繪制根軌跡圖基本規(guī)則

1、自動控制原理(頻域分析部分)肖剛1第四章 根軌跡法41 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡42 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則43 控制系統(tǒng)性能的根軌跡分析2（1）尋找滿足幅角條件所有的s點，由這些點構(gòu)成根軌跡；（2）根據(jù)幅值條件確定對應(yīng)點(即特征方程根)處的K1值。以開環(huán)根跡增益K1為參變量繪制根軌跡的一些基本規(guī)則：1. 根軌跡的起點和終點 起點（ ）： 起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點； 終點（ ）：終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。包括m個 有限遠的零點（簡稱有限零點）和(n-m) 個無限遠的零點(簡稱無限零點)。當 變化時，整個根軌跡的趨向由起點移向終 點，即由開環(huán)的極點移向開環(huán)的零點。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則3起點： 因為當

2、 時， 說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，n階系統(tǒng)共有n個開環(huán)極點，每個開環(huán)極點都對應(yīng)根軌跡的一個起點，所以共有n個起點。-4-2 繪制根軌跡的規(guī)則4終點：（1）有m條根軌跡終止于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的m個有限零點。當 時， 我們把這m個零點稱之為系統(tǒng)的有限零點。（2）有（n-m）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個無限零點。當 時，上式表明：有n-m條根軌跡的終點在無窮遠處。我們把無窮遠處的零點稱之為無限零點。 4-2 繪制根軌跡的規(guī)則5 綜上所述：系統(tǒng)共有n個開環(huán)零點，其中m個為有限零點，（n-m）個為無限零點。每個開環(huán)零點都對應(yīng)根軌跡的一個終點，所以共有n個終點。2、根軌跡的分支數(shù) 根

3、軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)的極點數(shù)。 我們把一條完整的根軌跡稱之為根軌跡的一個分支，由前面 的分析可知，n階系統(tǒng)有n個根軌跡的起點和終點。所有的根軌跡都是有頭有尾 、有始有終。所以其分支數(shù)必等于開環(huán)的極點數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則63、根軌跡的對稱性 根軌跡對稱于實軸。 特征方程的根或為實數(shù)，或為復(fù)數(shù)。必對稱于實軸。4、根軌跡的漸近線（s=處的根軌跡特征） 漸近線共有(n-m)條，且相交于實軸上的同一點。 漸近線于實軸的夾角： (k=0,1,2) 漸近線與實軸的交點：4-2 繪制根軌跡的規(guī)則7（1）根軌跡漸近線的傾角根據(jù)幅角條件：當 時，零點 、極點 與 矢量復(fù)角可近似看成相等得到所以

4、漸近線的傾角： 因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個不同的傾角即可。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則8（2）漸近線與實軸的交點幅值條件：當 ，則對應(yīng)于 ，此時 ，上式可寫成：上式左邊展開： 上式右邊展開比較對應(yīng)s冪項系數(shù)相等，求得：所以漸近線相交于同一點4-2 繪制根軌跡的規(guī)則9五、根軌跡在實軸上的分布 實軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開環(huán)零點、極點之和必為奇數(shù)。在s=0與s=-z1之間的實軸上任取一個試驗點s1加以說明。 4-2 繪制根軌跡的規(guī)則10例： 已知：試畫出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則：（1）起點：0，-1，-2； 終點：，。（2）分支數(shù)： n=3（3）根軌跡對稱于

5、實軸。（4）漸近線：因為本系統(tǒng)中， ，所以漸近線共 有3條。漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到：4-2 繪制根軌跡的規(guī)則11 漸近線與實軸的交點：（5）根軌跡在實軸上的分布： 0-1，-2-之間。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則126、根軌跡在實軸上的分離點與會合點分離點或會合點的必要條件：式中 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則13設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則14 根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡上的分離點(或會合點) 與特征方程式的重根相對應(yīng)。若為二重根，必同時滿足 和 。因此求得：消去 ，可得到：便于忘記，上式又可寫成： 或 以上分析沒有考慮 (且為實數(shù))的

6、約束條件，所以只有滿足 的這些解，才是真正的分離點（或會合點）。4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則15例: 設(shè)系統(tǒng)試求該系統(tǒng)根軌跡在實軸上的會合點。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗：s1代入，求得：K0，故舍去； s2代入，求得K0 。所以s2會合點。(舍去) 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則16檢驗K1只要得到的符號即可,不必出具體的數(shù)值。 一般來說:如果根軌跡位于實軸上兩相鄰的開環(huán)極點(零點)之間；則個分離點(會合點) 。如果根軌跡位于實軸上一個開環(huán)極點與一個開環(huán)零點之間，則或者既不存在分離點，也不存在會合點，或者既存在分離點，又存在會合點。4-2 繪制根軌

7、跡圖的基本規(guī)則17 四重分離點 復(fù)數(shù)分離點4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則18 另外兩種表達形式： (1) 因為令 , 即得到4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則19仍以上例說明:因為令求得(舍去) 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則20(2) 因為即其中即所以-4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則21 仍以上例說明: 因為 消去分母 解上式得到 經(jīng)檢驗，s2是根軌跡在實軸上的分離點。 對于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面兩種方法都是從第一種方法派生出來的，所以求得的結(jié)果一定要檢驗，舍去K0所對應(yīng)的值。 （舍去） 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則22復(fù)雜情況用試探法。在-2-3之間存在一個分離點。所以

8、分離點的位置為 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則237、根軌跡的出射角與入射角 若根軌跡的一個分支離開復(fù)極點 的出射角為 ，則 （各零點 到的向量幅角 之和） （其它各極點到 的向量幅角 之和）若根軌跡的一個分支終止于復(fù)零點 的入射角為 ，則 (各極點到 的向量幅角 之和) (其它各零點到 的向量幅角 之和) 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則24 出射角(或入射角)是指根軌跡離開復(fù)極點 (或終止復(fù)零點)處切線的傾角。 在根軌跡曲線上取試驗點s1，與復(fù)極點-pa的距離為 。當 時，可近似地認為s1在切線上，切線的傾角就等于復(fù)極點的出射角。所以 的出射角: 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則258. 根軌

9、跡與虛軸交點 根軌跡與虛軸交點的縱坐標為滿足特征方程 的 值。工作在此點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。介紹常用的三種方法。(1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虛部、實部分別等于 零，求得 和對應(yīng)的K1。(2) 利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助 方程求得。若根軌跡與虛軸的交點多于兩個，則應(yīng)取勞斯 陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。(3) 利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)經(jīng)驗 選擇滿足幅角條件的試探點求出 ，再利用幅值條件確 定交點處的K1值。4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則26例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制根軌跡圖解：開環(huán)極點：0、-3、-1+j、-1

10、-j 開環(huán)零點：4個無限零點(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角： 漸近線與實軸的交點： (2) 實軸上的根軌跡：0 -34-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則27(3)分離點：利用試探法求得(4)極點-p3的出射角 ：不難求得極點-p1、 -p2、 -p4到-p3的幅角分別 、 、 .所以同理不難求得極點-p4處的出射角：(5)根軌跡與虛軸的交點： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則28實部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行首項為零，即求K1 =8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程(舍去)4-2 繪制根軌跡圖

11、的基本規(guī)則299. 根軌跡的走向 當n-m2滿足時，隨著K1增加，一些根軌跡分支向左方移動，則另一些根軌跡分支將向右方移動。開環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程： 當滿足n-m2 時，上式sn-1項將沒有同次項可以合并，通常把稱之為極點的“重心”。4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則30 當K1變化時，極點的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當一部分根軌跡隨著的增加向左方移動時，另一部分根軌跡將向右方移動.例4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則3110. 根軌跡上K1值的計算根軌跡上任一點S1處的K1可由幅值條件來確定。即 = 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則32繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī) 則 1起點終點起

12、始于開環(huán)的極點，終止于開環(huán)傳的零點（包括無限零點）2分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)（nm）3對稱性對稱于實軸4漸近線相交于實軸上的同一點：坐標為： 傾角為：5實軸上分布實軸上的根軌跡在實軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點數(shù)之和必為奇數(shù)33繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī) 則 6分離（回合）點實軸上的分離（會合）點（必要條件）7出射角入射角復(fù)極點處的出射角： 復(fù)零點處的入射角：8虛軸交點（1）滿足特征方程 的 值；（2）由勞斯陣列求得（及K1響應(yīng)的值）；9走向當 時 ， 一些軌跡向右，則另一些將向左。10K1計算 根軌跡上任一點處的K1：34 例: 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試畫根軌跡，并確定 時K1的值。 解：只對根軌跡曲線的特征點進行分析。 (1) 漸近線：3條。 漸近線的夾角： 漸近線與實軸的交點：（2）分離點： 即 （舍去）4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則35（3）與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)