《高等數(shù)學(xué)》第三版全冊電子教案完整版教學(xué)設(shè)計(jì)

1、高等數(shù)學(xué)（第三版全冊電子教案完整版教學(xué)設(shè)計(jì)第一章1.1.1反函數(shù)教學(xué)目標(biāo)：（1）復(fù)習(xí)、理解函數(shù)（含分段函數(shù)）的概念、函數(shù)的性質(zhì)、幾種常見函數(shù)；（2）學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念，及反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)；（3）介紹微軟高級計(jì)算器Mathematics4.0。教學(xué)重點(diǎn)：（1）函數(shù)知識復(fù)習(xí)（銜接高職階段知識）；（2）反函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)的概念授課時數(shù)： 2課時教學(xué)過程過程備注引言 介紹本學(xué)科學(xué)習(xí)要求及本章主要內(nèi)容。知識回顧我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念大家知道，在某個變化過程中，有兩個變量和，設(shè)是實(shí)數(shù)集的某個子集，如果對于任意的，按照確定的法則，變量總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，那么變量叫做變量的函數(shù)

2、，記作其中叫做自變量，叫做因變量，實(shí)數(shù)集叫這個函數(shù)的定義域 自變量取定義域D中的數(shù)值時，對應(yīng)的數(shù)值叫做函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記作或當(dāng)遍取內(nèi)的所有數(shù)值時，對應(yīng)函數(shù)值所組成的集合叫做函數(shù)的值域定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個要素在定義域的不同子集內(nèi)，對應(yīng)法則由不同的解析式所確定的函數(shù)稱為分段函數(shù)例如， 其中，稱為分段函數(shù)的分段點(diǎn) 函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。學(xué)習(xí)過的幾類函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)。通過幻燈片演示引領(lǐng)學(xué)生回顧30問題一個裝有液體的圓柱形容器，其底面直徑為D，高為h，則容器內(nèi)液體體積y與液面高度x的函數(shù)關(guān)系為知道液面高度x，就可以知道容器內(nèi)液體體積y反過來，知道

3、了容器內(nèi)液體體積y，如何求得液面高度x呢？引領(lǐng)學(xué)生討論完 成35新知識解決提出的問題之前，先來研究函數(shù)圖像的一個特征作出函數(shù)與函數(shù)的圖像（圖1-2）觀察圖像發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖像（圖1-2（1）與任何水平直線相交的交點(diǎn)最多有一個，具有這種特征的函數(shù)稱為一對一函數(shù)；而函數(shù)的圖像（圖1-2（2）與水平直線相交的交點(diǎn)會多于1個，具有這種特征的函數(shù)稱為非一對一函數(shù) (1) (2) 圖1-2對于一對一函數(shù)，值域中的每個函數(shù)值只有唯一的一個自變量值與之對應(yīng)，因此可以用函數(shù)y來表示自變量x例如，可以寫成，這樣就構(gòu)成一個以函數(shù)值y為自變量的新函數(shù)，叫做原來函數(shù)的反函數(shù)按照數(shù)學(xué)習(xí)慣，仍然用字母x表示自變量，用字母y表

4、示函數(shù)這樣，函數(shù)的反函數(shù)就是函數(shù)的反函數(shù)一般記作如的反函數(shù)為函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系如圖1-3所示圖13顯然，函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域求一對一函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟是：用函數(shù)y來表示自變量x；自變量和函數(shù)互換字母動畫演 示45知識鞏固例1 求函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像解 函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)閷蛇吰椒?，整理?互換字母得 由于函數(shù)的值域?yàn)?，故函?shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)橐虼怂蠓春瘮?shù)為 （）函數(shù)的圖像如圖1-4所示圖1-4學(xué)生練習(xí)教師檢查輔 導(dǎo)55鏈接軟件利用Microsoft Mathematic4.0(簡體中文版)作出函數(shù)的圖像演示60新知識顯

5、然，不同角的同名三角函數(shù)值有可能相等，例如也就是說正弦函數(shù)圖像與平行于x軸的直線的交點(diǎn)會多余一個（圖16），所以三角函數(shù)不是一對一的函數(shù)圖16為保證三角函數(shù)存在反函數(shù)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)的定義域，使之在所定義的區(qū)間上為一對一的函數(shù)因此將反三角函數(shù)定義如下：正弦函數(shù)上的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作，其定義域?yàn)?1,1, 值域?yàn)?，函數(shù)圖形如圖17（1）所示.余弦函數(shù)在上的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作，其定義域?yàn)?1,1，值域?yàn)?，函數(shù)圖形如圖17（2）所示.正切函數(shù)在上的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作，其定義域?yàn)?，值域?yàn)?，函數(shù)圖形如圖17（3）所示. （1） （2） （3）圖1-7教師講 授 80做一做

6、利用高級計(jì)算器依次作出反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的圖像并分析函數(shù)的性質(zhì)教師演 示82練習(xí)題求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像（1）； （2）.學(xué)生課上完 成88小結(jié) 新知識：反函數(shù) 90作業(yè) 1.進(jìn)一步梳理高中階段函數(shù)的相關(guān)知識；2.自學(xué)微軟高級計(jì)算器Mathematics4.0;3.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.1.1”。1.1.2 初等函數(shù)教學(xué)目標(biāo)：（1）學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及其復(fù)合與分解；（2）學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)及初等函數(shù)的概念。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念；教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的分解。授課時數(shù)： 1課時.教學(xué)過程過程備注問題 正弦函數(shù)與正弦型函數(shù)是同一個函

7、數(shù)嗎？教師設(shè)疑分 析3新知識根據(jù)函數(shù)的定義，這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)正弦型函數(shù)是由正弦函數(shù)和一次函數(shù)所組成的，這樣的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)是u的函數(shù)，是x的函數(shù)，如果由x通過所確定的u使得y有意義，則把y叫做由函數(shù)及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)記作，其中叫做自變量，叫做中間變量，f叫做外層函數(shù)，g叫做內(nèi)層函數(shù)需要注意：（1）不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合組成復(fù)合函數(shù)的例如，及就不能復(fù)合組成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閷τ趦?nèi)層函數(shù)的定義域R中的任何x值，對應(yīng)的u值都是負(fù)數(shù)，從而使得外層函數(shù)無意義（2）復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不只一個例如是由復(fù)合而成，其中u和t都是中間變量u和t都是中間變量 將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

8、數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)通稱為基本初等函數(shù)將由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合所構(gòu)成，并且能用一個式子來表示的函數(shù)叫做初等函數(shù)在研究問題的時候，通常將比較復(fù)雜的函數(shù)看作是由幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，從而使問題變得簡單一些.這里所說的簡單函數(shù)一般指基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù).教師講 授13知識鞏固例2 設(shè)函數(shù) ，試將寫成的函數(shù) . 解 ,說明 這個函數(shù)由三層函數(shù)復(fù)合而成.外層是冪函數(shù)；中層是三角函數(shù)；內(nèi)層是冪函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算.例3 指出下列函數(shù)的復(fù)合過程 (1) ； (2) ； (3) .解 (1) 函數(shù)是由，復(fù)合而成的. (2) 函數(shù)是由,復(fù)合

9、而成的. (3) 函數(shù)是由，復(fù)合而成的.說明 分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程是非常重要的.設(shè)復(fù)合函數(shù)，對于給定的值 ，計(jì)算函數(shù)值的順序是先計(jì)算內(nèi)層函數(shù)值 ，再計(jì)算中層函數(shù)值 ，最后計(jì)算外層函數(shù)值.即 “由內(nèi)向外”逐層計(jì)算,并且每一層都是計(jì)算一個簡單函數(shù)的值. 分析函數(shù)的復(fù)合順序的過程恰好與計(jì)算函數(shù)值的順序相反，是“由外向內(nèi)”逐層復(fù)合.教師引領(lǐng)完 成 學(xué)生完 成教師強(qiáng) 調(diào)28練習(xí)1.1.21.指出下列函數(shù)的復(fù)合過程（1）； (3) ；2. 寫出由各函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)并求其定義域.(1) , , ； (2) , 學(xué)生課上完 成40小結(jié) 新知識：復(fù)合函數(shù)初等函數(shù) 45作業(yè) 1.梳理1.1節(jié)知識內(nèi)容；2.自學(xué)

10、微軟高級計(jì)算器Mathematics4.0;3.完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.1.2”。課題1.1.3經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個函數(shù)教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)1）掌握需求函數(shù)、供給函數(shù)，并了解供需平衡價格和平衡數(shù)量；2）掌握成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤函數(shù)，并深刻了解三者之間的關(guān)系，了解平均成本、平均收益和平均利潤函數(shù)，了解盈虧平衡點(diǎn)。 能力目標(biāo)把函數(shù)知識應(yīng)用到初步的經(jīng)濟(jì)問題中，訓(xùn)練學(xué)生對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析判斷能力和解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)成本、收益和利潤函數(shù)的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)關(guān)系的建立。教法學(xué)法以實(shí)例來引入課題的講授法和以應(yīng)用為目的的練習(xí)法，2課時。教學(xué)反思把函數(shù)概念引入到經(jīng)濟(jì)上的實(shí)際應(yīng)用，這里給出的是雖然是最為基本的

11、應(yīng)用，但相應(yīng)的數(shù)學(xué)引入方法和分析法為以后章節(jié)學(xué)習(xí)，打下一定基礎(chǔ)。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖知識回顧函數(shù)兩要素概念問題問題1：一個商品投放到市場上，顧客對它的需求量與很多因素有關(guān)，如季節(jié)、消費(fèi)者人數(shù)、消費(fèi)者的收入、商品的價格等，其中與價格的關(guān)系最密切，價格貴，需求量就少，價格便宜，需求量就多，它們關(guān)系通過什么表達(dá)？為了便于研究，我們將問題理想化，視其他因素不變，只考慮商品的價格， 我們建立商品的需求量Q與該商品價格P的函數(shù)，稱其為需求函數(shù)，記為 問題2：價格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場提供更多的商品，供給量增大；反之供給量就減少假定其他因素不變的條件下，供給量S與價格P之間的函數(shù)就稱為供給函數(shù),記為新知識一般地

12、，需求函數(shù)是價格的單調(diào)減少函數(shù)， 在企業(yè)管理和經(jīng)濟(jì)活動中常見的需求函數(shù)模型有：線性需求函數(shù)： ；二次曲線需求函數(shù)：；指數(shù)需求函數(shù)：.一般地，商品供給函數(shù)是價格的單調(diào)增加函數(shù).常見的供給函數(shù)：線性供給函數(shù)：，還有二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等.知識鞏固【例1】 當(dāng)雞蛋的收購價為8元/千克時，某收購站每月能收購5000千克雞蛋，若收購價每千克提高0.1元，則收購量可增加300千克，求雞蛋的線性供給函數(shù).解 設(shè)雞蛋的線性供給函數(shù)為，根據(jù)題意，可得解得d=3000,c=19000，所以所求線性供給函數(shù)為S=-19000+3000P.市場上商品價格的調(diào)節(jié)，就是根據(jù)需求函數(shù)與供給函數(shù)二者的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的，把需

13、求曲線與供給曲線畫在同一坐標(biāo)系中，由于需求函數(shù)Q是單調(diào)減少函數(shù)，供給函數(shù)S是單調(diào)增加函數(shù)，它們相交于一點(diǎn)，其中均衡價格，即供需平衡的價格，是均衡數(shù)量，新知識某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源的價格或費(fèi)用總額.它由固定成本a (生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi),用于維修、添制設(shè)備等)和可變成本 b (每單位產(chǎn)品消耗原材料、勞力等費(fèi)用)兩部分組成。設(shè)是產(chǎn)量為Q時所需總成本，則每件產(chǎn)品的成本叫單位成本或平均成本，記為 ，則 一種產(chǎn)品銷售之后就會有銷售收入，銷售收入應(yīng)該是價格乘以產(chǎn)量但價格與產(chǎn)量之間也有一定的關(guān)系，收入R是產(chǎn)量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系，稱為收益函數(shù)，記為其中P(Q)是價格與產(chǎn)量Q（對銷售者來

14、說是銷售量，對消費(fèi)者來說就是需求量）之間的函數(shù)關(guān)系相應(yīng)地有平均收益函數(shù)在收益中減去成本得到的就是利潤 由于成本是產(chǎn)量Q的函數(shù)，收益也是Q的函數(shù)，那么利潤也是Q的函數(shù)即平均利潤函數(shù) 當(dāng)L(Q) 0時盈利；當(dāng) L(Q) 0時虧損；當(dāng) L(Q) = 0時盈虧平衡.滿足L(Q) = 0的Q0稱為盈虧平衡點(diǎn)（又稱保本點(diǎn)）知識鞏固【例2】 生產(chǎn)某款平板電腦的總成本（單位：萬元）是，求生產(chǎn)1000臺這款平板電腦的總成本和平均成本.解 生產(chǎn)1000件這款平板電腦的總成本為（萬元）平均成本為 （萬元）【例3】 設(shè)某商品的價格是（單位：元），求該商品的收益函數(shù)，并求銷售100件商品時的總收益和平均收益。解 收益函

15、數(shù)為 平均收益為 銷售100件商品時的總收益為 （元）平均收益 （元）【例4】 已知某公司生產(chǎn)某商品的成本函數(shù)為C(Q)3005Q (元)，其中Q為該商品的產(chǎn)量，如果該商品的售價定為每件15元，試求：(1）生產(chǎn)300件該商品的利潤和平均利潤；（2）求生產(chǎn)該商品的盈虧平衡點(diǎn)解 (1)已知C(Q)3005Q (元)，又由題意知收入函數(shù)為R(Q)15Q，因此，利潤函數(shù)為L(Q)R(Q)C(Q) 15Q(3005Q) 10Q300又因該產(chǎn)品的平均利潤函數(shù)為 生產(chǎn)300件該產(chǎn)品時的利潤為L(300)103003002700 (元)而此時平均利潤為(元/件)即生產(chǎn)300件該產(chǎn)品時的利潤為2700元，平均利

16、潤為每件9元 (2)利用L(Q)0得10Q3000解得Q30 (件)即盈虧平衡點(diǎn)為30件 練習(xí)1. 某款手機(jī)價格為P時，需求量關(guān)于P的需求函數(shù)，當(dāng)價格時，求的值。2設(shè)某商品的價格函數(shù)是（單位：元），求該商品的收益函數(shù)，并求銷售1000件商品時的總收益和平均收益。小結(jié)1、了解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中常用的需求函數(shù)、供給函數(shù)之間的關(guān)系，會求簡單的函數(shù)關(guān)系式；2、熟練掌握經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中常用的成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)之間的關(guān)系，會求它們及它們平均函數(shù)的關(guān)系式。作業(yè)書面作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.1.2”拓展作業(yè)（1）根據(jù)本節(jié)內(nèi)容和自己的專業(yè)、特長，上網(wǎng)閱讀、查找相關(guān)資料。（2）以小組為單位，依據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識編寫與

17、生活或?qū)I(yè)相關(guān)的問題（小組之間循環(huán)解答）引導(dǎo)學(xué)生有目的地復(fù)習(xí)，為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備設(shè)置問題情境，將前面所學(xué)的函數(shù)關(guān)系引入到經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中量與量之間的關(guān)系。給出常用模型，降低學(xué)習(xí)難度，給學(xué)生一定的理解空間。通過實(shí)例加深理解。進(jìn)一步分析不同經(jīng)濟(jì)函數(shù)之間的有機(jī)聯(lián)系。通過說明，慢慢引導(dǎo)學(xué)生分析得出另一級常用經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)。仔細(xì)講解例子，把這一組函數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步明確。通過學(xué)與做的課堂活動，讓學(xué)生學(xué)以致用來解決實(shí)際問題，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，體驗(yàn)成功。整理總結(jié)，理清思路，形成牢固的知識鏈和知識體系。按不同層次學(xué)生的需求布置作業(yè)，挖掘和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。1.2.1極限的定義教學(xué)目標(biāo)：（1）結(jié)合圖像理解極限

18、的的概念及其兩種變化過程；（2）了解兩種趨近過程中極限存在的充要條件，會判斷極限是否存在；教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)在自變量兩種變化過程的極限；教學(xué)難點(diǎn)：極限的概念。授課時數(shù)： 2課時.教學(xué)過程過程備注導(dǎo)言 劉徽在“割圓術(shù)”中提到，如果不斷地分割下去，直到圓周無法再分割為止，即圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，正多邊形的周長就與圓的周長“合體”而完全一致了.下面對這種數(shù)學(xué)思想做進(jìn)一步研究主要研究在自變量x的某種變化趨勢下，函數(shù)的變化趨勢 自變量的變化規(guī)律分為兩大類（1）自變量x的絕對值無限增大，記為，當(dāng)x只取正數(shù)而無限增大時，記為，當(dāng)x只取負(fù)數(shù)而絕對值無限增大時，記為（2）自變量x無限趨近于某定值，記為，

19、當(dāng)x從左側(cè)無限趨近于（即只取小于的值）時，記為，當(dāng)x從右側(cè)無限趨近于（只取大于的值）時，記為動畫演 示結(jié)合圖像動畫演 示101.時，函數(shù)的極限探究 利用高級計(jì)算器作出函數(shù)的圖像（圖1-8），觀察圖像，研究當(dāng)x的絕對值無限增大時，函數(shù)值y的變化情況 圖1-8 新知識觀察圖1-8發(fā)現(xiàn)，隨著自變量x絕對值的增大，圖像越來越接近x軸，說明函數(shù)的絕對值越來越小，并且無限趨近于0一般地，設(shè)對任意大的有意義，如果當(dāng)（或)時，的值無限趨近于確定的常數(shù)A，則把常數(shù)A叫做函數(shù)當(dāng)（或)時的極限，記作（或，）還可以記作或或）符號包括與，因此教師演 示分析講 解25知識鞏固例1 作出下列函數(shù)的圖像，寫出時的極限（1）；

20、 （2）解 （1）利用高級計(jì)算器作出函數(shù)圖像（圖1-9），觀察圖像知，； 圖1-9 圖1-10（2）利用高級計(jì)算器作出函數(shù)圖像如圖1-10所示，觀察圖像知，因此 ，所以不存在教師引領(lǐng)完 成 學(xué)生完 成教師強(qiáng) 調(diào)352. 時，函數(shù)的極限探究觀察函數(shù)的圖像（圖1-11），研究當(dāng)x無限趨近1時，函數(shù)值y的變化情況圖1-11學(xué)生課上完 成40新知識由于當(dāng)時函數(shù)的圖像就是在函數(shù)的圖像中挖去點(diǎn)（1,2）（圖1-11）觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x從1的左側(cè)無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2；當(dāng)自變量x從1的右側(cè)無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2；如果自變量從1的兩側(cè)以任意方式無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2一般地

21、，設(shè)在點(diǎn)近旁有意義（在點(diǎn)可以沒有定義），如果當(dāng)時，的值無限趨近于確定的常數(shù)A，則把常數(shù)A叫做函數(shù)當(dāng)時的極限，記作還可以記作）x從左側(cè)趨近點(diǎn)時的極限叫做左極限，記作；x從右側(cè)趨近點(diǎn)時的極限叫做右極限，記作符號包括與，故結(jié)合圖像分 析55知識鞏固例2 已知函數(shù)（1）求當(dāng)時，函數(shù)的極限；（2）求當(dāng)時，函數(shù)極限解 作出函數(shù)圖形（圖1-12），觀察圖像知：（1） ；（2） 1，1因?yàn)?，所以?dāng)時，的極限不存在 圖1-12教師引領(lǐng)學(xué)生完 成65練習(xí)1.2.11. 利用函數(shù)圖像求下列極限.(1) (C為常數(shù)) ； (2) ； (3) ； (4) ； 2. 作出函數(shù) 的圖像，并求.學(xué)生課上完成教師講 評85小結(jié)

22、 新知識：函數(shù)極限的定義 90作業(yè) 1. 自學(xué)微軟高級計(jì)算器Mathematics4.0;2. 完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.2.1”。1.2.2極限的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：（1）結(jié)合圖像，根據(jù)定義認(rèn)知幾個常用的極限；（2）了解極限的運(yùn)算法則，能利用法則和常用極限進(jìn)行簡單的極限運(yùn)算；（3）掌握利用微軟高級計(jì)算器計(jì)算極限的方法。教學(xué)重點(diǎn)：利用極限的運(yùn)算法則和常用極限進(jìn)行簡單的極限運(yùn)算；教學(xué)難點(diǎn)：極限計(jì)算中轉(zhuǎn)化思想的理解與運(yùn)用。授課時數(shù)： 2課時.教學(xué)過程過程備注做一做利用高級計(jì)算器作出并觀察函數(shù)圖像，可以得到下列幾個常用極限：（1）（為正實(shí)數(shù)）； （2）（C為常數(shù)）；（3）（C為常數(shù)）； （4）；（5）（

23、當(dāng)時，）教師引領(lǐng)師生共同完 成20新知識計(jì)算函數(shù)的極限時，經(jīng)常要用到極限的下列運(yùn)算法則(證明略)：設(shè) ，.則 1=； 2=；特別當(dāng)（C為常數(shù)）時，有 .3 ( ).以上極限運(yùn)算法則對于的情況也成立，并且法則1與法則2還可推廣到存在極限的有限個函數(shù)的情形.利用極限的運(yùn)算法則和上述幾個常用極限，可以計(jì)算函數(shù)的極限教師利用微軟計(jì)算器通過特例驗(yàn)證法則30知識鞏固例1 求 .解 因?yàn)?,所以 = .例2 求 ,解 因?yàn)?且 ,所以 = .例3 求 .解 因?yàn)?，所以不能直接應(yīng)用法則來計(jì)算.考慮到函數(shù)的分子和分母存在公因式，于是，可以先約去公因式，再求極限. 即 =.例4 求 .解 當(dāng)時，即分子與分母的極

24、限不存在，故不能直接應(yīng)用法則來計(jì)算考慮到分子和分母都是多項(xiàng)式，可以先將分子、分母同時除以分母中自變量的最高次冪，然后再求極限. 即= = = .教師引領(lǐng)完 成 學(xué)生完 成教師強(qiáng) 調(diào)轉(zhuǎn)化的思想和方 法65鏈接軟件利用高級計(jì)算器可以方便的計(jì)算函數(shù)的極限（詳見實(shí)驗(yàn)1）計(jì)算例4操作如下：單擊極限輸入符號，在命令窗口出現(xiàn)的極限號下的方框中輸入“”，后面輸入極限式；單擊“輸入”，得到極限值0.5. 請同學(xué)自己操作一下，利用高級計(jì)算器求出下列兩個重要極限：（1）； （2）師生共同完 成70練習(xí)1.2.2計(jì)算下列極限：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 學(xué)生課上完成教師講 評85小結(jié) 90作業(yè) 1. 自

25、學(xué)微軟高級計(jì)算器Mathematics4.0;2. 完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.2.2”中的1，2，3，4。1.2.3 無窮小量教學(xué)目標(biāo)：（1）結(jié)合圖像，了解無窮小的概念；（2）能進(jìn)行無窮小的比較。教學(xué)重點(diǎn)：無窮小的比較；教學(xué)難點(diǎn)：無窮小的比較。授課時數(shù)： 1課時.教學(xué)過程過程備注新知識莊子 天下篇中有一個命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”意思是說，一尺長的木棍，今天取其一半，明天取其一半的一半，如是“日取其半”無限的取下去，總會有剩下的存在顯然，當(dāng)時間趨近無窮時，所剩的木棍的長度是以零為極限的量在生活和科研中，經(jīng)常遇到某一個過程中極限為零的量一般地，若 ，則函數(shù)叫做當(dāng)或（）時的無窮小量，

26、簡稱無窮小 .注意 （1）無窮小不是一個很小的數(shù)，它是在自變量的某一變化過程中的以零為極限的一個變量. 但數(shù)“0”是一個例外，數(shù)“0”是無窮小，那是因?yàn)閿?shù)“0”可以視為常函數(shù)并且 .（2）一個函數(shù)是否為無窮小量，取決于它的自變量的變化趨勢例如，由知，是當(dāng)時的無窮??；由知，不是當(dāng)時的無窮小.因此，說某一變量是無窮小量，必須指明自變量的變化趨勢.當(dāng)時， 函數(shù)、都是無窮小觀察圖113看出，它們趨近于0的速度是不同的，乘方的次數(shù)越高，趨近于0的速度越快 .圖113為了反映出在自變量的同一變化過程中，不同函數(shù)變化過程的差異，需要進(jìn)行無窮小的比較.一般地，設(shè)和是同一變化過程中的無窮小，即 ，.則 （1）

27、如果 ，則叫做比較高階的無窮小，即趨近0的速度高于，記作； （2） 如果 ，則叫做比較低階的無窮小，即趨近0的速度低于；（3） 如果 (C為非零常數(shù)) ，則叫做與同階的無窮小，即趨近0的速度與相當(dāng).特別地，當(dāng)C=1時，即時,叫做與等價的無窮小.記作：.讀做“等價于”.課件或?qū)嵨镅菔窘處煆?qiáng) 調(diào)結(jié)合具體函數(shù)引出并介紹比較方法25知識鞏固例5 比較下列各組無窮小 . （1） 當(dāng)時 ，比較 與 ； （2） 當(dāng)時 ，比較 與 .解 （1） 因?yàn)?= = ，所以當(dāng)時，與是同階的無窮小. (2) 因?yàn)?，所以當(dāng)時，與是等價無窮小.即當(dāng)時，.教師引領(lǐng)完 成 30練習(xí)1.2.3（1）當(dāng)時，比較無窮小 和 （2）

28、當(dāng)時，比較無窮小 和學(xué)生課上完成教師講 評40小結(jié)注意：自變量的趨近過程概念 無窮小量比較方法45作業(yè) 1. 梳理1.2節(jié)知識內(nèi)容;2. 完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.2.3”。1. 3連續(xù)教學(xué)目標(biāo)：（1）理解函數(shù)連續(xù)性的概念，能結(jié)合圖像判斷函數(shù)的連續(xù)性；（2）會利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限；（3）了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性的概念；教學(xué)難點(diǎn)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的理解。授課時數(shù)： 2課時.教學(xué)過程過程備注觀察觀察函數(shù)的圖像（圖114），曲線在附近是連續(xù)的，并且；曲線在處是斷開的，此時，而不存在圖114課件演示圖像教師引導(dǎo)學(xué)生觀 察10新知識設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處及其近旁有定義，

29、且，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)叫做函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)如果，那么稱函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)；如果，那么稱函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù)可以證明，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)，又右連續(xù)由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足下面三個條件：（1）函數(shù)在點(diǎn)處及其近旁有定義；（2）存在，即；（3）上述三個條件中，只要有一條不滿足，函數(shù)在點(diǎn)處就不連續(xù)，此時點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)由此可知，是圖113所示函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，而是該函數(shù)的間斷點(diǎn)結(jié)合圖形介 紹20知識鞏固例1 設(shè)函數(shù) 試討論函數(shù)在及處的連續(xù)性.解 函數(shù)的圖像如圖1-15所示 .（1） 因?yàn)樵谔幱卸x，且，因此 又因?yàn)?，即.所以函數(shù)在處連續(xù).（2）雖然函數(shù)在處有定義，但由于， ，所以，不存在.

30、因此，在處不連續(xù). 圖115在區(qū)間I上的每一個點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，區(qū)間I叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)在右端點(diǎn)處左連續(xù)，在左端點(diǎn)處右連續(xù)觀察圖115知,、均為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間教師引領(lǐng)完 成 35練習(xí)1.3.1設(shè)函數(shù) （1）作出函數(shù)圖像，討論函數(shù)在及處的連續(xù)性；（2）指出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.學(xué)生課上完成教師講 評401. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限新知識在1.1.2中學(xué)習(xí)了初等函數(shù)，知道初等 函數(shù)在其定義區(qū)間的圖形是一條連續(xù)不斷的曲線因此初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)利用這個特征可以方便地求出初等函數(shù)的極限設(shè)為初等函數(shù)，是其定

31、義域中的點(diǎn)，則結(jié)合圖像說 明 43知識鞏固例2 計(jì)算解 函數(shù)是初等函數(shù)，其定義域?yàn)?，所以教師引領(lǐng)完 成452.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)觀察我們已經(jīng)知道，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線設(shè)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像如圖116所示，觀察圖像發(fā)現(xiàn)：圖116（1）函數(shù)在點(diǎn)時取得最大值M，即對任意的，都有；（2）函數(shù)在點(diǎn)時取得最小值m，即對任意的，都有；（3）對于介于m與M之間的任意值C，存在，使得課件演示介 紹 55新知識一般地，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在這個區(qū)間上一定有最大值和最小值；性質(zhì)2若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，分別為在上的最小值和最大值，則對介于m

32、與M之間的任意實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)，使的.性質(zhì)3若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且 ，則至少存在一點(diǎn)，使得.性質(zhì)3的幾何意義是：閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，當(dāng)兩個端點(diǎn)分別位于x軸的上方與下方時，該曲線至少會穿過x軸一次設(shè)曲線與x軸的交點(diǎn)為，則有，即是方程的根結(jié)合課件說 明70鏈接軟件根據(jù)性質(zhì)3，高級計(jì)算器編制了方程求解器，可以方便的求出一元n次方程的根例如，用高級計(jì)算器解方程（精確到0.0001）操作如下：1.設(shè)置小數(shù)位數(shù)為4；2.在輸入窗口輸入方程“”，點(diǎn)擊輸入；顯示即方程的近似解為 教師引領(lǐng)演 示75練習(xí)1.3.21計(jì)算下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）2利用高級計(jì)算器求方程的實(shí)數(shù)近似解（精確到0

33、.0001）學(xué)生完成教師指 導(dǎo) 85小結(jié)概念 連續(xù)函數(shù)應(yīng)用求連續(xù)函數(shù)的極限閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)微軟計(jì)算器使用解一元代數(shù)方程90作業(yè) 1. 梳理本章知識內(nèi)容;2. 完成高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1. 3.1”與“作業(yè)1.3.2”。課題1.4復(fù)利與貼現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)1）理解單利、復(fù)利、連續(xù)復(fù)利、貼現(xiàn)等金融操作的數(shù)學(xué)意義；2）會解決類似的簡單案例題。 能力目標(biāo)通過教學(xué)活動使學(xué)生體會連續(xù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，通過對現(xiàn)實(shí)生活中事物和現(xiàn)象的正確分析，準(zhǔn)確判斷，提高實(shí)際應(yīng)變能力，發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)復(fù)利概念教學(xué)難點(diǎn)貼現(xiàn)計(jì)算。教法學(xué)法探究式問題教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法。2課時。教學(xué)反思從現(xiàn)實(shí)生

34、活中存在的連續(xù)現(xiàn)象，通過案例進(jìn)行教學(xué)，在教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖知識回顧復(fù)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性概念問題：張先生把10萬元借給某公司5年，約定以復(fù)利計(jì)息，年利率為5%，那么5年末他的本利和為多少？假設(shè)一年按平均12期計(jì)息，那么5年末他的本利和為多少？假設(shè)計(jì)息間隔無限縮短，5年末他的本利和又為多少？新知識復(fù)利計(jì)息，指的是將第一期的利息與本金之和作為第二期的本金，然后反復(fù)計(jì)息。設(shè)本金為，年利率為r，一年末的本利和為，則第二年把作為本金存入，第二年末的本利和為依此類推，第n年末的本利和為 這是以年為期的復(fù)利公式。如果一年按平均t期計(jì)息，且以為

35、每期的利息，則n年末的本利和為 這是一年t期的復(fù)利公式.假設(shè)計(jì)息間隔無限縮短，當(dāng)時，利用（1.1）式得到連續(xù)復(fù)利計(jì)算公式 上述公式中，現(xiàn)有本金稱為現(xiàn)在值， 年末的本利和稱為未來值.探究利用公式(1.3),(1.4),(1.5)，可以計(jì)算1.4.1的問題引入：（1）按年計(jì)息，5年末他的本利和為 12.7628（萬元）（2）一年按平均12期計(jì)息，5年末他的本利和為 12.8592（萬元）（3）計(jì)息間隔無限縮短，5年末他的本利和為 12.8403（萬元） 新知識國債分為儲蓄型與交易型的，記賬式國債就是交易型的，期限短的有3個月、半年，長的有20年、30年期的，這種國債可以在非節(jié)假日的交易時間段內(nèi)且在

36、法律規(guī)定的交易地點(diǎn)隨時交易買賣.黃先生由于急需現(xiàn)金，將20年到期國債120萬元在到期10年之際進(jìn)行交易，假定年貼現(xiàn)率為6%，并且一年貼現(xiàn)一次，那么從票面金額中扣除未到期期間的利息后，應(yīng)該付給黃先生多少現(xiàn)金？已知現(xiàn)在值，確定未來值，這是復(fù)利問題，與之相反的問題，即已知未來值，求現(xiàn)在值，這稱為貼現(xiàn)問題，此時的利率r稱為貼現(xiàn)率.由復(fù)利公式(1.2)易得，若一年平均分成t期貼現(xiàn)，貼現(xiàn)公式為 特別地，時，即以1年為一期進(jìn)行貼現(xiàn)，貼現(xiàn)公式為 利用連續(xù)復(fù)利計(jì)算公式可得連續(xù)貼現(xiàn)公式： 知識鞏固我們用公式(1.7)計(jì)算1.4.2的問題引入：設(shè)第10年的現(xiàn)值為A10，滿20年的現(xiàn)值為A20則A20=120，且（萬

37、元）所以當(dāng)貼現(xiàn)率為6%時，第10年的現(xiàn)值為67.0074萬元，所以扣除未到期期間的利息后，黃先生僅獲得67.0074萬元現(xiàn)金.練習(xí)某人把50萬元借給某公司10年，約定以復(fù)利計(jì)息，年利率為6%，那么10年末他的本利和為多少？假設(shè)一年按平均12期計(jì)息，那么10年末他的本利和為多少？假設(shè)計(jì)息間隔無限縮短，10年末他的本利和又為多少？小結(jié)理解復(fù)利與貼現(xiàn)的意義，會求某些簡單的復(fù)利與貼現(xiàn)的計(jì)算題。作業(yè)書面作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)1.4”拓展作業(yè)（1）根據(jù)本節(jié)內(nèi)容和自己的專業(yè)、特長，上網(wǎng)閱讀、查找相關(guān)資料。（2）以小組為單位，依據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識編寫與生活或?qū)I(yè)相關(guān)的問題（小組之間循環(huán)解答）引導(dǎo)學(xué)生有目的地復(fù)

38、習(xí)，為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生分析如何用數(shù)學(xué)方法來解決問題。從具體到抽象，從特殊實(shí)例歸納出一般結(jié)論的過程，降低學(xué)習(xí)難度，學(xué)生很自然地學(xué)習(xí)了新的知識。仔細(xì)講解例子，讓概念從感性上升至理性的認(rèn)知過程，突出重點(diǎn)。設(shè)置問題情境，引入學(xué)生分析如何用數(shù)學(xué)方法來解決問題。仔細(xì)講解例子，讓概念從感性上升至理性的認(rèn)知過程，化解難點(diǎn)。通過學(xué)與做的課堂活動，引導(dǎo)學(xué)生形成 “自主學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，體驗(yàn)成功。整理總結(jié)，理清思路，形成牢固的知識鏈和知識體系。按不同層次學(xué)生的需求布置作業(yè)，挖掘和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第二章及答案

39、練習(xí)2.1.1 用定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解（1）求函數(shù)的改變量 ；（2）算比值 ,（3）取極限 .即 2求拋物線在點(diǎn)處的切線方程解 所求切線斜率由點(diǎn)斜式 所求切線方程為 練習(xí)2.1.2.1 （1），求； 解 （2），求 解 ， (3)，求解 ，練習(xí)2.1.2.2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并利用軟件進(jìn)行驗(yàn)證 (1) ; 解 驗(yàn)證：利用操作面板在輸入窗格輸入，點(diǎn)擊輸入得解 (2) ; 解 驗(yàn)證：利用操作面板在輸入窗格輸入，點(diǎn)擊輸入得解 (3) . 解 驗(yàn)證：利用操作面板在輸入窗格輸入，點(diǎn)擊輸入得解練習(xí)2.1.2.3 求下列各隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； 解 方程兩邊同時對求導(dǎo)，得 （2）； 解 方程兩邊同時對求導(dǎo)

40、，得 （3）解 方程兩邊同時對求導(dǎo)，得 練習(xí)2.1.3 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) （1）； 解 （2） 解 練習(xí)2.1.4求函數(shù)在時函數(shù)的增量及微分. 解 ，2.求下列函數(shù)的微分(1)； 解 (2)； 解 (3).解 練習(xí)2.2.1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）； 解 函數(shù)的定義域?yàn)?，且 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）； 解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得（舍?fù)） 當(dāng)時，所以為單減區(qū)間 當(dāng)時，所以為單增區(qū)間（3）.解 函數(shù)的定義域?yàn)?，當(dāng)時，不存在當(dāng)時，所以為單減區(qū)間當(dāng)時，所以為單增區(qū)間練習(xí)2.2.21.求下列函數(shù)的極值點(diǎn)和極值：(1)； 解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得. 列表得：(-，)(，+)(x)+0f

41、 (x)極大值所以 為函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值. (2) ； 解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得，. 列表得-00+無極值極小值0因此，函數(shù)的極小值為.2. 欲做一個底為正方形，容積為的開口容器怎樣做法用料最省 解 設(shè)所求容器底面邊長為，容器高為則 表面積，令，得由于駐點(diǎn)唯一，而由實(shí)際問題知道面積的最大值存在，因此駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)即當(dāng)容器底面邊長為6，高為3時容器用料最省練習(xí)2.2.41.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求需求量時的總收益、平均收益、邊際收益.【解】由題設(shè)有，則總收益函數(shù)為：于是，平均收益函數(shù)為，邊際收益函數(shù)為.當(dāng)時，.2. 設(shè)某商品的成本函數(shù)為 求(1)邊際成本函數(shù)；(2)Q=30單位時

42、的邊際成本并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.【解】(1)邊際成本函數(shù)為：(2)則當(dāng)產(chǎn)量Q=30時的邊際成本為32，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為30時，若再增加（減少）一個單位產(chǎn)品，總成本將增加（減少）32個單位.3. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為(1)求需求彈性函數(shù)；(2)求時的需求彈性；(3) 當(dāng)時，若價格上漲，總收益增加還是減少？將變化百分之幾？【解】(1)因?yàn)?，故需求彈性函?shù)為 =(2) ， ， ，表明當(dāng)時，價格上漲，需求量減少0.6； ，表明當(dāng)時，價格上漲，需求量減少1；，表明當(dāng)時，價格上漲 ，需求量減少1.2. (3) ，故價格上漲，總收益減少.總收益的價格彈性.故當(dāng)時，若價格上漲，總收益減少0.2%.高等數(shù)學(xué)練

43、習(xí)題第三章及答案練習(xí)3.1.11求下列不定積分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 2一曲線經(jīng)過點(diǎn)，且曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為，求該曲線的方程解 ，由曲線過點(diǎn)，得，故所求曲線的方程為練習(xí)3.1.21用湊微分法求下列不定積分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 2用分部積分法求下列不定積分(1) ； (2) ；解 (1) ； (3) ； 3用計(jì)算器求下列不定積分(1) ； (2) ；解 (1) ； (2) 練習(xí)3.2.11求的值解 第3題圖2已知，求的值解 3利用定積分的幾

44、何意義求定積分解 定積分的值等于如圖所示梯形的面積，即 練習(xí)3.2.21已知，求的值解 2已知，求的值解 3已知是的一個原函數(shù)，求的值解 由題意，得，即，所以 練習(xí)3.2.3 1計(jì)算下列各定積分 (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 2用高級計(jì)算器求下列定積分(1) ； (2) 解 (1) ； (2) 練習(xí)3.2.4 計(jì)算下列各廣義積分，并說明其斂散性(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解 (1) ，故收斂； (2) ，故收斂； (3) ，故發(fā)散； (4) ，故發(fā)散練習(xí)3.3.1已知某物體

45、做變速直線運(yùn)動，速度是時間的連續(xù)函數(shù)，現(xiàn)利用定積分計(jì)算物體在時間段經(jīng)過的路程請指出：（1）積分變量與積分區(qū)間；（2）路程S的微元；（3）路程S解 （1）積分變量為，積分區(qū)間為；（2）；（3）練習(xí)3.3.21求下列由曲線和直線圍成的平面圖形的面積(1) ，；(2) ，；(3) ，解 (1) (2) 第1- (3)題圖(2) 第1- (2)題圖第1-(1)題圖2求下列由曲線和直線圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積(1) ，；(2) ，解 (1) 第2- (2)題圖第2- (1)題圖(2) 練習(xí)3.3.31求函數(shù)在區(qū)間上的平均值解 2有一根長度為的細(xì)棒，其上任意點(diǎn)處的密度，若細(xì)棒的一端與坐標(biāo)

46、原點(diǎn)重合，求細(xì)棒的平均密度解 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第四章及答案練習(xí)4.1.1 1.試寫出下列各微分方程的階數(shù)（1）一階；（2）一階；（3）二階；（4）二階.2.求微分方程，的特解.解 兩邊積分得 ，再積分得代入，得 ， ，.所求微分方程的特解為.練習(xí)4.1.21.求解微分方程 . 解 分離變量得 ，兩邊積分得 .微分方程的通解為 .2.求解微分方程解 分離變量得 ， 兩邊積分得 微分方程的通解 ，其中.練習(xí)4.2.1解下列微分方程1.解 因?yàn)椋?，由通解公式得 =.2.解 變形得 ，由于，所以， =，所求微分方程的通解 .練習(xí)4.2.2求解下列微分方程1 .解 因?yàn)?，由通解公式?， =，所求微分方

47、程的通解 . 2. .解 因?yàn)?，由通解公式?=.所求微分方程的通解 .3.解 變形得 ，于是得 ，由通解公式得 = =代入得 .所求微分方程的特解 .練習(xí)4.3.11. 求下列微分方程的通解（1）；（2）.解 (1) 微分方程對應(yīng)的特征方程 特征根 ，所求微分方程的通解 .(2)微分方程對應(yīng)的特征方程 特征根 .所求微分方程的通解 .2. 求微分方程的特解.解 微分方程對應(yīng)的特征方程 特征根 ，微分方程的通解 .代入，得 .所求微分方程的特解 .練習(xí)4.3.2解下列微分方程. (1)；（2）解 （1）微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程 ， 特征根 ，齊次方程的通解 .設(shè)非齊次方程的特解 ，于是

48、，.代入原方程，得 .所求微分方程的通解 .（2）微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程 ，特征根 ，齊次微分方程的通解 .設(shè)非齊次方程的特解 ，于是 ，.代入原方程得 ，解得 A= . 所求微分方程的通解 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第五章及答案練習(xí)5.1.1已知點(diǎn)，求（1）點(diǎn)到原點(diǎn)的距離； （2）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)；（3）點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)； （4）點(diǎn)到軸的距離；（5）點(diǎn)到平面的距離解 （1）點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為；（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為；（3）點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為；（4）點(diǎn)到軸的距離為；（5）點(diǎn)到平面的距離為練習(xí)5.1.21.設(shè)向量與軸、軸、軸之間的夾角分別為、，且方向余弦分別滿足:,.判斷向量與坐標(biāo)軸及坐標(biāo)平面

49、之間的關(guān)系. 解 與軸正方向同向2. 已知空間兩點(diǎn)與，求向量的坐標(biāo)、模、方向余弦及方向角.解 ； ；，； ，練習(xí)5.2.1設(shè)向量，求，,解 ；因?yàn)?，所以 ； 練習(xí)5.2.2.11已知空間三點(diǎn)：，求（1）與的數(shù)量積；（2）與的夾角 解 （1）； （2） 因?yàn)?，所以 ，即與的夾角為2計(jì)算以下各組向量的數(shù)量積： （1）與； （2）與 解 （1）； （2）練習(xí)5.2.2.21、已知空間三點(diǎn)：，求（1）與的向量積；（2）的面積解 （1），則； （2） 因?yàn)椋缘拿娣e為2、計(jì)算以下各組向量的向量積： （1）與； （2）與 解 （1）； （2）練習(xí)5.3.1求滿足下列條件的平面方程：（1）過原點(diǎn)且與向

50、量垂直的平面；（2）過點(diǎn)且與向量垂直的平面；（3）過點(diǎn)且與x軸垂直的平面；（4）過原點(diǎn)且與平面平行的平面 解 （1）由，得所求平面為 ；（2）由，得所求平面為 ；（3）取，則所求平面為 ；（4）取，則所求平面為 練習(xí)5.3.21求滿足下列條件的平面方程：（1）過點(diǎn)及軸的平面；（2）過點(diǎn)且與平面平行的平面解 （1）取，則所求平面為 ，即 ；（2）取，則所求平面為 ，即 2求點(diǎn)到平面的距離解 練習(xí)5.4.11求滿足下列條件的直線方程：（1）過原點(diǎn)且與向量平行的直線；（2）過點(diǎn)且與平面垂直的直線；（3）過點(diǎn)且與軸平行的直線解 （1）；（2） 取，則所求直線為 ；（3） 取，則所求直線為 或 2求過點(diǎn)

51、且與直線平行的直線 解 ，取 ，則所求直線為 ；3求過點(diǎn)且與直線垂直的平面解 ，取 ，則所求平面為 練習(xí)5.4.2 判別直線與下列各直線的位置關(guān)系：（1）； （2）；（3）解 ，（1），因?yàn)?，所以 ；（2），因?yàn)?，所?；（3），因?yàn)?，所以 與既不垂直也不平行，但過同一點(diǎn)，故與相交練習(xí)5.4.31求直線：與直線：的夾角解 ，因?yàn)?，所以所求夾角為2求直線：與直線：的夾角解 因?yàn)椋?，即所求夾角為練習(xí)5.5.1.11指出下列方程所表示的曲面名稱及其主要特征：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）原方程可化為 ，所以該方程表示球面，其球心坐標(biāo)為、半徑為；（2）原方程可化

52、為 ，所以該方程表示橢球面；（3）原方程可化為，因?yàn)槿鄙?，所以該方程表示平行于軸的圓柱面；（4）原方程可化為 ，因?yàn)槿鄙伲栽摲匠瘫硎酒叫杏谳S的橢圓柱面；（5）原方程可化為，因?yàn)槿鄙伲?所以該方程表示平行于軸的拋物柱面；（6）原方程可化為，因?yàn)槿鄙伲?所以該方程表示平行于軸的雙曲柱面2求到點(diǎn)距離為2的點(diǎn)的軌跡解 因?yàn)榈近c(diǎn)距離為2的點(diǎn)的軌跡即為球心在，半徑為2的球面，所以所求軌跡即為球面 3（略）4（略）練習(xí)5.5.1.21求拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱解 ，旋轉(zhuǎn)拋物面2求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱解 ，旋轉(zhuǎn)橢球面3求雙曲線分別繞、軸旋轉(zhuǎn)一周，所

53、得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱解 繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面；繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面4求直線分別繞、軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程并指出曲面的名稱解 繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，圓錐面；繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面的方程為，圓錐面5（略）練習(xí)5.5. 21 化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，并說明曲線的形成解 ，此曲線是橢圓柱面與平面的交線，即平面上的橢圓2 化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程，并說明曲線的形成解 普通方程為，此曲線是雙曲柱面與平面的交線，即平面上的雙曲線3 方程組、及各表示什么曲線？解 方程組表示旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線，即平面上的圓；

54、方程組表示旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線，即平面上的圓；方程組表示旋轉(zhuǎn)拋物面與平面的交線，即平面上的拋物線4 方程組、及各表示什么曲線？解 方程組表示雙曲拋物面與平面的交線，即平面上的雙曲線；方程組表示雙曲拋物面與平面的交線，即平面上的雙曲線；方程組表示雙曲拋物面與平面的交線，即平面上的拋物線5. （略）6. （略）高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第六章及答案練習(xí)6.1.11.設(shè)，求，解 ；2. 已知，求解 令，則，所以，于是，3.求下列函數(shù)的的定義域（1）； （2）解 （1）要是函數(shù)有意義，必須 ，即，所以，定義域?yàn)椋?）要是函數(shù)有意義，必須 ，即，所以，定義域?yàn)榈冢?）題圖第（1）題圖4.計(jì)算下列極限(1) ； (

55、2) 解 （1）；練習(xí)6.1.21.設(shè)，求，解 因?yàn)?；，所以，；2.計(jì)算下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）； （2）；（3）； （4）；解 （1）,；（2）,；（3）；（4）；3.計(jì)算下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（1）； （2）解 （1）因?yàn)?；所以 （2）因?yàn)?；所以 練習(xí)6.1.31.已知函數(shù)，求（1）函數(shù)微分；（2）在點(diǎn)的微分；（3）在點(diǎn)，當(dāng)時的微分解 (1) ；(2) ；(3) 2.求下列函數(shù)的全微分（1）；（2）；（3）解 （1）因?yàn)?；所以 （2）因?yàn)?；所以 （3）因?yàn)?；所以 3. 一圓柱形的無蓋銅質(zhì)容器，壁的厚度為，底的厚度均為，內(nèi)高為，內(nèi)半徑為，求容器質(zhì)量的近似值（銅的密度）解 依題意，圓柱

56、形容器的質(zhì)量，其近似值可以用圓柱在半徑為，高為時，當(dāng)半徑增量，高的增量的全微分代替，即.練習(xí)6.1.41. 求下列函數(shù)的極值（1）； （2）；解 因?yàn)?，?， 解得駐點(diǎn) 又因?yàn)?所以 ，于是，且，從而，函數(shù)在點(diǎn)有極大值，極大值為.(2) 因?yàn)椋?， 解得駐點(diǎn) 又因?yàn)?所以 ，于是，且，從而，函數(shù)在點(diǎn)有極小值，極小值為.2. 建造一個長方形水池，其底和壁的總面積為，問水池的尺寸如何設(shè)計(jì)時，其容積最大？解 設(shè)水池的底面長為，寬為，水池容積為，那么，高于是， ，令，得，即，解得，于是得唯一駐點(diǎn)由于駐點(diǎn)唯一，且由問題的實(shí)際意義可知最大容積一定存在，故這唯一的駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)所以當(dāng)長、寬都為米，此時高

57、為米時，所做水池容積最大練習(xí)6.2.11.用二重積分表示下列曲頂柱體的體積（1），為矩形區(qū)域：，；（2），為圓形區(qū)域：解 （1） ；（2）.2. 根據(jù)二重積分的幾何意義，說明下列積分值大于零、小于零、還是等于零（1）； （2）； （3）解 （1）因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)，所以值為正（2）因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)，所以值為負(fù)（3）因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)，依據(jù)被積函數(shù)的對稱性知，.3. 利用二重積分的幾何意義計(jì)算二重積分：（1）， ：； （2）， ：解 (1) 表示圓的面積，即；(2) 表示球的上半部，即半球的體積，故練習(xí)6.2.21. 將二重積分化為二次積分：（1）：，；（2）是由，所圍成解 （1），或； （2），或2. 計(jì)算下

58、列二重積分：（1），：，；（2）， 是由拋物線與直線所圍成解 （1）；（2）3. 交換下列積分的積分順序：（1）；（2）解 （1）；（2）4. 利用二重積分計(jì)算由拋物線和直線所圍成圖形的面積解 所圍圖形的交點(diǎn)：，解得和所求面積用二重積分表示：（平方單位）高等數(shù)學(xué)練習(xí)題第七章及答案練習(xí)7.1.11. 判別下列級數(shù)是否收斂，若收斂寫出級數(shù)的和(1) ；(2)解 （1）此級數(shù)為等比級數(shù)，其公比，級數(shù)收斂，且和 .（2）此級數(shù)為等比級數(shù)，其公比，級數(shù)發(fā)散.2.利用級數(shù)收斂的性質(zhì)，判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，則求其和.解 原式=因?yàn)?，收斂.， 收斂，由性質(zhì)知，級數(shù)收斂，且和.練習(xí)7.1.21.求冪級數(shù)的

59、收斂區(qū)間與和函數(shù).解 因?yàn)閮缂墧?shù)=是等比級數(shù)，且公比，當(dāng)時，等比級數(shù)收斂，即得收斂區(qū)間（-2，2），其和函數(shù) .2.求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間. （1）; (2).解 (1)因?yàn)?；，于?.所以，收斂半徑；收斂區(qū)間.(2)設(shè)，原冪級數(shù)改寫為.于是，所以，.由于得，故冪級數(shù)的收斂半徑收斂，收斂區(qū)間.3. 利用matlab軟件，將函數(shù)展開為冪級數(shù).解 利用matlab軟件，函數(shù)展開的冪級數(shù)式為練習(xí)7.2.11.設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表示式為其中為不等于零的常數(shù)，將展開為傅立葉級數(shù). 解 因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的傅立葉系數(shù)， ， ，所以的傅立葉級數(shù)為 2.設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅

60、立葉級數(shù). 解 因?yàn)橹芷诤瘮?shù)是偶函數(shù)，其傅立葉系數(shù)為 ， - = 所以，展開為傅立葉級數(shù) .練習(xí)7.2.21.設(shè)是周期為2的函數(shù)，它在上的表示式為 將展開為傅立葉級數(shù).解 因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的傅立葉系數(shù)， ， ，所以的傅立葉級數(shù)為 2.將周期為4的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù). 解 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，傅立葉系數(shù)為， ， .所以，展開為傅立葉級數(shù) 練習(xí)7.3.1利用拉氏變換表求下列函數(shù)拉氏變換(1)； (2)； (3) ；(4) ；(5) ； (6).解 查表得，(1)；(2)；(3) ；(4)；(5)；(6).練習(xí)7.3.2求下列各函數(shù)的拉氏變換.(1)；(2)；(3)；(4)；(5).解 (1) ；(2) =