高中數(shù)學(xué)必修二 8. 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（精練）(含答案)

1、8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(精練)【題組一 旋轉(zhuǎn)體的體積】1(2021吉林延邊二中高一期中)阿基米德(，公元前287年公元前212年)是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球(如圖所示)，該球與圓柱的兩個(gè)底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.若該球的體積為，則圓柱的體積為 ( )ABCD【答案】C【解析】因?yàn)樵撉虻捏w積為，設(shè)球的半徑為R，則，解得。所以圓柱的體積為：，故選：C.2(2021河北保定市第二十八中學(xué)高一月考)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國(guó)畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝它

2、的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如圖2所示，設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為，下部分(半球)的體積為，若，則半球的半徑與圓柱的高之比為( )ABCD【答案】B【解析】設(shè)圓柱的高為h，半徑為r，則圓柱的體積為.而半球的體積為.因?yàn)?，所以，所?故選：B3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)(其中BAC=30)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為_(kāi)，體積為_(kāi)【答案】 【解析】如圖所示，過(guò)C作CO1AB于O1，在半圓中可得BCA=90，又BAC=30，AB=2R，AC=R，BC=R，CO1=R，=R

3、R=R2，=RR=R2，S幾何體表=S球+R2，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為R2又V球=R3，V幾何體=V球-()=R3-ABCR3-R3故答案為：；4(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是_.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，圓錐的高，所以圓錐的體積=故答案為：5(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若一個(gè)圓錐的底面直徑和高都與一個(gè)球的直徑相等，那么這個(gè)圓錐的體積與球的體積之比為_(kāi)【答案】【解析】解析：設(shè)球體的半徑為，故答案為：【題組二 旋轉(zhuǎn)體的表面積】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四邊形ABCD中，DAB=90，ADC=135，AB=5

4、，CD=2，AD=2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為( )A(60+4)B(60+8)C(56+8)D(56+4)【答案】A【解析】四邊形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，如圖所示：因?yàn)?，所以圓臺(tái)下底面面積，又因?yàn)?，所以，所以圓臺(tái)的側(cè)面積.圓錐的側(cè)面積.所以幾何體的表面積為.故選：A2(2021山東鄒城高一期中)如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則( )A圓錐的母線長(zhǎng)為18B圓錐的表面積為27C圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角為60D圓錐的體積為【答案】

5、D【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，以為圓心，為半徑的圓的面積為，又圓錐的側(cè)面積，因?yàn)閳A錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了3周，所以，解得，所以圓錐的母線長(zhǎng)為9，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；圓錐的表面積，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閳A錐的底面周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角為，則，解得，所以圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角為120，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；圓錐的高，所以圓錐的體積為，故選項(xiàng)D正確故選：D3(2021重慶墊江第五中學(xué)校高一月考)如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為4，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長(zhǎng)度最短值為，則此圓錐的表面積為_(kāi)【答案】【解析】將圓錐側(cè)面沿母線AB剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，如圖

6、，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，最短距離即為線段BM長(zhǎng)，則有，而M是線段中點(diǎn)，又母線長(zhǎng)為4，于是得，即，設(shè)圓錐底面圓半徑為r，從而有：，解得，所以圓錐的表面積為.故答案為：4(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖)，若用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)無(wú)底的圓錐，則這個(gè)無(wú)底的圓錐的表面積為多少平方厘米？【答案】【解析】由已知，可得這個(gè)無(wú)底的圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積即側(cè)面積.【題組三 多面體的體積】1(2021上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中)在三棱錐中，已知，則該三棱錐

7、的體積為_(kāi).【答案】8【解析】如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)為，由題得；，解之得.所以.所以該三棱錐的體積為.故答案為：82(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知一個(gè)空間幾何體的所有棱長(zhǎng)均為1 cm，其表面展開(kāi)圖如圖所示，則該空間幾何體的體積V_cm3.【答案】1+【解析】依題意，原幾何體是由一個(gè)正方體上面接一個(gè)正四棱錐組成，其中正方體的棱長(zhǎng)為1cm，正方體的體積為1cm3，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為1cm，則其高為(cm)，體積為(cm3)，所以該空間幾何體的體積為cm3.故答案為：1+3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))球的球心為點(diǎn)，球內(nèi)切于底面半徑為、高為3的圓錐，三棱錐內(nèi)接于球，已知，則三棱錐的體積

8、的最大值為_(kāi)【答案】【解析】圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)球O的半徑為，則，解得，C在以AB為直徑的圓上，平面平面，O到平面的距離為，故到平面的最大距離為，又C到AB的最大距離為，三棱錐的體積的最大值為，；故答案為：4(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，ABC和ABC的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA，BB，CC交于同一點(diǎn)O，且，則_.【答案】【解析】如題干圖，可證ABAB，ACAC，BCBC.所以平面平面三棱錐和三棱錐高之比也為，由等角定理得CAB=CAB，ACB=ACB，所以ABCABC，由，可得，所以=.故答案為：5(2021山東日照神州天立高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司高一月考)如圖是邊長(zhǎng)為1的正方體，H、G、F分別是

9、棱、的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿三角形所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉的這塊的體積是原正方體的_.【答案】【解析】,所以，故答案為：.6(2021黑龍江哈師大附中高一期中)如圖，在四面體中作截面，其中，則_【答案】【解析】作平面，作平面，則共線，由，則，由，則，所以，所以，故答案為：【題組四 多面體的表面積】1(2021上海市控江中學(xué)高二期中)若正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則它的側(cè)面積為_(kāi).【答案】100【解析】因正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則該正四棱臺(tái)上底、下底面邊心距分別為1，4，而正四棱臺(tái)的高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成直角梯形，于是得斜高，因此，側(cè)面積，所以所求

10、的側(cè)面積為100.故答案為：1002(2021上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中)已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，高為2，則此三棱錐的側(cè)面積為_(kāi).【答案】【解析】由題意作出圖形如圖：因?yàn)槿忮F是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，在三角中， ，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為故答案為：3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為4和8的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為8的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為_(kāi)【答案】【解析】如圖，在四棱臺(tái)中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，故，所以，故四棱臺(tái)的側(cè)面積，所以故答案為：4(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則它的側(cè)面積為_(kāi)【答案】

11、【解析】作出正四棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面如圖，設(shè)分別為的中點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)由題知，得，解得，在中，即斜高為，所以所求側(cè)面積為答案：5(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若五棱臺(tái)的表面積是30，側(cè)面積是25，則兩底面面積的和為_(kāi)【答案】5【解析】，則故答案為：5.6(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，已知正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高，則此正三棱錐的表面積為_(kāi)【答案】【解析】如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為，側(cè)面積、底面積分別為，過(guò)點(diǎn)O作，與交于點(diǎn)E，連接，則由，即，可得.由，則，即則，則表面積故答案為：【題組五 有關(guān)球的計(jì)算】1(2021新疆新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)若三個(gè)球的表面積之比是，則它們的

12、體積之比是( )ABCD【答案】A【解析】設(shè)三個(gè)球的半徑分別為，因?yàn)槿齻€(gè)球的表面積之比為，所以，所以所以它們的體積之比為，故選：A.2(2021山東鄒城高一期中)已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、，且其頂點(diǎn)都在球面上，則該球的體積是( )ABCD【答案】A【解析】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是，長(zhǎng)方體外接球的半徑是，這個(gè)球的體積為故選：A3(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)大球，這個(gè)大球的半徑是_【答案】【解析】設(shè)大球的半徑為，則有，所以故答案為：4(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))一個(gè)底面直徑是的圓柱形水桶裝入一些水，將一個(gè)球放入桶內(nèi)完全淹沒(méi)，水面上升了且無(wú)溢出，則這個(gè)球的表面積是

13、_【答案】【解析】由題意，上升的水的體積即為球的體積，若球的半徑為R，即，解得，故這個(gè)球的表面積故答案為：5(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的表面積為_(kāi)【答案】【解析】如圖，連接，交點(diǎn)為，設(shè)球的半徑為，由題意知：則，四棱錐的體積為，解得，該半球的表面積為故答案為：6(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且各側(cè)棱長(zhǎng)均為，求該四棱錐外接球的表面積【答案】【解析】因?yàn)樗睦忮F中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且各側(cè)棱長(zhǎng)均為，所以該四棱錐是正四棱錐，取正方形的中心，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖，則球心在上， 因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，所以，所以，因

14、為，所以，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，在中，即，解得：，所以該四棱錐外接球的表面積為.【題組六 綜合運(yùn)用】1(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱(1)求出此圓錐的側(cè)面積；(2)用表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；(3)當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求此圓柱的體積【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)圓錐的底面半徑與高均為2，則圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為(2)設(shè)圓柱的半徑為，則，解得，且；所以圓柱的側(cè)面積為(3)，；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)，圓柱的體積為2(2021貴州高一月考)在長(zhǎng)方體中，AB=6，BC=8，.(1)求三棱錐的體積

15、；(2)在三棱柱內(nèi)放一個(gè)體積為V的球，求V的最大值.【答案】(1)48；(2).【解析】(1)由長(zhǎng)方體的幾何特征知，到平面的距離為,又,所以；(2)設(shè)球的半徑為R，若該球與三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切，則R為的內(nèi)切圓的半徑，則,又，此時(shí)；若該球與三棱柱的上下底面均相切，此時(shí),;所以在三棱柱內(nèi)放一個(gè)體積為V的球，該球半徑最大為2，.3(2021浙江路橋高一月考)如圖所示，在平面五邊形中，分別沿，將與折起使得，重合于點(diǎn)試求：(1)三棱錐的體積；(2)三棱錐的外接球的表面積【答案】(1)；(2)【解析】(1)，則，又，平面.所以；(2)將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體知三棱錐的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即，所

16、以球的表面積為4(2021河北定州高一期中)定州市某廣場(chǎng)設(shè)置了一些多面體形或球形的石凳供市民休息.如圖(1)的多面體石凳是由圖(2)的正方體石塊截去八個(gè)相同的四面體得到，且該石凳的體積是(1)求正方體石塊的棱長(zhǎng)；(2)為爭(zhēng)創(chuàng)全國(guó)文明城市，現(xiàn)將表面臟污，棱角輕微磨損的多面形石凳(圖(1)打磨成一個(gè)球形的石凳，并用一種環(huán)保底漆全面粉刷.已知這種底漆一瓶的凈含量為235克，可粉刷左右，求此球形石凳最大時(shí)，一瓶環(huán)保底漆大約可以粉刷幾個(gè)球形石凳？(精確到1)按算【答案】(1)40cm；(2)3個(gè).【解析】(1)設(shè)正方體石塊的棱長(zhǎng)為，則每個(gè)截去的四面體的體積為.由題意可得，解得.故正方體石塊的棱長(zhǎng)為；(2

17、)當(dāng)球形石凳的面與正方體的各個(gè)面都相切時(shí)球形石凳的表面積最大.此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)正好是球的直徑，球形石凳的表面積.，所以一瓶環(huán)保底漆大約可以粉刷3個(gè)球形石凳.5(2021湖北孝感高一期中)如下圖1，一個(gè)正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)(如下圖2)，水面恰好過(guò)，的中點(diǎn)(1)求容器中水的體積；(2)當(dāng)容器底面水平放置時(shí)(如圖1)，求容器內(nèi)水面的高度【答案】(1)；(2)【解析】(1)在圖2中，水所占部分為四棱柱四棱柱底面積為，又高為所以水的體積為，(2)設(shè)圖1中水高度為，則，解得所以當(dāng)容器底面水平放置時(shí)，容器內(nèi)水面的高度為6(2021福建寧德高一期中)如圖所示是在圓

18、錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體，該正四棱柱上底面的四頂點(diǎn)在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，已知圓錐側(cè)面積為，底面半徑為.()若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，求該幾何體的體積；()求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值.【答案】()；().【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，高為，正四棱柱的高為()由，有，故，由，故，所以圓錐體積為由，有正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2，由圖可得，所以，故正四棱柱的體積為所以該幾何體的體積為()由圖可得，即，即由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)左式等號(hào)成立，有，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)左式等號(hào)成立，故正四棱柱側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)左式等號(hào)成立，所以該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值為.7(2021福建福州高一期中)如圖所示的圓錐，頂點(diǎn)為O，底面半徑是5cm，用一與底面平行的平面截得一圓臺(tái)，圓臺(tái)的上底半徑為2.5cm，這個(gè)平面