高中數(shù)學必修二 6.1 平面向量的概念（含答案）

1、 6.1平面向量的概念導學案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學習目標】1.能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念【自主學習】知識點1 向量既有大小，又有方向的量叫做向量知識點2 向量的幾何表示以A為起點、B為終點的有向線段記作eq o(AB,sup6().知識點3 向量的有關概念(1)零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0.(2)單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做

2、單位向量(3)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量記法：向量a平行于向量b，記作ab.規(guī)定：零向量與任一向量平行【合作探究】探究一 向量的概念【例1】判斷下列命題是否正確，并說明理由(1)若向量a與b同向，且|a|b|，則ab；(2)若|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反；(5)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量分析解答本題可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判斷

3、真假解(1)不正確因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大小(2)不正確由|a|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們方向的關系(3)不正確依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行(4)不正確因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定(5)正確對于一個向量只要不改變其大小與方向，是可以任意移動的歸納總結：1判斷一個量是否為向量，應從兩個方面入手：是否有大小，是否有方向.2注意兩個特殊向量：零向量和單位向量.3注意平行向量與共線向量的含義.【練習1-1】下列物理量中不是向量的有( )質量；速度；力；加速度；路程；密度；功；電流強度A5個B4個 C3個D2個解析：(1)看一個量是否

4、為向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向，特別是方向的要求，對各量從物理本身的意義作出判斷，既有大小也有方向，是向量，只有大小沒有方向，不是向量【練習1-2】在下列命題中，真命題為( )A兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B向量 eq o(AB,sup6()與向量 eq o(BA,sup6()的長度相等C向量就是有向線段D零向量是沒有方向的解析：(2)由于單位向量的方向不一定相同，故其終點不一定相同，故A錯誤；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非沒有方向，故D錯誤；有向線段是向量的形象表示，但并非說向量就是有向線段，故C錯誤，故選B.探究二 向量的幾何表示【例2】一輛汽車

5、從A點 HYPERLINK 出發(fā)向西行駛了100 km到達B點，然后又改變方向向西偏北50走了200 km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達D點(1)作出向量eq o(AB,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(CD,sup6()；(2)求|eq o(AD,sup6()|.解(1)向量eq o(AB,sup6()、eq o(BC,sup6()、eq o(CD,sup6()如圖所示(2)由題意，易知eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()方向相反，故eq o(AB,sup6()與eq o(CD,sup6()共線，又|eq o(AB,sup6()

6、|eq o(CD,sup6()|，在四邊形ABCD中，AB綊CD.四邊形ABCD為平行四邊形eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，|eq o(AD,sup6()|eq o(BC,sup6()|200 km.歸納總結：1用向量表示的幾何問題，要研究其圖形的幾何特性，然后作出解答.2作向量時，關鍵是找出向量的起點和終點，如果已知起點，先確定向量的方向，然后根據(jù)向量的長度找出終點.【練習2】在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量b，使ba；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c|eq r(5)，并說出向量c的終點的軌跡是什么？解(

7、1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略)(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為eq r(5)的圓(作圖略)探究三 相等向量和共線向量【例3】如圖所示，ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(1)寫出與eq o(EF,sup6()共線的向量；(2)寫出與eq o(EF,sup6()的模大小相等的向量；(3)寫出與eq o(EF,sup6()相等的向量解(1)因為E、F分別是AC、AB的中點，所以EF綊eq f(1,2)BC.又因為D是BC的中點，所以與eq o(EF,sup6()共線的向量有：eq o(FE,sup

8、6()，eq o(BD,sup6()，eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CD,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CB,sup6().(2)與eq o(EF,sup6()模相等的向量有：eq o(FE,sup6()，eq o(BD,sup6()，eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CD,sup6().(3)與eq o(EF,sup6()相等的向量有：eq o(DB,sup6()與eq o(CD,sup6().歸納總結：1.共線向量和相等向量有何關系？共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.2.如

9、何利用向量相等或共線證明線段相等、平行問題？證明線段相等，只要證明相應的向量長度模相等.證明線段平行，先證明相應的向量共線，再說明線段不共線.【練習3】如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中所示向量與eq o(OA,sup6()、eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6()相等的向量解eq o(OA,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DO,sup6()；eq o(OB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(EO,sup6()；eq o(OC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(FO,sup6().

10、課后作業(yè)A組 基礎題一、選擇題1下列物理量：質量；速度；位移；力；加速度；路程其中是向量的有()A2個 B3個 C4個 D5個答案C解析是向量2下列說法中正確的個數(shù)是()零向量是沒有方向的；零向量的長度為0；零向量的方向是任意的；單位向量的模都相等A0 B1 C2 D3答案D3給出下列三個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若|a|b|，則ab；若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則四邊形ABCD是正方形其中不正確的命題的個數(shù)為()A2個 B3個 C0個 D1個答案B4下列說法正確的是()A數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B方向不同的向量不能比較大小，但

11、同向的可以比較大小C向量的大小與方向有關D向量的?？梢员容^大小答案D解析A中不管向量的方 HYPERLINK 向如何，它們都不能比較大小，所以A不正確；由A的過程分析可知方向相同的向量也不能比較大小，所以B不正確；C中向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，所以C不正確；D中向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，所以D正確5如圖，在四邊形ABCD中，若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則圖中相等的向量是()A.eq o(AD,sup6()與eq o(CB,sup6() B.eq o(OB,sup6()與eq o(OD,sup6()C.eq o(AC,sup6

12、()與eq o(BD,sup6() D.eq o(AO,sup6()與eq o(OC,sup6()答案D解析eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD互相平分，eq o(AO,sup6()eq o(OC,sup6().6設O是正方形ABCD的中心，則向量eq o(AO,sup6()，eq o(BO,sup6()，eq o(OC,sup6()，eq o(OD,sup6()是()A相等的向量 B平行的向量C有相同起點的向量 D模相等的向量答案D解析這四個向量的模相等7若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|

13、b|1，其中正確的是()A B C D答案B解析a為任一非零向量，故|a|0.8.如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EFAB，則()A.eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()B.eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()C.eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()D.eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6()答案D解析由平面幾何知識知，eq o(AD,sup6()與eq o(BC,sup6()方向不同，故eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()；eq o

14、(AC,sup6()與eq o(BD,sup6()方向不同，故eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()；eq o(PE,sup6()與eq o(PF,sup6()模相等而方向相反，故eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()；eq o(EP,sup6()與eq o(PF,sup6()模相等且方向相同，eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6().二、填空題9如圖，在ABC中，若DEBC，則圖中所示向量中是共線向量的有_答案eq o(ED,sup6()與eq o(CB,sup6()，eq o(AD,sup6()與eq o(BD,sup6()，eq o(A

15、E,sup6()與eq o(CE,sup6()解析觀察圖形，并結合共線向量的定義可得解10在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，則四邊形ABCD的形狀是_答案梯形解析eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，ABDC，但ABDC，四邊形ABCD是梯形三、解答題11.如圖，在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，N、M分別是AD、BC上的點，且eq o(CN,sup6()eq

16、o(MA,sup6().求證：eq o(DN,sup6()eq o(MB,sup6().證明eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|且ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，|eq o(DA,sup6()|eq o(CB,sup6()|，且DACB.又eq o(DA,sup6()與eq o(CB,sup6()的方向相同，eq o(CB,sup6()eq o(DA,sup6().同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，eq o(CM,sup6()eq o(NA,sup6().|eq o(CB,sup6()|eq o(DA

17、,sup6()|，|eq o(CM,sup6()|eq o(NA,sup6()|，|eq o(DN,sup6()|eq o(MB,sup6()|.DNMB且eq o(DN,sup6()與eq o(MB,sup6()的方向相同，eq o(DN,sup6()eq o(MB,sup6().12某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向按東北方向走了10eq r(2)米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點(1)作出向量eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CD,sup6().(2)求eq o(AD,sup6()的模解(1)作出向量eq o(AB,s

18、up6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CD,sup6()如圖所示：(2)由題意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10eq r(2)米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以ADeq r(52102)5eq r(5)(米)所以|eq o(AD,sup6()|5eq r(5)米13.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行 HYPERLINK 任務，先從A地向北偏東30方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30方向行駛2千米才到達B地(1)在如圖所示的坐標系中畫出eq o(AD,sup6()，

19、eq o(DC,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(AB,sup6()；(2)求B地相對于A地的位置向量解(1)向量eq o(AD,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(AB,sup6()如圖所示(2)由題意知eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則B地相對于A地的位置向量為“北偏東60，6千米”B組 能力提升一、選擇題1.給出下列命題：兩個具有公共終點的向量一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較

20、大小；若（為實數(shù)），則必為零；已知，為實數(shù)，若，則與共線，其中錯誤命題的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】對于，兩個具有公共終點的向量，不一定是共線向量，錯誤；對于，向量是有方向和大小的矢量，不能比較大小，但它們的模能比較大小，正確；對于，時為實數(shù)），或，錯誤；對于，若時，此時與不一定共線，錯誤；綜上，其中錯誤命題為，共3個故選：2.有下列命題：若向量與同向，且，則；若四邊形是平行四邊形，則；若，則；零向量都相等.其中假命題的個數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】對于，因為向量是既有大小又有方向的量，不能比較大小，故是假命題；對于，在平行四邊形中，是大小相等，方向相反的向量

21、，即，故是假命題；對于，顯然若，則，故是真命題；對于，因為大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故是假命題.故選：C.3.下列命題中正確的是( )A若，則B若，則C若，則與可能共線D若，則一定不與共線【答案】C【解析】因為向量既有大小又有方向，所以只有方向相同大小(長度)相等的兩個向量才相等，因此A錯誤；兩個向量不相等，但它們的?？梢韵嗟龋蔅錯誤；無論兩個向量的模是否相等，這兩個向量都可能共線，故C正確，D錯誤.故選：C4.給出下列四個命題：若，則；若，是不共線的四點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件；若，則；的充要條件是且.其中正確命題的序號是( )ABCD【答案

22、】A【解析】不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.正確.，且，又，是不共線的四點，四邊形為平行四邊形；反之，若四邊形為平行四邊形，則，且方向相同，因此.正確.，的長度相等且方向相同，又，的長度相等且方向相同，的長度相等且方向相同，故.不正確.當且方向相反時，即使，也不能得到，故且不是的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是.故選：A.二、填空題5已知在邊長為2的菱形ABCD中，ABC60，則|eq o(BD,sup6()|_.答案2eq r(3)解析易知A HYPERLINK CBD，且ABD30，設AC與BD交于點O，則AOeq f(1,2)AB1.在RtABO中，易得|eq o(BO,sup6()|eq r(3)，|eq o(BD,sup6()|2|eq o(BO,sup6()|2