高中數(shù)學(xué)必修二 6. 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（精練）(含答案)

1、6.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(精練)【題組一 向量基底的選擇】1(2021全國高一課時練習(xí))下列說法錯誤的是( )A一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示B平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個向量表示C平面上向量的基底不唯一D平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共線向量的性質(zhì)可知選項A正確；根據(jù)平面向量基本定理可知：平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量表示，所以選項B不正確；根據(jù)平面向量基本定理可知中：選項C、D都正確，故選：B2(2021浙江寧波咸祥中學(xué)高一期中)(多選)下列兩個向量，不能作為基底向量的是( )ABCD【

2、答案】AC【解析】A選項，零向量和任意向量平行，所以不能作為基底.B選項，不平行，可以作為基底.C選項，所以平行，不能作為基底.D選項，不平行，可以作為基底.故選：AC3(2021福建省德化第一中學(xué)高一月考)(多選)下列各組向量中，可以作為基底的是( )ABCD【答案】BD【解析】A由于，因為零向量與任意向量共線，因此共線，不能作基底，B因為，所以兩向量不共線，可以作基底，C因為，所以兩向量共線，不能作基底，D因為，所以兩向量不共線，可以作基底，故選：BD.4(2021湖北孝感高一期中)(多選)在下列各組向量中，不能作為基底的是( )A，B，C，D，【答案】AC【解析】對A，不能作為基底；對B

3、，與不平行，可以作為基底；對C，不能作為基底；對D，與不平行，可以作為基底.故選：AC.5(2021全國高一課時練習(xí))已知與不共線，且與是一組基，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】因為與不共線，若與共線，則，即，所以，解得，因為與是一組基底，所以若與不共線，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：【題組二 向量的基本定理】1(2021廣東汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學(xué)校高一月考)已知ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足，則可表示為( )ABCD【答案】A【解析】由，可得，整理可得，所以，故選：A2(2021四川成都外國語學(xué)校高一月考(文)我國東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在周髀算經(jīng)中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱

4、其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示在“趙爽弦圖”中，若，則=( )ABCD【答案】B【解析】因為此圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且，所以，解得，即，故選：B3(2021陜西西安電子科技大學(xué)附中高一月考)平面內(nèi)有三個向量，其中的夾角為，的夾角為，且，若則( )ABCD【答案】C【解析】如圖所示：過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，因為的夾角為，的夾角為，所以，在中，由，可得，所以，所以， ，所以.故選：C.4(2021全國高一課時練習(xí))若，且，則實數(shù)x，y的值分別是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】由題意，又故選：C5(20

5、21江蘇南京高一期末)在中，D是內(nèi)一點(diǎn)，且設(shè)，則( )ABCD【答案】B【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)DAB45，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m， m)(m0)則m，且m，即 故選：B6(2021山西臨汾高一期末)在中，已知，是內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則( )ABCD【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、，由于，可設(shè)，因為，所以，所以，因此，.故選：A.7(2021安徽宣城高一期中)如圖，在長方形中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，若，則( )A1BC2D【答案】A【解析】解：由題

6、可得，設(shè)，因為是長方形，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向為軸正方向，方向為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則、，則，因為，所以，所以，因為點(diǎn)在上運(yùn)動，所以有，所以，整理得，故選：A.8(2021上海高一課時練習(xí))已知點(diǎn)G為ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且x，y，求的值為_【答案】3【解析】根據(jù)條件：，如圖設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則因為G是的重心，又M，G，N三點(diǎn)共線，即.故答案為：3.9(2021黑龍江大慶中學(xué)高一月考)如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，設(shè)，則的值為_【答案】3【解析】設(shè)，由題意知，由P，G，Q三點(diǎn)共線，得存在實數(shù)使得，即，從而消去，得故答案為：310(2021

7、河北大名高一期中)已知平面內(nèi)三個向量，(1)求；(2)求滿足的實數(shù)，；(3)若，求實數(shù)【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)，(2)由得，解得(3)，解得11(2021福建莆田第七中學(xué)高一期中)已知兩向量，.(1)當(dāng)為何值時，與共線？(2)若，且，三點(diǎn)共線，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，.當(dāng)與共線時，解得.(2)由已知可得，.因為，三點(diǎn)共線，所以，所以.解得.12(2021安徽宿州高一期中)已知，.(1)當(dāng)k為何值時，與平行.(2)若，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，.因為與共線，所以，解得.(2)因為A，B，C三點(diǎn)共線，所以，

8、即，又因為與不共線，與可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以， 解得.【題組三 線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】1(2021天津紅橋高一學(xué)業(yè)考試)若向量，則的坐標(biāo)為( )A(2，3)B(0，3)C(0，1)D(3，5)【答案】B【解析】解：因為，所以故選：B2(2021山東鄒城高一期中)已知向量，則( )AB5C7D25【答案】B【解析】根據(jù)題意，向量，則，故.故選：B3(2021全國高一專題練習(xí))已知向量，若，共線，則實數(shù)x的值為( )A-1B2C1或-2D-1或2【答案】D【解析】因為向量，且，共線，所以，解得或，故選：D4(2021全國高一單元測試)已知，且，則銳角等于( )A45B30C60D30或

9、60【答案】A【解析】因為，所以，得，即，因為為銳角，所以，即.故選：A5(2021云南省永善縣第一中學(xué)高一月考)已知點(diǎn)，三點(diǎn)共線，則( )A0B1CD【答案】B【解析】因為，三點(diǎn)共線，所以可設(shè)，因為，所以，解得，所以.故選：B.6(2021廣東佛山市超盈實驗中學(xué)高一月考)(多選)已知，下列計算正確的是( )ABCD【答案】AB【解析】因為，所以，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：AB.7(2021湖南永州市第一中學(xué)高一期中)(多選)已知向量，則( )A若與垂直，則B若，則C若，則D若，則與的夾角為【答案】BC【解析】A：與垂直，則，可得，故錯誤；B：，則，可得，故正確；C：

10、有，則，可得，故正確；D：時，有，所以，即與的夾角不為，故錯誤.故選：BC8(2021全國高一課時練習(xí))(多選)已知，若為直角三角形，則k可取的值是( )A1B2C4D6【答案】AD【解析】因為，所以，當(dāng)為直角時，所以，所以，當(dāng)為直角時，所以，所以，當(dāng)為直角時，所以，此時無解，故選：AD.9(2021河北正定中學(xué)高一月考)(多選)已知向量，則( )ABC向量在向量上的投影向量是D是向量的單位向量【答案】AD【解析】對于A，則，所以，故A正確；對于B，則，故B錯誤；對于C，向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；對于D，因為向量的模等于1，所以向量與向量共線，故是向量的單位向量，故D正確.故選：AD

11、.10(2021全國高一課時練習(xí))已知平面向量=(2，1)，=(m，2)，且，則3+2=_.【答案】(14，7)【解析】因為向量=(2，1)，=(m，2)，且，所以1m-22=0，解得m=4.所以=(4，2).故3+2=(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案為：(14，7)11(2021全國高一課時練習(xí))已知向量(m，3)，(2，1)，若向量，則實數(shù)m為_【答案】【解析】，m60，故答案為：.12(2021全國高一課時練習(xí))已知，若A，B，C三點(diǎn)共線，則_.【答案】【解析】解：，則，若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量與向量共線，則有，解得：.故答案為：.13(2021全國高一課時練習(xí))已知向量

12、，若與平行，則_.【答案】-2【解析】因為向量，所以，又因為與平行，所以，解得，故答案為：-2【題組四 數(shù)量積的坐標(biāo)表示】1(2021全國高一單元測試)已知矩形ABCD中，AB3，AD4，E為AB上的點(diǎn)，且2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則( )A2B5C6D8【答案】B【解析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，距離如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，則故選：B2(2021吉林延邊二中高一期中)在中， ，為線段的三等分點(diǎn)，則( )ABCD【答案】C【解析】中，|，22，0，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)，則A(0，0)，B(0，4)，C(2，0)，E(，)，F(xiàn)(，)

13、，(，)，(，)，+故選：C3(2021福建省寧化第一中學(xué)高一月考)在菱形中，若，則( )ABCD【答案】D【解析】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為因為，所以,即是的中點(diǎn)，所以所以，由題知.故故選：D4(2021廣東東莞市新世紀(jì)英才學(xué)校高一月考)(多選)已知向量 ，則下列命題正確的是( )A若，則B若在上的投影向量為，則向量與的夾角為C存在，使得D的最大值為【答案】BCD【解析】對A，若，則，則，故A錯誤；對B，若在上的投影向量為，且，則，故B正確；對C，若，若，則，即，故，故C正確；對D，因為，則當(dāng)時，的最大值為，故D正確.故選：BCD.5(2021上海高一課時練習(xí))已知點(diǎn)A

14、(-1，1)B(1，2)C(-2，-1)D(3，4)，則向量在方向上的投影為_.【答案】【解析】，所以向量在方向上的投影為.故答案為：.6(2021上海高一課時練習(xí))設(shè)=(2，x)， =(-4，5)，若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是_.【答案】且【解析】為鈍角，且兩向量不共線，即，解得，當(dāng)時，解得，又因不共線，所以，所以x的取值范圍是且.故答案為：且.7(2021北京大峪中學(xué)高一期中)如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是_.【答案】2【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，；，；，.故答案為：2.8(2021河北張家口高一期末)在中，點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)，則的最小值是

15、_.【答案】【解析】在中，由余弦定理得，所以是直角三角形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線對應(yīng)一次函數(shù)為，所以，對稱軸，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：9(2021山西平遙縣第二中學(xué)校高一月考)向量，且與垂直，則_.【答案】【解析】由題意，向量，可得，因為與垂直，可得，解得.故答案為：.10(2021上海高一課時練習(xí))已知(1，2)，(1，)，分別確定實數(shù)的取值范圍，使得：(1)與的夾角為直角；(2)與的夾角為鈍角；(3)與的夾角為銳角【答案】(1)；(2)；(3)(2，)【解析】設(shè)與的夾角為，則(1，2)(1，)12(1)因為與的夾角為直角，

16、所以，所以，所以120，所以(2)因為與的夾角為鈍角，所以且，所以且與不反向由得120，故0且與不同向由0，得，由與同向得2所以的取值范圍為(2，)11(2021江西九江一中高一期中)在中，底邊上的中線，若動點(diǎn)滿足(1)求的最大值；(2)若，求的范圍【答案】(1)；(2)【解析】，A、P、D三點(diǎn)共線又，在線段上.為中點(diǎn)，設(shè)，則， =，的最大值為2(2)如圖，以D為原點(diǎn)，BC為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)，則=，12(2021江蘇省丹陽高級中學(xué)高一月考)已知，.在；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題.(1)若_，求實數(shù)的值；(2)若向量，且，求.【答案】(1)選：，選：，選：；(2)

17、.【解析】因為，所以，選：(1)因為，所以；即，解得；(2)，所以，可得，所以，所以；選：(1)因為，所以；即，解得：；(2)，所以，可得，所以，所以；選：(1)因為，所以，即，解得：；(2)，所以，可得，所以，所以.13(2021河南高一期末)已知向量.(1)若向量，且與垂直，求實數(shù)的值；(2)若向量，且與的夾角為鈍角，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因為，結(jié)合與垂直，得到，解得，所以實數(shù)的值為.(2)因為與的夾角為鈍角，所以，.又當(dāng)時，所以且.因為，所以.由于當(dāng)且時，.所以的取值范圍為.【題組五 向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用】1(2021全國高三專題練習(xí))已知向量，(1)若

18、，試研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，且，試求m的值【答案】(1)時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)單調(diào)遞減；(2) .【解析】(1)當(dāng)時，由，得當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減(2)由可得由，可得(若，則()，此時，與條件矛盾)從而有，即，兩邊同除以，可得，2(2021江蘇金陵中學(xué)高一期中)設(shè)向量(1)若與垂直，求的值；(2)求的最小值【答案】(1)；(2).【解析】(1)因為與垂直，所以，即，所以，所以，所以；(2)因為，所以當(dāng)，即時取最小值，所以的最小值為.3(2021江蘇銅山高一期中)已知向量，函數(shù)，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的值；(2)若不等式對所有恒成立.求實數(shù)的范圍.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因為向量，當(dāng)時， ，；(2)不等式對所有恒成立，即對所有恒成立，令，可得，所以，因為，所以，所以所以對于恒成立，即對于恒成立，因為，所以對于恒成立，令，只需，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立取得最小值，所以，所以實數(shù)的范圍為.4(2021江蘇宜興高一期中)已知向量(2cos，2sin)，(6cos，6sin)，且2(1)求向量與的夾角；(2)若，求實數(shù)t的值【答案】(1)；(2)【解析】(1)由(2cos，2sin)，(6cos，6sin)，得，又，則，設(shè)向量與的夾角為，則cos，又0，；(2)由，得，即，4t212t+3627，4t212t+90，解