六年級下冊數(shù)學(xué)試題-小升初精講：16講 數(shù)論（二）（含答案）全國通用

1、第十六講一、質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)數(shù) 論整除【基本概念和知識】1質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了 1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。要特別記住：1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。【例題】例 1：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210，求這三個數(shù)。 210=2357 可知這三個數(shù)是 5、6、7。例 2：兩個質(zhì)數(shù)的和是 40，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？ 解：把 40 表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：40=1723=1129=3371723=3911129

2、=319337=111，所求的最大值是 391。例 3：自然數(shù) 123456789 是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？ 解：123456789 是合數(shù)。因為它除了約數(shù) 1 和它本身，至少還有約數(shù) 3，所以它是一個合數(shù)。例 4：連續(xù) 9 個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)九個自然數(shù)在 1 與 20 之間，那么顯然其中最多有 4 個質(zhì)數(shù)（如：19 中有 4 個質(zhì)數(shù) 2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個自然數(shù)中最小的不小于 13，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有 5 個。這 5 個奇數(shù)中必只有一個個位數(shù)是 5，因而 5 是這個奇數(shù)的一個因數(shù)，即這個奇數(shù)是合數(shù)。這樣，至多另 4 個

3、奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有 4 個質(zhì)數(shù)。例 5：把 5、6、7、14、15 這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。解： 5=5，7=7，6=23，14=27，15=35。這些數(shù)中質(zhì)因數(shù) 2、3、5、7 各共有 2 個，所以如把 14（=27）放在第一組，那么 7 和 6（=2 3）只能放在第二組，繼而 15（=35）只能放在第一組，則 5 必須放在第二組。這樣，1415=210=567。 這五個數(shù)可以分為 14 和 15，5、6 和 7 兩組。例 6：有三個自然數(shù)，最大的比最小的大 6，另一個是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是 42560。求這三個自然數(shù)。分析先大概估計一下，3

4、03030=27000，遠(yuǎn)小于 42560，404040=64000，遠(yuǎn)大于 42560。1因此，要求的三個自然數(shù)在 3040 之間。解：42560=265719=25（57）（192）=323538（合題意） 要求的三個自然數(shù)分別是 32、35 和 38。例 7：有三個自然數(shù) a、b、c，已知 ab=6，bc=15，ac=10。求 abc 是多少？ 解： 6=23，15=35，10=25。 (ab)(bc)(ac)=(23)(35)(25) a2b2c2=223252 (abc)2=(235)2 abc=235=30在例 7 中有 a2=22,b2=32,c2=52，其中 22=4，32=9

5、，52=25，像 4、9、25 這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如：12=1，22=4，32=9，42=16，112=121，122=144，其中 1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方數(shù)。下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征。 例：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。9，36，144，1600，275625。解：9=3236=2232144=32241600=2652275625=325472可見，一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。反之，如果把一個自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后 ，各個質(zhì)因數(shù)的

6、指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中，36=62，144=122，1600=402，275625=5252。例 8：一個整數(shù) a 與 1080 的乘積是一個完全平方數(shù)，求 a 的最小值與這個完全平方數(shù)。分析 a 與 1080 的乘積是一個完全平方數(shù)。 乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因的指數(shù)一定全是偶數(shù)。解： 1080a=23335a，又 1080=23335 的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)。 a 必含質(zhì)因數(shù) 2、3、5，因此，a 最小為 235。 1080a=1080235=108030=32400。答：a 的最小值為 30，這個完全平方數(shù)是 32400。例 9：360 共有多

7、少個約數(shù)？ 分析360=23325為了求 360 有多少個約數(shù)，我們先來看 325 有多少個約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別剩以 1、 2、22、23，即得到 23325（=360）的所有約數(shù)。為了求 325 有多少個約數(shù)，可以先求出 5 有多少個約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以 1、3、32，即得到 325 的所有約數(shù)。2解：記 5 的約數(shù)個數(shù)為 Y1，3 5 的約數(shù)個數(shù)為 Y2。360（=23325）的約數(shù)個數(shù)為 Y 。3由上面的分析可知： Y3=4Y2，Y2=3Y1，顯然 Y1=2（5 只有 1 和 5 兩個約數(shù)）。因此 Y3=4Y2=43Y1=432=24。2所以，360 共有 24 個約

8、數(shù)。233Y3=4Y2 中的“4”即為“1、2、2 、2 ”中數(shù)的個數(shù)，也就是其中 2 的最大指數(shù)加 1，也就是 360=2325 中質(zhì)因數(shù) 2 的個數(shù)加 1；Y =3Y 中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個數(shù)，也就是 23325 中2132質(zhì)因數(shù) 3 的個數(shù)加 1；而 Y1=2 中的“2”即為“1、5”中數(shù)的個數(shù)，即 2 3 5 中質(zhì)因數(shù) 5 的個數(shù)加 1。因此Y3=（31）（21）（11）=24。對于任何一個合數(shù)，用類似于 23325（=360）的約數(shù)個數(shù)的討論方式，我們可以得到一個關(guān)于求一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的重要結(jié)論：一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加

9、 1 的連乘積。例 10：求 240 的約數(shù)的個數(shù)。解： 240=243151， 240 的約數(shù)的個數(shù)是：（41）（11）（11）=20 個， 240 有 20 個約數(shù)。請你列舉一下 240 的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是 20 個？二、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)【基本概念和知識】 1公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。2公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 3互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。【例題】例 1：用一個數(shù)去除 30、60、75，

10、都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析 又要求的數(shù)去除 30、60、75 都能整除， 要求的數(shù)是 30、60、75 的公約數(shù)。要求符合條件的最大的數(shù)，就是求 30、60、75 的最大公約數(shù)。解：（30，60，75）=15所以，這個數(shù)最大是 15。例 2：一個數(shù)用 3、4、5 除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析由題意可知，要求求的數(shù)是 3、4、5 的公倍數(shù)，且是最小公倍數(shù)。解： 3，4，5=60， 用 3、4、5 除都能整除的最小的數(shù)是 60。例 3：有三根鐵絲，長度分別是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米?，F(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段

11、？分析要截成相等的小段，且無剩八，每段長度必是 120、180、300 的公約數(shù)；3又每段要盡可能長，要求的每段長度就是 120、180、300 的最大公約數(shù)。解：（120，180，300）=60，每小段最長 60 厘米。120601806030060=235=10（段）答：每段最長 60 厘米，一共可以截成 10 段。例 4：加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成 3 個零件，第二道工序每個工人每小時可完成 10 個，第三道工序每個工人每小時可完成 5 個。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是 3、10 和

12、5 的公倍數(shù)。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍數(shù)。解：3，10，5=30各道工序均應(yīng)加工 30 個零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。例 5：一次會餐供有三種飲料。餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了 65 瓶：平均每 2 個人飲用一瓶 A 飲料，每3 個人飲用一瓶 B 飲料，每 4 個人飲用一瓶 C 飲料。問參加會餐的人數(shù)是多少人？ 分析由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是 2、3、4 的公倍數(shù)。解：2，3，4=12參加會餐人數(shù)應(yīng)是 12 的倍數(shù)。又12212

13、3124=13（瓶）可見 12 個人要用 6 瓶 A 飲料，4 瓶 B 飲料，3 瓶 C 飲料，共用 13 瓶飲料。又6513=5參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是 12 的 5 倍。125=60（人）答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是 60 人。例 6：一張長方形紙，長 2703 厘米，寬 1113 厘。要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析由題意可知，正方形的邊長即是 2703 和 1113 的最大公約數(shù)。在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了 1 以外的公約數(shù)一下子不好找到， 但又不能輕易斷定

14、它們是互質(zhì)數(shù)。怎么辦？在此，我們以例 6 為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例 6，可做如下圖解：4從圖中可知：在長 2703 厘米、寬 1113 厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113 厘米）為邊長的正方形 2 個，在裁后剩下的長 1113 厘米、寬 477 厘米的長方形中，再裁去以寬（477 厘米）為邊長的正方形 2 個，然后又在裁剩下的長方形（長 477 厘米，寬 159 厘米）中，以 159 厘米為邊長裁正方形，恰好裁成 3 個，且無剩余。因此可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的約數(shù)，所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是 159

15、 厘米。所以，159 厘米是 2703 和 1113 的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程，即：27031113，商 2 余 477；1113477，商 2 余 159；477159，商 3 余 0?；蛘邔憺椋?703=21113477，1113=2477159，477=3159。當(dāng)除數(shù)為 0 時，最后一個算式中的除數(shù) 159 就是原來兩個數(shù) 2703 和 1113 的最大公約數(shù)?？梢?，477=1593，1113=15932159=1597，2703=15972477=159721593=15917。又因為 7 和 17 是互質(zhì)數(shù)，所以 159 是 2703 和 1113 的最大公約數(shù)

16、。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法。輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求 出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例 7：用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公約數(shù)。解：因為 4811=21981849，1981=2849283，849=3283。所以，（4811，1981）=283。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。也可以直接觀察，依次試 公有的質(zhì)因數(shù)。例 8：求 1008、1260、882 和 1134 四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？ 解：因為（1260，1008）

17、=252，（882，1134）=126，又（252，126）=126，所以，（1008，1260，882，1134）=126。求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例 9。例 9：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 252，其中一個數(shù)是 28，另一個數(shù)是多少？ 解：設(shè)要求的數(shù)為 x，則有：所以，x=4y28=47所以，28x=4y47又因為 4 是 x 和 28 的最大公約數(shù)，（y，7）=1，5所以 4y7 是 x 和 28 的最小公倍數(shù)。所以，x28=4252所以，x=425228=36所以，要求的數(shù)是 36。通過例 9 的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用 a 和 b

18、表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：(a，b)a，b=ab.這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除 兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例 10：求 21672 和 11352 的最小公倍數(shù)。解：因為（21672，11352）=1032（1032 可用輾轉(zhuǎn)相除法求得）所以，21672，11352=21672113521032=238392。答：21672 和 11352 的最小公倍數(shù)是 238392。三、帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題。除此之外，例如：163=51，即 16=531， 此時，

19、被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，如果 a 是整數(shù)，b 是整數(shù)（b0），那么一定有另外兩個整數(shù) q 和 r，0rb，使得 a=bqr.當(dāng) r=0 時，我們稱 a 能被 b 整除。當(dāng) r0 時，我們稱 a 不能被 b 整除，r 為 a 除以 b 的余數(shù)，q 為 a 除以 b 的不完全商（亦簡稱為商）。 用帶余除式又可以表示為 ab=qr，0rb.【例題】例 1：一個兩位數(shù)去除 251，得到的余數(shù)是 41，求這個兩位數(shù)。分析這是一道帶余數(shù)的除法題，且要求的數(shù)是大于 41 的兩位數(shù)，解題可從帶余除式入手分析。解： 被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)商余數(shù)， 251=除數(shù)商41

20、，25141=除數(shù)商，210=除數(shù)商。210=2357，210 的兩位數(shù)的約數(shù)有 10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于 41。所以除數(shù)是 42 或 70，即要求的兩位數(shù)是 42 或 70。例 2：用一個自然去除另一個整數(shù)，商 40，余數(shù)是 16。被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是 933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少。解：被除數(shù)=除數(shù)商余數(shù)， 即被除數(shù)=除數(shù)4016。由題意可知：被除數(shù)除數(shù)=9334016=877，（除數(shù)4016）除數(shù)=877，除數(shù)41=87716=861， 除數(shù)=86141=21。6被除數(shù)=214016=856。答：被除數(shù)是 856，除數(shù)是 21。例

21、 3：某年的十月里有 5 個星期六，4 個星期日，問這年的 10 月 1 日是星期幾？解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天。31=743，根據(jù)題意可知：有 5 天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。這年的 10 月 1 日是星期四。例 4：3 月 18 日是星期日，從 3 月 17 日作為第一天開始往回數(shù)（即 3 月 16 日第二天，3 月 15 日第三天）的第 1993 天是星期幾？解：每周有 7 天，19937=284（周）5（天）從星期日往回數(shù) 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。例 5：一個數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求適合此條件的最小數(shù)

22、。這是一道古算題，它早在孫子算經(jīng)中有記載：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何”關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅共廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！币馑际?，用除以 3 的余數(shù)乘以 70，用除以 5 的余數(shù)乘以 21，用除以 7 的余數(shù)乘以 15，再把三個乘積相加。如果這三個數(shù)的和大于 105，那么就減去 105，直至小于 105 為止。這樣就可以得到滿足條件的解。其解法如下：方法一：270321215=2332331052=23符合條件的最小自然數(shù)是 23。方法二：3，72=2323 除以 5 恰好余 3。所以，符合條

23、件的最小自然數(shù)是 23。方法 2 的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。例 6：一個數(shù)除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求適合條件的最小自然數(shù)。分析“除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同樣“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解：5，62=28，即 28 適合前兩個條件。想：285，6？之后能滿足“被 7 除余 1”的條件？ 285，64=148，148=2171，又 148210=5，6，7所以，適合條件的最小自然數(shù)是 148。例 7：一個數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合條件的最小自然數(shù)。解：想23？之后能滿足“

24、被 5 除余 3”的條件？232=8。再想：83，5？之后能滿足“被 7 除余 4”的條件？ 83，53=53。所以，符合條件的最小的自然數(shù)是 53。歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法。當(dāng)找到滿足某個條件的數(shù)后，為了再滿足另一個條 件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會在有關(guān)“同余”部分講到。7例 8：一個布袋中裝有小球若干個。如果每次取 3 個，最后剩 1 個；如果每次取 5 個或 7 個，最后都剩2 個。布袋中至少有小球多少個？ 解：25，71=37（個）37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2，布袋中至少有小球 37

25、個。例 9：69、90 和 125 被某個自然數(shù) N 除時，余數(shù)相同，試求 N 的最大值。分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子： 15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即15 和 19 被 2 除余數(shù)相同（余數(shù)都是 1）。但是，1915 能被 2 整除。由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個整數(shù) a 和 b，被自然數(shù) m 除的余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)之差（大小）一定能被 m 整除。反之，如果兩個整數(shù)之差恰被 m 整除，那么這兩個整數(shù)被 m 除的余數(shù)一定相同。例 9 可做如下解答：三個整數(shù)被 N 除余數(shù)相同，N（9069），即 N21；N（ 12590），即 N35；N 是 21 和

26、35 的公約數(shù)。要求 N 的最大值，N 是 21 和 35 的最大公約數(shù)。21 和 35 的最大公約數(shù)是 7，N 最大是 7。四、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)本講重點解決與最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有關(guān)的另一類問題有關(guān)兩個自然數(shù)，它們的最大公 約數(shù)、最小公倍數(shù)之間的相互關(guān)系的問題。定理 1兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。即如果(a , b)=d，那么(ad , bd )=1.證明：設(shè) ad=a1 , bd=b1 , 那么 a=a1d , b=b1d .假設(shè)(a1 , b1)1，可設(shè)(a1 , b1)=m(m1)，于是有 a1=a2m , b1=b2m.(a2 , b2 是整數(shù))所以，a

27、= a1d= a2md , b= b1d= b2md .那么 md 是 a、b 的公約數(shù)。又m1，mdd.這就與 d 是 a、b 的最大公約數(shù)相矛盾。因此，(a1 , b1)1 的假設(shè)是不正確的。所以只能是(a1 ,b1)=1，也就是(ad , bd )=1.定理 2兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。（證明略）定理 3兩個數(shù)的公約數(shù)一定是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。（證明略）下面我們就應(yīng)用這些知識來解決一些具體的問題。例 1甲數(shù)是 36，甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 288，求乙數(shù)。解法 1：由甲數(shù)乙數(shù)=甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可得36乙數(shù)=

28、4288乙數(shù)=428836解出乙數(shù)=32解法 2：因為甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)為 4，則甲數(shù)=49，設(shè)乙數(shù)=4b1，且（b1，9）=1。8因為甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 288， 則288=49b1，b1=28836解出 b1=8所以，乙數(shù)=48=32 答：乙數(shù)是 32。例 2已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是 21，最小公倍數(shù)是 126，求這兩個數(shù)的和是多少？解：要求這兩個數(shù)的和，我們可以先求出這兩個數(shù)各是多少。設(shè)這兩個數(shù)為 a、b，ab。因為這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 21，故設(shè) a=21a1 ,b=21b1，且（a1，b1）=1。因為這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是 126，所以解出126=21a1b1 a1=1b1

29、=6 a=211=21b=216=126于是a1b1=6 a1=2b1=3a=212=42 b=213=63則因此，這兩個數(shù)的和為 21126=147，或 4263=105。答：這兩個數(shù)的和為 147 或 105。例 3已知兩個自然數(shù)的和是 50，它們的最大公約數(shù)是 5，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為 a 與 b，ab。因為這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 5，故設(shè) a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1b1。因為 ab=50，所以有 5a15b1=50，a1b1=10。滿足（a1，b1）=1，a1b1 的解有：a1=1b1=9a1=3b1=7所以，a=51=5b=59=45或

30、a=53=15b=57=35答：這兩個數(shù)為 5 與 45 或 15 與 35。例 4已知兩個自然數(shù)的積為 240，最小公倍數(shù)為 60，求這兩個數(shù)。解：設(shè)這兩個數(shù)為 a 與 b，ab，且設(shè)（a，b）=d , a=da1 , b=db1 ,其中（a1，b1）=1 。因為兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，所以240=d60解出d=4所以a=4a1 , b=4b1.因為 a 與 b 的最小公倍數(shù)為 60， 所以4a1b1=60,于是有解出a1b1=15。 a1=1b1=15 a=41=4b=415=60a1=3 b1=5或所以a=43=12b=45=20答：這兩個數(shù)為 4 與 60 或

31、 12 與 20。9已知兩個自然數(shù)的和為 54，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為 114，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為 a 與 b，ab，( a , b )=d,a= da1 ,b=db1,其中(a1 , b1)=1.因為 ab=54，所以 da1db1=54。于是有 d(a1b1)=54，因此，d 是 54 的約數(shù)。又因為這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為 114， 所以 da1b1d=114,于是有 d(a1b11)=114,因此，d 是 114 的約數(shù)。故 d 為 54 與 114 的公約數(shù)。由于（54，114）=6，6 的約數(shù)有：1、2、3、6，根據(jù)定理 3，d 可能

32、取 1、2、3、6 這四個值。如果 d=1，由 d(a1b1)=54，有 a1b1=54；又由 d(a1b11)=114，有 a1b1=115。115=1115=523，但是 1115=11654，523=2854，所以 d1.如果 d=2，由 d(a1b1)=54，有 a1b1=27；又由 d(a1b11)=114，有 a1b1=58。58=158=229，但是 158=5927，229=3127，所以 d2.如果 d=3，由 d(a1b1)=54，有 a1b1=18；又由 d(a1b11)=114，有 a1b1=39。39=139=313，但是 139=4018，313=1618，所以 d

33、3.如果 d=6 ，由 d(a1b1)=54，有 a1b1=9；又由 d(a1b11)=114，有 a1b1=20。20 表示成兩個互質(zhì)數(shù)的乘積有兩種形式：20=120=45，雖然 120=219，但是有 45=9，例 5所以取 d=6 是合適的，并有 a1=4,b1=5. a=64=24 , b=65=30.答：這兩個數(shù)為 24 和 30。例 6已知兩個自然數(shù)的差為 4，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積為 252，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為 a 與 b，且 ab，a = da1 , b = db1 , (a1 , b1)=1.因為 ab=4，所以 da1 db1=4，于是有 d

34、(a1 b1)=4，因此 d 為 4 的約數(shù)。2因為這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積為 252，所以 dda1b1=252，于是有 d a1b1=(23)27,因此 d 為 23 的約數(shù)。故 d 為 4 與 23 的公約數(shù)。由于（4，23）=2，2 的約數(shù)有 1 和 2，所以 d 可能取 1、2 這兩個值。2如果 d=1，由 d(a1 b1)=4，有 a1 b1=4；又由 d a1b1=252，有 a1b1=252。252 表示成兩個互質(zhì)數(shù)的乘積有 4 種形式：252=1252=463=736=928，但是 2521=2514，634=594，367=294，289=194，所以 d1

35、.2如果 d=2，由由 d(a1 b1)=4，有 a1 b1=2；又由 d a1b1=252，有 a1b1=63。63 表示為兩個互質(zhì)數(shù)的乘積有兩種形式：63=163=79，但 631=622，而 97=2，且（9，7）=1，所以 d=2，并且 a1=9，b1=7.因此 a=29=18，b=27=14.答：這兩個數(shù)為 18 和 14。在例 2例 5 的解答中之所以可以在假設(shè)中排除 a=b 這種情形在各例中都只假設(shè)了 ab, 分別是由于：例 2 和例 5，若 a=b，則（a , b）=a , b=a，與條件（a , b）a , b矛盾；例 3，若 a=b， 則 a=b=（a , b）=5，因此

36、ab=1050，與條件矛盾；例 4，ab=240 不是平方數(shù)。從例題的解答中可以看出，在處理涉及兩數(shù)的最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)的很多問題中，經(jīng)常用到的基本關(guān)系是：若兩數(shù)為 a、b，那么 a=a1d , b=b1d，其中 d=(a , b) , (a1 , b1)=1，因此a , b=da1b1，有時為了確定起見，可設(shè) ab。對于很多情形，可以排除 a=b 的情形（如上述所示），而只假設(shè) ab。10五、同余的概念和性質(zhì)你會解答下面的問題嗎？問題 1：今天是星期日，再過 15 天就是“六一”兒童節(jié)了，問“六一”兒童節(jié)是星期幾？ 這個問題并不難答，因為，一個星期有 7 天，而 157=21，即 15

37、=721，所以“六一”兒童節(jié)是星期一。問題 2：1993 年的元旦是星期五，1994 年的元旦是星期幾？這個問題也難不倒我們。因為，1993 年有 365 天，而 365=7521，所以，1994 年的元旦應(yīng)該是星期六。問題 1、2 的實質(zhì)是求用 7 去除一總的天數(shù)后所得的余數(shù)。在日常生活中，時常要注意兩個整數(shù)用某一固定的自然數(shù)去除，所得的余數(shù)問題。這樣就產(chǎn)生了“同余”的概念。如問題 1、2 中的 15 與365 除以 7 后，余數(shù)都是 1，那么我們就說 15 與 365 對于模 7 同余。余同定義：若兩個整數(shù) a、b 被自然數(shù) m 除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b 對于模 m 同余，用式子表示

38、為：ab ( modm ) 上式可讀作：a 同余于 b，模 m。( * )同余式( * )意味著（我們假設(shè) ab）:ab=mk，k 是整數(shù)，即 m(ab).例如：15365（mod7），因為 36515=350=750。5620（mod9），因為 5620=36=94。900（mod10），因為 900=90=109。由例我們得到啟發(fā)，a 可被 m 整除，可用同余式表示為： a0( modm ).例如，表示 a 是一個偶數(shù)，可以寫a0(mod2) 表示 b 是一個奇數(shù)，可以寫b1( mod2 )補充定義：若 m 不能整除（ab），就說 a、b 對模 m 不同余，用式子表示是：ab(mod m)

39、我們書寫同余式的方式，使我們想起等式，而事實上，同余式與等式在其性質(zhì)上相似。同余式有 如下一些性質(zhì)（其中 a、b、c、d 是整數(shù)，而 m 是自然數(shù)）。性質(zhì) 1：aa(mod m)，（反身性）這個性質(zhì)很顯然，因為 aa=0=m0.性質(zhì) 2：若 ab(mod 性質(zhì) 3：若 ab(mod 性質(zhì) 4：若 ab(mod 性質(zhì) 5：若 ab(mod性質(zhì) 6：若 ab(modm)，那么 ba(mod m)，（對稱性）。m)，bc(modm)，cd(mod m)，cd(modm)，那么 ac(mod m)，（傳遞性）。m)，那么 acbd(mod m)，（可加減性）。 m)，那么 acbd(mod m)，（可

40、乘性）。m)，那么 anbn(mod m)，（其中 n 為非 0 自然數(shù)）。性質(zhì) 7：若 acbc(mod m)，(c，m)=1，那么 ab(mod m)。注意：同余式性質(zhì) 7 的條件(c，m)=1，否則像普通等式一樣，兩邊約去，就是錯的。例如 610(mod 4)，而 35(mod 4)，因為（2，4）1。請你自己舉些例子驗證上面的性質(zhì)。同余是研究自然數(shù)的性質(zhì)的基本概念，是可除性的符號語言。11例 1判定 288 和 214 對于模 37 是否同余，74 與 20 呢？解： 288-214=74=372， 288214（mod 37）. 74-20=54，而 3754， 7420(mod 3

41、7).例 2求乘積 4188141616 除以 13 所得的余數(shù)。若先求乘積，再求余數(shù)，計算量太大。利用同余的性質(zhì)可以使“大數(shù)化小”，減少計算量。解： 4182（mod 13），8148(mod 13)，16164(mod 13), 根 據(jù) 同 余 的 性 質(zhì) 5 可 得 ： 41881416162846412(mod 13).答：乘積 4188141616 除以 13 余數(shù)是 12。例 3求 14389 除以 7 的余數(shù)。分析同余的性質(zhì)能使“大數(shù)化小”，凡求大數(shù)的余數(shù)問題首先考慮用同余的性質(zhì)化大為小。這道題先把底數(shù)在同余意義下變小，然后從低次冪入手，重復(fù)平方，找找有什么規(guī)律。解法 1： 14

42、33(mod 7)， 14389389(mod 7). 89=641681， 而 322(mod 7)344(mod 7)38162(mod 7)3164(mod 7),332162(mod 7),3644(mod 7).389364 31638 344235(mod 7), 143895(mod 7).答：14389 除以 7 的余數(shù)是 5。解法 2：證得 14389389(mod 7)后， 3632 34241(mod 7), 384(36)141(mod 7),38938434 31435(mod 7). 143895(mod 7).例 4四盞燈如圖所示組成舞臺彩燈，且每 30 秒鐘燈的

43、顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，這樣一直進(jìn)行下去。請問開燈 1 小時四盞燈的顏色如何排列？分析與解答經(jīng)觀察試驗我們可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過 4 次互換，四盞燈的顏色排列重復(fù)一次。而 1 小時=60 分鐘=12030 秒，所以這道題實質(zhì)是求 120 除以 4 的余數(shù)。因為 1200（mod 4），所以開燈 1小時四盞燈的顏色排列剛好同一開始一樣。12例 5設(shè)自然數(shù) N an an1.a1a0 ，其中 a0 、 a1 、 a2 、 an 分別是個位、十位、上的數(shù)碼，再設(shè)M a0 a1 . an ，求證：NM(mod 9).證明： N an an1.a

44、1a0= an 100 0(n個0) an1 100 0(n 1個0) a1 10(1個0) a0= a 10n a10n1 a 10 ann110又 11(mod 9),101(mod 9),1021(mod 9),10n1(mod 9).上面這些同余式兩邊分別同乘以 a0 、 a1 、 a2 、 an ，再相加得：a a 10 a 102 a 10n012n a0 a1 . an (mod 9)，即 NM(mod 9).這道例題證明了十進(jìn)制數(shù)的一個特有的性質(zhì)：任何一個整數(shù)模 9 同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被 9 除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被

45、 9 除的余數(shù)即可。例如，求 1827496 被 9 除的余數(shù)，只要先求（1827496），再求和被 9 除的余數(shù)。再觀察一下上面求和式，我們可以發(fā)現(xiàn)，和不一定要求出。因為和式中 18，27，9 被 9 除都余 0，求余數(shù)時可不予考慮。這樣只需求 46 被 9 除的余數(shù)。因此，1827496 被 9 除余數(shù)是 1。有人時常利用十進(jìn)制數(shù)的這個特性檢驗幾個數(shù)相加、相減、相乘的結(jié)果對不對，這種檢查方法叫： 棄九法。棄九法最經(jīng)常地是用于乘法。我們來看一個例子：用棄九法檢驗乘式 54839117=49888511 是否正確？因為54835483112(mod 9),911791170(mod 9)，54

46、839117200(mod 9).49888511498885118(mod 9)，所以但是所以 5483911749888511，即乘積不正確。要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確，但不能保證一定正確。 例如，987598752(mod 9)，487348734(mod 9)，32475689324756898(mod 9)， 這時，987548732432475689(mod 9)。但觀察個位數(shù)字立刻可以判定 9875487332475689，因為末位數(shù)字 5 和 3 相乘不可能等于 9。棄九法也可以用來檢驗除法和乘方的結(jié)果。13例 6用棄九法檢驗下面的計算是否正確： 233724

47、587312=3544。解：把除式轉(zhuǎn)化為：35447312=23372458354435447(mod731273124(mod35447312741(mod9)，9)，9). 但而即2337245823387(mod 9)，17(mod 9)3544731223372458,2337245873123544。求自然數(shù) 21003101 4102 的個位數(shù)字。分析求自然數(shù)的個位數(shù)字即是求這個自然數(shù)除以 10 的余數(shù)問題。解：210024256256(mod 10)，例 73101342531125 313(mod 10)，4102426(mod 10)，2100310141026365(mod

48、 10)，4102 的個位數(shù)字是 5。即自然數(shù) 2100310114家庭作業(yè)1(1)如果兩個質(zhì)數(shù)相加等于 16，這兩個質(zhì)數(shù)有可能等于多少？(2)如果兩個質(zhì)數(shù)相加等于 25，這兩個質(zhì)數(shù)有可能等于多少？(3)如果兩個質(zhì)數(shù)相加等于 29，這樣的兩個質(zhì)數(shù)存在嗎？2請把下面的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：(1) 160；(2) 598；(3) 211.3三個自然數(shù)的乘積為 84，其中兩個數(shù)的和正好等于第三個數(shù)，請求出這三個數(shù)4用一個兩位數(shù)除 330，結(jié)果正好能整除，請寫出所有可能的兩位數(shù)5三個連續(xù)自然數(shù)的乘積等于 39270.這三個連續(xù)自然數(shù)的和等于多少？6請將 2、5、14、24、27、55、56、99 這 8 個數(shù)分成兩組，使得這兩組數(shù)的乘積相等7請問：算式 l x2 x315 的計算結(jié)果的末尾有幾個連續(xù)的 0?8請問：連續(xù)兩個兩位數(shù)乘積的末尾最多有幾個連續(xù)的 0?159一個兩位質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)字交換位置后，仍然是一個質(zhì)數(shù)，請寫出所有這樣的質(zhì)數(shù)109 個連續(xù)的自然數(shù)中，最多有多少個質(zhì)數(shù)？11(1)兩個質(zhì)數(shù)的和是 39，這兩個質(zhì)數(shù)的差是多少？(2)三個互不相同的質(zhì)數(shù)相加，和為 40