華理線性代數(shù)答案

1、2121華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第一冊）學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名任課教師1.1矩陣的概念1-矩陣4十訂=0-幾0-1A=3212.設(shè)1000_00_30052A=04,B=0100，c=230,D=0300010041003其中對角陣為，三角陣有解：對角陣為三角陣有力，C,D.12矩陣的運(yùn)算1已知2_2-1013X+-23-11求矩陣X.21212121解：依題意，由6-23X=-4021r-2+4_3-11114-31-1丄34即得x=_32.如果矩陣九x用與Exs滿足AB=BA,試求加心之間的關(guān)系3填空:43rT1-2325701MB11,2,323(1)12-1,2=313140_0-1

2、234_1-3140-235解:(1)6；(2)14；(3)49-12_6-78_-24；(4)20-5-6-364.已知矩陣4=，試求與4可交換的所有矩陣.解：由可交換矩陣的定義，知道所求矩陣必為3階方陣，不妨設(shè)abc010_abcdef001defghi000ghi000AB=abc010_0abdef001=Odeghi_0000gh_BA=def0ab由AB=BA,即得ghi=Ode000_0gh由相應(yīng)元素相等，則得d=g=h=0,a=e=i,b=仁abc故B=0ab（a,b,c均為任意常數(shù)）為與A可交換的所有矩陣.00a5計(jì)算下列各題:（1）兀，兀2,解：原式等于:+a33X+（勺2

3、+禺1）人兀2+（務(wù)3+。31）兀1兀3+（。23+。32）兀2兀33131J.2逅2_V2丄2,求力20083131解：記4=_221_V231313131-100-1,2008=3x669+131313131_1200S_120071222222餡1V31羽1_22_22_22_=A=(_/嚴(yán)2_人=-21丄丄，打33求護(hù).解:313131312281rir-2i99-2i?L23JL2333丿=2*4=25623236.利用等式計(jì)算1735-6T-12解:-6_523205-733197-1266-1257035-27385-292217357.某公司為了技術(shù)革新，計(jì)劃對職工實(shí)行分批脫產(chǎn)

4、輪訓(xùn)，已知該公司現(xiàn)有2000人正在脫產(chǎn)輪訓(xùn)，而不脫產(chǎn)職工有8000人，若每年從不脫產(chǎn)職工中抽調(diào)30%的人脫產(chǎn)輪訓(xùn)，同吋又有60%脫產(chǎn)輪訓(xùn)職工結(jié)業(yè)回到生產(chǎn)崗位，設(shè)職工總數(shù)不變，令-62320-12570332310-257011735-753-28000X=20000.70.6A-0.30.4試用q與x通過矩陣運(yùn)算表示一年后和兩年后的職工狀況，并據(jù)此計(jì)算屆吋不脫產(chǎn)職工與脫產(chǎn)職工各有多少人.解：一年后職工狀況為：AX=68003200不脫產(chǎn)職工6800人，輪訓(xùn)職工3200人.8.不脫產(chǎn)職工6680人,設(shè)矩陣_6800_=A2X=_6680_A32003320兩年后職工狀況為:輪訓(xùn)職工3320人.3

5、-12求:(1)ArBr-BrAr;(2)A2-B2.atbt-btat=2-41r3-613-612-41-2-12-121-2解：（1）9.設(shè)A是對稱矩陣,B是反對稱矩陣,）是反對稱矩陣(A)AB-BA;(B)AB+BA;(C)(AB)2;(D)BAB.10試將矩陣4=13-2-113A=A+At)+A-At)=表示成對稱矩陣與反對稱矩陣Z和.52323232J.2丄2J.25-10_005-1021_21_3-113-11(2)A2-B2=-4-2-4-2-62-(5200_15-5_-15500-301030-1010-200010-20n.設(shè)q是反對稱矩陣，b是對稱矩陣，試證：AB是

6、反對稱矩陣的充分必要條件為AB=BA.證：必要性：由(AB)t=-AB及(AB)t=BtAt=B(-A)=-BA即得AB=BA.充分性：若AB=BA,則(AB)t=BtAt=B(-A)=-BA=-AB,知AB是反對稱陣.12.設(shè)/(x)=amxm+-+a0,記/(A)為方陣A的多項(xiàng)式，即/(A)=酬+%/心+必+a.I(1)設(shè)力=，證明f(A)=fWo0/w(2)A=PAPl,證明f(A)=Pf(A)Pi.解：(1)vAk=J=am+am-lamU+入+Go00QV+6/lA+a0/(A)oofWA=PAPlAk=PAkPl.-./(A)=/(PAP1)=amPAmp-+aPAP1+a.PAP

7、1+aQPPl=Pf(A)Pl13.設(shè)矩陣A=/-2孚匚，其中/為樸階單位陣，a為樸維列向量,aa試證4為對稱矩陣，且A2=I.證：#=（/-2略丁=IT-2（軍）丁=/一亠（耳丁=/一2軍=Aaaaaaaaa故A是對稱矩陣，且宀（/2字）（/2略）=/4字+廠（嚇W.aaaaaa（aa13逆矩陣1.設(shè)4為階矩陣，且滿足人2=人，則下列命題中正確的是（）.（A）A=0；（B）A=h（C）若人不可逆，則A=0；（D）若A可逆，則A=I.解：D.2.設(shè)川階矩陣A、B、C滿足=則必有().(A)CA2B=I；(B)ATBTArCT=I；(C)BA2C=I；(D)A2B2A2C2=/.解：B.-11-

8、1-1-1-11-1-1-1-113.已知矩陣人=求A”及A（樸是正整數(shù)）.證：由A2=4I,即可得nn(A2y=(4iy=2nI,7?為偶數(shù)n-1=(4/)亍A=2n_1A,為奇數(shù)及A中一，亦即宀撲已知/?階矩陣4滿足A2+2A-3I=O,求：A-1,(A+2Z)-1,(A+4/尸.解：依題意，有A(A+2Z)=3/,即$+2/)=/,故3A1=-(A+2Z)；(4+2/)一=-A,3再由已知湊出(4+4/)(A-2/)=-5/,即得(A+4/)1=-4(A-2/)設(shè)A、從AB-I為同階可逆陣，試證：(1)A-A可逆；(2)(人一廠一“也可逆，且有(人滬廠一中=ABA-A.證：(1)A-Bl

9、=ABB1-Bl=(AB-/)B_1n可逆.(2)證法一：(A-Bl)_1_f=(A-A)-(A-B)_1(A-B)A_1=(A-)_1(/-/+A-1)=AB(A-B-)_1=(ABA-A)-nf可逆，且(A歹丁A1=ABA-A.證法二：由(1)=因此(A-B1)_1-A-1(ABA-A)=B(AB_/尸一A1(ABA-A)=B(AB-iy(AB-I)A-A-ABA-1)=BA-BA+1=I可逆，且(A歹丁f1=ABA-A.華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第二冊）任課教師解:矩陣的分塊3400_3200_4-3004500,B=00207004100220062，求（1）1.設(shè)4=(2)A4.A

10、4_A_E佔(zhàn)-A_B2AB=A4A40=(25/)2=625人2500026-7000082000261010_=16102121_41625000_06250000160006416A?4=16/.A4=2設(shè)心0-301000000100丄0W：4丄00020-003ww3已知分塊矩陣叫巴：；，則譏()(A)l叫20)(wj必r(C)1112wTI”21o/解：D(B)%o、(w.TW-T(D)1121叱0丿014.求滿足AX-X+I=A2的矩陣X,其中A=020101解：由原式，整理得(A-I)X=A2-I=(A-I)(A+I),而001201A-I=010可逆，故由上式可得X=AI=03

11、01001025.設(shè)刃卩介矢E卩車4,8$前足人+=48證明4-/可逆，且AB=BA；_1-30_若已知=210,求矩陣A002解:(1)由A+B=AB,移項(xiàng)得AB-A-B=O,即AB-A-B+I=1f亦即(4/)(B/)=/,從而得至IJ4/可逆;且由上式可得(B/)(/)=/,展開得B44B=O,即BA=A+B,結(jié)合條件知=U310丄200由(1)知人一/=(8/)“，即A=(B/)+/,而0-3(B-/)-1=2000設(shè)4=(呦)是一個(gè)加X/?矩陣，(1)計(jì)算“A,Ae.,eAfj,其中弓為加階單位矩陣的第，列，勺為階單位矩陣的第丿列；試證：對任一m維列向量x,xTA=0oA=O；試證：

12、對任一m維列向量x和任一n維列向量y,xTAy=0oA=0解：(1)人=%絢2,，A勺斗仙，如,T，&Aej=ciij(2)“u”顯然;“”由向量x的任意性，取x=ei(z=1,2,./?,且e.為m階單位矩陣的第i列)，則由(1)得&A=an,ai2=0,即A的第i行為零向量，取遍心1,2,.知4的每一行均為零向量，即A=O“u”顯然；“二”由兀與y的任意性，取x=q,y=ej(i=1,2,.mJ=1,2,隔q與勺分別為W階單位陣的第門列)，則由(1)得eAcj=atj=0,即A的每一個(gè)元素都為零，亦即4=07.設(shè)樸階矩陣A=atj維向量a=l,l,lr(1)計(jì)算Ao；若4可逆，其每一行元素

13、Z和都等于常數(shù)c,試證：獷的每一行元素Z和也都相等，且等于丄.C解：(1)設(shè)9為樸階單位矩陣的第j列，則有Q=1丄,1=勺+勺+?ixk=lna2kk=l又設(shè)y為A的第i列，則有Aa=Ae+Ae2+Aen=a+a2+匕=.k=_由題設(shè)及(1)的結(jié)論可得：Aa=ca=Ala=-a,即A*的c每一行元素Z和都等于丄.1.5初等變換與初等矩陣-112212；(2)-401-346-1-11.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.(1)_12；10_r12；10_12C31-34；01010J3101：J1J1Lioioj解：（1）構(gòu)造分塊陣4,并對其進(jìn)行初等行變換2-1_14-24-1031J即得_32i

14、o1031W102.2-1已知A=122112-34，且有XA=X+B,求X5-1122-1102(2)-4012-136-1-1418_1-11；10o-_1-11100_A-I.I=110；01002-1-110211；00103-1-201解：-XA=X+B=X(A_I)=B=X=B(AIf2-3_12-r29-5X=B(A-1)=204-1-1i-2-860-15-1-32-4-149101_84r-10o-3.已知A=010,B=059,c=011，計(jì)算102007021U=B(C7)-1-/r(ABl)T+(加汀.解：1-11j.2210j_J_22j_32_212-1-1-11-

15、1-32U=A(B(CT尸一/)T+=a(Ct)_1-血丁+(血)T=C_1At-(B)TAt+at-100_101-10-rc_1at=0-110101-1202-1102-12-2123_oor10o-4.已知A=456,P=010,Q=001,則789100010poogoi=解:5.A=a”。加a31+11a22a!2a32+a!2a23務(wù)3a33+ai3故而可逆且其逆也是初等且滿足=B4/.010_100_呂=100010001101則有（010_100_1-43_6.解矩陣方程：100X001=20-10010101-20(A)APP2=B；(B)AP2P=B:(C)片4=B；(D

16、)P2PA=B.解：C解：X左右的兩個(gè)矩陣均為初等矩陣,矩陣，于是有010_-11-43_100_-1X=10020-10010011-20010010_1-43100_2-10_10020-1001=13-40011-2001010-27.已知為三階方陣,1-2（1）證明A-2I可逆；（2）若=1200解：=B-4I2B=AB-4A(A=8(B-4/尸+2/=-1-30+21=-1-1000-400-2&設(shè)矩陣4可逆，且A：B.試證：(1)矩陣B可逆；求(3)試證f交換第,、j列后可得矩陣解：(1)依題意，有B=RtjA,其中坷為對應(yīng)于初等變換的行初等矩陣，則由鳥及A均可逆知B必可逆.(2)

17、由(1),得B-1=(/?,/尸=川層=獷鳥,故而AB=A(A-1Ri)=Rh(3)由(1),得B=A-1/?.,而%=C.,故fq=B,即A-1-Bl華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿(第三冊)學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名任課教師2.1行列式的定義2x1231.行列式XX12是關(guān)于兀的次多項(xiàng)式12x3X123x解:4TOC o 1-5 h zab02.已知a、b為整數(shù)，且滿足-ba0=0,求a和b.100018ab0解：ba0=8(6z2+Z?2)=06z2+/?2=0100018因?yàn)閍、b為整數(shù)，故有0341002611179-50=51(-1)1+40403102611(1)=0；(1)=0；(1)=0

18、；(1)=0；=一52(一1嚴(yán)春=-10(0-10-4-3)=120(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；5.設(shè)/=；13x2求它的常數(shù)項(xiàng).0解：/的常數(shù)項(xiàng)C=/(0)=110102301203201=(-l)1+3xlx21(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；3=lx12+3x03=一51(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；2.3行列式的性質(zhì)1.證明下列各等式200220032004200520062007200820092010a+bxqx+bqdibq(2)+b2x+么c2=(1)bja3+b3xa3x+b3c3a3b3c3證明:200220032005

19、200620082009200420072010“2002=200520032006“2002=2005200820091200811=01(2)證法一:dQX+bCbxqx+bq左式=a.ax+b6厶+b2xa2x+b2c2色a3x+b3c3b3xa3x+b3c3S5bYxaYxqaibiq偽工6+b2xa2xc2=(1-F)0b.5*0=右式.$QC3b3xa3xC3C/3b3C3證法二:5(一工)左式=a2(1x2)a3(l-x2)=(1)al-x2)a2x+b2c2=(1-x2)a2ci3x+b3c3a3b2c2=右式.ax+bqax+b2c2吋+c3選擇題：(1)設(shè)4為77階方陣，若

20、A經(jīng)過若干次初等變換變成矩陣則正確的選項(xiàng)是().若IA|=0,則必有網(wǎng)=0；(C)B(D)若|A|0,則必有網(wǎng)0.解：B.設(shè)盒、.、勺是三維列向量，則與三階行列式等值的行列式是()&,2芻+2&+3&釦;(B)&|A|=0已知/?階矩陣4、B滿足：A2=I.B2=lf且國+網(wǎng)=0,試證|a+b|=o.證：依題意，有|a|=i,且|a|=-|b|,進(jìn)而再由移項(xiàng)即得A+B=O.(1)(1)JA=B=-C=D=解:(1)(1)(1)(1)10-10010-110100101=4,K|=Md-bC=1+1=2.(1)(1)(1)(1)24行列式的計(jì)算=xy110011-x000011001iy1111

21、11-x11-y=x2y2.1+x11111-x1111i+y11111-yXX00110011-x1111-x1100yy0011111i)111iy1計(jì)算行列式1(-1)解：原式心(1)(1)(1)(1)2計(jì)算下列n階行列式012n111n1111n122；Dn=-1n11nnn111解:(1)將第2列,，第川列的一(1+2+)1212(-1)倍加到第1列后，得原式=(2)換行后,將第1行乘以n(n+1),n2提取公因子后，再111nn11111n11n11-=(-1)2-1n1111n1n111111n將第2,3/?列全加到第一列,加到以下各行得(-1)2=12n-l2n-l=(1)22

22、n-l2n-l=(1)F(21)(n-l)n=(1)=(21)n-l0=(l)k(21)(1)”a”(a-1)”(a-n)n嚴(yán)(a-l)nl(a-n)nlU+i=:aa-1a-n111111a-n67-1a-=/7!(/?-l)!l!=(Q-7?)，_1(a-1)”anl(a-n)n(a1)3利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算行列式解:=n(丿-。l/jn+l4計(jì)算加階行列式2嚴(yán)abcdaD2n=解：將第2/7行與其上各行逐次交換至第2行，再將第加列與其前各列逐次交換至第2列，得bab=Cd2，l2=S%2“一2=（ad-be）2D2n_4=.=（ad一bc）nD2=（ad一be）2.5行列式的應(yīng)用設(shè)

23、4為刃階方陣，則().若4,B都可逆，則4+B必可逆；若4,B都不可逆，則A+B必不可逆；若可逆，則都可逆；若4B不可逆，則都不可逆.解：C.已知3階方陣4的行列式為|A|=3,求行列式解：由附|=|A|_1=p|Ar|=|A|=3及仲=9,得J1:斗獷慣|=卜十|們才|=91(1V1已知A為3階方陣，且|A|=-,求一A-12才317丿解：由仲呼冷,及宀詁，得討-12A-=7A_1-12A*|=21/T12=93A*=114.已知矩陣人=1000011；，求|A|中所有元素的代數(shù)余子式Z01和.解：解法一：直接計(jì)算各代數(shù)余子式11=i，a2=(-i)1+21 HYPERLINK l book

24、mark2211111=0,010Ab=(-i)1+3o011=0,人14=(-1)1每=-1,血=1，人23=人24=41=0,含2=-1，A33=1,人34=0,1=0,A42=Q人43=-1“44=L于是人+免hAm=1解法二：先求4Al=111101110011000110000100001000011I=0,010000100001000011-10001-10001-10001-100_Ai21AiAi1-10A2%232人4201-1413人23人33人43001人4碼含4人44人1+人2+A|411111111111111110111111101110111+001100111

25、111001100010001000111112兀+y+込=0設(shè)齊次線性方程組L+2y+z=0，試問:x+y+Az=0仃)2取何值時(shí)，方程組只有零解?2取何值時(shí)，方程組有非零解?211111解：系數(shù)行列式121=(2+2)0A-10=(2+2)(2-廳,11200A-1所以當(dāng)兄H1且2北-2吋只有零解；當(dāng)兄=1或2=-2時(shí)有非零解.x+y+z=l6.已知vax+by+cz=d，問a,b,c滿足什么條件時(shí)，此線性a2x+b2y+c2z=d2方程組有唯解，并求這個(gè)解.解：由克拉默法則知方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列111式不等于零，即abc工0,再由范德蒙德行列式知/b2c2111abc=

26、(b-a)(c-a)(c-b),故只有當(dāng)a,b,c互不相等時(shí)，方crb2c2程組有唯-解，且解為(b-d)(c-d)(da)(cd)“_(d-a)(cl-b)x,v乙.(b-a)(c-a)(b-a)(c-b)(c-a)(c-b)7.已知3階方陣A=岡,且對任意的1/,；3都有代數(shù)余子式州=州及an=-1,求:(1)|a|；(2)Ax=勺的解,其中5=1,0,0解：(1)依題意，有才=億即有|才|=|勒,再由W|=|A廠及|Ar|=|A|W|A|(|A|-l)=0；再由|A|=nilAl+勺2人12+。13列3=an+ai2+a!3-(-I)=】知必有A=1.由(1)可知及A*=中，所以在Ax=

27、e的兩端同時(shí)左乘中，得ATAx=ATelf即ALx=an,al2,a13f=-1,0,0,亦即x=-1,0,of 華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿(第四冊)學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名任課教師3.1矩陣的秩設(shè)加矩陣A的秩為廣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()(A)A有廣階子式非零；(B)A的所有廠+1階子式為零;(C)力沒有廠階子式為零；(D)r(A)min(/?7,n)解：C.1a-122.設(shè)r1-1a2=2,則a=10-12解：a=_-1或o_4023.設(shè)A為4x3矩陣,B=020,則r(AB)-r(A)=.103解：0.23441-12-34確定矩陣A=3261的秩，并給出一個(gè)最高階非零-10-21子式.11-

28、23011-230_0-1-2-2-1012210-16+Q-2-1008+a000-2-4-4b0000b+2解：由2知_1-12-3-12-30501001020501000000-10-20000解：利用初等行變換化成行階梯形矩陣來求矩陣的秩.由A知r(A)=2,最高階非零子式可取231-15.當(dāng)參數(shù)取不同數(shù)值時(shí),123J112-1347-10-1-1b的秩。當(dāng)a=8且b=2時(shí)，廠(B)=2;)=3;當(dāng)a=8且?guī)?,或心8且b=2時(shí),當(dāng)gh8且bH2B寸，r(B)=4.6.設(shè)矩陣4=叭咕a2b2a2bn,求心)及r(A2).anb2anbn解:設(shè)a=al,a2,-an,j3=bl,b2,

29、-bn,則人=儀0丁,且有當(dāng)qhO且工0吋，4)=1;當(dāng)a=0或0=011寸，廠(4)=0,又A2=AA=（Q0T）（Q0T）=afa）ff=a）ap則有0咕=0其他7.設(shè)人是加階滿秩陣，是7XH矩陣，試證明ABx=0與By=O是同解方程組，并進(jìn)-步利用齊次線性方程組的有關(guān)定理，說明r(AB)=r(B).證：先證Bx=O的解均為ABx=0的解，若兀是Bx=O的解，則以By=O代入ABx,顯然有ABx=O-,再證ABx=0的解均為=O的解，其實(shí)由A為滿秩陣，在ABx=0兩邊同時(shí)左乘即得Bx=AlO=O；由、即知ABx=0與Bx=O是同解方程組，且它們在能得出其任一解的通解式中含有的任意參數(shù)個(gè)數(shù)必

30、相同，即n-rAB)=n-r(B),亦艮卩r(AB)=r(B).3.2齊次線性方程組_11-1_已知A=-1G1，設(shè)卬=1,0,lr,6Z2=0,1,1丫為TOC o 1-5 h z11b山=0的兩個(gè)解向量，貝=,b=.解：T,T若線性方程組J：*亍+管無解,則常數(shù)a=.2召+6x2-8x3=1解：a=4.3.方程組A3x5x5x1=0必().(A)無解；(C)有非零解;解：C.(B)僅有零解；(D)以上都不是.4.討論下列齊次線性方程組是否有非平凡解(即非零解)？若有,則求出其通解.x2-3七=0X-2x2+5七=0X+2x2+2x3+兀=0(1)(1)解:1-221-2(2)2x+x2-2

31、x3-2x4=0.x-x2-4x3-3x4=01-2210-4501-30301-3001-2010-4500由r(A)=3=未知數(shù)個(gè)數(shù)，知原方程只有零解.(2)解:1住(-2)_1221-20-3-6-4-3耳3(-1)0-3-6-4221-2-1-40-2120053430 # # # #由r(A)=2v3知原方程組有非零解，且原方程組的解為x2=_2兀_扌耳,令兀3=5無=。2,則得通解為 # 0,(cpc2e/?)101o010000000000當(dāng)Q=1吋，B=,錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的公共解為入-1013430X+兀2+=05.設(shè)線性方程組v+2x2+ax3=0與

32、方程血+2兀2+心=I有公X+4兀2+Cl2X3=0共解，求d的值及所有公共解.解：因?yàn)榉匠探M錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的公共解，即為聯(lián)立方程組X+“2+兀3=Xi+2x2+axy=0Xj+4x2+ci2x3=0 x,+2x2+x3=a-11110_101l-a12a00107-114cr000a-lIa121(7-1000(a-1)(7-2)的解對方程組的增廣矩陣方施以行初等變換:=B因?yàn)榉匠探M有解，所以a=l或22,100o0101001-10000當(dāng)a=2時(shí),e,錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未0找到引用源。的公共解為1-112-2已知三階非零矩陣B的每一列都是方程組2-1

33、幾x=0的TOC o 1-5 h z31-1解，求：（1）兄的值；（2）網(wǎng)；（3）一個(gè)矩陣122解：（1）若記矩陣力=2-12，則由題意可知Ax=O有非零解,31-112-2故由212=0,解得2=1.31-1（2）由（1）知方程組的系數(shù)矩陣_12-2_12-200_A=2-110-5501-131-10-55000即4）=2,故方程組Av=O有無窮多個(gè)解，但通解表達(dá)式中只有3心）=32=1個(gè)任意參數(shù)，且由通解為0知矩陣B的每i列必為向量1的倍數(shù)，即各列對應(yīng)成比例，故1由行列式性質(zhì)，知B=o.另解（2）：假設(shè)0卜0則B為可逆陣，由題意知AB=O,右乘 # # AnJ得4=O矛厲，所以|b|=0

34、.0000即可.000（3）由（2）的分析，可取矩陣8=113.3非齊次線性方程組1填空題:xA-x2=aAx2-x3=a2（1）線性方程組x3-x4=a3有解的充分必要條件是解：G+冬+色+勺+冬=0一2兀1+兀2+aX3一5勺=1X+兀4=1(2)設(shè)方程組“+兀2-勺+加=4與(II)x2-2x4=23+七+兀3+2x4=cx3+x4=-1同解，貝la=,b=,c=.解：a=_l,b=_2,c=4.選擇題：(1)設(shè)Ax=0是對應(yīng)加=b的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()若/U=0僅有零解，則Ax=b有唯一解；若Ax=Q有非零解，則Ax=b有無窮多解;若Ax=b有無窮多解，則心=0僅有零

35、解;若=b有無窮多解，則Ax=O有非零解.設(shè)z矩陣A秩為/，則非齊次線性方程組Ax=b().(A)r=m吋有解；(B)廠=時(shí)有唯一解；(C)m=n是有唯一解;(D)rn時(shí)有無窮多個(gè)解.設(shè)A為加xn矩陣,b工0,且r(A)=n，則線性方程組Ax=b().(A)有唯一解；(B)有無窮多解；(C)無解；(D)可能無解.解:(1)D;(2)A;(3)D.Xj+ax2=a設(shè)444是互不相同的常數(shù)，證明方程組看+兮2=a；無解x+a3x2=aj1勺證：A=1禺a(chǎn)；13由范德蒙德行列式知A=(冏一2)(。3aiKa2_4)工0，故r(A)=3,而r(A)=2,所以由心)工r(A),知方程組無解.X-2x2+

36、X3+兀4=1X2x)+X3兀4=1X-2x2+5耳=5求解下列非齊次線性方程組2兀1+勺+2*3-2x4=3Xi-2x2+3x3-x4=1;(2)3jV-x2+5x3-3x4=2(1)解：由212-231-23-11A1-23-1105-4013-15-3205-40-11-23-1；1_05-40；10000；-2知心)=2工3=刁),故方程組無解.(2)解：由-211;11-2111_1-21-1;-1000-2-21-215:500044_1-210；00001；10000；0知廠(4)=廠(可=24,故方程組有無窮多個(gè)解，且有X=2x2+(-1)x3兀11令氐=CnX3=C2，則通解

37、為xi02-1兀20100+q0+C21100心WR)a上取何值吋，線性方程組13-2-1_0132兀2114a111710a+6宀_b_13-2-10_13-2-10_013210132114a1100a-00171067+6b000a-b_4有唯一解、無窮多個(gè)解、無解？并在有無窮多個(gè)解時(shí)求出其通解。當(dāng)QH1時(shí),r(A)=r(A)=4有唯一解；當(dāng)a=1且b工4時(shí),r(A)主r(A)無解；當(dāng)a=1且b=4時(shí)，r(A)=r(A)=24有無窮多解,此時(shí),10-11-7-3013210000000000，得所求通解At(1)由，勺沱2R6.問幾取何值時(shí)方程組有唯一解、無窮多個(gè)解吋求出其通解。無窮多個(gè)

38、解、無解？并在有(1+A)X1+*2+兀3=0v+(1+A)x2+心二3X+兀2+(1+2)兀3=2解：考慮到系數(shù)矩陣是個(gè)含所有參數(shù)的方陣，且由1+21111111111+幾1=(2+3)11+21=(兄+3)020=(2+3)/111+2111+2002可知當(dāng)幾H0且兄H3時(shí)，方程有唯一解; ii #1110_110_1113000311100000當(dāng)幾=0時(shí)，A=，由心)工価知方程組無解;_-2110_111-2130-311-2-303當(dāng)幾=-3時(shí),-23-3-6J000-1-20 # # # #由心)=r(A)=2v3,知方程組有無窮多個(gè)解，且有嚴(yán)=+x2=-2+x3-1-T則通解為兀

39、=-2+C101,（CWR）華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第五冊）學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名任課教師4.1向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組卬=1,3,0,02=5,0,-3,07,岱=2,0,0,線性關(guān)解：無.選擇題：（1）向量組少,勺，勺線性無關(guān)的充分必要條件是（）（A）存在全為零的一組數(shù)kl,k2,.,ks,使ka+k2a2+ksas=0；（B）存在不全為零的一組數(shù)k,k2,ks,使ka+k2a2+ksas工0；（C）對于任何一組不全為零的數(shù)&卡2，.也,都有ka+k2a2+ksas工0；（D）aA,a2,.,as中任意兩個(gè)向量線性相關(guān).解：（C）. （2）下列命題中正確的是（）（A）若整個(gè)向量組

40、線性相關(guān),則必有部分組也線性相關(guān)；（B）若整個(gè)向量組線性相關(guān),則其中必有零向量；（C）若有一部分組線性無關(guān)，則其整個(gè)向量組必線性無關(guān)；（D）若有一部分組線性相關(guān)，則其整個(gè)向量組必線性相關(guān).解：（D）.向量0=1,1,1廠能否由下列向量組線性表示？若能，請表示出來.（1）內(nèi)=1,0,-3，勺=2,0,5，a3=6,0,8r；（2）內(nèi)=1,一3,0，巾=1,一7,0，旳=，1解：（1）若記矩陣A=，則問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉驱R次線性方程組Av=p是否有解，故只需判斷r（A）是否等于廣（出0）.1261而0二0001,顯然心）二2北3二心|0）,故Ax=0無-3581解，即0不能由QiSS線性表示._110r_

41、1002（2）由劃0二-3-701010-1得A)二廣(4|0),00110011故0能由a】sS線性表示，且0=2tZ_夠+偽已知向量a1=A,2,2r,a2=2,22-1勺=2,3,2+3，0=1,1,22-1，問2取何值時(shí),（1）0可由a】，a2,也線性表示，且表達(dá)式唯一?（2）0可由a】，a2,也線性表示，且表達(dá)式不唯一?（3）0不可由勺，a2,也線性表示?解：記心血勺旳，則問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛喾驱R次方程組Ax=p是否有唯一解，有無窮多個(gè)解以及無解.2；1由人|0二；I2A-13；1及A是含參方陣，知可222+3；22-1通過|A|來討論山=p解的情況.TOC o 1-5 h z222同二2

42、2A-13=A(A-1)(A+1)A2兄+3當(dāng)幾工0且;1工-1且;1工1時(shí)，由克拉默法則知Ay=P有唯解，即0可由勺，當(dāng)兄=0時(shí),0二000勺,唯i線性表示;0001-3；-101-120052 # # 故0不能由aY,a2,a3線性即廠(A)hr(A|0),亦即Ar=p無解,表示;112;r_112;r2=1時(shí)，0二113;1001；0114;1000；0即二廣(出0)二23,亦即Ax=p有無窮多個(gè)解，故0可由a.a2.a3)不唯-，地線性表示；2=-1吋，-1-12:111-2；-I-0二-1-33;10-21；0-1-12一3000；-4即r(A)hr(A|/?),故0不能由alya2

43、,a3線性表示；綜合上述得：當(dāng)兄工0且兄工一1且無工1時(shí),即0可由al,a2,a3唯一線性表示當(dāng)2=1時(shí)，0可由a,a2,a3線性表示，且表達(dá)式不唯一；當(dāng)2=0或2=-1時(shí)，0不可由內(nèi),勺衛(wèi)3線性表示。設(shè)向量組al,a2,.,an中，前農(nóng)-1個(gè)向量線性相關(guān)，后并一1個(gè)向量線性無關(guān)，試討論：(1)aA能否用a2,線性表示；匕能否用內(nèi)s,一1線性表示；解：(1)因?yàn)楹?1個(gè)向量線性無關(guān),也就是向量勺,勺，勺線性無關(guān)，所以如也，線性無關(guān);又因?yàn)榍傲?1個(gè)向量線性相關(guān)，即?！耙?線性相關(guān)，所以Q1能用a2,.,an_線性表示；(2)反證法.假設(shè)a”可以用aqs，S-1線性表示，由可知a“可以用如1線性

44、表示,也就是a2,a39.,an線性相關(guān)，與題設(shè)矛盾所以勺不能用內(nèi)。2,勺-1線性表示.判別下列各組向量的線性相關(guān)性:(2)_17_3_629一8015-2-6,Ctj=0,ct9,勺00023016_23一15-5_少=-12,O(2=-49OC=16,勺=6330279o-(1)aA=0,a2=0-10 # # 0解：(1)因?yàn)榇嬖谌?0及=1使得kal+k2a2=0成立，所0以這兩向量線性相關(guān).解：(2)觀察后，將這四個(gè)向量重新排列，構(gòu)造矩陣A=a2,a4,al9a3=29-20178-6，則因?yàn)樾?=4,知此四個(gè)向00023量線性無關(guān).很明顯，這是4個(gè)三維向量，將它們排列成一個(gè)矩陣后，

45、矩陣的秩最多為30012L0-2/53-a # ,0依題意，則有二AC其中C為H階方陣，而c=,n為偶數(shù)吋2,為奇數(shù)時(shí)若3,向量組線性相關(guān);若。工3,向量組線性無關(guān).已知向量組aa2,.,a”線性無關(guān)，且01二4+2,/32=a2+a3,.pn-an+a試討論fln,的線性相關(guān)性解:記矩陣A=a15a25.,an,B=血02,8=岡,02,.,0二。142,.,弘性無關(guān)知矩陣A滿秩，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即C為降秩陣吋，由BAC及r(B)niinr(A)?r(C)an的線性無關(guān).&設(shè)A為mxn矩陣，B為nxin矩陣，求證：(1)如果mn,則AB=0；(2)女D果加5且AB=Z,則r(B)=m.證：(

46、1)由矩陣秩的理論，可知r(A)n,r(B)mintn,n=n以及r(AB)niinr(A),r(B),于是r(AB)n,而AB是加xth矩陣,故由加n知AB是降秩陣，即AB=0；(2)若mn,則一方面r(B)minw,n=m；另一方面由r(/)=r(AB)r(B)及AB是mxm矩陣知有mr(A+/)+r(A-/)-n,即r(A+/)+r(A-I)-n0,另一方面n=r(2/)=r(A+/)+(/-A)/?,綜合可得r(A+/)+廠(A/)=設(shè)向量組內(nèi),勺，匕線性無關(guān)，向量人可由這組向量線性表示，而向量02不能由這組向量線性表示，證明：向量組內(nèi)衛(wèi)2,+02必線性無關(guān)(其中C為常數(shù)).證明：設(shè)存

47、在常數(shù)k使得klal+k2a2+knan+k(c0+0?)=0則一定有k=0,否則,角就可以由匕皿0、線性表示，進(jìn)而可以由的，如，線性表示,這與題設(shè)矛盾，故鳥=0,即ka+k2a2+=0又因?yàn)橄蛄拷Maa2,.9an線性無關(guān),所以有k=k2=.=kn=0.(1) #=刮到當(dāng)味*H82H”嚴(yán)HH0耳s(1) #Fal+L3+kg-+=(c+0270注w“可WZFLR2:azc+t空H?出卅. (1) #華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿(第六冊)學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名任課教師4.3向量空間設(shè)人為6階方陣A的伴隨矩陣，則當(dāng)A的秩為2吋，齊次線性方程組=0的解空間的維數(shù)為，而當(dāng)A的秩為5時(shí)，齊次線性方程組45=

48、0的解空間的維數(shù)為.解：6；5.設(shè)才為(772)階方陣A的伴隨矩陣，設(shè)對任意的維向量X均有A=0,則齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量個(gè)數(shù)k滿足()(A)k=n；(B)k=1；*=0；(D)*1.解：D.設(shè)A為料階矩陣,若r(A)=n-3f且a,a2,a3為Ax=0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則下列各組中為山=0的基礎(chǔ)解系是().(A)-a1,a1-a3,a3-a；(B)宓心一碣心一色+色；(C)2+也,勺,0；(D)匕，3弓+再,一2解：B.、T設(shè)Vj=,v,=x=,x2,x3rxA+x2+x=-1,x,e/?,/=1,2,3問疋的這兩個(gè)子集，對疋的線性運(yùn)算是否構(gòu)成向量空間，為什么？解：按向

49、量空間理論，只需驗(yàn)證每個(gè)子集對疋的線性運(yùn)算是否滿足封閉性.先看，Vx=x15x2x3r,），=北*2，兒%，及常數(shù)k,有x+y=心+y1,x2+y2,x3+兒了及（“+比）+（兀2+%）+（可+3）=（“+兀2+兀3）+（兒+%+）3）=0+0=0即對加法滿足封閉性；而kx=kxl,kx2,kx3r,及kx+g+kx3=kg+筆+心）二0亦即對數(shù)乘滿足封閉性，故構(gòu)成向量空間.再看嶺，Vx,yeV2,有x+y=x+y,x2+y2,x3+）,但（x1+y1）+（x24-y2）+（x3+y3）=（x14-x2+x3）+（y1+y2+y3）=-l-l=-2即x+）陀嶺，亦即對加法不滿足封閉性，故嶺不構(gòu)

50、成向量空間.試求由內(nèi)，a2,勺生成的向量空間V二期（Q,a2,a3）的一個(gè)基及V的維數(shù)dimV,其中a嚴(yán)1,2,-3,0丫，勺=-1,-1,5,2,3=0,1,-2,2解：由于V是向量組少，MS的生成子空間，故V的基及維數(shù)完全等價(jià)于向量組同,勺，勺的最大無關(guān)組及秩.由12-30-1-35201-2-210-30-1-15201-2-21000-1-12201-2-21000-11000-100知可取為V的一個(gè)基,且dimV=2.6.已知一個(gè)四維向量組Q嚴(yán)1,3,-2,1,a2=0,-l,5,2r, (1) #T丁3=3,8,-1,5,a4=1,6,-17,-5,(1)求aa2,a3,a4的一個(gè)

51、最大無關(guān)組及秩；(2)將其余向量用這個(gè)最大無關(guān)組來線性表示；知(1)解：構(gòu)造矩陣并進(jìn)行初等行變換，由(2)由初等行變換的結(jié)果矩陣010031001-300kisss二1031103110313-1860-1-13011-3-25-1-17*055-150000_125-5022-6|_0000秩為2,可取，勺為一個(gè)最大無關(guān)組;a3=3a+a2,a4=a-.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)2兀1-x2+4x3-3x4=0X+兀一耳=3X+x2+x3=07召+7x3-3x4=0(2)nx+(n一l)x2+2兀+xn=0.2-14-3_1010_101-101-20311000017073_00

52、00解：(1)由力=即r(A)=34,知方程組有非零解，且基礎(chǔ)解系中含有4-廠(4)二1個(gè)線性無關(guān)解向量.解為x2=2x3,即知基礎(chǔ)解系為=-1,2,1,0“=0解：(2)顯然方程組有非零解，且基礎(chǔ)解系中含-1個(gè)線性無關(guān)解向量，由解為x”=-nx-(77-l)x2-.-2x/j_1,即知基礎(chǔ)解系&設(shè)A是階方陣，試證r(AM)=r(An+1).100100-，“2=-00-771-n000z7/i-i=1-2證：我們通過證明=0與/TG=0是同解方程組來說明問題.顯然,化=0的解都是4曲兀=0的解,下證AM+1x=0的解兀是A”x=O的解.否則，若從心0,考慮向量組兀山異比異”-比仇,若kQx+

53、kAx+k2A2x+kn_Anx+knA,lx=0(*)在上式兩邊左乘A,利用An+ix=An+2x=.=A2nx=Q,得kQAnx=0,而AkzO,故必有心二0,此吋，(*)式變?yōu)閗Ax4-k2A2x+kn_tAnlx+knAnx=0,再用人心兀左乘上式兩端，必得k嚴(yán)0,依次類推，最終必有k0=k2=.=kn_=kn=0,這說明n+1個(gè)向量x,Ax,A2x,AAx是線性無關(guān)的，而這顯然與J+1個(gè)斤維向量必線性相關(guān)”矛盾，故說明假設(shè)錯(cuò)誤，即只有A、=0綜合上述，知Ax=0與A,+1x=0同解，進(jìn)而有r(An)=r(A,l+l).4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)1填空題已知非齊次線性方程組Ax=b有通解

54、表達(dá)式x=2,3,6,-5p+0,5,5,3(reR),則r(A)=.解：3.設(shè)A是3階方陣，r(A)=2,且人中每行元素Z和均為零，則齊次線性方程組Ax=0的通解為解：x=(c,c,c)r,ce/?.(3)已知勺憶2點(diǎn)為非齊次線性方程組的三個(gè)解，又芻+=(3,0,if,3=(2,-1,0)且r(A)=2,則Ax=b的通解為.解：x=(l,-2,-l)rc+(2,-1,0)r,ce/?.2.設(shè)a,a2,a3為Ax=b的解，則()是Ax=0的解.(A)a】+久+勺；(B)2a+3a2-Sa3；(C)al+a-a3；(D)ai-a1-ay.解：B.3已知非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為2,又已知該非

55、齊次線性方程組的三個(gè)解向量為x嚴(yán)1,-1,-2,3丫，x2=3,2,0,-47,x3=l,-5,3,lf,試求該方程組的通解.解：由方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)為4及系數(shù)矩陣的秩為2,知其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中只含兩個(gè)線性無關(guān)解向量，再由“非齊次線性方程組兩個(gè)解的差必為對應(yīng)的齊次線性方程組的解”，以及不-兀2=-2,-3,-2,7,x1-x3=0,4-5,2r線性無關(guān).知非齊次線性方程組的通解等于它自身的-個(gè)特解加上它對應(yīng)的齊次線性方程組的通解，即通解=“+C(X-兀2)+5(兀-兀3)=b-1，-2,3+q-2,-3，2,7+c20,4?5,2e町.4.設(shè)非齊次線性方程Ax=b的系數(shù)矩陣的秩r

56、(Ax3)=2，加2是該方程組的兩個(gè)解，且有弘+2=2,-1,1廠，3弘+52=-6,0,5丁，求該方程組的通解.解：依題意，非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中只含3汀（A）二1個(gè)解向量，按照非齊次線性方程組與其對應(yīng)的齊次線性方程組兩者解的結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系，可取寺（1+2）為山=b的一個(gè)特解可取（31+5%）-（弘+帀2）為2o2對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則Axb的通解為=A（l+772）+C6（31+52）一懇（1+2）ZOZ1一丄丄1+C711L22L428j(ceR).5.已知向量,7為Amxnx=bflJn-r+1個(gè)線性無關(guān)解,且r（A）-r.試證：%一o，久“一o為

57、Ar=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2）Ax=b的通解可由,班，,，線性表示,且系數(shù)和為1.證：依題意，只要證明-0，2-0，T-0是山=0的線性無關(guān)的解向量即可，而它們是AX二0的解向量很顯然，故下證-0，2-0，0線性無關(guān)考慮k（1一0）+込（2-0）+/-（心一0）二0，即-（人+心+心）0+/1+心2+匕-二，由0，1，2，“一線性無關(guān)，知必有（k+k?+kn_r）=0TOC o 1-5 h zk1=0k2=0kn.r=0故而7辦一o，2-7/（），7血_”一0線性無關(guān).證：（2）由解的結(jié)構(gòu)知的通解為k（1一0）+比2（7?2-0）+k,i（7乙_一0）+0二1-（人+人“）371+2%+-+n

58、-r%-r且其系數(shù)和為1-4.5向量的內(nèi)積1將向量組Q嚴(yán)1,1,17,勺=2,0,0旳=1,1,of規(guī)范正交化.解：利用施密特正交化公式，即得0嚴(yán)內(nèi)=1,1,1P2=a2-501A=i,Mr-|2,o,or=42_2333502廠12ol-l22再進(jìn)行單位化，即得 # #(1) # # #(1) #2.已知勺，a2,旳為維規(guī)范正交向量組，且01二2q+2勺+ # (1) #兄勺，/?2=2-22a2+2a3,問2為何值時(shí)，向量0】，0?正交？當(dāng)它們正交時(shí),求出|0，|肉|解：正交即內(nèi)積為零，為使0,02正交，必有=0,也即V01,02=0i02=(2q+2a、+ACt)T(2q2/12+Ttt

59、tT2T=4da+4a2+2Aa3aL一4Aaa2一4Aa2a2-2Acr3a2+2Aa/a3+2Aa2a3+A2a7a3=4-42+22=(2-2)2=0(注意，化簡過程中利用了5,&2，如為規(guī)范正交向量組)，故當(dāng)兄=2吋，燉正交.此時(shí),0=2內(nèi)+2a2+2勺,02=2d-4a2+2a39于是|A|=V=7=V22+22+22=2V3IIA|=02,02=WK=Q+(-4)2+T=2苗3.已知兩個(gè)正交單位向量=勺=(-爲(wèi)廠新，試求列向量匕使得以，勺，匕為列向量組成的矩陣Q是正交矩陣.解：依題意，所求的向量勺應(yīng)該滿足，TOC o 1-5 h z丁TaAa3=0,a2a3=0,a3=1.設(shè)向量a

60、3=(x1?x2,x3),由a/a3=0,aa3=0有$/9葉(8/9)皆(4/9心0;44(8/9)不+(1/9)吃(4/9)吃=0173-73 #(1) #再利用陽2=彳+X；+E=1得：“3=于是所求的向量為(1) #華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿(第七冊)學(xué)院學(xué)號專業(yè)班級姓名任課教師5.1方陣的特征值與特征向量1.選擇題(1)設(shè)幾為方陣4的特征值，則().矩陣A的對應(yīng)特征值幾的所有特征向量構(gòu)成一個(gè)向量空間;矩陣A的對應(yīng)特征值幾的特征向量一定有無窮多個(gè)；對應(yīng)特征值幾的特征子空間的維數(shù)等于矩陣(力-刀)的秩；矩陣(A-刀)一定可逆.解:B.若歹是對應(yīng)幾的特征向量,那么豬(0)也是對應(yīng)兄的特征向