教程分析2021-09賢科505quotient sp

1、5.5商空間QuotientSpa回憶:整數(shù)模m 同余:a b(mod m) .按同余關(guān)系將整數(shù)集 分類, a 所在類記為a ,則 / m 0, 1, 2, , m -1 是加法群, 也是環(huán).可推廣到線性空間:定義. 設(shè)V 是 F 上線性空間, W 為其子空間., V , 則 與 模W 同余, 記為 ( mod W ) def - W w ( w W )(不計(jì)W 中元意義下, , 相等)模W 同余關(guān)系是等價(jià)關(guān)系.V 中向量按 “模W 同余”關(guān)系分類(同余類),同類的同余, 不同類的不同余. 所在的(所代表的)同余類為 W w | w W 于是V 是同余類之并:V W (1 W ) (2 W )

2、 以同余類為元素新集合:V / W 0 , 1 , 2 , 3 , 且定義加法:1 2 1 2 , c c ( c F )數(shù)乘:定理5.8. (1) V / W 0 , 1 , 2 , 3 , 是 F 上線性空間 (商空間)(2) 設(shè) 1,r 是W 的基,而 1,r ,r+1,n 是V 的基,則 r+1,n 是V / W 的基. dimV / W dimV - dimW 故(3)W : V V W , 是滿線性(自然(典型)線性, 俗稱 模W),1ker W W .且證明. (1) 容易直接驗(yàn)證.(2) (i)可表出V / W : V / W 中任一元可寫(xiě)為 =11 +rr +r +1r+1

3、+nn=11 +rr +r +1r+1 +nnr +1r+1 +nn(因1,r W )=cr1r1 cnn 0(ii) 無(wú)關(guān): 若cr1r1 cnn 0則cr1r1 cnn Wcr1r1 cnn c11 crr故c11 crr - cr1r1 - cnn 0 .故 c1 cn 0 .(3) W 線性: , (這是 商空間中加法、數(shù)乘的定義, 反向看).W 是滿射: 任一 V /W 是 V 的像. ker W 0 W , 故 ker W W .(1,2,3 是自然基).例5.21. a11 a22 a33 a11 a22則故同構(gòu)于: a11 a22定理5.9 (線性基本定理)設(shè)有線性空間V1 到

4、V2 的線性,ker W , 則 誘導(dǎo)出線性空間同構(gòu) : V1/ ker ( ) Im( )(即 ( ) ( ) ) ( )2 : V1 V2 a11 a22xy 平面V / W (3) / 3V =(3) , W =3證明. (i) 驗(yàn)證 定義的合理性(不以來(lái)代表元選取).若 , 則 w ( w W ),則 ( ) ( w) () (w) () (ii) 是線性: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .(iii) 是單射: 若 ( ) 0 , 即 ( ) 0 ,故 W ker , 0 .(iv) 是單射: 任取Im 中元素 (

5、) , V1 ,則 ( ) ( ) .系1 . dimV1 - dim ker( ) dim Im( ) .系2. (1) 設(shè) W1 W2 是V 的子空間的直和, 則 (W1 W2 ) / W2 W1(2) 若 W1+W2 不是直和, 則 (W1 +W2 ) / W2 W1 /(W2 W1 ) (用: 模者, 抹也;modulo = mop up)證明. 只需證(2): W1 (W1 +W2 ) / W2 ,1 1+0考慮則 是線性; 滿: (W1 +W2 ) / W2 中元為1+2 =1+0 是1 的像; ker W2 W1 :1 0 0 1 W2 1 W2 W1故3W1 / (W2 W1

6、) W1 / ker Im (W1 W2 ) / W2注記. 1. 加法商群是最基本的概念:設(shè)G 是加法群, H 是其子群,a,b G 稱為模 H 同余, 記為 a b (mod H ),是指 a-b H , 或 a b h ( h H )于是G 是模 H 同余類之并, a 所在同余類記為a a H , 同余類集合記為G / H 0, a1, a2, a3, ,按加法 a1 a2 a1 a2 成群, 稱為商群.(對(duì)乘法Abel群G 及其子群 H , 有類似結(jié)果,只需將加號(hào)改為乘號(hào))2. 當(dāng)V 是 F 上線性空間, W 是其子空間.則V 也是加法群, W 是其子群, 故有加法商群V /W .再定義數(shù)乘 (對(duì) F , V ),則V /W 是線性空間.3. 當(dāng) R 是交換環(huán), J 是其理想 (即 J 加法子群, 且滿足吸收率: ra J ( r R, a J )則 R 也是加法群, J 是其子群, 故有加法商群 R/J .再定義乘法 a1 a2 a1 a2 , 則 R/J 是環(huán) (