正方形的性質(zhì)與判定

1、19.2.3 正方形2002年世界數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)圖片欣賞 情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCDAB情景二當(dāng)CD移動(dòng)到 位置，且 時(shí)，此時(shí)的圖形還是矩形嗎？2圖中CD在移動(dòng)時(shí)，這個(gè)圖形始終是怎樣的圖形？（CD在移動(dòng)的過(guò)程中始終保持與AB平行）1問(wèn)題鄰邊相等的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？矩形正方形新知探究菱形正方形一個(gè)角是直角的菱形想一想：正方形是怎樣的菱形？新知探究

2、兩組對(duì)邊分別平行有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等四邊形平行四邊形矩形菱形回憶如何在平行四邊形的基礎(chǔ)上來(lái)定義正方形平行四邊形正方形矩形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角給正方形下個(gè)定義定義：一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形菱形矩形平行四邊形正形方平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系 正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)=回顧平行四邊形，矩形，菱形的性質(zhì)，完成表格前三列對(duì)邊平行且相等四條邊相等對(duì)邊平行且四條邊相等對(duì)角相等四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等對(duì)角

3、線互相垂直，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角中心對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形圖形性質(zhì)分類正方形類比歸納對(duì)角線：相等 互相垂直平分 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。邊: 對(duì)邊平行 四邊相等角 ：四個(gè)角都是直角圖形的對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形, 又是中心對(duì)稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì) 你覺(jué)得什么樣的四邊形是正方形呢?( 判斷一個(gè)四邊形是正方形有哪些方法？平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角1、 正方形菱形 2、一內(nèi)角是直角矩形3、一組鄰邊相等正方形正方形的判定方法：(可從平行四邊形、矩形、

4、菱形為基礎(chǔ)定義法菱形法矩形法四條邊相等，四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂直、平分且相等四邊形正方形以四邊形為基礎(chǔ)：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。(1)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的 等腰直角三角形 (2)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 (3)如果一個(gè)菱形的對(duì)角線相等，那么它一定 是正方形 (4)如果一個(gè)矩形的對(duì)角線互相垂直，那么它 一定是正方形 (5)四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形 是正方形 快速反應(yīng)判斷題:6正方形一定是矩形 7正方形一定是菱形 8菱形一定是正方形 9矩形一定是正方形 (10)正方形、矩形、菱形都是平行四邊形 12正方形是軸對(duì)稱圖形,一共有2條對(duì)稱軸( )

5、(13)四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 ( )(14)四條邊都相等的四邊形是正方形 ( )正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 A、四個(gè)角相等. B、對(duì)角線互相垂直平分. C、對(duì)角互補(bǔ). D、對(duì)角線相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì) A、四條邊相等. B、對(duì)角線互相垂直平分. C、對(duì)角線平分一組對(duì)角. D、對(duì)角線相等.BD選擇題:3、以下命題正確的選項(xiàng)是 A、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 B、四條邊都相等的四邊形是正方形 C、對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形 D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D 4四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是 A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四邊形 5在四邊形ABCD中

6、，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正 方形的是： AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA6 四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是： A正方形 B菱形 C矩形 D平行四邊形A1、如圖：正方形ABCD的周長(zhǎng)為15cm，那么矩形EFCG的周長(zhǎng)為 cm。 ABCDEGF試一試4.：正方形ABCD對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AB2cm，那么AC= , 正方形的面積S=_. 練一練2246365.已知：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC6 cm，面積S=_.則邊長(zhǎng)AB_, 5、四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、B

7、D相交于點(diǎn)O。假設(shè)AB=BC，那么四邊形ABCD是 假設(shè)AC=BD，那么四邊形ABCD是 假設(shè)BCD=900，那么四邊形ABCD是 假設(shè)OA=OB，那么四邊形ABCD是 假設(shè)AB=BC，且AC=BD，那么四邊形ABCD是 菱形矩形矩形矩形正方形如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，那么，BE和DE相等嗎？為什么？ABCDE解：BE=DE.因?yàn)?對(duì)角線AC所在的直線是正方形ABCD的對(duì)稱軸，而點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，點(diǎn)B為點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，所以 BE=DE：如圖正方形ABCD對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O。求證： ABO BCO CDO ADO 例1、求證：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè) 全

8、等的等腰直角三角形。3如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， 分析：要證明BMCN，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個(gè)三角形全等 ? MNAB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BMCN。 你能完成證明嗎?ABBC，1245 條件夠嗎？還需要的條件是 AMBNABMBCN你所要證明的兩個(gè)三角形已經(jīng)滿足了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：例2、如圖，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BMCN。 證明：OAOMOBONOMONOMN13ONM45又MNAB12345OAOB AB=BC四邊形ABCD是正方形即：AM=BNABMBCNBM=

9、CN例3、 直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求證：四邊形CEDF是正方形。ABCDEF四邊形ABCD是正方形 ) DE=DF( )DEAC， DFBC CD平分ACB 四邊形ABCD為矩形( )而ACB=90 DEC=90， DFC=90證明： DEAC，DFAB有三個(gè)角是 直角的四邊形是矩形角平分線的定理有一組鄰邊相等的矩形是正方形4：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線 上一點(diǎn)，CEAF于E，交AD于M， 求證：MFD45分析：欲證MFD45，由于MDF是直角三角形,只須證MDF是等腰三角形,即只要證 _=_要證MDFD，大家只須證得哪兩個(gè)三角形全

10、等? 試一試看能不能完成證明?CMDADF例4、：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CEAF于E，交AD于M，求證：MFD45證明：DM=DFRtCDMRtADF(AAS)又CDAD，ADFMDC=Rt12CMDAMEADCAEM90CEAF 四邊形ABCD是正方形MFD451、如圖，在AB上取一點(diǎn)C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連結(jié)AF、BD延長(zhǎng)BD交AF于H。求證：(1) ACFDCB (2) BHAF 練一練2、如圖(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，連結(jié)BG、CE，交點(diǎn)為N。求證：CEAABG 證明：四邊形ABDE和四邊形A

11、CFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS) CEAABG3、在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且.四邊形是正方形嗎？為什么？DCBADCBAABCDEFG4、如圖，點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF，探索圖中AE與BF的關(guān)系。ABDCFE5、如圖，在正方形ABCD中，E在BC的延長(zhǎng)線上，且CE=AC，AE交CD于F，那么求AFC的度數(shù)。6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),DEAB,DFAC,垂足分別是E,F.1)試說(shuō)明:DE=DF2)只添加一個(gè)條件,使四邊形EDFA是正方形.請(qǐng)你至少寫出兩

12、種不同的添加方法.(不另外添加輔助線,無(wú)需證明)1、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分不考慮道路的寬度，你有幾種方法？至少說(shuō)出三種 課外拓展： 如何設(shè)計(jì)花壇？ 在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分不考慮道路的寬度，你有幾種方法？至少說(shuō)出三種 請(qǐng)你當(dāng)設(shè)計(jì)師6、：如圖矩形ABCD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分BAD交BC于點(diǎn)E，連接OE，假設(shè)EAO=150，求BOE的度數(shù)。OABCDE7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點(diǎn)，PEAC于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，求PE+PF的

13、值。ABCDEPF8、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DN+MN的最小值。ABCDMN8、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DN+MN的最小值。ABCDMN9、，如圖在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN垂足為點(diǎn)E，求證：四邊形ADCE是矩形。當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADCE是正方形，說(shuō)明理由。ABCEMND10、如圖B、C、E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與CEFG是正方形，連接BG、DE1觀察、猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。

14、2正方形CEFG在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG與DE之間的關(guān)系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC11、如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM，且交CBE的平分線于點(diǎn)N。1求證：MD=MN2假設(shè)將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)改為“M為AB上任意一點(diǎn)，其它條件不變，問(wèn)結(jié)論MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP構(gòu)建與證明ODCBA如圖，分別延長(zhǎng)等腰直角三角形OAB的兩條直角邊AO和BO，使AO=OC，BO=OD求證：四邊形ABCD是正方形。八年級(jí) 數(shù)學(xué)第十九章 四邊形數(shù)一數(shù)圖中正方形的個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？多多多 個(gè)個(gè)個(gè) 個(gè)第n個(gè)圖中正方形有 個(gè)3n-1長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)八年級(jí) 數(shù)學(xué)第十九章 四邊形 四邊形ABCD是正方形,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,(1)求AOB,OAB的度數(shù)8解：四邊形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)假設(shè)AC=4，那么正方形邊長(zhǎng) ; 正方形的面積是4(3)正方形的面積64cm，那么對(duì)角線交點(diǎn)到正方形一邊的距離22 AC為正方形ABCD的對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，且AB=AE， EFAC交BC于F. 請(qǐng)說(shuō)明：EC=EF=FBABCDEF解： 四邊形ABCD是正方形 B=900 , ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL BF=EF 又