高考數(shù)學(xué)二模試題徐匯二模理科試卷與詳解

1、2014學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)（理科）2015.04一、填空題（滿分56分）1、已知會(huì)集A1,2,1，會(huì)集Byyx2,xA，則AIB2【答案】1【分析】x1,2,1，則y1,4,1，因此AIB1242、若復(fù)數(shù)z12i（i為虛數(shù)單位），則zzz【答案】62i2【分析】zzzzz62ir3、已知直線l的一個(gè)法向量是n1,3，則此直線的傾斜角的大小是【答案】6【分析】由題意知斜率k3，因此傾斜角為634、某中學(xué)采納系統(tǒng)抽樣的方法從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽取50名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試。現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào)，求得間隔數(shù)k80016。若從116中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)的結(jié)果是

2、抽到了7，50則在編號(hào)為3348的這16個(gè)學(xué)生中抽取的一名學(xué)生的編號(hào)應(yīng)該是【答案】39【分析】各組所抽取學(xué)生的編號(hào)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為7，公差為16。因此第三組中抽取的學(xué)生編號(hào)為：7216395、在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a3，c2，A，則ABC的面積為3【答案】32【分析】由a2b2c22bccosA3b244b1b22b10b1，因此SABC1bcsinA32226、設(shè)函數(shù)fxlog22x1，則不等式2fxf1log25的解為【答案】,02015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第1頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）【分析】易知f1log252，因此2fx2fx12x12x

3、07、直線yx與曲線C:x3cos（為參數(shù)，2）的交點(diǎn)坐標(biāo)是y4sin【答案】12,1255【分析】由已知4sin3costan3，則sin3，cos4，因此交點(diǎn)坐標(biāo)分別為12,12455558、甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，假設(shè)兩人擊中目標(biāo)的概率分別是0.6和0.7，且射擊結(jié)果互相獨(dú)立，則甲、乙至多一人擊中目標(biāo)的概率是開始【答案】0.58【分析】“至多一人擊中目標(biāo)”等價(jià)于“兩個(gè)都未中，只有1人擊中”因此P10.610.70.610.70.710.6否是0.40.30.60.30.70.40.120.180.280.58輸出1aaLa12131n結(jié)束2a22a23La2n9、矩陣3a32a33La

4、3n中每一行都構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，第MMMMM第11題nan2an3Lanni列各元素之和為Si，則limSn（2011屆長(zhǎng)寧二模理科12題）2nnn2【答案】14【分析】akik2i1，因此Sna1na2nLann12Ln2n1nn12n12因此limSnlimnn1n11limnn1112n22n2nn2n2n2n4n410、以以下圖：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCBB1，則平面A11與平面ABC所成的BC二面角的大小為【答案】4【分析】平面1與平面ABC所成的二面角即為“平面11與A1BCABC平面ABC1所成的二面角”，CB1C1。11414第10題11、執(zhí)行以

5、以下圖的程序框圖，輸出的結(jié)果為a，二項(xiàng)式2mxx的睜開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為a，則常數(shù)m22015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第2頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）【答案】14【分析】由于i1a1i2a2i3a3。則周期為3。計(jì)數(shù)2013次，被3整除，因此234r1rr5r輸出的結(jié)果為3，即a3。Tr1C4rmx2，令82r35r2。則x22C42231mm2412、設(shè)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，gx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若函數(shù)fxgx的值域?yàn)?,3，則函數(shù)fxgx的值域是【答案】3,1【分析】設(shè)Fxfxgx，則Fxfxgxfxgxfxgx。由于Fx值域?yàn)?,3，則Fx值域也為1,3，則fxgx的值域是3,

6、113、ABC所在平面上一點(diǎn)滿足uuuruuuruuur0，m為常數(shù)），若ABP的面積為6，則ABC的PAPCmAB（m面積為【答案】12uuuruuuruuuruuur【分析】令A(yù)、C的中點(diǎn)為D，則PAPC2PDmAB，即PD與AB平行。因此ABC的面積為12。14、關(guān)于曲線C所在平面上的定點(diǎn)P0，若存在以點(diǎn)P0為極點(diǎn)的角第13題，使得AP0B關(guān)于曲線C上的任意兩個(gè)不一樣的點(diǎn)A、B恒建立，則稱角為曲線C相關(guān)于點(diǎn)P0的“界C相關(guān)于點(diǎn)P0的“確界角”。曲線C:yx21x0角”，并稱此中最小的“界角”為曲線21x2x相關(guān)于坐0標(biāo)原點(diǎn)O的“確界角”的大小是【答案】512【分析】當(dāng)OA與圓相切時(shí)，則P

7、OA，則“確界角”的大小6564122015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第3頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）二、選擇題（滿分20分）15、以下不等式中，與不等式x30同解的是（）2xA.x32x0B.x32x0C.2x0D.3xx3x02【答案】D.16、設(shè)M、N為兩個(gè)隨機(jī)事件，假如M、N為互斥事件，那么()A.MUN是必然事件B.MUN是必然事件C.M與N必定為互斥事件D.M與N必定不為互斥事件【答案】A【分析】MUNU17、在極坐標(biāo)系中，與曲線cos1關(guān)于直線6R對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程是（）A.sin1B.sin1C.sin1D.sin61336【答案】C【分析】設(shè)曲線上的點(diǎn)P,，其關(guān)于直線6R

8、對(duì)稱的點(diǎn)P,，代入cos1，獲取3cos1，也許sin61318、已知函數(shù)fxx2sinx，各項(xiàng)均不相等的數(shù)列xn滿足xii1,2,3,L,n。令2Fnx1x2Lxnfx1fx2LfxnnN。給出以下三個(gè)命題：n（1）存在許多于3項(xiàng)的數(shù)列xn，使得Fn0；（2）若數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn1N，則n2F2k0對(duì)kN恒建立；（3）若數(shù)列xn是等差數(shù)列，則Fn0對(duì)nN恒建立此中真命題的序號(hào)是（）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（1）（2）（3）【答案】D【分析】易知fxx2sinx在,內(nèi)單調(diào)遞加且為奇函數(shù)。22則（1）正確；關(guān)于（2），F(xiàn)2kx1x2Lx2kfx1fx2Lfx2k

9、12k12112kx1x2Lx2k2101311222015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第4頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）1122k12kfx1fx2Lfx2kffLf1f122222k12k2k12k2k2k12k2k1f1f1f1f1，由于11，則f1f1，所2222222212k12k1以ff0，因此fx1fx2Lfx2k022由得F2k0對(duì)kN恒建立。關(guān)于（3），假如x1x2Lxn0fx1fx2Lfxn0；假如x1x2Lxn0fx1fx2Lfxn0（這條性質(zhì)易證）。因此Fn0對(duì)nN恒建立三、解答題（滿分74分）19、（12分，第1小題6分，第2小題6分）如圖，在RtAOB中，OAB，斜邊A

10、B4，D是AB的中點(diǎn)。現(xiàn)將RtAOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)6一周獲取一個(gè)圓錐，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，且BOC21）求該圓錐的全面積；2）求異面直線AO與CD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【分析】（1）由已知得：OB2，AO23，因此圓錐的全面積SOBABOB212（2）解法1：取OB中點(diǎn)E，連接DE、CE則CDE或其補(bǔ)角為所求異面直線AO與CD所成角。在RtCDE中，DE13AO2在RtCOE中，CEOE2OC25因此tanCDECE515，即CDEarctan15DE333解法2：以O(shè)C、OB、OA分別為x、y、z軸建系。2015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第5頁共10頁（市二.四點(diǎn)

11、木編寫）20、（14分，第1小題7分，第2小題7分）一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律以下：x1x2Pcos2AsinBC此中A、B、C為銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角（1）求A的值；（2）若x1cosB，x2sinC，求數(shù)學(xué)希望E的取值范圍【分析】（1）由題意知cos2AsinBC1，則12sin2AsinA1sinA1（sinA0舍）2又A為銳角，則A6（2）由A，得BC5，則cos2AsinBC1，即PxPx1662122則E1cosB1sinC1cos5C1sinC3sinC3cosC3sinC622262442C0,由ABC為銳角三角形，得2C,C,56BC0,326362則sinC1,3，得E3,36

12、224421、（14分，第1小題6分，第2小題8分）用細(xì)鋼管焊接而成的花壇圍欄構(gòu)件如右圖所示，它的外框是一個(gè)等腰梯形PQRS，內(nèi)部是一段拋物線和一根橫梁，拋物線的極點(diǎn)與梯形上底中點(diǎn)是焊接點(diǎn)O，梯形的腰緊靠在拋物線上，兩條腰的中點(diǎn)時(shí)梯形的腰、拋物線以及橫梁的焊接點(diǎn)A、B，拋物線于梯形下底的兩個(gè)焊接點(diǎn)為C、D。已知梯形的高是40厘米，C、D兩點(diǎn)間的距離為40厘米1）求橫梁AB的長(zhǎng)度；2）求梯形外框的用料長(zhǎng)度。（注：細(xì)鋼管的粗細(xì)等要素忽視不計(jì)，計(jì)算結(jié)果精確到1厘米）【分析】（1）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，梯形的上底所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)梯形的下底與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的方程為2015屆徐匯高三數(shù)

13、學(xué)二模（理）第6頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）x22pyp0（*）由題意得D20,40，代入(*)得p52則拋物線方程為x10y取y20，代入得x102，即A102,20B102,20。因此AB20228cm答：橫梁AB的長(zhǎng)度約為28cm2）由題意，得梯形腰的中點(diǎn)時(shí)梯形的腰與拋物線的獨(dú)一公共點(diǎn)設(shè)lRQ:y20kx102k0y20kx102210kx10022k0，則x2x，則10y0k22，因此lRQ:y22x20。得Q52,0，R152,40，則OQ52，MR152，RQ302，因此梯形周長(zhǎng)為1002141cm答：制作梯形外框的用料長(zhǎng)度約為141cm22、（16分，第1小題4分，第2小題6分

14、，第3小題6分）已知函數(shù)fx1x1，gx1x12x2x（1）求函數(shù)hxfx2gx的零點(diǎn)；（2）若直線l:axbyc0（a,b,c為常數(shù)）與fx的圖像交于不一樣的兩點(diǎn)A,B，與gx的圖像交于不同的兩點(diǎn)C、D，求證：ACBD；（3）求函數(shù)Fxfx2ngx2nnN的最小值【分析】（1）由hx1x1x13x10 x3，則函數(shù)hx的零點(diǎn)為x3；2xx22x33（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，Dx4,y4axbyc02abx22cxb0，則12c由2y1x1xx2ab2x2015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第7頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）axbyc02c再由112abx22cxb0，則xx

15、y342ab2xx則AB中點(diǎn)與CD中點(diǎn)重合，即ACBD2n2n（3）由題設(shè)Fx1x1x112C21nx2n22C2n3x2n6L2C2n2n3x62n2C22nn1x22n22nxx22n1C1x2n2x22nC3x2n6x62nLC2n3x62nx2n6C2n1x22nx2n222n2n2n2n2n113L2n32n11，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)建立。2n2C2n2C2n2C2n2C2n2因此函數(shù)Fx的最小值為123、（18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）uuruuruuruuruuruuruuruuruur關(guān)于一組向量a1，a2，a3，an（nN），令Sna1a2Lan，假如存在

16、app1,2,3,L,n，uuruuruuruurh向量”。使得apSnap，那么稱ap是該向量組的“uuruuruuruuruur（1）設(shè)ann,xnnN，若a3是向量組a1，a2，a3的“h向量”，務(wù)實(shí)數(shù)x的取值范圍；uur1n1nuuruuruuruur,1NN）能否存在“h向量”？給出（2）若an3n，向量組a1，a2，a3，an（n結(jié)論并說明原由；uuruuruuruuruuruuruuruur（3）已知a1，a2，a3均是向量組a1，a2，a3的“h向量”，此中a1sinx,cosx，a22cosx,2sinx。設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列uur的地址向量的終點(diǎn)，且Q1、Q2、Q3

17、、L、Qn滿足：Q1為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q2為a3Q2k1與Q2k與Q2k1kuuuuuuuuuur的最小值關(guān)于點(diǎn)Q1對(duì)稱，Q2k2N關(guān)于點(diǎn)Q2對(duì)稱，求Q2013Q2014【分析】（1）由題意得：uuruuruur，則9x292x322x0a3a1a23，解得uuur1131313（2）當(dāng)n2kkN32k,01；時(shí)，則S2k,012k，則lim2k21123k233uuuuur11313131當(dāng)n2k32k，則lim1kN時(shí)，則S2k11,1212k1,1212k123k3132015屆徐匯高三數(shù)學(xué)二模（理）第8頁共10頁（市二.四點(diǎn)木編寫）uur3,0uur3,1由知，Sn或Sn22將相關(guān)向量的圖示

18、作出（如右圖）uuruuruur由apSnap的幾何意義可以知道：uuruurap的終點(diǎn)應(yīng)該在S對(duì)應(yīng)的有向線段的n中垂線的異于起點(diǎn)的一側(cè)。uuuruuuuur在圖示中，m、n分別是S2k與S2k1對(duì)應(yīng)有向線段的中垂線。uuruuruuruuruuruur（nN）的“h向量”明顯，只有a1滿足這個(gè)條件。下邊證明a1是向量組a1，a2，a3，anuuruura11,1，a21當(dāng)n2k1時(shí)，S2k1a1311,11,13111,0，則22k122k133S2k1a13111131（關(guān)于k的增函數(shù)），則S2ka11uur222k1222k112a133當(dāng)n2k時(shí)，S2ka1311,01,13111,1，則22k22k333121312（此中13113111S2k2111，a122k222k12232k關(guān)于k的增函數(shù)），22k,233233210,510,5，則S2k1uur因此S2k1a1S2k1a1a1a129432uuruuruuruuruurN）的“h向量”。綜上所述，a1是向量組a1，a2，a3，an（n（3）由題意知：uuruuruuruur2uuruur2uur2uuruur2ur2uur2uur2uuruura1a2a3a1a2a3，即a1a2a3a1a2a32a2a3uur2uur2uur2uuruuruur2uur2uur2uuruur同理a2a1a32a1a3，