高中數(shù)學(xué)必修二 8. 簡單幾何體的表面積與體積（精練）(含答案)

1、8.3 簡單幾何體的表面積與體積(精練)【題組一 旋轉(zhuǎn)體的體積】1(2021吉林延邊二中高一期中)阿基米德(，公元前287年公元前212年)是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球(如圖所示)，該球與圓柱的兩個底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.若該球的體積為，則圓柱的體積為 ( )ABCD【答案】C【解析】因為該球的體積為，設(shè)球的半徑為R，則，解得。所以圓柱的體積為：，故選：C.2(2021河北保定市第二十八中學(xué)高一月考)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝它

2、的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如圖2所示，設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為，下部分(半球)的體積為，若，則半球的半徑與圓柱的高之比為( )ABCD【答案】B【解析】設(shè)圓柱的高為h，半徑為r，則圓柱的體積為.而半球的體積為.因為，所以，所以.故選：B3(2021全國高一課時練習(xí))如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)(其中BAC=30)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的表面積為_，體積為_【答案】 【解析】如圖所示，過C作CO1AB于O1，在半圓中可得BCA=90，又BAC=30，AB=2R，AC=R，BC=R，CO1=R，=R

3、R=R2，=RR=R2，S幾何體表=S球+R2，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為R2又V球=R3，V幾何體=V球-()=R3-ABCR3-R3故答案為：；4(2021全國高一課時練習(xí))若圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是_.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，圓錐的高，所以圓錐的體積=故答案為：5(2021全國高一課時練習(xí))若一個圓錐的底面直徑和高都與一個球的直徑相等，那么這個圓錐的體積與球的體積之比為_【答案】【解析】解析：設(shè)球體的半徑為，故答案為：【題組二 旋轉(zhuǎn)體的表面積】1(2021全國高一課時練習(xí))如圖，在四邊形ABCD中，DAB=90，ADC=135，AB=5

4、，CD=2，AD=2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為( )A(60+4)B(60+8)C(56+8)D(56+4)【答案】A【解析】四邊形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，如圖所示：因為，所以圓臺下底面面積，又因為，所以，所以圓臺的側(cè)面積.圓錐的側(cè)面積.所以幾何體的表面積為.故選：A2(2021山東鄒城高一期中)如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則( )A圓錐的母線長為18B圓錐的表面積為27C圓錐的側(cè)面展開圖扇形圓心角為60D圓錐的體積為【答案】

5、D【解析】設(shè)圓錐的母線長為，以為圓心，為半徑的圓的面積為，又圓錐的側(cè)面積，因為圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時，圓錐本身滾動了3周，所以，解得，所以圓錐的母線長為9，故選項A錯誤；圓錐的表面積，故選項B錯誤；因為圓錐的底面周長為，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形圓心角為，則，解得，所以圓錐的側(cè)面展開圖扇形圓心角為120，故選項C錯誤；圓錐的高，所以圓錐的體積為，故選項D正確故選：D3(2021重慶墊江第五中學(xué)校高一月考)如圖，圓錐的母線長為4，點為母線的中點，從點處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到點，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為_【答案】【解析】將圓錐側(cè)面沿母線AB剪開，其側(cè)面展開圖為扇形，如圖

6、，從點處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到點，最短距離即為線段BM長，則有，而M是線段中點，又母線長為4，于是得，即，設(shè)圓錐底面圓半徑為r，從而有：，解得，所以圓錐的表面積為.故答案為：4(2021全國高一課時練習(xí))已知一塊正方形薄鐵片的邊長為，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧，沿弧剪下一個扇形(如圖)，若用這塊扇形鐵片圍成一個無底的圓錐，則這個無底的圓錐的表面積為多少平方厘米？【答案】【解析】由已知，可得這個無底的圓錐的母線長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積即側(cè)面積.【題組三 多面體的體積】1(2021上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)高二期中)在三棱錐中，已知，則該三棱錐

7、的體積為_.【答案】8【解析】如圖，設(shè)長方體的三條棱長為，由題得；，解之得.所以.所以該三棱錐的體積為.故答案為：82(2021全國高一課時練習(xí))已知一個空間幾何體的所有棱長均為1 cm，其表面展開圖如圖所示，則該空間幾何體的體積V_cm3.【答案】1+【解析】依題意，原幾何體是由一個正方體上面接一個正四棱錐組成，其中正方體的棱長為1cm，正方體的體積為1cm3，正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為1cm，則其高為(cm)，體積為(cm3)，所以該空間幾何體的體積為cm3.故答案為：1+3(2021全國高一課時練習(xí))球的球心為點，球內(nèi)切于底面半徑為、高為3的圓錐，三棱錐內(nèi)接于球，已知，則三棱錐的體積

8、的最大值為_【答案】【解析】圓錐的母線長為，設(shè)球O的半徑為，則，解得，C在以AB為直徑的圓上，平面平面，O到平面的距離為，故到平面的最大距離為，又C到AB的最大距離為，三棱錐的體積的最大值為，；故答案為：4(2021全國高一課時練習(xí))如圖所示，ABC和ABC的對應(yīng)頂點的連線AA，BB，CC交于同一點O，且，則_.【答案】【解析】如題干圖，可證ABAB，ACAC，BCBC.所以平面平面三棱錐和三棱錐高之比也為，由等角定理得CAB=CAB，ACB=ACB，所以ABCABC，由，可得，所以=.故答案為：5(2021山東日照神州天立高級中學(xué)有限責任公司高一月考)如圖是邊長為1的正方體，H、G、F分別是

9、棱、的中點，現(xiàn)在沿三角形所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體的_.【答案】【解析】,所以，故答案為：.6(2021黑龍江哈師大附中高一期中)如圖，在四面體中作截面，其中，則_【答案】【解析】作平面，作平面，則共線，由，則，由，則，所以，所以，故答案為：【題組四 多面體的表面積】1(2021上海市控江中學(xué)高二期中)若正四棱臺的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則它的側(cè)面積為_.【答案】100【解析】因正四棱臺的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則該正四棱臺上底、下底面邊心距分別為1，4，而正四棱臺的高、斜高、兩底面對應(yīng)邊心距構(gòu)成直角梯形，于是得斜高，因此，側(cè)面積，所以所求

10、的側(cè)面積為100.故答案為：1002(2021上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)高二期中)已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則此三棱錐的側(cè)面積為_.【答案】【解析】由題意作出圖形如圖：因為三棱錐是正三棱錐，頂點在底面上的射影是底面的中心，在三角中， ，則這個棱錐的側(cè)面積為故答案為：3(2021全國高一課時練習(xí))已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為_【答案】【解析】如圖，在四棱臺中，過點作，垂足為點，在中，故，所以，故四棱臺的側(cè)面積，所以故答案為：4(2021全國高一課時練習(xí))已知正四棱臺兩底面邊長分別為，側(cè)棱長為，則它的側(cè)面積為_【答案】

11、【解析】作出正四棱臺的一個側(cè)面如圖，設(shè)分別為的中點，過作于點由題知，得，解得，在中，即斜高為，所以所求側(cè)面積為答案：5(2021全國高一課時練習(xí))若五棱臺的表面積是30，側(cè)面積是25，則兩底面面積的和為_【答案】5【解析】，則故答案為：5.6(2021全國高一課時練習(xí))如圖，已知正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高，則此正三棱錐的表面積為_【答案】【解析】如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，斜高為，側(cè)面積、底面積分別為，過點O作，與交于點E，連接，則由，即，可得.由，則，即則，則表面積故答案為：【題組五 有關(guān)球的計算】1(2021新疆新和縣實驗中學(xué)高一期末)若三個球的表面積之比是，則它們的

12、體積之比是( )ABCD【答案】A【解析】設(shè)三個球的半徑分別為，因為三個球的表面積之比為，所以，所以所以它們的體積之比為，故選：A.2(2021山東鄒城高一期中)已知長方體的長、寬、高分別為、，且其頂點都在球面上，則該球的體積是( )ABCD【答案】A【解析】長方體的體對角線的長是，長方體外接球的半徑是，這個球的體積為故選：A3(2021全國高一課時練習(xí))兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑是_【答案】【解析】設(shè)大球的半徑為，則有，所以故答案為：4(2021全國高一課時練習(xí))一個底面直徑是的圓柱形水桶裝入一些水，將一個球放入桶內(nèi)完全淹沒，水面上升了且無溢出，則這個球的表面積是

13、_【答案】【解析】由題意，上升的水的體積即為球的體積，若球的半徑為R，即，解得，故這個球的表面積故答案為：5(2021全國高一課時練習(xí))如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的表面積為_【答案】【解析】如圖，連接，交點為，設(shè)球的半徑為，由題意知：則，四棱錐的體積為，解得，該半球的表面積為故答案為：6(2021全國高一課時練習(xí))在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且各側(cè)棱長均為，求該四棱錐外接球的表面積【答案】【解析】因為四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且各側(cè)棱長均為，所以該四棱錐是正四棱錐，取正方形的中心，連接，則點為的中點，如圖，則球心在上， 因為正方形邊長為，所以，所以，因

14、為，所以，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，在中，即，解得：，所以該四棱錐外接球的表面積為.【題組六 綜合運用】1(2021全國高一課時練習(xí))如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為的圓柱(1)求出此圓錐的側(cè)面積；(2)用表示此圓柱的側(cè)面積表達式；(3)當此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)圓錐的底面半徑與高均為2，則圓錐的母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為(2)設(shè)圓柱的半徑為，則，解得，且；所以圓柱的側(cè)面積為(3)，；當時，取得最大值為，此時，圓柱的體積為2(2021貴州高一月考)在長方體中，AB=6，BC=8，.(1)求三棱錐的體積

15、；(2)在三棱柱內(nèi)放一個體積為V的球，求V的最大值.【答案】(1)48；(2).【解析】(1)由長方體的幾何特征知，到平面的距離為,又,所以；(2)設(shè)球的半徑為R，若該球與三棱柱的三個側(cè)面均相切，則R為的內(nèi)切圓的半徑，則,又，此時；若該球與三棱柱的上下底面均相切，此時,;所以在三棱柱內(nèi)放一個體積為V的球，該球半徑最大為2，.3(2021浙江路橋高一月考)如圖所示，在平面五邊形中，分別沿，將與折起使得，重合于點試求：(1)三棱錐的體積；(2)三棱錐的外接球的表面積【答案】(1)；(2)【解析】(1)，則，又，平面.所以；(2)將三棱錐補成長方體知三棱錐的外接球的直徑即為長方體的體對角線長，即，所

16、以球的表面積為4(2021河北定州高一期中)定州市某廣場設(shè)置了一些多面體形或球形的石凳供市民休息.如圖(1)的多面體石凳是由圖(2)的正方體石塊截去八個相同的四面體得到，且該石凳的體積是(1)求正方體石塊的棱長；(2)為爭創(chuàng)全國文明城市，現(xiàn)將表面臟污，棱角輕微磨損的多面形石凳(圖(1)打磨成一個球形的石凳，并用一種環(huán)保底漆全面粉刷.已知這種底漆一瓶的凈含量為235克，可粉刷左右，求此球形石凳最大時，一瓶環(huán)保底漆大約可以粉刷幾個球形石凳？(精確到1)按算【答案】(1)40cm；(2)3個.【解析】(1)設(shè)正方體石塊的棱長為，則每個截去的四面體的體積為.由題意可得，解得.故正方體石塊的棱長為；(2

17、)當球形石凳的面與正方體的各個面都相切時球形石凳的表面積最大.此時正方體的棱長正好是球的直徑，球形石凳的表面積.，所以一瓶環(huán)保底漆大約可以粉刷3個球形石凳.5(2021湖北孝感高一期中)如下圖1，一個正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的邊長為，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(如下圖2)，水面恰好過，的中點(1)求容器中水的體積；(2)當容器底面水平放置時(如圖1)，求容器內(nèi)水面的高度【答案】(1)；(2)【解析】(1)在圖2中，水所占部分為四棱柱四棱柱底面積為，又高為所以水的體積為，(2)設(shè)圖1中水高度為，則，解得所以當容器底面水平放置時，容器內(nèi)水面的高度為6(2021福建寧德高一期中)如圖所示是在圓

18、錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體，該正四棱柱上底面的四頂點在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，已知圓錐側(cè)面積為，底面半徑為.()若正四棱柱的底面邊長為，求該幾何體的體積；()求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值.【答案】()；().【解析】設(shè)圓錐母線長為，高為，正四棱柱的高為()由，有，故，由，故，所以圓錐體積為由，有正四棱柱的底面對角線長為2，由圖可得，所以，故正四棱柱的體積為所以該幾何體的體積為()由圖可得，即，即由，當且僅當時左式等號成立，有，當且僅當，時左式等號成立，故正四棱柱側(cè)面積，當且僅當，時左式等號成立，所以該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值為.7(2021福建福州高一期中)如圖所示的圓錐，頂點為O，底面半徑是5cm，用一與底面平行的平面截得一圓臺，圓臺的上底半徑為2.5cm，這個平面