利用向量求軌跡問題

1、 i利用向量求軌跡問題知識(shí)點(diǎn)：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算，iSa=(xi,yO,b=(&,y2),其中bO,則:(1)a/7bQXM2-x2yi=0當(dāng)時(shí)，3丄bx1x2+yiy2=0在新編高中數(shù)學(xué)教材中將平面向量納入教學(xué)內(nèi)容后，我們不僅僅是對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)，更重要的是將向量作為一種工具應(yīng)用于其它數(shù)學(xué)知識(shí)中，特別是利用它來求軌跡問題時(shí)常帶來極大的方便，結(jié)合上述知識(shí)點(diǎn)，下面舉幾例來介紹向量在求解軌跡問題時(shí)的應(yīng)用.例1、過定點(diǎn)P（3,2）作直線丄交x軸、y軸分別于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.分析：設(shè)線段AB的中點(diǎn)c（x、y）,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有A（2x,o）,B（o,2y）,P1PA=(2x3,

2、-2),PB=(-3,2y2),由A、P、B三點(diǎn)共線，即有PA西,利用知識(shí)點(diǎn)有:(2x-3)(2y-2)-(-3)(-2)=0化簡(jiǎn)后得：2x+3y-2xy=0,這就是所求的線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.例2（如圖一）過原點(diǎn)。作互相垂直的兩條直線，分別交y=于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)線段AB中點(diǎn)c（x,y）,再設(shè)A（xi、x孑）,B（X2、xj）,則DA=（x”xf）,0B=（X2、xj）,由題 用，利用向量垂直和共線的充要條件來列方程較為理想.意有0A丄OB,即OAOB,利用知識(shí)點(diǎn)（2）有：x1X2+22解：設(shè)M（x,y）、A（話,yj,B（話，y2），（yHy2H0），則OM=

3、（x,y）,OA（普，yx）,0B=（署，y2）,58=（號(hào)汁y2-yi），由OA丄OB0)例3,設(shè)OVaVl,0b0),利用它，消去根號(hào)以化簡(jiǎn).證:+y(1_a)2+b2+/a2+(1_b)2+y(1_a)2+(1_b)2$(a+b)+(1-a)+b+乎a+(1-b)卜平(1a)+(lb)=X4=2V2. # #三、著名的柯西(cauchy)不等式：(ab+a2b2+abj2W(a?+a+a?)(b?+b鄉(xiāng)+b?),其中ai=kbx(i=L2,，n),當(dāng)i=2時(shí)有(ab+agbzFW(a+ag)(b孑+b|)例4,若實(shí)數(shù)m、nx、y,滿足m2+n2=a,x2+y2=b(a:/:b)，則mx+

4、ny的最大值是()A、a+bc、a2+b2I-ab7 # #分析：此題中將兩個(gè)等式左右相加得到(m2+x2)+(n2+y2)=a+b,再利用均值不等式有mx+nyWm2則選擇A這一錯(cuò)誤結(jié)果,u+h原因出在mx+nyW-等號(hào) 成立的條件與題中aHb相矛盾，故是錯(cuò)誤解法.本題如果聯(lián)想到柯西不等式的特殊情況即可解如下：由m2+n2=a,x2+y2=bW(m2+n2)*(x2+y2)=ab，又(mx+ny)2(m24-n2)*(x2+y2)=ab(ab$O)得mx+nyW&L,故選B.四、定理：|a|Tb|W|a土b|W|a|+|b|型.例5,若a、b、cWR,且|a-c|b|+|c|B、|a|b|-|c|C、|a|c|-|b|分析：此題聯(lián)想到上述重要不等式，就可選出正確答案C.例6,求證:|a+b|a+b|1+|a|+1b|l+|a+b分析：此題運(yùn)用上述不等式即可證.證法（一）G+b|Ia+b|+l-11v1i九仏l+|a+b|l+|a+b|11+la+bl、】l+|a|+|b|Ia|+|b|l+|a|+|b|原不等式成立.證法（一）a+b|+l1,1_l+bl+|b|證法（一）|a+b|T+|a+bL+|a|+|b廠|a|+|b|Ia|+|b|l+|a|+|b|a+b|1+|a+b|成立.從上可見，形象思維是創(chuàng)造思維的一種，它對(duì)于創(chuàng)造性的學(xué)