63等比數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答

1、第六孫數(shù)列6.3等比數(shù)列及其前挖項和基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)知識梳理要帥解蚩層突破1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,常用字母_q_表示（q工0）2 .等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為ai,公比為q，則它的通項a“=色1二.等比中項若G2= a （ab工0）那么 G叫做a與b的等比中項.等比數(shù)列的常用性質(zhì)n _ m*（1）通項公式的推廣：an = am q（n, m N ）.若an為等比數(shù)列，且 k+ 1 = m + n（ k, l, m , n N），貝U a* a=a a.若an, bn

2、（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則入訃（入工Q）亡品,an bn ，帥是等比數(shù) 列.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q（q豐0,）其前n項和為Sn,當(dāng) q = 1 時，Sn= na1;a1 1 qna1 anq當(dāng)q Ml時，Sn =凹. q1 q等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為S,則Sn, S2n Sn , Ssn S2n仍成等比數(shù)列，其公 比為_.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“V或“X”）(1)滿足an+1= qan(n N , q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.(x )2G為a, b的等比中項？G= ab.( x )如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bn=

3、 a2n-l+ a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列.(X )如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列In an是等差數(shù)列.(x )na 1 an(5)數(shù)列an的通項公式是an= an，則其前n項和為5=.( x ) a考點自測數(shù)列an為等比數(shù)列，則 S4, S8 S4, S12 S3成等比數(shù)列.快速解答自查自糾.3-ai= 1 , a4= 8，從而 aiq = 8,二 q = 2.數(shù)列an的前n1 2項和為 Sn = 2 1.1- 25.（教材改編）在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為答案 27,81解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，33243 = 9 Xq , q = 27

4、, - q = 3.插入的兩個數(shù)分別為9X = 27,27 X3= 81.題型分類深度剖析題型一 等比數(shù)列基本量的運算例1 （1）設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S為其前n項和已知a2a4= 1, Ss = 7,貝U于（）15313317a. 2 B.7 c.& D.7S5等在等比數(shù)列an中，若a4 a2= 6, a5 a1 = 15，貝U a3=答案 (1)B(2)4 或4a1q a1q3= 1,解析（1）顯然公比q工1,由題意得a1 1 q31-q=7,廣a1= 4,解得 1q=2a1 = 9或1q = 3（舍去）,314 .設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q豐0）aiq3 - aiq = 6,則

5、 4|aiq ai= 15,兩式相除，得q _ 21+ q2 = 5，即 2q2 5q + 2= 0,解得 q = 2 或 q =1a1= 1 ,所以或 1q =2, q=2.a1= 16,故 a3= 4 或 a3= 4.思維升華 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1, n , q,an, Sn, 般可以知三求二”,通過列方程(組)可迎刃而解.(1)在正項等比數(shù)列a5an中，an+1 v an, a2 a8 = 6, a4 + a6 = 5，則石等于()5A.66B.52C.33D.2(2015湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a1 = 1，且3S1,2S2

6、, S3成等差數(shù)列，則an =答案(1)D(2)3 n 1解析(1)設(shè)公比為q，則由題意知0v q v 1,a2由a4 + a6= 5,a8 = a4 a6 = 6,得 a4 = 3, a6= 2,a5 a43所以a；= = 3a3 = 3a2，所以公比q = 3，故等比數(shù)列由3S,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2= 3S1+ S3,可得題型二等比數(shù)列的判定與證明通項 an = a1q = 3 .例2 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1= 1， Sn+1= 4an+ 2.(1)設(shè)bn= an+1 2an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項公式.(1)證明 由 a1 = 1 及

7、 Sn +1 = 4an + 2，有 a1+ a2= = 4a1 + 2.二 a2= 5 , / bi= a2 2ai = 3.S + i = 4an + 2,又I Sn = 4an i +n 耳,，得 an+1 = 4an 4an-1 (n絲),an+1 2an = 2(an 2ani) (n 絲).-bn= an+1 2an, - - bn = 2bn1 (n 絲),故bn是首項bi = 3，公比為2的等比數(shù)列.n i(2)解 由(1)知 bn = an+1 2an= 3 2 ,an+1 an 32+1 刃=4，an13故尹是首項為2公差為4的等差數(shù)列.an 13 3n 1尹=2 + (n

8、1)=p，n 2故 an = (3n 1) 2 .引申探究例2中Sn+ 1= 4an+ 2”改為Sn+ 1= 2Sn+ (n + 1) ”其他不變探求數(shù)列an的通項公式.解 由已知得n呈時，Sn= 2Sn1 + n.$+ 1 Sn= 2Sn 2Si 1 + 1 ,-an+ 1 = 2 an + 1 ,an+1 +1 = 2(an+1)，又 a1= 1 ,當(dāng)n= 1時上式也成立，故an + 1是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，n 1 nnan + 1 = 2 2= 2 , an = 2 1.思維升華(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明

9、某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即 可.(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n= 1時的情況進(jìn)行驗證.跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1 + 2a2 + 3a3+ na n= (n 1)Sn+ 2n(n N ).(1)求a2, a3的值；(2)求證：數(shù)列S + 2是等比數(shù)列.(1)解 / ai+ 2a2 + 3a3+ + nan= (n 1)3 + 2n(n N ),當(dāng) n= 1 時，ai = 2 x 12;當(dāng) n= 2 時，ai+ 2a2= (ai + a2) + 4,-a2= 4 ;當(dāng) n= 3 時，ai+ 2a2+ 3a3= 2(ai + a2+ a3) +

10、6 , a3= 8.綜上，a2= 4, a3= 8.證明 ai+ 2a2 + 3a3 + + nan= (n I)Sn + 2n(n N ),當(dāng) n絲 時，ai + 2a2 + 3a3 + + (n i)an i=(n 2)Sn1 + 2(n i).一得 nan = (n 1) Sn (n 2)Sn i + 2 = n (Sn Sni) Sn+ 2Sn i + 2 = nan Sn + 2Sni + 2.-Sn + 2Sn 1 + 2 = 0，即 Sn = 2Sn 1 + 2 ,- Sn+ 2 = 2(Sn i+ 2).t Si + 2 = 4 MQ Sn i+ 2 MQS + 2二 =2,S

11、n i+ 2故S + 2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3 (1)在等比數(shù)列an中，各項均為正值，且a6aio + a3a5= 41, a4a8 = 5，則a4 + a8 =等比數(shù)列an的首項ai = 1，前n項和為Sn，若詈=尋，則公比q =.1答案(1).5122 2解析 (1)由 a6aio + a3a5 = 41 及 a6aio= a8, a3a5 = a4,22得 a4+ a8= 41.因為 a4a8= 5,2 2 2所以(a4+ a8) = a4 + 2 a4a8 + a8 = 41 + 2 x 5 51.又 an0,所以 a4+ a8 = .51.(

12、2)由 S = 3= 255，解得 a1 = 3,故選 C. L，a1 = 1 知公比 q M,l則可得S10 S5S5丄32.5由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知 S5, S10 S, S15 S10成等比數(shù)列，且公比為q ,51故 q =32，1思維升華 (1)在等比數(shù)列的基本運算問題中， 一般利用通項公式與前 n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)若m + n = p + q,則有aman= apaq”，可以減少運算量.等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列Sk,kS2k Sk, S3k S2k,成等比數(shù)列，公比為 q (q 1) mm 已知等比

13、數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a9= 2a5, a2 = 2,貝V a1 等于()1B.于C. 2D. 2(2)等比數(shù)列an共有奇數(shù)項，所有奇數(shù)項和S奇255,所有偶數(shù)項和 5偶=126 ,末項是192 ,則首項a1等于()A. 1B. 2C. 3D. 4答案C(2)C解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得asa9= a6T q 0 ,a6 = . 2a5, q = a5a2,2 , a1 = = 2，故選 C.M(2)設(shè)等比數(shù)列an共有 2k + 1(k N*)項，貝U a2k+1 = 192，貝U S 奇=ai+ a3+ + a2k-1+ a2k+11 126=q(a2 + a4+ + a2k) + a2

14、k+1 = qS 偶 + a2k +1 = q + 192 = 255，解得 q = 2，而 S 奇=21-q2 2 a1 a 2k + 1qa1 192 x 思想與方法系列12 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用*典例(12分)已知首項為勺的等比數(shù)列an的前n項和為Sn(n N),且一2S2, S3,4S4成等差數(shù) 列.求數(shù)列an的通項公式；1 13*證明：Sn + sn6(n N ).思維點撥利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項公式；(2)求出前n項和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明.規(guī)范解答解 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為一2S2, S3,4S4成等差數(shù)列，所以 S3 + 2S2 = 4S

15、i S3, 即卩 Si S3 = S2 St,a41可得2a4 = a3，于是q =爲(wèi)=靈證明由(1)知，Sn = 1 2 n ,分3又a1= 2,所以等比數(shù)列an的通項公式為3 j 125所以 Sn + s;0+ S2= 121 分 n 1n 13八1S1+ Sn= 1 12n 2n+1,n為奇數(shù),n為偶數(shù).6分an= 2X 2 = ( 1) 2.3 分當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn+ 土隨n的增大而減小,1113所以 Sn+Sn 詬 1+s；= s.e 分當(dāng)n為偶數(shù)時，1Sn+ S隨n的增大而減小,Sn,*1 13故對于n N ,有Sn + $ 2?數(shù)列an是等比數(shù)列.二者的本質(zhì)是相同的，其區(qū)別只是n

16、的初始值不同.2 *等比中項法:an+1 = an an + 2(anan +1 an +2 MQ n N )?數(shù)列an是等比數(shù)列.失誤與防范1.特別注意q = 1時，Sn= na1這一特殊情況.由an+1 = qan, q mq并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a1M 0.在運用等比數(shù)列的前 n項和公式時，必須注意對q = 1與q工1分類討論，防止因忽略 q =1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.等比數(shù)列性質(zhì)中：Sn，S2n- S，S3n-S2n也成等比數(shù)列，不能忽略條件q 1.練出高分A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練（時間：35分鐘）.已知等比數(shù)列an中，a2 + a3= 1, a4 + a5= 2，貝V

17、a6+ a7 等于()A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2答案 CI I 2解析 因為a2+a3,a4 + a5,a6 + a7成等比數(shù)列，a2 +a3 = 1,a4+ a5= 2，所以(a4+ a5)= (a2+ a3)(a6 + a7)，解得 a6+ a7 = 4.*2 n.等比數(shù)列an滿足 an 0, n N,且 a3 a2n-3= 2 (n 2,)則當(dāng) nl時，Iog2ai + log2a2 + + log 2a 2n T 等于()2A. n(2n 1)B. (n+ 1)2 2C. nD. (n1)答案 A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得 a3 a2n 3= an = 2，從而得 an=

18、2】方法一log2a1 + log2a2 + + log2a2n 1= Iog2(a1a2n 1) (a2a2n2) (an 1an + 1)an = log22n(2no = n (2 n 1).方法二 取 n = 1, log 2a1 = log 22 = 1,而(1 + 1) = 4, (1 1) = 0,排除 B, D;取 n = 2, log2a12+ log2a2+ log2a3= log22 + log24 + log28 = 6，而 2 = 4,排除 C,選 A. TOC o 1-5 h z .在正項等比數(shù)列an中，已知 a1 a2a3= 4, a4a5a6= 12 , an-

19、 1anan+1= 324，貝V n 等于()A. 12B. 13C. 14D. 15答案 C解析設(shè)數(shù)列an的公比為q,丄，33312由 a1a2a3= 4= a1q 與 a4a5a6= 12 = a1q ,可得 q = 3, an1anan +1 = a 1q= 324 ,因此-6= 81 = 3 = q6,所以 n = 14,故選 C.4.若正項數(shù)列an滿足 lg an+1= 1 + lg an,且 a2 001 + a2 002 + + a2 010 = 2 016 ,則 a2 011 + a2 012 + a2 020的值為()1011A. 2 015 B. 2 015 101011C

20、. 2 016 D. 2 016 10an+ 1答案 C解析 Tig an+ 1= 1 + |g an, /. lg = 1,an+1=10,數(shù)列an是等比數(shù)列，t a2 001 + a2 002 + a2 010 = 2 016 ,.110a2 011 + a2 012 + + a2 020 = 10 (a2 001 + a2 002 + + a2 010) = 2 016 x 10 則 ai(q + q 2) = 0.5.已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若存在*mm N ,滿足 =9,Sma2mam5m + 1m 1,則數(shù)列an的公比為（）A. 2 B. 2 C. 3 D. 3答案 B解

21、析 設(shè)公比為q，若q= 1，則字=2 ,與題中條件矛盾，故q豐1.S2mSm2ma1 q1 qmmm = q + 1 = 9 ,- - q = 8.a1 q1 qa2mam2m 1a1qm 5m +1m 1 = q = 8 =a1qm 13 -m = 3, - -q = 8 ,二 q = 2.6.等比數(shù)列an中，Sn表示前n項和，a3= 2S2+ 1, a4= 2S3+ 1，則公比q為答案 3解析 由 a3 = 2S2 + 1, a4= 2S3+ 1 得a4 a3= 2(S3 S2) = 2a3,a4a4= 3a3, / q = a3= 3.7.等比數(shù)列an的前n項和為Si,公比不為1.若a1

22、 = 1，則對任意的n N ,都有+1 2an = 0，貝H S5=.答案 11解析 由題意知a3+ a2 2a1= 0，設(shè)公比為q ,an +2+ an2由q + q 2 = 0解得q = 2或q = 1(舍去), TOC o 1-5 h z -ai q515貝V S5= 11.1 q3a +18 .已知數(shù)列an的首項為1,數(shù)列bn為等比數(shù)列且bn=，若Soan答案 1 024a2a3解析 / b1= a2, b2=a1a2a3= b2a2= b1b2,a4-b3= a?-a4= b 1 b2b3, ，an = b1b2b3 bn1,.1010-a21 = b1b2b3 t)20 = (b1

23、obn) = 2 = 1 024.9 .數(shù)列bn滿足：bn+1= 2bn + 2 , bn= an+1 an，且 a1= 2, a2= 4.求數(shù)列bn的通項公式；求數(shù)列an的前n項和Sn.解 (1)由 bn+1= 2bn+ 2，得 bn + 1 + 2 = 2(bn+ 2),bn+ 1+ 2匚77=2，又 b1+2=a2a1+2=4，數(shù)列bn + 2是首項為4，公比為2的等比數(shù)列. TOC o 1-5 h z .n 1n + 1n+1 bn+ 2 = 4 2 = 2 : bn= 2 + 2.(2)由(1)知，an an 1 = bn 1 = 2n 2 (n支), .n 1an1 an 2 =

24、2 2 (n2),2，a2 a1 = 2 2,23n- an 2 = (2 + 2 + + 2 ) 2(n 1),.23nan= (2 + 2 + 2 + 2 ) 2n + 22 2Jn+1=2n+ 2 = 2 + 2n.n 2+ 2nn+ 22=2 + (n + n + 4).2 12n Sn =1 2其中入為），則Ana3 A3a1，A2反之，2 n 已知數(shù)列an和bn滿足 ai= x, a*+1 = an+ n 4, bn= (- (an 3n + 21), 實數(shù)，n為正整數(shù).證明：對任意實數(shù) 入，數(shù)列an不是等比數(shù)列； 證明：當(dāng) 店-18時，數(shù)列bn是等比數(shù)列.證明(1)假設(shè)存在一個實

25、數(shù)入，使an是等比數(shù)列，則有a2= a1a3,即卩入一3 ?=入入一4c 4 24 2? 9入4入 + 9 = 9入4入？ 9 = 0，矛盾.所以an不是等比數(shù)列.n 1bn+1 = ( 1) + an+ 1 3(n + 1) + 21 TOC o 1-5 h z n 1 (2=(1) + 3a n 2n + 142n2=3 ( 1) (an 3n + 21) = gbn.又店一18，所以 b1 = ( X+ 18)工 0.bn+12*由上式知bnM0所以bn = 3(n N ).2故當(dāng) 心-18時，數(shù)列bn是以一(X+ 18)為首項，一3為公比的等比數(shù)列.B組專項能力提升(時間：20分鐘)

26、設(shè)an是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai, ai+1的矩形的面積(i = 1,2 , TOC o 1-5 h z 為等比數(shù)列的充要條件是()A. an是等比數(shù)列B.a1, a3,，a2n1,或a2,a4,，a2n,是等比數(shù)列C.a1, a3,，a2n 1 ,和a2,a4,，a2n ,均是等比數(shù)列D.a1, a3,，a2n 1 ,和a2,a4,，a2n ,均是等比數(shù)列，且公比相同 TOC o 1-5 h z 答案 DAn + 1 an +1 an + 2 a n+ 2A2解析 Ai = aiai+1,若An為等比數(shù)列，貝U 丁 =丁為常數(shù)，即 Ananan+1anA1a4、,.a1,a3,

27、a5, ，a2n 1, 禾口a2,a4,，a2n,成等比數(shù)列，且公比相等.a2若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為q，則盂=肓 =q，從而An為等比數(shù)列.若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且aioaii+ agai2 = 2e5，貝U ln ai+ In a2 + In a20 =答案50解析II55因為ai0aii +a9ai2 = 2ai0aii = 2e，所以aioaii= e .所以 lnai+ lna2 +ln a20= TOC o 1-5 h z 105ln(aia2a2o) = In( aia2o) (Gaw)(aioaii) = In( aioaii) = 101 n(

28、 aioaii) = 10ln e = 50.、，*an + m數(shù)列an滿足ai = 2且對任意的 m , n N ,都有亦=an,貝V a3 =; an的前n 項禾口 Sn=.答案8 2n+1-2an +m解析-a = an, aman + m = an am, TOC o 1-5 h z .3a3= ai + 2= ai a2= ai ai ai = 2 = 8; 令 m = 1,貝U有 an + i = an ai = 2an,數(shù)列an是首項為ai = 2，公比為q= 2的等比數(shù)列, J1- 21 - 2=2n+-2.定義在(一円0) u (0,+ 上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等

29、比數(shù)列an, f(an)仍是等比數(shù)列，則稱 f(x)為 保等比數(shù)列函數(shù) ”現(xiàn)有定義在(円0) u (0 ,+ )的如下函數(shù)：f(x)=X2；f(x)=2X;f(x) = x| ;f(x) = ln | x|.則其中是 保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為 .答案解析設(shè)an的公比為q，驗證an + 1 an+ 1an + 1anan-J an|=,|q|，故為保等比數(shù)列函數(shù)”15 .已知數(shù)列an中，a1= 1, an an+1 = 2 n，記 Tm 為an的前 2n 項的和，bn = am+ am 1,(1)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并求出bn； (2)求 T2n.解(1) T an an+ 1 = 2 n ,二 an+ 1 an+ 2=T+ 2,an+2112，即an+ 2= 2玄門an-bn= a2n + a2n 1 ,bn+ 1a