概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計幾何概型

1、二、幾何概率 早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典概型是不夠的，早期研究樣本空間有無限個樣本點的概率模型是幾何概率模型1.樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積為(S)， 隨機事件A是S的一個子區(qū)域，其面積為(A);現(xiàn)任意投一點到S中，且該點落入S內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)的可能性只與該子區(qū)域的面積成正比，而與子區(qū)域的位置和形狀無關(guān)，則隨機事件A的概率為2.樣本空間S是數(shù)軸上某個區(qū)間，它的長度為(S)， 隨機事件A是S的一個子區(qū)間，其長度為(A);現(xiàn)任意投一點到S中，且該點落入S內(nèi)任何子區(qū)間內(nèi)的可能性只與該子區(qū)間的長度成正比，而與子區(qū)間的位置和形狀無關(guān)，則隨機事件A的概率為3.樣

2、本空間S是空間某區(qū)域，它的體積為(S)， 隨機事件A是S的一個子區(qū)域，其體積為(A);現(xiàn)任意投一點到S中，且該點落入S內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)的可能性只與該子區(qū)域的體積成正比，而與子區(qū)域的位置和形狀無關(guān)，則隨機事件A的概率為例1.設(shè)k 等可能地在區(qū)間0,5中取值,試求方程 有實根的概率解：k 等可能地在區(qū)間0,5中取值，所以樣本空間所對應的區(qū)域是區(qū)間0,5方程 有實根的充要條件是其判斷式大于等于零，于是有得或即由于k 只在區(qū)間 0 , 5 中取值，所以方程有實根當且僅當k 在以下區(qū)間中：所以例2.在半徑為R的圓的一條直徑MN上隨機地取一點P，求過P且與MN垂直的弦的長度大于R的概率解： 以圓心為原點，過

3、直徑MN作數(shù)軸ox（如下圖），設(shè)隨機點P的坐標為x，則x在區(qū)間-R，R上隨機地取值。過P且與MN垂直的弦的長度大于R，即：于是得且過P點垂直于MN的弦的長度為MxOPxNR所以過P且與MN垂直的弦的長度大于R的概率為例3.設(shè)一碼頭不能同時?？績伤掖F(xiàn)有甲、乙兩艘船將?？吭摯a頭,它們在一晝夜內(nèi)到達的時刻是等可能的.如果甲船停靠時間為6小時，乙船停靠時間為4小時，求這兩艘船中至少有一艘在?？看a頭時必須等待的概率。 自當天零時起計，設(shè)甲、乙兩船到達碼頭的時刻分別為x 和y , 則解：于是樣本空間可看作是平面區(qū)域： 設(shè)事件A表示“這兩艘船中至少有一艘在停靠碼頭時必須等待” 若甲船先到，而乙船在隨后的

4、6小時內(nèi)趕到，則乙船須等待停靠；即 若乙船先到，而甲船在隨后的4小時內(nèi)趕到，則甲船須等待?？?；即由此可知從而得y-x=6x-y=4例4.把一根長度為a 的木棒任意地折成三段，求這三段能構(gòu)成一個三角形的概率。解：設(shè)木棒折成三段后,這三段的長度分別為x , y , a-x-y ,顯然 ,于是樣本空間可看作是平面區(qū)域：即又這三段能構(gòu)成一個三角形，即任意兩邊之和大于第三邊，由此可知： 設(shè)事件A表示“這三段能構(gòu)成一個三角形”，則從而得必然事件的概率等于1，那概率等于1的事件也一定是必然事件吧？不，概率等于1的事件不一定是必然事件，它完全可能不發(fā)生。讓我們看下一個例子吧！例5.如圖，設(shè)試驗E 為“ 隨機地向邊長為1 的正方形內(nèi)投點” 事件A為“點投在黃、紅兩個三角形內(nèi)”，求事件A的概率。雖然P(A)=1，由