幾何與線性代數(shù)習(xí)題集冊

1、習(xí)題一 幾何向量及其運(yùn)算、填空題1)2)3)4)5)2.1)3)4)3.姓名學(xué)號班級卜列等式何時成立:為非零向量)，當(dāng)指出下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān):；2)不平彳T, , 是,共面， , , 是在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是點(diǎn)坐標(biāo)是是M (2, 3, 5)關(guān)于關(guān)于yoz平面的對稱點(diǎn)是；關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)是；在y軸上的投影點(diǎn)是；關(guān)于;在xoy平面上的投影；到y(tǒng)oz平面的距離；到原點(diǎn)的距離是；到x軸的距離是uuu uur二、設(shè)OA, OB , P為線段AB上任一點(diǎn)，證明存在數(shù)，使得OP (1)共面。、已知向量eie2,e2 含，e1會，證明四、判斷題1 .若，且 ，則,共面的充分必要條件

2、是II II II IIsin，。| | o五、填空題21 .已知向量 和的夾角 一3)=； 2)|.已知 AB 2 , AD 3積S 。六、已知 | | 1,| | 2,為何值時， 與平行;O()0。,113,| I 4,則2| =； 3) (3，其中5,3,2 ,為何值時，()()()()2 ) (2 )=。, 一,則三角形ABD的面 6。問jE 白o(hù)七、已知 與 垂直，且| | 3,| | 4,計(jì)算：(提示：,.)1)1() II； 2)11() ()1；3)|(3) (2 )|。習(xí)題二向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)計(jì)算姓名 學(xué)號 班級一、填空題.平行于y軸的向量一般表布式是 。.向量 (3,1,4

3、),(2, 1,1),它們的夾角 ,。平行。.向量 (2,3,3),(t2, 6,2),當(dāng) t1=與t2=時,ir1rlm.設(shè)三力Fi (1, 1,0), F2 (0,3, 1), F3 ( 1, 2,1)作用于一質(zhì)點(diǎn)，使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移向 ir量S i 2j k,則合力所做的功W 。.三角形的三個頂點(diǎn)為A(1,0,0), B(1,0,2), C(0,1,0),其面積S 。.和向量 i 3j k, 2i j k都垂直的單位向量是 。二、已知向量 (3,5, 1),求的方向余弦及與平行的單位向量。三、證明向量在上的投影向量為,并求向量 (2,3,1)在向量 (1, 2,2)上的投影向量。四、向量

4、(8, 3,2),(0,2, 1),(1,2,3)是否共面？若不共面，試計(jì)算以這三個向量為棱所作的平行六面體體積。五、設(shè)（1,0,0）,(2,2,1),向量,共面，且 Proj Proj 3,求習(xí)題三平面與直線姓名學(xué)號班級、填空題1 ,平行于平面5x 14y 2z 36 0且與此平面的距離為 3的平面方程.如果平面ax 2ay 10z 2 0與x 2y 5z 0平行，貝U a 若垂直，則 a 。.過三點(diǎn) A(1,0,0), B(1,1,0),C(1,1,1)的平面方程是 。.過x軸且垂直于平面 5x y 3z 3 0的平面方程是 。.點(diǎn)A(2,3,1)到平面x y z 10的距離是 。.通過點(diǎn)

5、A(1, 5,1)和B(3, 2, 12)且平行于y軸的平面方程為 。.過點(diǎn)M 1(2,3, 1)和M2( 1,0,3)的直線方程是 。一一 . x 1 z 2.過點(diǎn)m ( 2,1,3)且垂直于直線一2一 y 3的平面萬程是。.過點(diǎn)M(0, 1,3)且垂直于平面3x 2y z 90的直線方程是 :M點(diǎn)在此平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是 ; M點(diǎn)關(guān)于此平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是 ， 二、求滿足下列條件的平面方程.過原點(diǎn)引平面的垂線，垂足是點(diǎn)M (1,2,1)的平面方程。.通過點(diǎn)A(2, 1,3)且平行于向量(1, 2,1)及(0,3, 4)的平面方程。、求過點(diǎn)(3,1, 2)且通過直線四、求點(diǎn)(3, 1,2)到直

6、線x y2x yz的平面方程。1 0的距離。4 0 x 4 v z 1 x 3 v 2 z 2五、求兩異面直線li：-；12：-之間的距離。263254習(xí)題四線性方程組姓名 學(xué)號 班級Xi 2x2 X30、用加減消元法求解下列線性方程組1)2xi 4X2 X3 0.Xi 2x2 2x30 x1 2x2 x3 32)2x1 4x2 5x3x1 2x2 2x3x1 x2 3x3 2對非齊次線性方程組xi 2x2 4x3 3,當(dāng)a, b為何值時無解？何值時有無窮多解?x1 3x2 ax3 b、液態(tài)苯在空氣中可以燃燒。如果將一個冷的物體直接放在燃燒的苯上部，則水蒸氣就會在物體上凝結(jié)，同時煙灰（碳）也會

7、在物體上沉積.這個化學(xué)反應(yīng)的方程式為x1C6H 6x2O2x3C x4H 2O求變量Xi,X2, X3, X4以配平該方程。習(xí)題五矩陣的運(yùn)算姓名 學(xué)號 班級一、填空題A 122 A.設(shè)A -(B E),則當(dāng)且僅當(dāng)B 時，A Ao_22.，一. A B (A B)(A B)的充分必要條件是。1 1/33.設(shè) A ，則 c ; d.2時，A O。4 .01014 6 02 3 7 03 5 8 1 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 12 312 3 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 0 120 1

8、2 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 0 0 10 0 1k1 0 05 .0300 0 8123a0 00120b 0 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 13100c、設(shè) (2,1,3) ,(1,2,3)，計(jì)算：A T ； BT及A4 （ k為正整數(shù)）。（提示：用矩陣乘法的結(jié)合律 A2 ( T )( T ) T( T) BA)1 21 0222三、設(shè)A,B，驗(yàn)證(1)AB BA; (2)( A B) A 2AB B 是否成立?1 3121 1四、若A, B滿足AB BA,則稱B和A可交換。設(shè)

9、A，求所有與A可交換的矩陣。0 1五、設(shè)f (x) x2 x 2 ,記f (A)為方陣A的多項(xiàng)式，即f (A) A2 A 2E ,若12A 10 ,計(jì)算 f(A)。111六、把向量方程X1 0 x2 1x3223030改寫成方程組的形式和矩陣乘積的形式。2習(xí)題六對稱矩陣與分塊矩陣姓名 學(xué)號 班級、1)2)A、B為n階方陣，且 A為對稱矩陣，證明 BTAB也是對稱矩陣。A、B均為n階對稱矩陣，證明 AB是對稱矩陣的充分必要條件是 ABBA。T ._T2為n維列向量，且 1,設(shè)A E 2,證明A是對稱矢I陣且 AE.1a r 心 2 3k三、設(shè)A，計(jì)算A2,A3,Ak。0 11 0 2四、設(shè)A,B

10、2 1 11 01 1 ,按照不同的分塊方式計(jì)算乘積0 1AB :（1） A不分塊，B按列分塊；（2） A按行分塊，B不分塊；（3） A按行分塊，B按列分塊。習(xí)題七 行列式的性質(zhì)與計(jì)算姓名 學(xué)號 班級一、填空題aiia12a133a313 a323a331.設(shè)a2ia22a232 ,則2 a212 a222a23o如a32a33a11a12a132.設(shè), b 、選擇題(A) |A| |B|；(C) |A| |B|；1 .設(shè)A為n階方陣，若 A經(jīng)過若干次初等變換變成矩陣B ,則下面的結(jié)論正確的是（(B)若 | A| 0,則必有 |B| 0 ;(D)若 | A| 0,則必有 |B| 0。.若A,

11、B為同階方陣，則有（）k k k(AB) A B ；| AB| |AB|；_2_2_(C)E(AB)(EAB)(EAB);(D) |A B| |A| |B|O、計(jì)算下列行列式：abacae1) bc cd debfcf ef(2)2443 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 1621352041203aba000baba000b a b00Dn（提示：按一行或一列展開，求遞推公式）000a b a000b a bcos100012cos100Dn0002cos1cosn00012cos四、用數(shù)學(xué)歸納法證明:習(xí)題八逆矩陣（一）姓名學(xué)號 班級、填充題

12、一 、 一1*1 .設(shè)A為3階方陣， * *(A )2 01.設(shè) A - 0 12 0 01 2 3.設(shè) A 0 2 3 0 0 3.如A, B分別是m.設(shè) A=l：3,且 a6 E,則 A11。2 ,31二、選擇題.設(shè)n階方陣A, B,C滿足BCA E ,則下面的結(jié)論正確的是()。(A) ACB E; (B) CBA E; (C) CAB E; (D) BAC E。.設(shè)A, B為n階方陣，則 ()(A)若A, B都可逆，則 A B必可逆；(B)若A,B都不可逆，則 A B必不可逆;(C)若AB可逆，則A, B都可逆；(D)若AB不可逆，則 A, B都不可逆。.已知A為n階方陣，若有n階方陣B

13、使AB BA A則()1(A) B為單位矩陣；(B) B為零方陣；(C) B1 A; (D)不一定。.若A, B為同階方陣，且滿足 AB O ,則有()1(A) 1*1，則(A )3A階和n階可逆矩陣，C為m n陣,2A(A) A O或 B O;(B) |A|=0 或 |B|=0; TOC o 1-5 h z _ 22_2(D) A與B均可逆;(2)(AB)2A2B2；三、求下列矩陣的逆矩陣 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 11(1)210 HYPERLINK l bookmark160 o Current Document 1101 1 0

14、四、解矩陣方程X 1200 0 1習(xí)題九 逆矩陣（二）姓名 學(xué)號 班級、3 0,一、設(shè)矩陣 A, B滿足如下關(guān)系式 AB A 2B,其中A,求矩陣B。2 3、設(shè)n階矩陣A和B滿足A B AB,證明1) A E為可逆矩陣；2) AB BA。三、設(shè)n階方陣A滿足方程A2 3A 2E 0,求A 1,( A E)四、用克萊姆法則求解線性方程組XiX2X304x12x2X33Xi3x2X328習(xí)題十秩與初等變換姓名 學(xué)號 班級一、選擇題1 .若A是n階可逆矩陣，則()(A)若AB CB,則A C (B) A總可以經(jīng)過初等行變換化 E。1(C)對矩陣(A E)實(shí)施若干次初等變換，當(dāng) A變?yōu)镋時，相應(yīng)地正變

15、為 A 。(D)對矩陣實(shí)施若干次初等變換，當(dāng) A變成E時，相應(yīng)地變?yōu)?AE2.設(shè)Aaiia2ia31a22a23 ， Ba32a 33a21a22a23aiiai2ai3a31aiia32 ai2 a33 ai30 i 0Pii 0 0 , P20 0iAPiP2BAP2PiBRP2ABP2RAB3.設(shè)A,B均為n階非零矩陣，且 ABO ,則R(A)和R(B)滿足(A)必有一個等于零;(B)都等于n ;(C) 一個小于n, 一個等于n；(D)都小于n。4 .設(shè)m n階矩陣A的秩為r,則下列結(jié)論錯誤的是()。A有r階子式非零;A的所有r+i階子式為零;A沒有r階子式為零;R(A) min m,

16、n。5.方程組A35X5 i 0必()。(A)無解;(B)僅有零解;(C)有非零解;(D)以上都不對。00，則r(AB) 5二、填空題i0 TOC o 1-5 h z 00iai0i04 HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 00g2.設(shè)A是4 3矩陣,ii HYPERLINK l bookmark76 o Current Document a2a300ib200i0C2C3i00i 0r(A) 3, B 2 34 53.砧1砧2azha2b2a?bnanbanb2anbn且滿足，其中馬孫 0, i,j 1,2,n，貝Ur(A) =4.設(shè)A為3階方

17、陣,A2 AE ,則 R(A E)5.a已知矩陣A1三、用初等變換求矩陣四、用行初等變換求矩陣1的秩并給出A的一個最高階非零子式。的逆矩陣習(xí)題十一方程組解的判斷姓名 學(xué)號 班級一、填空題.設(shè)A是m n矩陣，則齊次線性方程組 AX 0只有零解的充要條件是,有非零解的充要條件是 。.設(shè)A是m n矩陣，則非齊次線性方程組 AX b有唯一解的充要條件是,有無窮多解的充要條件是 , 無解的充要條件是 。.設(shè)A為n階方陣，則非齊次方程組 AX b有唯一解的充要條件為|A|齊次線性方程組 AX 0有非零解的充要條件為|A|；只有零解的充要 條件為|A|。x1 2x22x4 x5 0 TOC o 1-5 h

18、z 、求解線性方程組x1 2x2 x3 x40 x1 2x2 3x3 7x4 2x50axi x2 x 0a,b取何值時，方程組xi bx2 x3 0有非零解。xi 2bx2 x30XiX2X3四、設(shè)有非齊次線性方程組XiX2X3XiX2X32 ,為何值時，此方程組有唯一解、無解或2無窮多解?習(xí)題十二線性相關(guān)與線性無關(guān)姓名 學(xué)號 班級一、填空題.設(shè)1, 2, , r線性無關(guān)，則它的任何一個部分組線性 。.設(shè)1, 2, r線性相關(guān)，則 1, r, r 1, s線性。.設(shè)有m維列向量組 1, 2, , n,記矩陣A ( 1, 2, , n),則1, 2, , n線性相關(guān)的充分必要條件是(用矩陣的秩

19、表示)。4.若向量組 1(t, 1, 1), 2( 1,t, 1),3( 1, 1,t)線性相關(guān)，貝U t =二、選擇題可由3線性表示，不能由1,2線性表示，則下面結(jié)論正確的是(A)3能由線性表示，也能由2線性表示;(B)3能由1,線性表示，但不能由2線性表示;(C)3不能由2線性表示，也不能由2線性表示;(D)3不能由2線性表示，但能由2線性表示。2.設(shè)1,3線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是(A)1， 2， 31 ,(B )1， 12, 13 ,(C)12， 23,(D)1三、寫出向量組A: i 0 , 21011 , 31對應(yīng)的矩陣，并把式子11123寫成矩陣乘積的形式。四、設(shè) 1(a,

20、2,10)T, 2( 2,1,5)T, 3( 1,1,4)T,(1,1,b)To當(dāng)a,b為何值時，1)不能由1, 2, 3線性表示；2)可以由1, 2 , 3唯一地線性表示；3) 可以由1, 2, 3線性表示，但表示法不唯一。五、證明設(shè)向量 1, 2, r線性無關(guān)，11,212 , r 12r ,則向量組r也線性無關(guān)。習(xí)題十三極大無關(guān)組與秩姓名 學(xué)號 班級一、填空題.能互相線性表示的兩個向量組，稱為 向量組。.在向量組1, 2, m中，若存在r(r m)個向量i2,獷，它們滿足，則稱ii, i2, ir為向量組 1, m的極大無關(guān)組。.向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)，稱為 。.任一向量組與其極

21、大無關(guān)組是 向量組。.設(shè)向量組A： 1, 2,r可由向量組B : 1, 2, , s線性表示，則向量組 A的秩向量組B的秩；若向量組 A與向量組B等價，則它們的秩 。101111010311、已知向量組A:1,2_ ,3,B:1,2-310011 11011311證明向量組B能由A線性表示，1向量組 A不能由B線性表示。、設(shè)有向量組 1(2,1,4,3), 2( 1,1, 6,6), 3( 1, 2,2, 9), 4(1,1, 2,7),5(2,4,4,9),求該向量組的秩及其一個極大無關(guān)組，并將其余向量組用這個極大無關(guān)組線性表不。四、已知1，2，3 及 11，2122 ,313 3 ,證明：秩（、證明題姓名習(xí)題十四線性相關(guān)性（補(bǔ)充）學(xué)號班級1）設(shè)1, 2, , n是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量 1, 2, , n能由它們線性表示，證明 1,2, n線性無關(guān)。2）設(shè)1, 2, , n是一組n維向量，則 1, 2, , n線性無關(guān)任一 n維向量可用它們線性表示。3)設(shè) A,B是 m n矩陣，且 R(A) r1,R(B)