初中數(shù)學(xué)經(jīng)典相似三角形練習(xí)題附參考答案

1、經(jīng)典練習(xí)題相像三角形（附答案）一解答題（共 30 小題）1如圖,在 ABC 中,DE BC,EF AB,求證： ADE EFC2如圖,梯形ABCD中,AB CD,點(diǎn) F 在 BC上,連 DF與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G（1）求證： CDF BGF；（2）當(dāng)點(diǎn) F 是 BC的中點(diǎn)時(shí),過 F 作 EF CD交 AD于點(diǎn) E,如 AB=6cm,EF=4cm,求 CD的長(zhǎng)3如圖,點(diǎn) D,E在 BC上,且 FD AB,FE AC求證： ABC FDE4如圖,已知 E 是矩形 ABCD的邊 CD上一點(diǎn), BFAE 于 F,試說(shuō)明： ABF EAD5已知：如圖所示,在ABC 和 ADE中,AB=AC,AD=AE

2、,BAC=DAE,且點(diǎn) B,A,D在一條直線上,連接 BE, CD,M, N分別為 BE,CD的中點(diǎn)（1）求證： BE=CD； AMN 是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上, 將 ADE繞點(diǎn) A 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180 ,其他條件不變, 得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍舊成立；（3）在（ 2）的條件下,請(qǐng)你在圖中延長(zhǎng)ED交線段 BC于點(diǎn) P求證： PBD AMN6如圖, E 是.ABCD的邊 BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接 EC,交 AD于點(diǎn) F在不添加幫助線的情形下,請(qǐng)你寫出圖中全部的相像三角形,并任選一對(duì)相像三角形賜予證明7如圖,在 4 3 的正方形方格中,ABC 和 DEF的頂點(diǎn)

3、都在邊長(zhǎng)為 1 的小正方形的頂點(diǎn)上（1）填空： ABC= _ , BC= _ ；（2）判定 ABC 與 DEC是否相像,并證明你的結(jié)論8如圖,已知矩形 ABCD的邊長(zhǎng) AB=3cm,BC=6cm某一時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn) M從 A 點(diǎn)動(dòng)身沿 AB方向以 1cm/s 的速度向 B 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí),動(dòng)點(diǎn) N從 D點(diǎn)動(dòng)身沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間,AMN 的面積等于矩形 ABCD面積的（2）是否存在時(shí)刻 t ,使以 A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相像如存在,求 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由9如圖,在梯形 ABCD中,如 AB DC, AD=BC,對(duì)角線 B

4、D、AC把梯形分成了四個(gè)小三角形（1）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的全部可能情形,并求出選取到的兩個(gè)三角形是相像三角形的概率是多少； （留意：全等看成相像的特例）（2）請(qǐng)你任選一組相像三角形,并給出證明10如圖 ABC中, D為 AC上一點(diǎn), CD=2DA,BAC=45 , BDC=60 ,CEBD 于 E,連接 AE（1）寫出圖中全部相等的線段,并加以證明；（2）圖中有無(wú)相像三角形如有,請(qǐng)寫出一對(duì)；如沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求 BEC與 BEA的面積之比11如圖,在 ABC中, AB=AC=a,M為底邊 BC上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)M分別作 AB、AC的平行線交AC于 P,交 AB于 Q（

5、1）求四邊形 AQMP的周長(zhǎng)；（2）寫出圖中的兩對(duì)相像三角形（不需證明）；（3） M位于 BC的什么位置時(shí),四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論12已知： P 是正方形 ABCD的邊 BC上的點(diǎn),且 BP=3PC,M是 CD的中點(diǎn),試說(shuō)明：ADM MCP13如圖,已知梯形 ABCD中,AD BC, AD=2,AB=BC=8,CD=10（1）求梯形 ABCD的面積 S；（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 動(dòng)身, 以 1cm/s 的速度, 沿 B.A.D.C方向, 向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) C動(dòng)身, 以 1cm/s的速度,沿C.D.A方向,向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)Q作 QEBC于點(diǎn) E如 P、Q兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身,當(dāng)

6、其中一點(diǎn)到達(dá)t目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之終止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒問：當(dāng)點(diǎn) P在 B.A上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在這樣的t ,使得直線PQ將梯形 ABCD的周長(zhǎng)平分如存在,懇求出的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的 t ,使得以 P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與CQE 相像如存在,懇求出全部符合條件的 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的 t ,使得以 P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以 DQ為一腰的等腰三角形如存在,懇求出全部符合條件的 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由14已知矩形 ABCD,長(zhǎng) BC=12cm,寬 AB=8cm,P、 Q分別是 AB、 BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)如

7、P 自點(diǎn) A動(dòng)身,以1cm/s 的速度沿 AB方向運(yùn)動(dòng), 同時(shí), Q自點(diǎn) B 動(dòng)身以 2cm/s 的速度沿 BC方向運(yùn)動(dòng), 問經(jīng)過幾秒, 以 P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與BDC 相像15如圖,在 ABC 中, AB=10cm,BC=20cm,點(diǎn) P 從點(diǎn) A開頭沿 AB邊向 B 點(diǎn)以 2cm/s 的速度移動(dòng),點(diǎn) Q從點(diǎn) B 開頭沿 BC邊向點(diǎn) C以 4cm/s 的速度移動(dòng), 假如 P、Q分別從 A、B 同時(shí)動(dòng)身, 問經(jīng)過幾秒鐘, PBQ與 ABC相像16如圖, ACB=ADC=90 ,AC=,AD=2問當(dāng) AB的長(zhǎng)為多少時(shí),這兩個(gè)直角三角形相像17已知,如圖,在邊長(zhǎng)為 a 的正方形 ABCD中,

8、 M是 AD的中點(diǎn),能否在邊 AB上找一點(diǎn) N（不含 A、B）,使得 CDM與 MAN相像如能,請(qǐng)給出證明,如不能,請(qǐng)說(shuō)明理由18如圖在 ABC 中, C=90 , BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn) Q從 B 動(dòng)身,沿 BC方向以 2cm/s 的速度移動(dòng),點(diǎn)P從 C動(dòng)身,沿 CA方向以 1cm/s 的速度移動(dòng)如 Q、P 分別同時(shí)從 B、 C動(dòng)身,摸索究經(jīng)過多少秒后,以點(diǎn) C、P、 Q為頂點(diǎn)的三角形與CBA 相像19如下列圖,梯形 ABCD中,AD BC,A=90 , AB=7,AD=2,BC=3,試在腰 AB上確定點(diǎn) P的位置,使得以 P,A,D為頂點(diǎn)的三角形與以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形相像20

9、 ABC和 DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,A=D=90 , DEF的頂點(diǎn) E 位于邊 BC的中點(diǎn)上（1）如圖 1,設(shè) DE與 AB交于點(diǎn) M,EF與 AC交于點(diǎn) N,求證： BEM CNE；（2）如圖 2,將 DEF繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn),使得DE與 BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,EF與 AC交于點(diǎn) N,于是,除（ 1）中的一對(duì)相像三角形外,能否再找出一對(duì)相像三角形并證明你的結(jié)論21如圖,在矩形 ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,點(diǎn) P 沿 AB邊從點(diǎn) A 開頭向 B 以 2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q沿 DA邊從點(diǎn) D開頭向點(diǎn) A 以 1cm/s 的速度移動(dòng)假如 P、Q同時(shí)動(dòng)身,用 t （秒）表示移

10、動(dòng)的時(shí)間,那么當(dāng) t 為何值時(shí),以點(diǎn) Q、A、P 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像22如圖,路燈（P點(diǎn)）距地面 8 米,身高米的小明從距路燈的底部（O點(diǎn)） 20 米的 A 點(diǎn),沿 OA所在的直線行走 14 米到 B點(diǎn)時(shí),身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了仍是變短了變長(zhǎng)或變短了多少米23陽(yáng)光明媚的一天,數(shù)學(xué)愛好小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá),頂部不易到達(dá)）,他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺,標(biāo)桿,一副三角尺,小平面鏡請(qǐng)你在他們供應(yīng)的測(cè)量工具中選出所需工具,設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案（1）所需的測(cè)量工具是：_ ；（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖；（3）設(shè)樹高 AB的長(zhǎng)度為 x,請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出 x

11、24問題背景在某次活動(dòng)課中,甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校內(nèi)中一些物體進(jìn)行了測(cè)量下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1,測(cè)得一根直立于平地,長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm200cm,影長(zhǎng)乙組：如圖2,測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm丙組：如圖3,測(cè)得校內(nèi)景燈（燈罩視為球體,燈桿為圓柱體,其粗細(xì)忽視不計(jì)）的高度為為 156cm任務(wù)要求：（1）請(qǐng)依據(jù)甲、乙兩組得到的信息運(yùn)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖 3,設(shè)太陽(yáng)光線 NH與O 相切于點(diǎn) M請(qǐng)依據(jù)甲、丙兩組得到的信息,求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖 3,景燈的影長(zhǎng)等于線段 NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采納等式 156 2+208

12、2=260 2）25陽(yáng)光通過窗口照耀到室內(nèi),在地面上留下寬的亮區(qū)（如下列圖）,已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離 EC=,窗口高 AB=,求窗口底邊離地面的高 BC26如圖,李華晚上在路燈下漫步已知李華的身高 AB=h,燈柱的高 OP=OP=l ,兩燈柱之間的距離OO=m（1）如李華距燈柱 OP的水平距離 OA=a,求他影子 AC的長(zhǎng)；（2）如李華在兩路燈之間行走,就他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和（DA+AC）是否是定值請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如李華在點(diǎn)A 朝著影子（如圖箭頭）的方向以v 1 勻速行走,試求他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度v227如圖,分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓,其面積分別用S

13、1,S2,S3 表示,就不難證明 S1=S2+S3（1）如圖,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形,其面積分別用S1,S2,S3 表示,那么S1,S2,S3之間有什么關(guān)系； （不必證明）（2）如圖,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形,其面積分別用S1、S2、S3 表示,請(qǐng)你確定 S1,S2,S3 之間的關(guān)系并加以證明；（3）如分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形,其面積分別用 S1,S2,S3表示,為使 S1,S2,S3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系,所作三角形應(yīng)滿意什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比（ 1）,（2）,（3）的結(jié)論,請(qǐng)你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義

14、的結(jié)論28已知：如圖,ABC ADE,AB=15,AC=9,BD=5求 AE29已知：如圖 Rt ABCRt BDC,如 AB=3,AC=4（1）求 BD、CD的長(zhǎng)；（2）過 B作 BEDC于 E,求 BE的長(zhǎng)30（ 1）已知,且 3x+4z 2y=40,求 x,y,z 的值；（2）已知：兩相像三角形對(duì)應(yīng)高的比為 3：10,且這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差為 560cm,求它們的周長(zhǎng)參考答案與試題解析一解答題（共 30 小題）1如圖,在 ABC 中,DE BC,EF AB,求證： ADE EFC考點(diǎn)： 相像三角形的判定；平行線的性質(zhì)；專題： 證明題；分析： 依據(jù)平行線的性質(zhì)可知 AED=C,A=FEC,

15、依據(jù)相像三角形的判定定理可知ADE EFC解答： 證明： DE BC,DE FC,AED=C又EF AB,EF AD,A=FEC ADE EFC點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是平行線的性質(zhì)及相像三角形的判定定理2如圖,梯形ABCD中,AB CD,點(diǎn)F 在 BC上,連 DF與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G（1）求證： CDF BGF；（2）當(dāng)點(diǎn) F 是 BC的中點(diǎn)時(shí),過 F 作 EF CD交 AD于點(diǎn) E,如 AB=6cm, EF=4cm,求 CD的長(zhǎng)考點(diǎn)： 相像三角形的判定；三角形中位線定理；梯形；專題： 幾何綜合題；分析： （1）利用平行線的性質(zhì)可證明CDF BGF（2）依據(jù)點(diǎn) F 是 BC的中點(diǎn)這一已知條件,

16、解答： （1）證明：梯形 ABCD,AB CD,CDF=FGB,DCF=GBF, （2 分） CDF BGF（ 3 分）（2）解：由（ 1） CDF BGF,又 F 是 BC的中點(diǎn), BF=FC, CDF BGF,DF=GF, CD=BG,（ 6 分）AB DC EF, F 為 BC中點(diǎn),E 為 AD中點(diǎn),EF是 DAG的中位線,2EF=AG=AB+BGBG=2EF AB=2 46=2,CD=BG=2cm（8 分）可得 CDF BGF, 就 CD=BG,只要求出 BG的長(zhǎng)即可解題點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了相像三角形的判定定理及性質(zhì),全等三角形的判定及線段的等量代換,比較復(fù)雜3如圖,點(diǎn) D,E 在

17、BC上,且 FD AB,FE AC求證： ABC FDE考點(diǎn)： 相像三角形的判定；專題： 證明題；分析： 由 FD AB,FE AC,可知 B=FDE,C=FED,依據(jù)三角形相像的判定定理可知：ABC FDE解答： 證明： FD AB,FE AC,B=FDE,C=FED, ABC FDE點(diǎn)評(píng)： 此題很簡(jiǎn)潔,考查的是相像三角形的判定定理：（1）假如兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相像；（2）假如一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三 角形相像；（3）假如一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相像4如圖,已知 E 是

18、矩形 ABCD的邊 CD上一點(diǎn), BFAE 于 F,試說(shuō)明： ABF EAD考點(diǎn)： 相像三角形的判定；矩形的性質(zhì)；專題： 證明題；分析： 依據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像可解解答： 證明：矩形 ABCD中,AB CD,D=90 , （2 分）BAF=AED（4 分）BFAE,AFB=90 AFB=D（5 分） ABF EAD（ 6 分）點(diǎn)評(píng)： 考查相像三角形的判定定理,關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角5已知：如圖所示,在ABC 和 ADE中, AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且點(diǎn)B,A, D在一條直線上,連接 BE,CD,M,N分別為 BE,CD的中點(diǎn)（1）求證： BE=CD； AMN 是等腰三角形

19、；（2）在圖的基礎(chǔ)上,將ADE 繞點(diǎn) A 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180 ,其他條件不變,得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍舊成立；（3）在（ 2）的條件下,請(qǐng)你在圖中延長(zhǎng)ED交線段 BC于點(diǎn) P求證： PBD AMN考點(diǎn)： 相像三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；專題： 幾何綜合題；分析： （1）由于 BAC=DAE,所以 BAE=CAD,又由于AB=AC,AD=AE,利用 SAS可證出 BAE CAD,可知 BE、 CD是對(duì)應(yīng)邊,依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等,可證AMN是等腰三角形（2）利用（ 1）中的證明方法仍舊可以得出（1）中的結(jié)論,思路不變（3

20、）先證出 ABM ACN（ SAS）,可得出 CAN=BAM,所以 BAC=MAN（等角加等角和相等）,又BAC=DAE,所以 MAN=DAE=BAC,所以 AMN, ADE和 ABC都是頂角相等的等腰三角形,所以 PBD=AMN,所以 PBD AMN（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相像）解答： （1）證明： BAC=DAE, BAE=CAD,AB=AC, AD=AE, ABE ACD,BE=CD由 ABE ACD,得ABE=ACD, BE=CD,M、 N分別是 BE, CD的中點(diǎn),BM=CN又AB=AC, ABM ACNAM=AN,即 AMN為等腰三角形（2）解：（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍舊成立（3）證

21、明：在圖中正確畫出線段 PD,由（ 1）同理可證 ABM ACN,CAN=BAMBAC=MAN又 BAC=DAE,MAN=DAE=BAC AMN, ADE 和 ABC都是頂角相等的等腰三角形 PBD和 AMN都為頂角相等的等腰三角形,PBD=AMN,PDB=ANM, PBD AMN點(diǎn)評(píng)： 此題利用了全等三角形的判定和性質(zhì),以及等腰三角形一個(gè)頂角相等,就底角相等的性質(zhì),仍有相像 三角形的判定（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像）6如圖, E 是.ABCD的邊 BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接EC,交 AD于點(diǎn) F在不添加幫助線的情形下,請(qǐng)你寫出圖中全部的相像三角形,并任選一對(duì)相像三角形賜予證明考點(diǎn)： 相像三角

22、形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；專題： 開放型；分析： 依據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像這一判定定理可證明圖中相像三角形有： AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF解答： 解：相像三角形有AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF（3 分）如： AEF BEC在.ABCD中,AD BC,1=B,2=3（6 分） AEF BEC（ 7 分）點(diǎn)評(píng)： 考查了平行線的性質(zhì)及相像三角形的判定定理7如圖,在 4 3 的正方形方格中,ABC 和 DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為 1 的小正方形的頂點(diǎn)上（1）填空： ABC= 135 , BC= ；（2）判定 ABC與 DEC是否相像,并證

23、明你的結(jié)論考點(diǎn)： 相像三角形的判定；正方形的性質(zhì)；專題： 證明題；網(wǎng)格型；分析： （1）觀看可得： BF=FC=2,故 FBC=45 ；就 ABC=135 ,BC= =2；（2）觀看可得： BC、EC的長(zhǎng)為 2、,可得,再依據(jù)其夾角相等；故ABC DEC解答： 解：（1）ABC=135 , BC=；（2）相像；BC=；, EC=；又ABC=CED=135 , ABC DEC點(diǎn)評(píng)： 解答此題要充分利用正方形的特別性質(zhì)留意在正方形中的特別三角形的應(yīng)用,搞清晰矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系,可有助于提高解題速度和精確率8如圖,已知矩形 ABCD的邊長(zhǎng) AB=3cm,BC=6cm某一時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn)

24、 M從 A 點(diǎn)動(dòng)身沿 AB方向以 1cm/s 的速度向 B 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí),動(dòng)點(diǎn) N從 D點(diǎn)動(dòng)身沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間,AMN 的面積等于矩形 ABCD面積的（2）是否存在時(shí)刻 t ,使以 A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相像如存在,求 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)： 相像三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；專題： 動(dòng)點(diǎn)型；分析： （1）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題,可設(shè)時(shí)間為x,依據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度,找到相等關(guān)系,列方程求解即可,如此題中利用,AMN 的面積等于矩形 ABCD面積的 作為相等關(guān)系；（2）

25、先假設(shè)相像,利用相像中的比例線段列出方程,有解的且符合題意的 t 值即可說(shuō)明存在,反之就不存在解答： 解：（1）設(shè)經(jīng)過 x 秒后, AMN的面積等于矩形 ABCD面積的,就有：（6 2x）x= 3 6,即 x 2 3x+2=0,（2 分）解方程,得 x1=1,x2=2,（3 分）經(jīng)檢驗(yàn),可知 x1=1,x 2=2 符合題意,所以經(jīng)過 1 秒或 2 秒后, AMN的面積等于矩形 ABCD面積的（4 分）（2）假設(shè)經(jīng)過 t 秒時(shí),以 A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相像,由矩形 ABCD,可得 CDA=MAN=90 ,因此有 或（5 分）即 ,或 （ 6 分）解,得 t=；解,得 t=（7 分）

26、經(jīng)檢驗(yàn), t= 或 t= 都符合題意,所以動(dòng)點(diǎn) M,N同時(shí)動(dòng)身后,經(jīng)過 秒或 秒時(shí),以 A, M,N為頂點(diǎn)的三角形與ACD 相像（8 分）點(diǎn)評(píng)： 主要考查了相像三角形的判定,正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程要把握正方形和相像三角形的性質(zhì),才會(huì)敏捷的運(yùn)用留意：一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題,可設(shè)時(shí)間為 x,依據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度,找到相等關(guān)系,列方程求解即可9如圖,在梯形 ABCD中,如 AB DC, AD=BC,對(duì)角線 BD、AC把梯形分成了四個(gè)小三角形（1）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的全部可能情形,并求出選取到的兩個(gè)三角形是相像三角形的概率是多少； （留意：全等看成相像

27、的特例）（2）請(qǐng)你任選一組相像三角形,并給出證明考點(diǎn)： 相像三角形的判定；概率公式；專題： 開放型；分析： （1）采納列舉法,列舉出全部可能顯現(xiàn)的情形,再找出相像三角形即可求得；與,與相像；（2）利用相像三角形的判定定理即可證得解答： 解：（1）任選兩個(gè)三角形的全部可能情形如下六種情形：,（2 分）其中有兩組（,）是相像的選取到的二個(gè)三角形是相像三角形的概率是 P= （4 分）證明：（2）挑選、證明在 AOB與 COD中,AB CD,CDB=DBA,DCA=CAB, AOB COD（ 8 分）挑選、證明四邊形 ABCD是等腰梯形,DAB=CBA,在 DAB與 CBA中有 AD=BC,DAB=C

28、AB, AB=AB, DAB CBA,（ 6 分）ADO=BCO又DOA=COB, DOA COB（ 8 分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查概率的求法：假如一個(gè)大事有 n 種可能,而且這些大事的可能性相同,其中大事 A 顯現(xiàn) m種結(jié)果,那么大事 A 的概率 P（A）= ,即相像三角形的證明仍考查了相像三角形的判定10附加題：如圖ABC 中, D為 AC上一點(diǎn), CD=2DA,BAC=45 , BDC=60 ,CEBD 于 E,連接 AE（1）寫出圖中全部相等的線段,并加以證明；（2）圖中有無(wú)相像三角形如有,請(qǐng)寫出一對(duì)；如沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求 BEC與 BEA 的面積之比考點(diǎn)： 相像三角形的判定；三角形

29、的面積；含 30 度角的直角三角形；專題： 綜合題；分析： （1）依據(jù)直角三角形中 30 度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,可知 CD=2ED,就可寫出相等的線段；（2）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像就可判定ADE AEC；（3）要求 BEC與 BEA的面積之比,從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊,如求得高之比可知面積之比,由此需作BEA 的邊 BE邊上的高即可求解解答： 解：（1）AD=DE,AE=CECEBD,BDC=60 ,在 Rt CED中, ECD=30 CD=2EDCD=2DA,AD=DE,DAE=DEA=30 =ECDAE=CE（2）圖中有三角形相像,ADE AEC；CAE=CA

30、E,ADE=AEC, ADE AEC；（3）作 AFBD的延長(zhǎng)線于 F,設(shè) AD=DE=x,在 Rt CED中,可得 CE=,故 AE=ECD=30 在 Rt AEF中, AE=,AED=DAE=30 ,sin AEF=,AF=AE.sinAEF=點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了直角三角形的性質(zhì),相像三角形的判定及三角形面積的求法等,范疇較廣11如圖,在 ABC 中, AB=AC=a,M為底邊 BC上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)M分別作 AB、AC的平行線交AC于 P,交AB于 Q（1）求四邊形 AQMP的周長(zhǎng)；（2）寫出圖中的兩對(duì)相像三角形（不需證明）；（3）M位于 BC的什么位置時(shí),四邊形AQMP為菱形并證明你

31、的結(jié)論考點(diǎn)： 相像三角形的判定；菱形的判定；專題： 綜合題；分析： （1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等,從而不難求得其周長(zhǎng)；（2）由于 B=C=PMC=QMB,所以 PMC QMB ABC；（3）依據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形 AQMP為菱形解答： 解：（1）AB MP,QM AC,四邊形 APMQ是平行四邊形, B=PMC,C=QMBAB=AC,B=C,PMC=QMBBQ=QM, PM=PC四邊形 AQMP的周長(zhǎng) =AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PM AB, PCM ACB,QM AC, BMQ BCA；（3）當(dāng)點(diǎn) M中

32、BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形 APMQ是菱形,點(diǎn) M是 BC的中點(diǎn), AB MP,QM AC,QM, PM是三角形 ABC的中位線AB=AC,QM=PM=AB= AC又由（ 1）知四邊形 APMQ是平行四邊形,平行四邊形 APMQ是菱形點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì),中位線的性質(zhì),菱形的判定等學(xué)問點(diǎn)的綜合運(yùn)用12已知： P 是正方形 ABCD的邊 BC上的點(diǎn),且BP=3PC,M是 CD的中點(diǎn),試說(shuō)明：ADM MCP考點(diǎn)： 相像三角形的判定；正方形的性質(zhì)；專題： 證明題；分析： 欲證 ADM MCP,通過觀看發(fā)覺兩個(gè)三角形已經(jīng)具備一組角對(duì)應(yīng)相等,即D=C,此時(shí),再求夾此對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比

33、例即可解答： 證明：正方形 ABCD,M為 CD中點(diǎn),CM=MD=ADBP=3PC,PC= BC= AD= CMPCM=ADM=90 , MCP ADM點(diǎn)評(píng)： 此題考查相像三角形的判定識(shí)別兩三角形相像,除了要把握定義外,仍要留意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角,可利用數(shù)形結(jié)合思想依據(jù)圖形供應(yīng)的數(shù)據(jù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比此題中把如干線段的長(zhǎng)度用同一線段來(lái)表示是求線段是否成比例經(jīng)常用的方法13如圖,已知梯形 ABCD中,AD BC, AD=2, AB=BC=8,CD=10（1）求梯形 ABCD的面積 S；（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 動(dòng)身,以 1cm/s 的速度,沿 B.A.D.C方向,向點(diǎn) C

34、運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) C動(dòng)身,以 1cm/s的速度,沿 C.D.A方向,向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng),過點(diǎn) Q作 QEBC于點(diǎn) E如 P、Q兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之終止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒問：當(dāng)點(diǎn) P 在 B.A上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在這樣的 t ,使得直線 PQ將梯形 ABCD的周長(zhǎng)平分如存在,懇求出 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的t ,使得以 P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與CQE 相像如存在,懇求出全部符合條件的 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的 t ,使得以 P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以 DQ為一腰的等腰三角形如存在,懇求出全

35、部符合條件的 t 的值；如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)： 相像三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；專題： 動(dòng)點(diǎn)型；開放型；分析： （1）求面積要先求梯形的高,可依據(jù)兩底的差和 出高后即可求出梯形的面積CD的長(zhǎng),在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解,得（2）PQ平分梯形的周長(zhǎng),那么 AD+DQ+AP=BC+CQ+BP,已知了 AD,BC的長(zhǎng),可以用 t 來(lái)表示出 AP,BP,CQ,QD的長(zhǎng),那么可依據(jù)上面的等量關(guān)系求出 t 的值此題要分三種情形進(jìn)行爭(zhēng)論：一,當(dāng) P 在 AB上時(shí),即 0t 8,假如兩三角形相像,那么中依據(jù)C 的正切值,求出 t 的值C=ADP,或 C=APD

36、,那么在 ADP二,當(dāng) P 在 AD上時(shí),即 8t 10,由于 P,A,D在一條直線上,因此構(gòu)不成三角形三,當(dāng) P 在 CD上時(shí),即 10t 12,由于 ADC 是個(gè)鈍角,因此直角 CQE相像綜合三種情形即可得出符合條件的 t 的值（3）和（ 2）相同也要分三種情形進(jìn)行爭(zhēng)論：ADP 是個(gè)鈍角三角形因此不行能和一,當(dāng) P 在 AB上時(shí),即 0t 8,等腰 PDQ以 DQ為腰,因此 DQ=DP或 DQ=PQ,可以通過構(gòu)建直角三角形來(lái)表示出DP,PQ的長(zhǎng),然后依據(jù)得出的等量關(guān)系來(lái)求t 的值二,當(dāng) P 在 AD上時(shí),即 8t 10,由于 BA+AD=CD=10,因此 DP=DQ=10 t ,因此 DP

37、,DQ恒相等三,當(dāng) P 在 CD上時(shí),即 10t 12,情形同二綜合三種情形可得出等腰三角形以 DQ為腰時(shí), t 的取值解答： 解：（1）過 D作 DH AB 交 BC于 H點(diǎn),AD BH,DH AB,四邊形 ABHD是平行四邊形DH=AB=8； BH=AD=2CH=8 2=6CD=10,DH 2+CH 2=CD 2DHC=90 B=DHC=90 梯形 ABCD是直角梯形S ABCD= （AD+BC）AB= （ 2+8） 8=40（2） BP=CQ=t,AP=8 t ,DQ=10 t ,AP+AD+DQ=PB+BC+CQ8 t+2+10 t=t+8+tt=3 8當(dāng) t=3 秒時(shí), PQ將梯形

38、ABCD周長(zhǎng)平分第一種情形：0t 8 如 PAD QEC 就ADP=Ctan ADP=tanC= = ,t=如 PAD CEQ就APD=Ctan APD=tanC= ,=t=其次種情形： 8t 10, P、A、D三點(diǎn)不能組成三角形；第三種情形： 10t 12 ADP 為鈍角三角形與 Rt CQE不相像；t= 或 t= 時(shí), PAD與 CQE相像第一種情形：當(dāng) 0t 8 時(shí)過 Q點(diǎn)作 QEBC,QHAB,垂足為 E、HAP=8 t ,AD=2,PD=CE= t ,QE= t ,QH=BE=8 t ,BH=QE= t PH=tt= t PQ= =,DQ=10 t ： DQ=DP,10 t=,解得

39、t=8 秒： DQ=PQ,10 t=,化簡(jiǎn)得： 3t 2 52t+180=0解得： t=,t= 8（不合題意舍去）t=其次種情形： 8t 10 時(shí) DP=DQ=10 t 當(dāng) 8t 10 時(shí),以 DQ為腰的等腰 DPQ 恒成立第三種情形： 10t 12 時(shí) DP=DQ=t 10當(dāng) 10t 12 時(shí),以 DQ為腰的等腰 DPQ 恒成立綜上所述, t= 或 8t 10 或 10t 12 時(shí),以 DQ為腰的等腰 DPQ 成立點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相像三角形的判定和性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn),要留意（2）中要依據(jù) P,Q的不同位置,進(jìn)行分類爭(zhēng)論,不要漏解14已知矩形 ABCD,長(zhǎng) BC=12cm,寬 A

40、B=8cm,P、Q分別是 AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)如 P 自點(diǎn) A 動(dòng)身,以 1cm/s的速度沿 AB方向運(yùn)動(dòng),同時(shí),Q自點(diǎn) B 動(dòng)身以 2cm/s 的速度沿 BC方向運(yùn)動(dòng),問經(jīng)過幾秒,以 P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與BDC 相像考點(diǎn)： 相像三角形的判定；矩形的性質(zhì)；專題： 幾何動(dòng)點(diǎn)問題；分類爭(zhēng)論；分析： 要使以 P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與BDC 相像,就要分兩兩種情形進(jìn)行分析分別是PBQ BDC或 QBP BDC,從而解得所需的時(shí)間解答： 解：設(shè)經(jīng) x 秒后, PBQ BCD,由于 PBQ=BCD=90 ,（1）當(dāng) 1=2 時(shí),有：,即；（2）當(dāng) 1=3 時(shí),有：,即,經(jīng)過 秒或 2 秒, PB

41、Q BCD點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相像三角形的判定及矩形的性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)的綜合運(yùn)用15如圖,在 ABC中, AB=10cm,BC=20cm,點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開頭沿 AB邊向 B點(diǎn)以 2cm/s 的速度移動(dòng),點(diǎn) Q從點(diǎn)B 開頭沿 BC邊向點(diǎn) C以 4cm/s 的速度移動(dòng),假如 P、Q分別從 A、B 同時(shí)動(dòng)身,問經(jīng)過幾秒鐘,PBQ 與 ABC相像考點(diǎn)： 相像三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用；專題： 動(dòng)點(diǎn)型；分析： 設(shè)經(jīng)過 t 秒后, PBQ與 ABC相像,依據(jù)路程公式可得 角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可AP=2t,BQ=4t,BP=10 2t ,然后利用相像三解答： 解：設(shè)經(jīng)過秒后t 秒后,

42、PBQ 與 ABC相像,就有AP=2t,BQ=4t,BP=10 2t ,當(dāng) PBQ ABC 時(shí),有 BP：AB=BQ：BC,即（ 10 2t ）：10=4t ：20,解得 t= （ s）（6 分）當(dāng) QBP ABC 時(shí),有 BQ：AB=BP：BC,即 4t ：10=（10 2t ）：20,解得 t=1 所以,經(jīng)過或 1s 時(shí), PBQ與 ABC相像（ 10 分）ts 后, PBQ與 ABC相像,就有, AP=2t,BQ=4t,BP=10 2t 解法二：設(shè) 分兩種情形：（1）當(dāng) BP與 AB對(duì)應(yīng)時(shí),有 =,即 =,解得 t=（2）當(dāng) BP與 BC對(duì)應(yīng)時(shí),有 =,即 =,解得 t=1s所以經(jīng)過 1

43、s 或時(shí),以 P、 B、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像點(diǎn)評(píng)： 此題綜合了路程問題和三角形的問題,所以同學(xué)平常學(xué)過的學(xué)問要會(huì)融合起來(lái)16如圖, ACB=ADC=90 ,AC=,AD=2問當(dāng) AB的長(zhǎng)為多少時(shí),這兩個(gè)直角三角形相像考點(diǎn)： 相像三角形的判定；專題： 分類爭(zhēng)論；分析： 假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相像在 Rt ABC和 Rt ACD,直角邊的對(duì)應(yīng)需分情形爭(zhēng)論解答： 解： AC=,AD=2,CD= =要使這兩個(gè)直角三角形相像,有兩種情形：（1）當(dāng) Rt ABCRt ACD 時(shí),有 =,AB= =3；（2）當(dāng)

44、Rt ACBRt CDA 時(shí),有 =,AB= =3故當(dāng) AB的長(zhǎng)為 3 或 3 時(shí),這兩個(gè)直角三角形相像點(diǎn)評(píng)： 此題考查相像三角形的判定識(shí)別兩三角形相像,除了要把握定義外,仍要留意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角,可利用數(shù)形結(jié)合思想依據(jù)圖形供應(yīng)的數(shù)據(jù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比17已知,如圖,在邊長(zhǎng)為a 的正方形 ABCD中, M是 AD的中點(diǎn),能否在邊AB上找一點(diǎn) N（不含 A、B）,使得 CDM與 MAN相像如能,請(qǐng)給出證明,如不能,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)： 相像三角形的判定；正方形的性質(zhì)；專題： 探究型；分類爭(zhēng)論；分析： 兩個(gè)三角形都是直角三角形,仍只需滿意一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等或夾直角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例

45、即可說(shuō)明兩個(gè)三角形相像如 DM與 AM對(duì)應(yīng),就 CDM與 MAN全等, N與 B 重合,不合題意；如 DM與 AN對(duì)應(yīng),就 CD： AM=DM： AN,得 AN= a,從而確定 N的位置解答： 證明：分兩種情形爭(zhēng)論：如 CDM MAN,就=邊長(zhǎng)為 a,M是 AD的中點(diǎn),AN= a如 CDM NAM,就邊長(zhǎng)為 a,M是 AD的中點(diǎn),AN=a,即 N點(diǎn)與 B 重合,不合題意所以,能在邊 AB上找一點(diǎn) N（不含 A、B）,使得 CDM與 MAN相像當(dāng) AN= a 時(shí), N點(diǎn)的位置滿意條件點(diǎn)評(píng)： 此題考查相像三角形的判定因不明確對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以需分類爭(zhēng)論18如圖在 ABC 中, C=90 , BC=8c

46、m,AC=6cm,點(diǎn) Q從 B動(dòng)身,沿 BC方向以 2cm/s 的速度移動(dòng),點(diǎn) P 從C動(dòng)身,沿 CA方向以 1cm/s 的速度移動(dòng)如 Q、P 分別同時(shí)從 B、C動(dòng)身,摸索究經(jīng)過多少秒后,以點(diǎn) C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與CBA 相像考點(diǎn)： 相像三角形的判定；專題： 綜合題；動(dòng)點(diǎn)型；分析： 此題要依據(jù)相像三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù),即經(jīng)過x 秒后,兩三角形相像,然后依據(jù)速度公式求出他們移動(dòng)的長(zhǎng)度,再依據(jù)相像三角形的性質(zhì)列出分式方程求解解答： 解：設(shè)經(jīng)過x 秒后,兩三角形相像,就CQ=（8 2x）cm,CP=xcm,（1 分）C=C=90 ,當(dāng)或時(shí),時(shí),兩三角形相像 （3 分）（1）當(dāng),x=；（ 4

47、分）（2）當(dāng)時(shí),x=（ 5 分）所以,經(jīng)過秒或秒后,兩三角形相像 （6 分）點(diǎn)評(píng)： 此題綜合考查了路程問題,相像三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法19如下列圖,梯形 ABCD中,AD BC,A=90 , AB=7,AD=2,BC=3,試在腰 AB上確定點(diǎn) P 的位置,使得以 P,A,D為頂點(diǎn)的三角形與以 P,B,C為頂點(diǎn)的三角形相像考點(diǎn)： 相像三角形的判定；梯形；專題： 分類爭(zhēng)論；分析： 此題考查了相像三角形的判定與性質(zhì),解題時(shí)要仔細(xì)審題,挑選相宜的判定方法解題時(shí)要留意一題多解的情形,要留意別漏解解答： 解：（1）如點(diǎn) A, P,D分別與點(diǎn) B,C, P對(duì)應(yīng),即 APD BCP,=,=,AP 2

48、 7AP+6=0,AP=1或 AP=6,檢測(cè)：當(dāng) AP=1時(shí),由 BC=3,AD=2,BP=6,=,又 A=B=90 , APD BCP當(dāng) AP=6時(shí),由 BC=3,AD=2,BP=1,又 A=B=90 , APD BCP（2）如點(diǎn) A,P, D分別與點(diǎn) B,P,C對(duì)應(yīng),即 APD BPC=,=,AP=檢驗(yàn)：當(dāng) AP= 時(shí),由 BP=,AD=2,BC=3,=,又 A=B=90 , APD BPC因此,點(diǎn) P的位置有三處,即在線段AB距離點(diǎn) A的 1、6 處點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相像三角形的判定和性質(zhì)；判定為：有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相像；有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等,且其夾角相等,就兩個(gè)三角形相像；三組對(duì)

49、應(yīng)邊的比相等,就兩個(gè)三角形相像；性質(zhì)為相像三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等20 ABC和 DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,A=D=90 , DEF的頂點(diǎn) E 位于邊 BC的中點(diǎn)上（1）如圖 1,設(shè) DE與 AB交于點(diǎn) M,EF 與 AC交于點(diǎn) N,求證： BEM CNE；（2）如圖 2,將 DEF 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn),使得DE與 BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,EF與 AC交于點(diǎn) N,于是,除（ 1）中的一對(duì)相像三角形外,能否再找出一對(duì)相像三角形并證明你的結(jié)論考點(diǎn)： 相像三角形的判定；等腰直角三角形；專題： 證明題；開放型；分析： 由于此題是特別的三角形,所以第一要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45 ,

50、依據(jù)角之間的關(guān)系,利用假如兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相像可判定三角形相像；再根 據(jù)性質(zhì)得到比例線段,有夾角相等證得ECN MEN解答： 證明：（1） ABC是等腰直角三角形,MBE=45 , BME+MEB=135又 DEF是等腰直角三角形, DEF=45NEC+MEB=135BEM=NEC,（4 分）而MBE=ECN=45 , BEM CNE（ 6 分）（2）與（ 1）同理 BEM CNE,（8 分）又BE=EC,（10 分）就 ECN與 MEN中有,又ECN=MEN=45 , ECN MEN（ 12 分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相像三角形的判定和性質(zhì)：假如兩個(gè)三角形的三組對(duì)

51、應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相像；假如兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等,且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相像；假如兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等,那么這兩個(gè)三角形相像Q沿 21如圖,在矩形 ABCD中, AB=15cm, BC=10cm,點(diǎn) P 沿 AB邊從點(diǎn) A開頭向 B 以 2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn) DA邊從點(diǎn) D開頭向點(diǎn) A以 1cm/s 的速度移動(dòng)假如 P、 Q同時(shí)動(dòng)身,用 t （秒）表示移動(dòng)的時(shí)間,那么當(dāng) t 為何值時(shí),以點(diǎn) Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像考點(diǎn)： 相像三角形的判定；矩形的性質(zhì)；專題： 幾何動(dòng)點(diǎn)問題；分類爭(zhēng)論；分析： 如以點(diǎn) Q、A、P 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像,

52、有四種情形： APQ BAC,此時(shí)得 AQ：BC=AP：AB； APQ BCA,此時(shí)得 AQ：AB=AP：BC； AQP BAC,此時(shí)得 AQ：BA=AP：BC； AQP BCA,此時(shí)得 AQ：BC=AP：BA可依據(jù)上述四種情形所得到的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段求出 t 的值解答： 解：以點(diǎn) Q、A、P 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像,所以 ABC PAQ 或 ABC QAP,當(dāng) ABC PAQ 時(shí),所以,解得： t=6 ；當(dāng) ABC QAP 時(shí),所以；,解得： t=當(dāng) AQP BAC 時(shí),=,即=,所以 t=；當(dāng) AQP BCA 時(shí),=,即=,所以 t=30 （舍去）故當(dāng) t=6 或 t=時(shí),以點(diǎn)

53、Q、A、P 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相像點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了矩形的性質(zhì)及相像三角形的判定和性質(zhì)；當(dāng)相像三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段不明確時(shí),應(yīng)考慮到全部可能的情形,分類爭(zhēng)論,以免漏解22如圖,路燈（ P點(diǎn)）距地面8 米,身高米的小明從距路燈的底部（O點(diǎn)） 20 米的 A 點(diǎn),沿 OA所在的直線行走 14 米到 B點(diǎn)時(shí),身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了仍是變短了變長(zhǎng)或變短了多少米考點(diǎn)： 相像三角形的應(yīng)用；專題： 應(yīng)用題；分析： 如圖,由于AC BD OP,故有 MAC MOP, NBD NOP即可由相像三角形的性質(zhì)求解解答： 解： MAC=MOP=90 ,AMC=OMP, MAC MOP,即解得, MA=5米；

54、同理,由 NBD NOP,可求得NB=米,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解答問題小明的身影變短了5 =米然后依據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程,點(diǎn)評(píng)： 解題時(shí)關(guān)鍵是找出相像的三角形,23陽(yáng)光明媚的一天,數(shù)學(xué)愛好小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá),頂部不易到達(dá)）,他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺,標(biāo)桿,一副三角尺,小平面鏡請(qǐng)你在他們供應(yīng)的測(cè)量工具中選出所需工具,設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案（1）所需的測(cè)量工具是：；（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖；x（3）設(shè)樹高 AB的長(zhǎng)度為 x,請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出 考點(diǎn)： 相像三角形的應(yīng)用；專題： 方案型；開放型；分析： 樹比較高不易直接到達(dá),因而可以利用三角形相像解

55、決,利用樹在陽(yáng)光下顯現(xiàn)的影子來(lái)解決解答： 解：（1）皮尺,標(biāo)桿；（2）測(cè)量示意圖如下列圖；（3）如圖,測(cè)得標(biāo)桿DE=a,樹和標(biāo)桿的影長(zhǎng)分別為AC=b, EF=c, DEF BAC,（ 7 分）點(diǎn)評(píng)： 此題運(yùn)用相像三角形的學(xué)問測(cè)量高度及考查同學(xué)的實(shí)踐操作才能,應(yīng)用所學(xué)學(xué)問解決問題的才能此題答案有多種,測(cè)量方案也有多種,如（1）皮尺、標(biāo)桿、平面鏡；（2）皮尺、三角尺、標(biāo)桿24問題背景在某次活動(dòng)課中,甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校內(nèi)中一些物體進(jìn)行了測(cè)量下 面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1,測(cè)得一根直立于平地,長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm200cm,影長(zhǎng)為乙組：如圖2,

56、測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm丙組：如圖3,測(cè)得校內(nèi)景燈（燈罩視為球體,燈桿為圓柱體,其粗細(xì)忽視不計(jì)）的高度為156cm任務(wù)要求：（1）請(qǐng)依據(jù)甲、乙兩組得到的信息運(yùn)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖 3,設(shè)太陽(yáng)光線 NH與O 相切于點(diǎn) M請(qǐng)依據(jù)甲、丙兩組得到的信息,求景燈燈罩的半徑（友情 提示：如圖 3,景燈的影長(zhǎng)等于線段 NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采納等式 156 2+208 2=260 2）考點(diǎn)： 相像三角形的應(yīng)用；專題： 閱讀型；轉(zhuǎn)化思想；分析： 此題屬于實(shí)際應(yīng)用問題,解題時(shí)第一要懂得題意,然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答；此題需 要轉(zhuǎn)化為相像三角形的問題解答,利用相像三角形的性質(zhì),相像三角形

57、的對(duì)應(yīng)邊成比例解答解答： 解：（1）由題意可知： BAC=EDF=90 , BCA=EFD ABC DEF,即,（2 分）DE=1200（ cm）所以,學(xué)校旗桿的高度是 12m（3 分）（2）解法一：與類似得：,即,GN=208（4 分）在 Rt NGH中,依據(jù)勾股定理得：NH 2=1562+208 2=260 2,NH=260（5 分）設(shè)O 的半徑為 rcm,連接 OM,NH切O 于 M,OMNH（6 分）就OMN=HGN=90 ,又 ONM=HNG, OMN HGN,（7 分）,又 ON=OK+KN=OK+（GN GK）=r+8,解得： r=12 景燈燈罩的半徑是 12cm（8 分）解法二

58、：與類似得：,即,GN=208（4 分）設(shè)O 的半徑為 rcm,連接 OM,NH切O 于 M,OMNH（5 分）就OMN=HGN=90 ,又 ONM=HNG, OMN HGN,（6 分）即MN= r ,又ON=OK+KN=OK+（ GN GK）=r+8（7 分）在 Rt OMN中,依據(jù)勾股定理得：r2+（r ）2=（r+8 ）2即 r2 9r 36=0,解得： r 1=12,r 2= 3（不合題意,舍去） ,景燈燈罩的半徑是 12cm（8 分）點(diǎn)評(píng)： 此題只要是把實(shí)際問題抽象到相像三角形中,利用相像三角形的相像比,列出方程,通過解方程求解即可,表達(dá)了轉(zhuǎn)化的思想此題的文字表達(dá)比較多,解題時(shí)要仔細(xì)

59、分析題意25（2022.白銀）陽(yáng)光通過窗口照耀到室內(nèi),在地面上留下寬的亮區(qū)（如下列圖）,已知亮區(qū)到窗口下的墻 腳距離 EC=,窗口高 AB=,求窗口底邊離地面的高 BC考點(diǎn)： 相像三角形的應(yīng)用；專題： 應(yīng)用題；分析： 由于光線 AE、BD是一組平行光線,即AE BD,所以 ECA DCB,就有,從而算出BC的長(zhǎng)解答： 解： AE BD, ECA DCB,EC=, ED=,CD=6mAB=,AC=BC+,BC=4,即窗口底邊離地面的高為 4m點(diǎn)評(píng)： 此題基本上難度不大,利用相像比即可求出窗口底邊離地面的高26如圖,李華晚上在路燈下漫步已知李華的身高AB=h,燈柱的高 OP=OP=l ,兩燈柱之間的距離OO=m（1）如李華距燈柱OP的水平距離OA=a,求他影子AC的長(zhǎng)；（2）如李華在兩