涵蓋所有高中數(shù)列求方法典型例題

1、.數(shù)列的乞降1直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的乞降公式乞降。（1）等差數(shù)列的乞降公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)（2）等比數(shù)列的乞降公式Sna1(1qn)（切：公比含字母必定要）1q(q1)n2n3n(2n1)2n(2公式法：k2122k16nn(n1)2k3132333n3k123位相減法：比方an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.4裂相消法：把數(shù)列的通拆成兩之差、正相消剩下首尾若干。常拆公式：111；11111)nn1n(n2)2(n)n(nn211(11nn!(n1)!n!(2n1)(2n1)22n12n)1（三）例分析：例1乞降：Sn11111

2、1111n個(gè)Sn(x1)2(x212)2(xn1n)2xxx求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n和Sn思路分析：通分，直接用公式乞降。解：ak11111010210k1(10k1)k個(gè)9Sn1(101)(1021)(10n1)1(1010210n)n110(10n1)n10n19n10999981Sn(x212)(x412)(x2n12)x2x4x2n(x2x4x2n)(111)2n2x42nxx（1）當(dāng)x1，Snx2(x2n1)x2(x2n1)2n(x2n1)(x2n21)nx21x21x2n(x21)2學(xué)習(xí)參照.（2）當(dāng)x1時(shí),Sn4nak(2k1)2k(2k1)(2k1)

3、(k1)k(2k1)(3k2)5k23k222Sna1a2an5(1222n2)3(12n)5n(n1)(2n1)3n(n1)2226221n(n1)(5n2)6：運(yùn)用等比數(shù)列前n和公式，要注意公比q1或q1。2位相減法乞降例2已知數(shù)列1,3a,5a2,(21)an1(a0)，求前n和。n思路分析：已知數(shù)列各是等差數(shù)列1，3，5，2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,an1，可用位相減法乞降。解：Sn13a5a2(2n1)an11aSna3a25a3(2n1)an212:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an當(dāng)時(shí)2a(1an1)n1a(2n1)an(2n1)an1a1,(1a)Sn1

4、(1a)2(2n1)Sn(1a)2當(dāng)a1時(shí),Snn2裂相消法乞降例3.乞降Sn2242(2n)21335(2n1)(2n1)思路分析:分式乞降可用裂相消法乞降.解:ak(2k)21)(2k)2111(2k11)11(111)(2k1)(2k(2k1)(2k1)1)(2k22k2k1Sna1a2ann1(11)(11)(111)n1(11)2n(n1)23352n2n122n12n1n(n1)(a1)123n2答案:Sn:求Sn23na(an1)n(a1)aaaaan(a1)2(a1)倒序相加法乞降例4求：Cn03C1n5Cn2(2n1)Cnn(n1)2n思路分析：由CnmCnnm可用倒序相加法

5、乞降。學(xué)習(xí)參照.：令C03152(2n1)Cn(1)nnnnnSCC(21)n(21)n152310(2)mnmSnnCnnCnCnCnCnCnCn(1)(2)有:2Sn(2n2)Cn0(2n2)Cn1(2n2)Cn2(2n2)CnnSn(n1)Cn0Cn1Cn2Cnn(n1)2n等式建立1an是首a11，公差d3的等差數(shù)列，假如an2005，序號(hào)n等于()分析：由，代入通公式aa(n1)d，即200513(n1)，n699n12在各都正數(shù)的等比數(shù)列n中，首a13，前三和21，345aaaa分析：本考等比數(shù)列的有關(guān)看法，及其有關(guān)算能力等比數(shù)列an的公比q(q0)，由意得a1a2a321，即a1

6、(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合意，舍去)，a3a4a5a1q2(1qq2)3227843假如a1，a2，a8各都大于零的等差數(shù)列，公差d0，(B)Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5分析：由a1a8a4a5，除去Ca1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d12d2a1a84已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個(gè)根成一個(gè)首1的等差數(shù)列，4等于(C)mn解法1：a1，a1d，a12d，a122，x23d，而方程x2xm0中兩根之和142434442xn0中兩根之和也2，aaaa16d4

7、，1234d1，a1，a7是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a3，a5是另一個(gè)方程的兩個(gè)根2144414347，15分或，1，故C1616mnmn2f2：方程的四個(gè)根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差數(shù)列的性：若spq，aasapaq，若x1第一，x2必第四，x27，4于是可得等差數(shù)列1，3，5，7，m7，n15，mn1444416162學(xué)習(xí)參照.55等比數(shù)列an中，a29，a5243，則an的前4項(xiàng)和為S433240120132a29，a5243，a5q324327，q3，a1q9，a13，a296若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a2003a20040，a2003

8、a20040，則使前n項(xiàng)和Sn0建立的最大自然數(shù)n是()4005400640074008解法1：由a2003a20040，a2003a20040，知a2003和a2004兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又a10，則公差為負(fù)數(shù)，不然各項(xiàng)總為正數(shù)，故aa2004，即a0，a0.2003200320044006(a1a)4006(aa)S4006200320040，40062240074007(a14007)4007220040，S2a2a故4006n選B為S0的最大自然數(shù).解法2：由10，200320040，200320040，同解法1的分析aaaaaa20030，a20040，S2003為Sn中的最大值S

9、n是對(duì)于n的二次函數(shù)，如草圖所示，2003到對(duì)稱軸的距離比2004到對(duì)稱軸的距離小，4007在對(duì)稱軸的右邊(第6題)2依據(jù)已知條件及圖象的對(duì)稱性可得4006在圖象中右邊零點(diǎn)B的左側(cè)，4007，4008都在其右邊，Sn0的最大自然數(shù)是40067已知等差數(shù)列a的公差為2，若a，a，a成等比數(shù)列,則a826n1342an是等差數(shù)列，a3a14，a4a16，13412111，又由a，a，a成等比數(shù)列，(a4)a(a6)，解得a88設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a55，則S9()a39S59(a1a9)S929a5951S55(a1a5)5a35929已知數(shù)列1，a，a，4成等差數(shù)列，1，b，b，b

10、，4成等比數(shù)列，則a2a1設(shè)d和q12123b2分別為公差和公比，則413d且4(1)q4，d1，q22，a2a1d21b2q2學(xué)習(xí)參照.10在等差數(shù)列an中，an0，an1an2an10(n2)，若S2n138，n(10)n等差數(shù)列，2n1n12nnaanaa，an2a，又a0，an2，an常數(shù)數(shù)列，而anS2n1，即2n13819，2n1211f(x)1，利用本中推等差數(shù)列前n和公式的方法，可求得f(5)f(4)2x2f(0)f(5)f(6)的.112x12xf(x)，f(1x)2，2x221x2222x22x112x112x1(22x)2f(x)f(1x)2x2x22x222x22222

11、Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2f(6)(5)f(5)(4)f(5)(6)62，SfffSf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)3212已知等比數(shù)列an中，(1)若a3a4a58，a2a3a4a5a6由a352423456532aa4，得a2，aaaaaa4(2)若a1a2324，a3a436，a5a6a1a2324q214，aa(aa)q4(a1a2)q23695612(3)若S2，S6，aaaa.4817181920S4a1a2a3a424，a178a1a2a8S4S4q4q2aaSq14在等差數(shù)列a中，

12、3(a35)2(a7a1013)24，此數(shù)列前13之和.aana3a52a4，a7a132a10，6(a4a10)24，a4a104，S1313(a1a13)13(a4a10)1342622215在等差數(shù)列n中，a53，62，a451049aaaada6a55，a4a5a107(a4a10)7(a5da55d)7(a52d)2217(1)已知數(shù)列an的前n和Sn3n22n，求數(shù)列an成等差數(shù)列.學(xué)習(xí)參照.(2)已知1，1，1成等差數(shù)列，求bc，ca，ab也成等差數(shù)列.abcabc判判定數(shù)列能否等差數(shù)列關(guān)看能否足從第2開(kāi)始每與其前一差常數(shù)明：（1）n1，a1S1321，n2，anSnSn13n2

13、2n3(n1)22(n1)6n5，n1，亦足，an6n5(nN*)首11，ann1656(1)56(常數(shù))(N*)，aannn數(shù)列a成等差數(shù)列且11，公差6n（2）1，1，1成等差數(shù)列，211化得2acb(ac)abcbacbcab22()22()2()2acbcbccaabbacacacac2，ac()baacacacbac2ca，ab也成等差數(shù)列bc18an是公比q的等比數(shù)列，且1，3，2成等差數(shù)列aaa求q的；(2)bn是以2首，q公差的等差數(shù)列，其前n和Sn，當(dāng)n2，比Sn與bn的大小，并明原由（1）由2a3a1a2，即2a1q2a1a1q，a10，2q2q10，q1或122（2）若q

14、1，Sn2nn(n1)n3n22n2，SnbnSn1(n1)(n2)0，故Snbn2q1，Sn2nn(n1)(1)n29n2224n2，SnbnSn1(n1)(10n)，4故于nN+，當(dāng)2n9，Snbn；當(dāng)n10，Snbn；當(dāng)n11，Snbn19數(shù)列an的前n和Sn，已知a11，an1n2Sn(n1，2，3)n求：數(shù)列Sn是等比數(shù)列nan1Sn1Sn，an1n2Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nS12(n1)Sn，n因此Sn12Sn故Sn是以2公比的等比數(shù)列n1nn20已知數(shù)列an是首a且公比不等于1的等比數(shù)列，Sn其前n和，a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，學(xué)習(xí)參照.求證：12S3，

15、S6，S12S6成等比數(shù)列.174成等差數(shù)列，得71416113證明：由a，2a，3a4aa3a，即4aqa3aq，變形得(4q31)(q31)0，q31或q31(舍)4a1(1q6)q3由S61q11；12S312a1(1q3)12161qa1(112q)S12S6S1211q61；S6S6a1(16)11q116qqS6S12S612S3，S6，S12S6成等比數(shù)列12S3S6方法四、數(shù)列通an與前n和Sn的關(guān)系n1Sna1a2a3anaii12anS1n1SnSn1n2型一、猜想法求數(shù)列通【例1】依據(jù)以下數(shù)列的前幾，分寫出它的一個(gè)通公式7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，

16、7，9，9分析：將數(shù)列形將已知數(shù)列7(101),7(1021),7(1031)，,7(10n1)99991+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。可得數(shù)列的通公式1(1)nann2點(diǎn)：本例的求解關(guān)是通分析、比、想、得與數(shù)的一般律，從而求得通。型二用anS1(n1)SnSn1(n求數(shù)列通2)例2已知數(shù)列an的前n和Sn，分求其通公式.Sn3n2分析：當(dāng)n1時(shí),a1S13121，當(dāng)n2,SnSn1(3n2)(3n12)23n1時(shí)an學(xué)習(xí)參照.又a11不合適上式，故an1(n1)23n1(n2)三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)【例3】依據(jù)以下各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，

17、求其通項(xiàng)公式a11,an1an124n21分析：由于an1an1，因此an1an11(11)4n214n2122n12n1因此a2a11(11)a3a21(11)a4a31(11)213235257anan11(11)以上(n1)個(gè)式相加得22n2n31ana11(11)即：an1124n322n14n4n2點(diǎn)撥：在遞推關(guān)系中若an1anf(n),求an用累加法，若an1f(n),求an用累乘法，若anan1panq，求an用待定系數(shù)法或迭代法。特色：andn(a1d),即：anf(n)knm,(k,m為常數(shù)）anknm，（k,m為常數(shù))是數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件。等差中項(xiàng)：若a,b,c成

18、等差數(shù)列，則b稱a與c的等差中項(xiàng)，且acac的充要b；a,b,c成等差數(shù)列是2b2條件。前n項(xiàng)和公式(a1an)nSnn(n1)dSn2；na12特色：Sndn2(a1d)n,22即Snf(n)An2BnSnAn2Bn(A,B為常數(shù))是數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件。判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：學(xué)習(xí)參照.an1and(常數(shù)）（nN）an是等差數(shù)列中項(xiàng)法：2an1anan2（nN)an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：anknb(k,b為常數(shù))an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法：SAn2BnAB為常數(shù))an是等n(,2等差數(shù)列an中，a4a6a8a10a12120,則a91a11的值為(C)3解a1

19、aa1(a2d)93119392221203(a9d)3a835163等差數(shù)列an中，a10，S9S12，則前10或11項(xiàng)的和最大。解：S9S12，S12S90a10a11a12，3a11，00a11，又a100an為遞減等差數(shù)列S10S11為最大。4已知等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為110解：S10，S20S10，S30S20，S110S100，成等差數(shù)列，公差為D其首項(xiàng)為10010109，222D10DS10100，前10項(xiàng)的和為S10010又S110S100S1010DS11010010（）1101022學(xué)習(xí)參照.6.3等比數(shù)列知識(shí)重點(diǎn)an既是等差

20、數(shù)列又是等比數(shù)列an是各1定義：假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比項(xiàng)不為零的常數(shù)列。數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為7等比數(shù)列的判斷法q，（q0)。an1q（常數(shù)）an為等比數(shù)列；定義法：2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式an遞推關(guān)系：an1qan2anan2(an0)an為通項(xiàng)公式：ana1qn1中項(xiàng)法：an1等比數(shù)列；推行：anamqnm3等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則稱b為a與c的等比中項(xiàng)，且為bac，注：b2ac是成等比數(shù)列的必需而不充分條件。4前n項(xiàng)和公式na1(q1)Sna1(1qn)a1anq(q1)1q1q5等比數(shù)列的基天性質(zhì)

21、，(此中m,n,p,qN)通項(xiàng)公式法：ankqn(k,q為常數(shù)）an為等比數(shù)列；前n項(xiàng)和法：Snk(1qn)（k,q為常數(shù)）an為等比數(shù)列。二、性質(zhì)運(yùn)用例2：在等比數(shù)列an中，a1a633，a3a432，anan1求an，若mnpq，則amanapaq反之若Tnlga1lga2lgan,求Tn不真！在等比數(shù)列an中，若a150，則有等式qnman，an2anmanm(nN)a1a2ana1a2a29naman為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)(n29，nN)建立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的成等比數(shù)列。q1時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比數(shù)列。6等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)變an是等差數(shù)列ca

22、n(c0，c1)是等比數(shù)列；an是正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)ogcan(c0，c1)是等差數(shù)列；在等比數(shù)列bn中，若b191則有等式成立。解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a1a6a3a432又a1a6，a1a633解得a132，a61因此a61，即q51，q1a132322因此an32(1)n126n2學(xué)習(xí)參照.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，lgan是等差數(shù)列，由于lganlg26n，lga15lg2(6n)lg2因此Tn(lga1lgan)nn(11n)lg222由題設(shè)可知，假如am0在等差數(shù)列中有a1a2ana1a2a2m1n(n2m1，nN)建立，我們知道，假如若mnpq，則amanapaq，而對(duì)于等比數(shù)列bn，

23、則有若mnpq，則amanapaq因此能夠得出結(jié)論，若bm1，則有b1b2bnb1b2b2m1n(n2m1，nN)建立，在此題中則有b1b2bnb1b2b37n(n37，nN)典例精析一、錯(cuò)位相減法乞降例1：乞降：Sn123naa2a3an解：a1時(shí)，Sn123nn(n1)2a1時(shí)，由于a0123nSna2a3ana112n1naSna2a3anan1由得：.(11)Sn111naaa2anan111a(1an)n11an1a因此Sna(an1)n(a1)an(a1)2綜上所述，n(n1)(a1)2Sna(an1)n(a1)a1)an(a1)2點(diǎn)撥：若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則求數(shù)

24、列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采納錯(cuò)位相減法；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，對(duì)付字母能否為進(jìn)行談?wù)?；?dāng)將Sn與qSn相減歸并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未歸并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)。二、裂項(xiàng)相消法乞降例2：數(shù)列an滿足a1=8，a42，且an22an1an0（nN）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；a4a12則d14因此，an=8（n1）（2）102n三、奇偶分析法乞降例3：設(shè)二次函數(shù)f(x)x2x，當(dāng)xn，n11在等差數(shù)列an中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足S2n4n21，2，Snn，n1學(xué)習(xí)參照.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式記bnanpan(p0)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn。解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，由S2n4n21，2，Snn，n1得a1

25、a23，因此a22a1即da2a11又4n2S2nn1Sn(annda1)2n2(ana1)n22(ann1)an1因此an=n由bnanpan(p0)，有bnnpn因此Tnp2p23p3npnn(n1)當(dāng)p1時(shí)，Tn2當(dāng)p1時(shí)，pTnp22p3(n1)pnnpn1得.(1p)Tnpp2pnnpn1p(1pn)npn11p因此Tnp(1pn)npn1(1p)21pn(n1)(p1)即：Tn2n1p(1pn)np(p1)(1p)21p課外練習(xí)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an1，則S5等于（B）n(n1)A1B5C1D16630解：由于an111n(n1)nn1因此S5(11)(11)(11)12

26、235656f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，數(shù)列an是首項(xiàng)為a(aN)，公差為1的等差數(shù)列，那么f(a1)f(a2)f(a10)的值為（0）A1B1C0D10a解：由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，因此f(0）0，且f(x2)f(x)又?jǐn)?shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列學(xué)習(xí)參照.因此anan1，又aN故原式=0，選C。f(an)f(a)（n為奇數(shù)）f(a1)（n為偶數(shù)）因此f(a1)f(a2)f(a10)5f(a)5f(a1)5f(0)f(1)5f(1)又f(1)f(12)f(1)因此f(1)f(1)即f(1)0a11,an1(11n1

27、22.（2009全國(guó)卷理）在數(shù)列an中，)ann2nbnan（I）設(shè)n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1an1bn1bn1分析：（I）由已知有n1n2n2nbnbn21利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式:2n1(nN*)an2nn（II）由（I）知2n1,nknnkSn=k1(2k2k1)k1(2k)k12k1nnk(2k)n(n1)12k1而k1,又k是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，nkn2n244易得k12k12n1Sn=n(n1)2n1an的前n項(xiàng)和為Sn,若a6S312limSn17.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列,則nn2.分析：a612a15d12a12Snn(n1)Snn1limSnlimn1s3