空間解析幾何基本知識(shí)

1、關(guān)于空間解析幾何基本知識(shí)第一張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系二、曲面及其方程的概念 三、幾種常見的曲面及其方程空間解析幾何基本知識(shí) 第七章 第二張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3面面面x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)復(fù)習(xí)1.空間直角坐標(biāo)系第三張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月42.平面基本方程:一般式復(fù)習(xí)平面A x + B y + C z = 0通過坐標(biāo)原點(diǎn)；3.平面一般方程的幾種特殊情況：截距式第四張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5平面過x 軸；平面/x 軸；平面Cz + D = 0平行于xoy 坐標(biāo)面；平面過y 軸；平面

2、/y 軸；平面By + D =0平行于xoz 坐標(biāo)面；平面Ax + D =0平行于yoz 坐標(biāo)面.平面過z 軸；平面/z 軸.第五張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月64.柱面方程的特征：只含兩個(gè)坐標(biāo)的方程一定是柱面方程，缺少哪個(gè)變量字母，母線就平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸.二元方程都是柱面方程25第六張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月7引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線故在空間過此點(diǎn)作所形成的曲面稱為圓柱面.對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn) 其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,三、

3、柱面第七張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月8觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所這條定曲線C 叫(1) 定義形成的曲面稱為柱面.柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)C一般的第八張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月9C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第九張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月10C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面

4、的母線.動(dòng)第十張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月11C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十一張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十二張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月13C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線

5、，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十三張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月14C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十四張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月15C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十五張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲

6、線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十六張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月17C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十七張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月18C平行于定直線并沿定曲線C 移動(dòng)的直線L所(1) 定義形成的曲面稱為柱面.三、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，直線L 叫柱面的母線.動(dòng)第十八張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月19（2）求柱面方程設(shè)母線/z軸，準(zhǔn)線是xoy面上的曲線C:F(x,y)=0.設(shè)M(x,y,z)

7、是柱面上的任一點(diǎn)，作面于N，則N(x, y)是曲線F(x,y)=0上的點(diǎn)，則得M(x,y,z)點(diǎn)滿足的方程為F(x,y)=0.所以柱面方程為：xzyoNM(x,y,z)F(x,y)=0只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面，而準(zhǔn)線為xoy面上的曲線C.第十九張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月20g(y,z)=0是母線/x軸,g(y,z)=0所構(gòu)成的柱面.類似地：準(zhǔn)線為yoz面內(nèi)的曲線h(x,z)=0是母線/y軸,h(x,z)=0所構(gòu)成的柱面.準(zhǔn)線為xoz面內(nèi)的曲線注意：柱面方程一定是二元方程，缺少哪個(gè)變量字母，母線就平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸.第二十

8、張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月21柱面方程的特征：只含兩個(gè)坐標(biāo)的方程一定是柱面方程，缺少哪個(gè)變量字母，母線就平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸.二元方程都是柱面方程第二十一張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月22拋物柱面平面例問方程表示什么曲面？zxyo拋物柱面第二十二張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月23橢圓柱面xyzo拋物柱面雙曲柱面例如：母線/x軸母線/z軸母線/y軸第二十三張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月24例1 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？解斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程第二十四張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年

9、6月25(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第二十五張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月26(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第二十六張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月27(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第二十七張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月28(1)定義以一條平面這

10、條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第二十八張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月29(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第二十九張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月30(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月31(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線

11、繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十一張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月32(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十二張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月33(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十三張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月34(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所

12、生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十四張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月35(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十五張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月36(1)定義以一條平面這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲3、旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.面的軸曲面的母線.曲線叫旋轉(zhuǎn)第三十六張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月37例如 :第三十七張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月38(2) 建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面

13、的方程:給定 yoz 面上曲線 C: 設(shè)所求曲面上的動(dòng)點(diǎn)為則點(diǎn)M一定是曲線上的某點(diǎn)轉(zhuǎn)過來的.故旋轉(zhuǎn)曲面方程為：當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),設(shè)則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到第三十八張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月39思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？總之：旋轉(zhuǎn)曲面的方程方程：yoz面上的曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線 f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為第三十九張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月40例3. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲

14、面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為第四十張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月41旋轉(zhuǎn)拋物面oyzxxyzo第四十一張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月42例4. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方第四十二張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月43該曲面叫圓錐面.方程的特點(diǎn)：叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.三元二次齊次方程.同理：中心軸是 y 軸中心軸是 x 軸.也是標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.也是標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.是上半圓錐面.第四十三張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月44旋轉(zhuǎn)拋物面.旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲

15、面.如第四十四張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月455、其它的二次曲面三元二次方程 這類曲面通常都可以先經(jīng)過旋轉(zhuǎn),然后伸縮變形得到稱為旋轉(zhuǎn)+伸縮型二次曲面 .其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )特征：第四十五張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月461.定義：三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,伸縮法 .其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )相應(yīng)地平面被稱為一次曲面用坐標(biāo)面和

16、平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,了解曲面的全貌，即為截痕法.考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而截痕法：5、其它的二次曲面第四十六張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月47伸縮法：第四十七張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月48ozyx將旋轉(zhuǎn)橢球面 沿 軸方向伸縮 倍得：2. 橢球面橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面球面第四十八張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月49第四十九張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月50（2）雙葉雙曲面ozyxxyoz旋轉(zhuǎn)雙曲面 ,沿軸 方向伸縮 倍第五十張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月51xyzooyzx第五十一張，PPT共六

17、十九頁，創(chuàng)作于2022年6月52設(shè)a,b均大于0,以平行于xOy面的平面z=z0(z00)截橢圓拋物面,所得截線方程為它表示平面z=z0上一橢圓.以z=0截曲面,截得一點(diǎn)為原點(diǎn). 第五十二張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月53以平行于xOz面的平面y=y0截曲面,截線方程為 這是平面y=y0上一條拋物線.以平行于yOz面的平面x=x0截曲面所得截線是平面x=x0上的一條拋物線. 第五十三張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月54xyzo第五十四張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月551.空間曲面三元方程 球面 旋轉(zhuǎn)曲面 柱面-二元方程如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,

18、橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 . 圓錐面的方程時(shí) 叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面.yoz面上的曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：內(nèi)容小結(jié)第五十五張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月562. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 第五十六張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月57BB第五十七張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月58空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組 表示圓柱面與平面的交線 C，是空間一個(gè)橢圓.C一、空間曲線的一般方程補(bǔ)第五十八張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月59又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 由于是上半球面,是圓柱面,交線如圖,叫維維尼曲線第五十九張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月60例如: 下列方程組各表示怎樣的曲線？所以，空間曲線的方程是不唯一的.第六十張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月61三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影CCC關(guān)于 的投影柱面C在 上的投影曲線Oxzy設(shè)曲線 則C關(guān)于xoy面的投影柱面方程應(yīng)為消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：第六十一張，PPT共六十九頁，創(chuàng)作于2022年6月62例3.解：代入消元求交線C的投影曲線的方程.由所給的方程相減得：消去z得