《信號(hào)與系統(tǒng)》第六章離散系統(tǒng)的z域分析

1、第六章 離散系統(tǒng)的z域分析 6.1 z變換 6.2 z變換的性質(zhì) 6.3 逆z變換 6.4 z域分析一、從拉氏變換到z變換對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到: 取樣信號(hào)兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 令 ，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用 表示； ，得6.1 z變換序列f(k)的雙邊z變換序列f(k)的單邊z變換若f(k)為因果序列，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。 F(z) = Zf(k) f(k)= Z-1F(z) f(k)F(z)6.1 z變換二、收斂域 z變換定義為一無(wú)窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即時(shí)，其z變換才存在。上式稱為絕對(duì)可和條

2、件，它是序列f(k)的z變換存在的充分必要條件。 收斂域的定義： 對(duì)于序列f(k)，滿足 的所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。 6.1 z變換例1： 有限長(zhǎng)序列的z變換(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解：(1) 可見(jiàn)，其單邊、雙邊z變換相等。與z 無(wú)關(guān)， 所以其收斂域?yàn)檎麄€(gè)z 平面。 (2)收斂域?yàn)?0z 0由于序列是有限長(zhǎng)的，則F(z)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)和，所以F(z)除了在 0和處外都收斂，有時(shí)在0和處也收斂。結(jié)論一：有限長(zhǎng)序列的收斂域是 ，要討論 0和兩點(diǎn)。6.1 z變換例2： 因果序列 解：z a 時(shí)，其z變換存在。 結(jié)論二

3、：因果序列的收斂域是某個(gè)圓的圓外。z a6.1 z變換例3： 反因果序列 解： b-1z1，即zb時(shí)，其z變換存在。 收斂域?yàn)閨z| |b|結(jié)論三：反因果序列的收斂域是某個(gè)圓的圓內(nèi)。6.1 z變換例4： 雙邊序列解： 收斂域?yàn)閍zb （顯然要求a0，則 6.2 z變換的性質(zhì)單邊z變換的移位： 且對(duì)整數(shù)m0，則 6.2 z變換的性質(zhì)特例：若 為因果序列，則6.2 z變換的性質(zhì)例1：求周期為N的有始周期性單位序列 的z變換。 解：z1例2： 求 的單邊z變換F(z)。 解：6.2 z變換的性質(zhì)三、序列乘ak(z域尺度變換) 例1：例2：且有常數(shù)a0 ，則：若a換為a1,則：6.2 z變換的性質(zhì)四、

4、卷積定理 對(duì)單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。 例： 求 的z變換。 解：6.2 z變換的性質(zhì)五、序列乘k（z域微分） 若 則 , z0， 則, z0，則 例：求序列 的z變換。 解：6.2 z變換的性質(zhì)七、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換） 例： 求a k( k 1)的z變換。 解：，|z| |a| ，|z| 1/ |a| 乘a得 ，|z| 1/ |a| 6.2 z變換的性質(zhì)八、部分和 , max(,1)zmax(|a|,1)6.2 z變換的性質(zhì)應(yīng)用： LTI離散系統(tǒng) 6.2 z變換的性質(zhì)九、初值定理和終值定理 初值定理： 如果

5、序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 則序列的初值對(duì)因果序列f(k)6.2 z變換的性質(zhì)終值定理： 如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k) F(z) ，z 且01 則序列的終值 含單位圓例：已知因果序列的象函數(shù) ，求序列的初值和終值。 6.2 z變換的性質(zhì)求逆z變換的方法有：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法; 部分分式展開(kāi)法; 反演積分（留數(shù)法）。 一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k 1) + f(k) (k)相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分 F(z) = F2(z) + F1(z

6、)， |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 ，f(k)為因果序列。用長(zhǎng)除法將F(z)展 開(kāi)為z-1的冪級(jí)數(shù)： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0 （2） z1，f(k)為反因果序列。用長(zhǎng)除法將F(z) （按升冪排列）展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù): k=2 6.3 逆z變換（3） 1z2，f(k)為雙邊序列。將F(z)展開(kāi)為部分分式，有 再將它們分別展開(kāi)為z-1及z的冪級(jí)數(shù)，有難以寫成閉合形式。 k=0 6.3 逆z變換二、部分分式展開(kāi)法 mn時(shí)先從F(z)中分出常數(shù)項(xiàng)，再將余下的真分式展開(kāi)為 部分分式。其方法與第五章中

7、F(s)展開(kāi)方法相同。根據(jù)極點(diǎn)的類型， 的展開(kāi)有幾種情況：1）實(shí)單極點(diǎn)；2）共軛單極點(diǎn)；3）重極點(diǎn)6.3 逆z變換（1）F(z)均為單極點(diǎn)根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z)和F2(z)(z2 (2) z1 (3) 1z2，因果序列 (2) z1，反因果序列 (3)1z2，雙邊序列 6.3 逆z變換例2：求象函數(shù) ,1z1，后兩項(xiàng)滿足z1)，若z ,對(duì)應(yīng)原序列為 （3） F(z)有重極點(diǎn) 6.3 逆z變換 當(dāng)r=3時(shí)，為 可這樣推導(dǎo)記憶： Zak(k)=兩邊對(duì)a求導(dǎo)得 Zkak-1(k)= 再對(duì)a求導(dǎo)得 Zk(k-1)ak-2(k)=故 Z0.5k(k-1)ak-2(k)=當(dāng)r=2時(shí)

8、，為 kak-1(k)6.3 逆z變換例3：已知象函數(shù)，z1,求其原函數(shù)。解：f(k)=k(k-1)+3k+1(k)6.3 逆z變換 差分方程的變換解 系統(tǒng)的z域框圖 利用z變換求卷積和 s域與z域的關(guān)系 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)6.4 z域分析一、差分方程的變換解 設(shè)f(k)在k=0時(shí)接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),y(-n)。 取單邊z變換得 6.4 z域分析系統(tǒng)函數(shù)h(k)H(z) 例1：若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng)的yzi(k)、yzs(k)、

9、y(k)。 解:方程取單邊z變換 6.4 z域分析Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 6.4 z域分析例2： 某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=( 1/2)k(k)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。 解:h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k) 再求g(k)?6.4 z域分析二、系統(tǒng)的z域框圖 另外兩個(gè)基本單元：數(shù)乘器和加法器，k域和z域框圖相同。6.4 z域分析例3： 某系統(tǒng)的k域框圖如圖，已知輸入f(k)= (k)。(1) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)。

10、(2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零輸入響應(yīng)yzi(k)。解:(1)畫(huà)z域框圖z-1z-1F(z)Yzs(z)設(shè)中間變量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)Yzs(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)6.4 z域分析h(k) = 2 (2)k(k)當(dāng)f(k)= (k)時(shí)，F(xiàn)(z)= z/(z-1)yzs(k) = 2k + 32 (2)k(k)(2)由H(z)可知，差分方程的特征根為1=1， 2=26.4 z域分析yzi(k) = Cx1 + Cx2 (2)k由y(-1)=0，y(-2)=

11、0.5，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yzi(k) = 1 2 (2)k,k0三、利用z變換求卷積和 例：求2k (k)*2-k (k)解：原式象函數(shù)為(k-2)* ak (k)6.4 z域分析四、s域與z域的關(guān)系 式中T為取樣周期從S平面到Z平面的映射:6.4 z域分析 s平面的左半平面(z平面的單位圓內(nèi)（z=0)-z平面的單位圓外（z=1) s平面的j軸(=0)-z平面中的單位圓上（z=1) s平面上實(shí)軸(=0)-z平面的正實(shí)軸（=0)s平面上的原點(diǎn)(=0，=0)-z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0） 由上式可看

12、出：6.4 z域分析6.4 z域分析五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 由于z = esT ， s=+j，若離散系統(tǒng)H(z)收斂域含單位園，則若連續(xù)系統(tǒng)的H(s)收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為存在。令T = ，稱為數(shù)字角頻率。 幅頻響應(yīng),偶函數(shù)；只有H(z)收斂域含單位園才存在頻率響應(yīng)相頻響應(yīng),奇函數(shù)6.4 z域分析設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k),系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其收斂域含單位園，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 當(dāng) 時(shí)6.4 z域分析 在正弦指數(shù)序列的激勵(lì)下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個(gè)正弦指數(shù)序列； 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率與輸入信號(hào)的頻率相同，但幅度和相位由不同頻率點(diǎn)上的 確定。例： 某因

13、果系統(tǒng)的差分方程為y(k)-0.5y(k-1)=f(k)，若激勵(lì)f(k)=(-1)k(k)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6.4 z域分析解：收斂域包含單位園，頻率響應(yīng)存在，系統(tǒng)穩(wěn)定6.4 z域分析6.4 z域分析若輸入則其正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為6.4 z域分析例: 圖示為一橫向數(shù)字濾波器。（1）求濾波器的頻率響應(yīng)；（2）若輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t)經(jīng)取樣得到的離散序列f(k)，已知信號(hào)頻率f0=100Hz，取樣fs=600Hz，求濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出yss(k) 。6.4 z域分析解: （1）求系統(tǒng)函數(shù)Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3 ，|z|0令=TS，z取e j H(ej) =1+ 2e-j+2e-j2+ e-j3 =e-j1.52cos(1.5)+ 4cos(0.5)6.4 z域分析(2)連續(xù)信號(hào)f(t) =1+2cos(0t)+3cos(20t) 經(jīng)取樣后的離散信號(hào)為(f0=100Hz,fs=600Hz ) f(k)=f