段AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn) D,使得BD AC；再以點(diǎn)D 為圓心,DA 的長(zhǎng)為半徑作圓,與就A

4、H 的值為AB A 分別相交于F,G 兩點(diǎn),連接FG 交AB 于點(diǎn)H,8已知 a1,a2,a3,a4,a5 是中意條件 a1 a2 a3 a4 a5 9 的五個(gè)不同的整數(shù),如 b 是關(guān)于x 的方程x a1 x a2 x a3 x a4 x a5 2022 的整數(shù)根,就b 的 C值為9如圖,在ABC 中,CD 是高,CE 為 ACB 的平分線(xiàn)如 AC15,BC 20,CD 12,就CE 的長(zhǎng)等于A D E B 1010 個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做玩耍玩耍的規(guī)章是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù),并把自己想好的數(shù)照實(shí)地告知他兩旁的兩個(gè)人,然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告知他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)如報(bào)出來(lái)的數(shù)如以下圖,就報(bào)

5、 3的人心里想的數(shù)是（第10 題）三,解答題（共 4 題,每題20 分,共80 分）11已知拋物線(xiàn)y x 2與動(dòng)直線(xiàn)y 2t 1 x c 有公共點(diǎn) x1 , y1 , x2 , y2 ,且x1 2x2 2t 2 2 t 3 . （1）求實(shí)數(shù)t 的取值范疇；（2）當(dāng)t 為何值時(shí),c 取到最小值,并求出 c 的最小值. 12已知正整數(shù)a 中意192 a 3191,且a 2022 ,求中意條件的全部可能的正整數(shù) a 的和第 2 頁(yè),共 10 頁(yè)學(xué)習(xí)必備 歡迎下載13如圖,給定銳角三角形 ABC,BC CA ,AD,BE 是它的兩條高,過(guò)點(diǎn)C 作ABC 的外接圓的切線(xiàn)l ,過(guò)點(diǎn)D,E 分別作l的垂線(xiàn),

6、垂足分別為F,G試比較線(xiàn)段DF 和EG 的大小,并證明你的結(jié)論n1 an 2022 ；且a1,a2,an 中任意14n 個(gè)正整數(shù)a1,a2,an 中意如下條件：1 a1 a2 個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求 n 的最大值參考答案一,選擇題（共5 小題,每道題 7 分,共35 分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為 A,B,C,D 的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的 . 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里,不填,多填或錯(cuò)填都得 0 分）21已知非零實(shí)數(shù) a,b 中意2a 4 b2 a 3b 4 2a ,就a b 等于（）（A ）1 （B）0 （C）1 （D）2 第 3 頁(yè),共 10 頁(yè)學(xué)習(xí)必

7、備 歡迎下載【答】C解：由題設(shè)知a 3,所以,題設(shè)的等式為b22 a 3b 0 ,于是a3,b 2 ,從而a b 12如圖,菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為a,點(diǎn)O 是對(duì)角線(xiàn)AC 上的一點(diǎn),且OAa,OB OCOD1,就a 等于（）（C）1 （D）2 （第2 題）（A ）5 1 （B ）5 1 22【答】A 解：由于BOC ABC,所以BO BC ,即1a,）AB AC aa1所以,a2 a1 0 由a 0 ,解得a1253將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6 的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次,記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為a ,其次次擲出的點(diǎn)數(shù)為b ,就使關(guān)于x,y 的方程組ax by 3,只有正數(shù)解

8、的概率為（x 2y 2（A ）1（B）2（C）5（D）13 12 918 36 【答】D 解：當(dāng)2a b 0 時(shí),方程組無(wú)解6 2b x , 當(dāng)2a b 0 時(shí),方程組的解為 2a b2a 3 y . 2a b6 2b 2a b 0, 2a b 0, 由已知,得 2a b 0, 即 a 3, 或 a 3, 2 a 3 0, 2 22a b b 3, b 3. 由a ,b 的實(shí)際意義為 1,2,3,4,5,6,可得a 2,3,4,5,6,a 1,共有 5 210 種情形；或 共3 種情形b 1,2,b 4,5,6,又?jǐn)S兩次骰子顯現(xiàn)的基本事件共 6636 種情形,故所求的概率為 13 36 第 4

9、 頁(yè),共 10 頁(yè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載B C 2 所示,4如圖1 所示,在直角梯形ABCD 中,ABDC ,B 90 . 動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn)B 動(dòng)身,沿梯形的邊由 D A 運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的路程為x,ABP 的面積為y. 把y 看作x 的函數(shù),函數(shù)的圖像如圖就ABC 的面積為（）（A ）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B 圖1 （第4 題）圖2 解：依據(jù)圖像可得BC4,CD 5,DA5,進(jìn)而求得AB 8,故SABC18416. ）22 5關(guān)于x,y 的方程x xy 2 2 y 29 的整數(shù)解（x,y）的組數(shù)為（A ）2 組（B ）3 組（C）4 組（D）無(wú)窮多組【答】C解：可將原方程

10、視為關(guān)于x 的二次方程,將其變形為3 ；916 2 x 2 yx 2 y 29 0 由于該方程有整數(shù)根,就判別式 0 ,且是完全平方數(shù)由2 y 2 42 y 29 2 7 y 116 0 ,解得2 y 116 于是72 y 014116 109 88 53 4明顯,只有2 y 16 時(shí),4 是完全平方數(shù),符合要求當(dāng)y 4 時(shí),原方程為x2 4 x 30 ,此時(shí)x 1, x 當(dāng)y4 時(shí),原方程為2 x 4 x 30 ,此時(shí)x 31, x 3 所以,原方程的整數(shù)解為x1 1, x2 3, x3 1, x4 3, 4. y1 4; y2 4; y3 4; y4 二,填空題（共5 小題,每道題7 分,

11、共35 分）第 5 頁(yè),共 10 頁(yè)學(xué)習(xí)必備 歡迎下載6一個(gè)自行車(chē)輪胎,如把它安裝在前輪,就自行車(chē)行駛5000 km 后報(bào)廢；如把它安裝在后輪,就自行車(chē)行駛3000 km 后報(bào)廢,行駛確定路程后可以交換前,后輪胎假如交換前,后輪胎,要使一輛自行車(chē)的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢,那么這輛車(chē)將能行駛 km 【答】3750解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為 k, 就安裝在前輪的輪胎每行駛 1 km 磨損量為 k , 安裝在后輪的輪胎每行駛 1km 的磨損量為 k . 5000 3000 又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了 x km ,交換位置后走了 y km. 分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列kx ky k,

12、方程, 有 5000 3000 ky kx k, 5000 3000 兩式相加,得 k x y k x y 2k ,5000 3000 就 x y 1 21 3750 5000 3000 7已知線(xiàn)段AB 的中點(diǎn)為 C,以點(diǎn)A 為圓心,AB 的長(zhǎng)為半徑作圓,在線(xiàn)段AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn) D,使得BD AC；再以點(diǎn) D 為圓心,DA 的長(zhǎng)為半徑作圓,與A 分別相交于F,G 兩點(diǎn),連接FG 交AB 于點(diǎn)H,AH 就 的值為AB 解：如圖,延長(zhǎng)AD 與D 交于點(diǎn)E,連接AF,EF 由題設(shè)知AC 1 AD ,3AB 1 AE ,在3FHA 和EFA 中,（第7 題）EFA FHA 90 ,FAH EAF

13、所以RtFHA RtEFA,AH AF . AF AE a3 a4 a5 9 的五個(gè)不同的整數(shù),如b 是關(guān)于x 的方程而AF AB ,所以AH 1. AB 38已知a1,a2,a3,a4,a5 是中意條件a1 a2 x a1 x a2 x a3 x a4 x a5 2022 的整數(shù)根,就b 的值為【答】10第 6 頁(yè),共 10 頁(yè)解：由于ba1 b a2 b a3 學(xué)習(xí)必備歡迎下載是五個(gè)不同的整數(shù),b a4 b a5 2022,且a1,a2,a3,a4,全部b a1,b a2,b a3,b a4,b a5 也是五個(gè)不同的整數(shù)又由于 2022 1 1 7 7 41,所以b a1 b a2 b a

14、3 b a4 b a5 41由a1 a2 a3 a4 a5 9 ,可得b 10 9如圖,在ABC 中,CD 是高,CE 為 ACB 的平分線(xiàn)如 AC15,BC20,CD12,就CE 的長(zhǎng)等于【答】60 2 7解：如圖,由勾股定理知 AD 9,BD 16,所以ABADBD 25 故由勾股定理逆定理知ACB 為直角三角形,且 ACB 90 作EFBC ,垂足為F設(shè)EFx,由 ECF 1ACB 45 ,得CFx,于是BF20 x2由于EFAC,所以即x 20 x ,20 EF BF ,BC （第9 題）AC 15 解得x 60 所以CE 2 x 60 2 771010 個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做玩耍玩耍的規(guī)

15、章是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù),并把自己想好的數(shù)照實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人,然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告知他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)如報(bào)出來(lái)的數(shù)如以下圖,（第10 題）就報(bào)3 的人心里想的數(shù)是【答】2 解：設(shè)報(bào)3 的人心里想的數(shù)是x ,就報(bào)5 的人心里想的數(shù)應(yīng)是8 x 于是報(bào)7 的人心里想的數(shù)是12 8 x 4x ,報(bào)9 的人心里想的數(shù)是16 4 x 12 x ,報(bào)1 的人心里想的數(shù)是20 12 x 8 x ,報(bào)3 的人心里想的數(shù)是4 8 x 4x 所以x 4 x ,解得x 2 第 7 頁(yè),共 10 頁(yè)三,解答題（共學(xué)習(xí)必備歡迎下載4 題,每題20 分,共80 分）11已知拋物線(xiàn)y 2 x 與動(dòng)直線(xiàn)y

16、2t 1 x c 有公共點(diǎn) x1 , y1 , x2 , y2 ,且2 x1 2 x2 2 t 2t 3 . （1）求實(shí)數(shù)t 的取值范疇；（2）當(dāng)t 為何值時(shí),c 取到最小值,并求出c 的最小值. 5 分 10 分20 分a 的和5 分解：（1）聯(lián)立y 2 x 與y 2t 1 x c ,消去y 得二次方程2 x 2t 1x c 0有實(shí)數(shù)根x1 ,x2 ,就x1 x2 2t 1, x1 x2 c 所以c x x 1 2 1 x 1 x 2x 2x 22= 1 2t 1 2 t 22t 3 1 3t 22 2把式代入方程得x 2 2t 1x 1 3t 2 26t 4 6t 4 0 t 的取值應(yīng)中意

17、2 t 2t 3 2 x1 2 x2 0,且使方程有實(shí)數(shù)根,即2 2 t 12 23t 6t 4 2 2t 8t 7 0,解不等式得t -3 或t 1,解不等式得22 t 22. 22所以,t 的取值范疇為22 t 22. 15 分222 由式知c 1 3t 226t 4 3 t 22 1 1. 2由于c 3t 2 1 1在22 t 2 2時(shí)是遞增的,2222所以,當(dāng)t 22時(shí), cmin 32 22 1 111 62. 2222412已知正整數(shù)a 中意192 a3191,且a 2022 ,求中意條件的全部可能的正整數(shù)解：由192 a3191 可得192 3 a1192 326 ,且3 a 1

18、 a1 aa 1 1 a 1a a 1 a 1由于a a 11 是奇數(shù),所6 3 2 a 1 等價(jià)26a 1,以于第 8 頁(yè),共 10 頁(yè)學(xué)習(xí)必備 歡迎下載又由于3 a 1aa 1,所以 3 a 3 1 等價(jià) 3 a 1于因此有 192 a 1,于是可得a 192k 1 15 分又0 a 2022 ,所以k 0,1,10因此,中意條件的全部可能的正整數(shù) a 的和為11192（1210）1057120 分13如圖,給定銳角三角形 ABC,BC CA ,AD,BE 是它的兩條高,過(guò)點(diǎn)C 作ABC 的外接圓的切線(xiàn)l,過(guò)點(diǎn)D,E 分別作 l 的垂線(xiàn),垂足分別為 F,G試比較線(xiàn)段 DF 和EG 的大小,并證明你的結(jié)論解法1：結(jié)論是 DF EG 下面給出證明5 分由于 FCD EAB ,所以Rt FCD RtEAB 于是可得DF BE CD AB 同理可得 EG AD CE 10 分AB 又由于 tan ACB AD BE ,所以有 BE CD AD CE ,于是可得（第1