矩陣范數(shù)在系統(tǒng)穩(wěn)定性判別中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)矩陣范數(shù)在系統(tǒng)穩(wěn)定性判別中的應(yīng)用摘要：本文介紹了控制系統(tǒng)穩(wěn)定判斷的一種新的分析方法基于矩陣范數(shù)的分析方法，在矩陣范數(shù)理論的基礎(chǔ)上，討論了離散性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，并結(jié)合算例進(jìn)行了討論分析，從而驗(yàn)證了方法的正確性。1問題提出穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)特性，對(duì)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的分析是系統(tǒng)控制論研究的一個(gè)重要課題。在線性系統(tǒng)理論中我們了解了離散線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)特征值判據(jù)。在判據(jù)的基礎(chǔ)上利用矩陣論中特征值、譜半徑以及矩陣范數(shù)理論的知識(shí)給出的一種新的判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析

2、方法。2.問題求解2.1離散型線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)特征值判據(jù)給定離散型定常系統(tǒng)，自制狀態(tài)方程為：xk+1=Axk=x0,k=0,1,2其中，x0cn,x0=x0為系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)，即xe=0。特征值判據(jù)：對(duì)離散性定常系統(tǒng)，遠(yuǎn)點(diǎn)平衡狀態(tài)即xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：A的特征值的幅值均小于1.根據(jù)特征值判據(jù)，只要求出舉證A的全部特征值，在通過判斷它們的幅值是否全部小于1，就可以判斷離散性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但求一個(gè)矩陣的特征值并不是簡(jiǎn)單的事，特別是復(fù)雜的矩陣，這就促使我們尋找更簡(jiǎn)便的方法。于是基于對(duì)矩陣范數(shù)理論的了解，給出了如下矩陣范數(shù)的分析方法。2.2矩陣范數(shù)理論在離散線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定

3、性判別的應(yīng)用ACm*n，它的譜半徑（A）是一個(gè)相當(dāng)重要的量，（A）的確定對(duì)于A形成的矩陣冪級(jí)數(shù)n=0anAn收斂以及基于A所表達(dá)的矩陣迭代的收斂起著重要的作用。下面我們將會(huì)看到譜半徑在穩(wěn)定性分析的應(yīng)用。在離散性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)特征值判據(jù)的基礎(chǔ)上，我們給出下面的定理1。定理1：設(shè)一離散時(shí)間性定常系統(tǒng)，xk+1=Axk,k=0,1,2,對(duì)任何x0Cn,x0=x0為系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)，即Xe=0,當(dāng)且僅當(dāng)A的譜半徑A1是=時(shí)，則有l(wèi)imxx(k)=0,即系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。根據(jù)該定理，我們可以總結(jié)出判斷離散性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：求矩陣A的譜半徑（A）根據(jù)矩陣中求解譜半徑的公式A=maxjj,其

4、中j是A的特征值求出系數(shù)矩陣A的譜半徑；判斷是否滿足A1的條件，若是滿足，則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定，否則不滿足。綜上所述，為們知道只要能求出給定矩陣的譜半徑就能判定系統(tǒng)穩(wěn)的穩(wěn)定性，但是求譜半徑還是需要先求出矩陣的特征值，這跟上面的特征值判據(jù)沒有什么區(qū)別。如果我們能找到一種新的方法，他不需要借助于求矩陣的特征而能對(duì)譜半徑做近似估計(jì)，這對(duì)我們研究線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性將十分有利，于是想到用定理2來估計(jì)矩陣的譜半徑。定理2 ：根據(jù)矩陣論中1范數(shù)和范數(shù)的定義：設(shè)A=（aij）m*nCm*n，則有：1）A1=maxji=1aij,2) A=maxij=1aij.從而令Y=diag(1,2,3,n),則Y-1

5、AY與A有相同的譜半徑Y(jié)-1AY=maxiai11i+ai22i+ainni =maxi(j=1aijj)/i =1Y-1AY1=maxjaj1j1+aj2j2+ajnjn =maxj(i=1aij/i =2又根據(jù)矩陣論中定理： 設(shè)ACn*n,，則對(duì)Cm*n上的任意一矩陣范數(shù)，都有AA。從而（Y-1AY）Y-1AY1，且（Y-1AY）Y-1AY即A=（Y-1AY）minY-1AY1,Y-1AY=min（1，2）綜上可知，對(duì)給一定的離散型系統(tǒng)xk+1=Axk，k=1,2,3,若分析其穩(wěn)定性我們可以有以下步完成。第一步：任取一組正實(shí)數(shù)，這組數(shù)的個(gè)數(shù)與矩陣A的維數(shù)相同；第二步：有定理2計(jì)算1=max

6、i(j=1aijj)/i和2=maxj(i=1aij/i，然后計(jì)算A=min（1，2）；第三步：有定理1，用A1判斷系統(tǒng)是否在原點(diǎn)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。2.3 算例分析設(shè)有一離散性定常系數(shù)xk+1=Axk，k=0,1,2,3,，其中矩陣A=，使用矩陣范數(shù)分析法判斷系統(tǒng)在平衡狀態(tài)Xe=0處的漸近穩(wěn)定性。解：采用上述矩陣范數(shù)法。首先，任取一組正實(shí)數(shù)1=3，2=2，3=1；其次，計(jì)算1，2，由公式1=maxi(j=1aijj)/i和2=maxj(i=1aij/i，計(jì)算得1=23，2=34。所以，Amin1，2=23；最后，由于A231，所以，有定理1判斷系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0處漸近穩(wěn)定。3應(yīng)用小結(jié)本文主要運(yùn)用矩陣論中范數(shù)理論的有關(guān)知識(shí)，給出了一種性的判別離散性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。其中我們運(yùn)用矩陣譜半徑的A=maxjj的只是給出了判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的定理1，又在定理2中運(yùn)用范數(shù)以及矩陣的譜半徑小于等于其任意矩陣范數(shù)的知識(shí)給出了估計(jì)譜半徑的途徑，從而得到了一種更簡(jiǎn)便的分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，最后通過一個(gè)算例驗(yàn)證了該方