繪制根軌跡圖基本規(guī)則

1、自動(dòng)控制原理(頻域分析部分)肖剛1第四章 根軌跡法41 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡42 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則43 控制系統(tǒng)性能的根軌跡分析2（1）尋找滿足幅角條件所有的s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡；（2）根據(jù)幅值條件確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根)處的K1值。以開(kāi)環(huán)根跡增益K1為參變量繪制根軌跡的一些基本規(guī)則：1. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 起點(diǎn)（ ）： 起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 終點(diǎn)（ ）：終止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。包括m個(gè) 有限遠(yuǎn)的零點(diǎn)（簡(jiǎn)稱(chēng)有限零點(diǎn)）和(n-m) 個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)的零點(diǎn)(簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)限零點(diǎn))。當(dāng) 變化時(shí)，整個(gè)根軌跡的趨向由起點(diǎn)移向終 點(diǎn)，即由開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)移向開(kāi)環(huán)的零點(diǎn)。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則3起點(diǎn)： 因?yàn)楫?dāng)

2、 時(shí)， 說(shuō)明根軌跡起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，n階系統(tǒng)共有n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，每個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡的一個(gè)起點(diǎn)，所以共有n個(gè)起點(diǎn)。-4-2 繪制根軌跡的規(guī)則4終點(diǎn)：（1）有m條根軌跡終止于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的m個(gè)有限零點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)， 我們把這m個(gè)零點(diǎn)稱(chēng)之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。（2）有（n-m）條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)，上式表明：有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。我們把無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱(chēng)之為無(wú)限零點(diǎn)。 4-2 繪制根軌跡的規(guī)則5 綜上所述：系統(tǒng)共有n個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，其中m個(gè)為有限零點(diǎn)，（n-m）個(gè)為無(wú)限零點(diǎn)。每個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡的一個(gè)終點(diǎn)，所以共有n個(gè)終點(diǎn)。2、根軌跡的分支數(shù) 根

3、軌跡的分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)。 我們把一條完整的根軌跡稱(chēng)之為根軌跡的一個(gè)分支，由前面 的分析可知，n階系統(tǒng)有n個(gè)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。所有的根軌跡都是有頭有尾 、有始有終。所以其分支數(shù)必等于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則63、根軌跡的對(duì)稱(chēng)性 根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。 特征方程的根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)閺?fù)數(shù)。必對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。4、根軌跡的漸近線（s=處的根軌跡特征） 漸近線共有(n-m)條，且相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。 漸近線于實(shí)軸的夾角： (k=0,1,2) 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：4-2 繪制根軌跡的規(guī)則7（1）根軌跡漸近線的傾角根據(jù)幅角條件：當(dāng) 時(shí)，零點(diǎn) 、極點(diǎn) 與 矢量復(fù)角可近似看成相等得到所以

4、漸近線的傾角： 因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個(gè)不同的傾角即可。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則8（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)幅值條件：當(dāng) ，則對(duì)應(yīng)于 ，此時(shí) ，上式可寫(xiě)成：上式左邊展開(kāi)： 上式右邊展開(kāi)比較對(duì)應(yīng)s冪項(xiàng)系數(shù)相等，求得：所以漸近線相交于同一點(diǎn)4-2 繪制根軌跡的規(guī)則9五、根軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。在s=0與s=-z1之間的實(shí)軸上任取一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)s1加以說(shuō)明。 4-2 繪制根軌跡的規(guī)則10例： 已知：試畫(huà)出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則：（1）起點(diǎn)：0，-1，-2； 終點(diǎn)：，。（2）分支數(shù)： n=3（3）根軌跡對(duì)稱(chēng)于

5、實(shí)軸。（4）漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中， ，所以漸近線共 有3條。漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到：4-2 繪制根軌跡的規(guī)則11 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（5）根軌跡在實(shí)軸上的分布： 0-1，-2-之間。4-2 繪制根軌跡的規(guī)則126、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的必要條件：式中 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則13設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則14 根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡上的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn)) 與特征方程式的重根相對(duì)應(yīng)。若為二重根，必同時(shí)滿足 和 。因此求得：消去 ，可得到：便于忘記，上式又可寫(xiě)成： 或 以上分析沒(méi)有考慮 (且為實(shí)數(shù))的

6、約束條件，所以只有滿足 的這些解，才是真正的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則15例: 設(shè)系統(tǒng)試求該系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗(yàn)：s1代入，求得：K0，故舍去； s2代入，求得K0 。所以s2會(huì)合點(diǎn)。(舍去) 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則16檢驗(yàn)K1只要得到的符號(hào)即可,不必出具體的數(shù)值。 一般來(lái)說(shuō):如果根軌跡位于實(shí)軸上兩相鄰的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(零點(diǎn))之間；則個(gè)分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)) 。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間，則或者既不存在分離點(diǎn)，也不存在會(huì)合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)，又存在會(huì)合點(diǎn)。4-2 繪制根軌

7、跡圖的基本規(guī)則17 四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn)4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則18 另外兩種表達(dá)形式： (1) 因?yàn)榱?, 即得到4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則19仍以上例說(shuō)明:因?yàn)榱钋蟮?舍去) 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則20(2) 因?yàn)榧雌渲屑此?4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則21 仍以上例說(shuō)明: 因?yàn)?消去分母 解上式得到 經(jīng)檢驗(yàn)，s2是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。 對(duì)于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面兩種方法都是從第一種方法派生出來(lái)的，所以求得的結(jié)果一定要檢驗(yàn)，舍去K0所對(duì)應(yīng)的值。 （舍去） 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則22復(fù)雜情況用試探法。在-2-3之間存在一個(gè)分離點(diǎn)。所以

8、分離點(diǎn)的位置為 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則237、根軌跡的出射角與入射角 若根軌跡的一個(gè)分支離開(kāi)復(fù)極點(diǎn) 的出射角為 ，則 （各零點(diǎn) 到的向量幅角 之和） （其它各極點(diǎn)到 的向量幅角 之和）若根軌跡的一個(gè)分支終止于復(fù)零點(diǎn) 的入射角為 ，則 (各極點(diǎn)到 的向量幅角 之和) (其它各零點(diǎn)到 的向量幅角 之和) 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則24 出射角(或入射角)是指根軌跡離開(kāi)復(fù)極點(diǎn) (或終止復(fù)零點(diǎn))處切線的傾角。 在根軌跡曲線上取試驗(yàn)點(diǎn)s1，與復(fù)極點(diǎn)-pa的距離為 。當(dāng) 時(shí)，可近似地認(rèn)為s1在切線上，切線的傾角就等于復(fù)極點(diǎn)的出射角。所以 的出射角: 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則258. 根軌

9、跡與虛軸交點(diǎn) 根軌跡與虛軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為滿足特征方程 的 值。工作在此點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。介紹常用的三種方法。(1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虛部、實(shí)部分別等于 零，求得 和對(duì)應(yīng)的K1。(2) 利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助 方程求得。若根軌跡與虛軸的交點(diǎn)多于兩個(gè)，則應(yīng)取勞斯 陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。(3) 利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)經(jīng)驗(yàn) 選擇滿足幅角條件的試探點(diǎn)求出 ，再利用幅值條件確 定交點(diǎn)處的K1值。4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則26例 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制根軌跡圖解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1

10、-j 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： (2) 實(shí)軸上的根軌跡：0 -34-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則27(3)分離點(diǎn)：利用試探法求得(4)極點(diǎn)-p3的出射角 ：不難求得極點(diǎn)-p1、 -p2、 -p4到-p3的幅角分別 、 、 .所以同理不難求得極點(diǎn)-p4處的出射角：(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則28實(shí)部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行首項(xiàng)為零，即求K1 =8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程(舍去)4-2 繪制根軌跡圖

11、的基本規(guī)則299. 根軌跡的走向 當(dāng)n-m2滿足時(shí)，隨著K1增加，一些根軌跡分支向左方移動(dòng)，則另一些根軌跡分支將向右方移動(dòng)。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程： 當(dāng)滿足n-m2 時(shí)，上式sn-1項(xiàng)將沒(méi)有同次項(xiàng)可以合并，通常把稱(chēng)之為極點(diǎn)的“重心”。4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則30 當(dāng)K1變化時(shí)，極點(diǎn)的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當(dāng)一部分根軌跡隨著的增加向左方移動(dòng)時(shí)，另一部分根軌跡將向右方移動(dòng).例4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則3110. 根軌跡上K1值的計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)S1處的K1可由幅值條件來(lái)確定。即 = 4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則32繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī) 則 1起點(diǎn)終點(diǎn)起

12、始于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無(wú)限零點(diǎn)）2分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（nm）3對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸4漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為： 傾角為：5實(shí)軸上分布實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)33繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī) 則 6分離（回合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會(huì)合）點(diǎn)（必要條件）7出射角入射角復(fù)極點(diǎn)處的出射角： 復(fù)零點(diǎn)處的入射角：8虛軸交點(diǎn)（1）滿足特征方程 的 值；（2）由勞斯陣列求得（及K1響應(yīng)的值）；9走向當(dāng) 時(shí) ， 一些軌跡向右，則另一些將向左。10K1計(jì)算 根軌跡上任一點(diǎn)處的K1：34 例: 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試畫(huà)根軌跡，并確定 時(shí)K1的值。 解：只對(duì)根軌跡曲線的特征點(diǎn)進(jìn)行分析。 (1) 漸近線：3條。 漸近線的夾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（2）分離點(diǎn)： 即 （舍去）4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則35（3）與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)