專題二 數列求和的方法

1、專題二 數列求和的方法第1頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日考綱要求掌握等差數列、等比數列的前n項和公式，能把某些不是等差和等比數列的求和問題轉化為等差、等比數列來解決；掌握裂項求和的思想方法，掌握錯位相減法求和的思想方法，并能靈活的運用這些方法解決相應問題.第2頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日知識梳理第3頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日一.公式法：等差數列的前n項和公式：等比數列的前n項和公式 第4頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日 2+4+6+2n= ； 1+3+5+（2n+1）= ；n2+n (n

2、+1)2 第5頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日二、錯位相減法求和:例如 是等差數列， 是等比數列，求a1b1a2b2anbn的和三、分組求和:把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和四、并項求和:例如求10029929829722212的和五、裂項相消法求和:把數列的通項拆成兩項之差、正負相消，剩下首尾若干項第6頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日 六、倒序相加法： 如果一個數列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加

3、法. 七、歸納猜想法 ： 先通過歸納猜想和的表達式，再使用數學歸納法等正面證明。 八、奇偶法: 通過分組，對n分奇偶討論求和第7頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日 十、周期轉化法 如果一個數列具有周期性，那么只要求出了數列在一個周期內各項的和，就可以利用這個和與周期的性質對數列的前n項和進行轉化合并九、通項分析求和法：第8頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日例1：求和：10看通項，是什么數列，用哪個公式；20注意項數第9頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日例2：運用倒序相加法第10頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星

4、期日倒序相加法如果一個數列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法. 類型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=第11頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日 已知數列1,3a,5a2，(2n1)an1，(a0)， 求其前n項和例3.注意對a的討論第12頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日例3.已知數列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前n項和思路分析：已知數列各項是等差數列1,3,5，2n1與等比數列a0，a，a2，an

5、1對應項的積，可用錯位相減法求和解析：設Sn13a5a2(2n1)an1a得，aSna3a25a3(2n1)an：(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.第13頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日當a1時，Snn2.點評：若數列an，bn分別是等差、等比數列，則求數列anbn的前n項和的方法就是用錯位相減法第14頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法.既anbn型等差等比第15頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日變式探究1：

6、第16頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日 1. 設數列 滿足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求數列 的通項；(2)設bn ，求數列 的前n項和Sn.變式探究2：第17頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日 1設數列 滿足a13a232a33n1 ，aN*.(1)求數列 的通項；(2)設bn ，求數列 的前n項和Sn.解析：(1)a13a232a33n1an ，第18頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日(2) bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1兩式相減，得2Sn332333

7、nn3n1，第19頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日裂項求和法：把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為分裂通項法.（見到分式型的要往這種方法聯想） 第20頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日1特別是對于 ，其中 是各項均不為0的等差數列，通常用裂項相消法，即利用 (其中dan1an)第21頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日常見的拆項公式有：第22頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日例4：1-22+32-4

8、2+(2n-1)2-(2n)2 =？局部重組轉化為常見數列并項求和第23頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日練習：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21第24頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日（2）Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1)第25頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日練習：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+ +(1+2+

9、22+2n-1) 通項分析求和通項=2n-1第26頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日先求通項再處理通項第27頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日第28頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日第29頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日提示：運用周期性質練習：第30頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日練習：第31頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日3求數列1,3 ，32 ，3n 的各項的和練習：第32頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日4.在等差數列 中，a13，d2，Sn是其前n項的和，求：S .練習：第33頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日1要求數列的前n項和，關鍵是抽取出其通項來加以分析，根據數列的通項的結構特點去選擇適當的方法2等價轉換思想是解決數列問題的基本思想方法，它可將復雜的數列轉化為等差、等比數列問題來解決3數列求和是數列的一個重要內容，其實質是將多項式化簡，等差、等比數列及可以轉化為等差、等比數列的求和問題應掌握，還應掌握一些特殊數列的求和第34頁，共35頁，2022年，5月20日，1點31分，星期日4解決非等差、等比數列的求和，有兩種思路：(1)轉化的思想，即